高中数列经典例集
高中数列经典习题含答案
高中数列经典习题 ( 含答案 )1、在等差数列 {a n}中,a1=－250,公差 d=2,求同足以下条件的全部 a n的和 , (1)70≤n≤ 200;(2)n 能被7 整除 .2、等差数列 {a n}的前 n 和 S n.已知 a3=12, S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差 d 的取范；(Ⅱ)指出S1,S2,⋯,S12,中哪一个最大 ,并明理由.3、数列 { a n }是首23，公差整数的等差数列，且前 6 正，从第 7 开始的，回答以下各： (1)求此等差数列的公差d;(2) 前n和 S n,求 S n的最大;(3)当 S n是正数,求n的最大 .4、数列 { a n}的前 n 和S n.已知首1a =3,且S n 1+ S n=2a n 1,求此数列的通公式a n及前n 和Sn .5、已知数列 { a n }的前 n 和S n13n(n＋1)(n＋2),求数列 { 1a n}的前 n 和 .6、已知数列 { a n}是等差数列 ,此中每一 及公差d均不 零 ,a i x 2 2a i 1xa i 2=0(i=1,2,3,⋯)是对于x 的一 方程 .回答： (1)求全部 些方程的公共根;(2) 些 方 程 的 另 一 个 根m i, 求m1, m1, m1,⋯ ,1 ,⋯也成等差数列 .112131m n17、假如数列 { a n} 中 ,相 两 a n和 a n 1是二次方程 x n23nx n c n=0(n=1,2,3⋯)的两个根 ,当 a 1=2 , 求c 100 的 .8、有两个无 的等比数列 { a n }和{ a n }, 它 的公比的 都小于 1,它 的各 和分 是 1 和 2, 而且 于全部自然数 n,都有 a n 1, 求 两个数列的首 和公比 .9、有两个各 都是正数的数列{ a n},{ b n}. 假如a =1,b =2,a =3.且, ,an 1 成等差数列 ,,an 1 , bn 1 成112a nb nb n等比数列 ,试求这两个数列的通项公式.10、若等差数列 {log2x n}的第 m 项等于 n，第 n 项等于 m(此中 m n)，求数列 {x n}的前 m＋n 项的和。
高中数学-数列应用题-老师-(七)
4、户,一月初向银行贷款10万元作开店资金,每月底获得的利润是该月初投入资金的20%,每月需交所得税为该月所得金额(含利润)的10%,每月生活费和其它开支三千元,余款作为资金全部投入再营业.如此继续,问到这一年底,这位个体户还清银行贷款后,纯收入还有多少？
2.由1.得{an}是等比数列a1=0.2 ,q=
3、有一个细胞集团，每小时死亡2个，余下的各个分裂成2个，设最初有细胞7个，问n小时后有多少个细胞？
解：设n小时后的细胞总数为an，则a0=7，且an+1=2(an-2)，即an+1-4=2(an-4)，数列{(an-4}是首项为a0-4=3，公比为2的等比数列，∴an=3·2n+4 (n∈N)。因此，第n个小时后的细胞总数为3·2n+4个。
欲使Tn最大，则： ，得 ，故n=5,此时s=7875。
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。
三、an= C·an-1+B，其中B、C为非零常数且C≠1
例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。
解：由上面的分析可知： ,即
得t1=40.所以这次运送共持续了40小时.
2、为了保护某处珍贵文物古迹,政府决定建一堵大理石护墙,设计时,为了与周边景点协调,对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块,第二层用剩下的一半多一块,第三层…依次类推,到第十层恰好将石块用完,问共需大理石多少块？每层各用大理石多少块？
高中数学数列经典题型及解析
高中数学数列经典题型及解析1. 求数列的通项公式：题目描述：已知数列的前几项为1，4，9，16，...，求该数列的通项公式。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的平方加1，所以可以得到通项公式为an =n^2 + 1。
2. 求数列的和：题目描述：已知数列的前几项为2，5，8，11，...，求前100项的和。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加3，所以可以得到通项公式为an = 3n - 1。
根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前100项的和为S100 = (100/2)(2 + a100)，代入通项公式，得到S100 = (100/2)(2 + (3*100 - 1)) = 10100。
3. 求等差数列的前n项和：题目描述：已知数列的前几项为3，7，11，15，...，求前20项的和。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加4，所以可以得到通项公式为an = 4n - 1。
根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前20项的和为S20 = (20/2)(3 + (4*20 - 1)) = 820。
4. 求数列的极限：题目描述：已知数列的前几项为1，1/2，1/3，1/4，...，求该数列的极限值。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的倒数，即an = 1/n。
当n趋向于无穷大时，an趋向于0，所以该数列的极限值为0。
5. 求数列的递推关系：题目描述：已知数列的前几项为1，2，4，7，11，...，求该数列的递推关系。
解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加一个递增的数，递增的数可以依次为1，2，3，4，...，所以可以得到递推关系为an = an-1 + (n-1)。
以上是高中数学中数列的经典题型及解析，希望对你有帮助！。
高中数列经典例集(习题)
一、 经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质 例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b na +++=（n=1，2，3…）， （1）求证{b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。
（2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题 2.已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。
（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。
考点二：求数列的通项与求和 例题3..已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、……、111n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 个222n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅个…… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2111N n n a a a n nn n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21nn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设2)12(sinπ-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ．考点三：数列与不等式的联系例题5.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b nb b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈例题7. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅. 考点四：数列与函数、向量等的联系 例题8.已知函数f(x)=52168xx+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．(1)写出2a 、3a 的值; (2)试比较n a 与54的大小，并说明理由； (3)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1ni i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n－1)．例题9.在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中),(),,(n n n n b n B a n A )0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B ，n ）在方向向量为（1，6）的线上.,11a b a a -==（1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ；（2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。
高中数学数列基础知识与典型例题
数列1.数列{na}的前n项和n S与通项na的关系：11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-⎩≥2.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
关键是找数列的通项结构。
例1.已知数列{}n a的前n项和为nnSn-=22,求数列{}na的通项公式.例2.已知nnnSaa2311+==-且，求na及nS．例3.已知11=a，nnanS2=(1)n≥求na及nS．例4.求和n+++++++++++321132112111.例5.数列121,341,581,7161,…,(2n－1)+n21的前n项之和为S n，则S n等于( )(A)n2+1－n21(B)2n2－n+1－n21(C)n2+1－121-n(D)n2－n+1－n21例6.求和: 2311234nS x x x nx-=+++++.等差数列与等比数列等差数列等比数列定义1n na a d+-=(d为常数,2n≥) 1(0,2)nnaq q na+=≠且为常数,≥递推公式1n na a d-=+(()n ma a n m d=+-)1n na a q-=(n mn ma a q-=)通项公式1(1)na a n d=+-11nna a q-=（1,0a q≠）中项2n k n ka aA-++=（*,,0n k N n k∈>>）(0)n k n k n k n kG a a a a-+-+=±>（*,,0n k N n k∈≥≥）前n项和1121()2(1)222n nnS a an nna dd dn a n=+-=+⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111(1)1(1)11nn nna qS a q a a qqq q=⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩重要性质*(,,,,)m n p qa a a am n p q N m n p q+=+∈+=+①等和性:②()n ma a n m d=+-③从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
数列求通项公式典型例题及答案
数列求通项公式1、累加法 ：适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。
例1.1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：2n a n =】例1.2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：3 1.nn a n =+-】练1.1 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.【答案：12+-=n n a n 】练1.2 已知数列}{n a 满足)2()1(1,311≥-+==-n n n a a a n n ，求此数列的通项公式. 【答案：n a n 12-=】2、累乘法适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。
例2.1 已知数列{n a }中，n n a a a n n 2,111+==+，求数列的通项公式。
【答案：)(2)1(*∈+=N n n n a n 】 例2.2 已知数列{n a }中，n n a n na a )1(2,111+==+，求数列的通项公式。
【答案：12-=n n na 】 练2.1【理科】 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯】练2.2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公式是n a =________.【答案：na n 1=】3、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+ 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
极限经典例题集
之阿布丰王创作时间：二O二一年七月二十九日例题1．在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,a n,S n,成等比数列.（1）求a2,a3,a4；（2）猜想a n的表达式并用数学归纳法证明；（3）求；（4）（思考题）不使用猜想a n的表达式并用数学归纳法证明的方法直接求a n.1..解析：∵a n,S n,成等比数列,∴（n≥2）（*）（1）把a1=1,S2=a1+a2=1+a2代入（*）式得：把a1=1,,代入（*）得：.同理可得：由此可以推出（2）（i）当n=1,2,3,4时,由（*）知猜想成立.（ii）假设n=k（k≥2）时,成立.故∴或（舍去）由得即n=k+1时,命题也成立.由（i）（ii）可知,对一切n∈N成立.（3）由（2）得数列前n项的和,所有项和（4）对{a n}的通项还可以这样来求：∵, ∴,故是以为首项,为公差的等差数列故,注：对含有a n,S n的关系式中,常将a n用S n－S n－1（n≥2）代（或S n+1－S n用a n+1代）,化成S n,S n+1（或a n,a n+1）的递归关系式.例 1.数列{a n}满足下列条件,求其通项公式a n.(1)a1=1,(2)a1=2,(3)a1=2,{a n}的前n项和S n满足解：(1)……将以上各式叠加,得∴又n=1时,(2)……将以上各式叠乘,得∴a n=n(n+1)(n≥2)当n=1时,1×(1+1)=2 = a1∴a n=n(n+1)(n∈N*)(3)∴2S n-1S n=S n-1-S n(n≥2)在上式两边同除以S n S n-1,得∴数列为首项,公差为2的等差数列.例2、在等差数列{a n}中(1)若a p=q,a q=p(p、q∈N*且q≠p),求a p+q；(2){a n}共有n项,其前四项之和为124,其最后四项之和为156,其所有项之和为210,求项数n；(3)若{a n}前n项和记为S n,且有,求S m+n的范围解：(1)∵a q=a p+(q-p)d∴a p+q=a p+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0(2)∵a1+a2+a3+a4=124a n+a n-1+a n-2+a n-3=156∴(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+(a4+a n-3)=280∴4(a1+a n)=280∴a1+a n=70∴n=6(3)设前n项和将以上两式相减得：两边同除以m-n,得例3、在数列{a n}中,S n是其前n项和,a1=1,S n+1=4a n+2(n∈N*)(1)设b n=a n+1-2a n,求证数列{b n}为等比数列并求其通项公式；(2)设 ,求证数列{C n}是等差数列并求其通项解：(1)∵S n+1=4a n+2∴S n+2=4a n+1+2 将以上两式相减,得a n+2=4a n+1-4a n∴a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)又s2=4a1+2=a1+a2∴a2=5 ∴数列{b n}是以b1=a2-2a1=5-2=3为首项,q=2为公比的等比数列.∴b n=3×2n-1(2)数列{C n}是以为首项,为公差的等差数列.例4、在等差数列{a n}中,公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项,已知数列成等比数列,求数列{k n}的通项k n解：∵a2是a1与a4的等比中项∵d≠0∴a1=d ∵是等差数列中的第k n项,是等比数列中的第n+2项且 =a1+(k n-1)d=d+(k n-1)d=k n d ∴∴ 2.数列的极限应用恒等变换和极限的四项运算法则,将数列的极限转化为三个基本极限来求解.3.数学归纳法数学归纳法有两个基本步伐：第一步,验证n=n0时,命题成立；第二步,假设n=k时,命题成立,然后利用归纳假设证明n=k+1时成立.用数学归纳法证明命题时特别要求证明的逻辑严密性.数学归纳法通经常使用来证明有关等式,不等式,整除,几何命题等.例 5.数列{a n}满足 ,a1=2(1)求数列{a n}的通项；(2)令 ,求出n∈(1,10000)内使b1b2b3…b n为整数的n的所有值的和. 解：(1)由a1=2得：由a2=3得：由a3=4得：猜想：a n=n+1(n∈N*) 下用数学归纳法证明该猜想1°当n=1时,a1=1+1=2,命题成立2°假设n=k(k∈N*)时,命题成立,即有a k=k+1,则=(k+1)+1 即n=k+1时,命题也成立.综合1°,2°知,a n=n+1(n∈N*)(2)∵将a n=n+1代入得=log2(n+2)欲使b1b2b3…b n为整数,须使n+2为2的整数幂∵n∈(1,10000) ∴n+2可是以22,23,24,213∴所求和为(22-2)+(23-2)+(24-2)++(213-2)=22+23+24+…+213-24=214-28=16356例6.无穷数列{a n}的前n项和为b n,无穷数列{b n}的前n项和C n,对n∈N*,恒有b n+c n=n,(1)证明：数列{1-b n}是等比数列；(2)求(3)比力的年夜小关系解：(1)首先b1+C1=1而C1=b1,得由已知：b n+C n=n,有b n+1+C n+1=n+1将两式相减,有b n+1-b n+b n+1=1∴数列{1-b n}是以的等比数列.(2)由(1)知：(3)n=1时,n≥2时,综上,当n=1或2时,显然有当n≥3时,这时例7.设 ,不论α、β为何实数,恒有f(cosα)≤0,f(2-sinβ)≥0,正数数列{a n}的前n项和S n=f(a n),n∈N*(1)求b值；(2)求{a n}的通项公式；(3)令 ,{c n}的前n项和为T n,比力T n与的年夜小.解：(1)当cosα=1时,有f(1)≤0当sinβ=1时,有f(2-sinβ)=f(1)≥0∴f(1)=0(2)令n=1,有解得a1=3或a1=-1(舍)将以上两式相减,∵{a n}为正数数列,∴a n,a n-1>0,∴a n+a n-1>0∴a n-a n-1=2(n≥2)∴{a n}是以a1=3为首项,公差为2的等差数列∴a n=3+(n-1)×2=2n+1(3)∴T n=C1+C2+…+C n[课后练习]1.数列{a n}的通项公式是a n=n2-kn,若数列{a n}是递增的,则实数k的取值范围是()(A)k<3(B)k≤3(C)k<2(D)k≤22.数列{a n}的通项公式是 ,当a n取最年夜值时,n即是()(A)4(B)5(C)6(D)73.数列{a n}满足a1=0, ,则a20即是( )(A)0(B)(C)(D)4.等比数列{a n}中,a n>0,a5a6=16,则log4a1+log4a2+…+log4a10=_____5.在等比数列{a n}中,a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,则6.数列{a n}的前n项和S n满足a n+2S n S n-1=0(n≥2),(1)求证：是等差数列；(2)求a n；(3)若b n=2(1-n)a n(n≥2),求证：7.已知数列{a n}的首项a1=5,前n项和为S n,且S n+1=2S n+n+5(n∈N*)(1)证明数列{a n+1}是等比数列；(2)令f(x)=a1x+a2x2++a n x n,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)[参考谜底]1.选 A∵a n+1-a n=(n+1)2-k(n+1)-(n2-kn)=2n+1-k>0(n∈N*)∴k<2n+1对任意n∈N*成立而2n+1最小值为3,∴k<32.选 A∴a n图象可看作是函数个单元,再上移个单元而获得(a n图象是一些孤立点)画草图可知,a4最年夜3.选 B∴可知{a n}的各项数值以3为周期重复呈现4.5.又a5,a7,a9符号相同,∴a7=16.(1)由a n+2S n S n-1=0 (n≥2)∴S n-S n-1+2S n S n-1=0 (n≥2)为首项,公差为2的等差数列.(2)(3)7.(1)∵S n+1=2S n+n+5∴S n=2S n-1+(n-1)+5(n≥2)∴S n+1-S n=2(S n-S n-1)+1(n≥2)即a n+1=2a n+1(n≥2)∴a n+1+1=2(a n+1)(n≥2)∴{a n+1}从第2项起,是公比为2的等比数列又a1=5,由S n+1=2S n+n+5令n=1有S2=2S1+6∴a1+a2=2a1+6∴a2=11∴{a n+1}是以a1+1=6为首项,公比为2的等比数列(2)∵f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+na n x n-1∴f′(1)=a1+2a2+3a3+…+na n 由(1)知a n+1=6×2n-1∴a n=6×2n-1-1令T n=6×20+2×6×21+3×6×22+…+n×6×2n-1∴2T n=6×21+2×6×22+3×6×23+…+n×6×2n∴-T n=6×20+6×21+6×22+…+6×2n-1-n×6×2n∴T n=(n-1)×6×2n+6时间：二O二一年七月二十九日。
高中常见数列的公式及经典例题
数列 知识点及解题技巧1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= =n a d m n a m )(-+或 n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式6.等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=（2）2)1(1d n n na S n -+= （3）n )2da (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(1≠⋅⋅=-q a qa a mn m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列; 当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列; 当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和等比数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
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一、 经典例题剖析
考点一：等差、等比数列的概念与性质
例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n
a +++= （n=1，2，3…）， （1）求证{
b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。
（2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题2.已知数列{}n a 的首项
121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。
（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值；
（3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。
例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2
111N n n a a a n n n n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21
n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设2
)12(sin
π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74<n T ． 考点三：数列与不等式的联系
例题5.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)4
2sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2
111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式；
⑵ 求证：n n a a >+1；
⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n
∈≥<++++++< 例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N
*+==+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n
b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈。