实变函数复习要点

2012《实变函数》复习要点
第一章 集合
一、考核知识点
1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算；
2. 对等和基数及其性质；
3. 可数集合的概念及其性质；
4. 不可数集合的概念及例子．
二、考核要求
1. 集合的概念
了解：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系．
2. 集合的运算
（1）了解：集合的并、交、补概念．
De Morgan 公式
()c c A A ()c c A A
（2）综合应用：集合的并、交、补运算，以及集合列的极限运算．
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等．
例 根据集合列上下极限的定义，会计算集合列的上下极限与极限．
例如 11{:11},n n n A x x n N 设，则
1[1,0]n n A ，1(2,1)n n A
． 3. 对等与基数
（1）了解：集合的对等与基数的概念；
（2）综合应用：集合的对等的证明．
例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应．
4. 可数集合
（1）了解：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类；
（2）综合应用：可数集合的性质．
5. 不可数集合
了解：不可数集合的概念、例子．
第二章 点集
一、考核知识点
1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质；
2. 聚点、内点、开核、边界、导集和闭包及其性质；
3. 开集、闭集及其性质；
4. 直线上的开集的构造，构成区间．
二、考核要求
1. n 维欧氏空间
了解：邻域的概念、有界点集概念．
2. 聚点、内点
了解：聚点、内点、外点、孤立点、开核、边界、导集和闭包．
如 聚点与内点的关系，
如聚点的等价定义：设0P E ，存在E 中的互异的点列
n P 使0
lim n n P P 3. 开集，闭集
（1）了解：开集、闭集的概念；
（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质；
例如A 为闭集当且仅当A 中的任意收敛点列收敛于A 中的点（即闭集为对极限运算封闭的点集）．
（3）了解：Bolzano-Weierstrass 定理、Borel 有限覆盖定理．
4. 直线上的开集的构造
（1）了解：直线上的开集的构造及构成区间的概念； 例 设)2,0(1 G , )4,3()2,1(2 G 21G G G ,求G 的构成区间.
解 G 的构成区间为(0,2)、(3,4)．
（2）简单应用：康托集，Cantor 集的基数为C．
第二章 测度论
一、考核知识点
1. 外测度的定义以及简单性质；
2. 可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）和可测集的性质；
3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G 型集、F 型集；可测集的构成．
二、考核要求
1. 外测度
（1）综合应用：外测度的定义．
如设B 是有理数集，则0m B ．
（2）了解：外测度的性质．
非负性： 0m A
单调性：A B m A m B 若，则
次可数可加性：**11()n n n n m A m A
2. 可测集
（1）了解：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）；
（2）分析：可测集的性质．
可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭．
3. 可测集类
（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G 型集、F 型集．
零集、区间、开集、闭集、G 型集（可数个开集的交）、
F 型集（可数个闭集的并）、Borel 型集（从开集出发通过取
余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集．
例 零测度集：单点集、有理数集、康托集；
例 零测度集与可数集的关系；
例“开集类”，“波雷尔集类”，“可测集类”，“
G型集类”之间的关系．
（2）了解：可测集的构成．
可测集与开集、闭集只相差一小测度集
可测集可由G
型集去掉一零集，或F
型集添上一零
集得到．
第三章 可测函数
一、考核知识点
1. 可测函数的定义及其等价定义、可测函数的性质和可测函数与简单函数的关系；
2. 叶果洛夫定理；
3. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理；
4. 鲁津定理．
二、考核要求
1. 可测函数及其性质
（1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义；
（2）综合应用：可测函数的性质．
零集上的任何函数都是可测函数；
简单函数是可测函数；
可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数；
在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性，
即： 设f (x )=g (x ) a.e.于E ， f (x )在E 上可测，则g (x )在E 上也可测；
可测函数关于子集、并集的性质；
可测函数类关于四则运算封闭；
可测函数类关于确界运算和极限运算封闭．
2. 叶果洛夫定理
了解：叶果洛夫定理．测度有限的集合上的可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛．
3. 依测度收敛
（1）了解：依测度收敛的定义、性质．
（2）综合应用：Riesz 定理、勒贝格定理．
处处收敛和依测度收敛的关系；
一致收敛和依测度收敛的关系． E f f n 于 E
u a f f n 于.. E
e a
f f n 于.. 叶果洛夫定理mE<+∞Lebesgue 定理mE<+∞叶果洛夫逆定理子列
Riesz 定理
子列
4. 可测函数的构造：可测函数和连续函数的关系．
了解：鲁津定理．
可测函数“基本上”是连续函数（鲁津定理）．
第四章 积分论
一、考核知识点
1. 勒贝格积分的定义、勒贝格积分与黎曼积分的关系；
2. 勒贝格积分的性质；
3. 勒贝格控制收敛定理；
4. 绝对连续函数与牛顿-莱布尼兹公式；
5. ()p L E 的定义．
二、考核要求
1.勒贝格积分的定义
（1）简单应用：勒贝格可积的充要条件；
设f (x )是可测集()n E mE 上的有界函数，则 f (x )在E 上可积的充要条件是f (x )在E 上可测．
（2）分析：L 积分与R 积分的关系；
若有界函数 f x 在闭区间 ,a b 上黎曼可积，则 f x 在 ,a b 上也是勒贝格可积的，且二者积分值相等．
f x 在 ,a b 上黎曼可积的充要条件是 f x 在 ,a b 上的不连续点所成之集测度为零．
（3）计算常见函数的L 积分值，
例
20,1;1,1,.x f x x x
求 0,f x dx ．
例
3\()x f x x x
，，，计算[0,1]()f x dx ． 3. 勒贝格积分性质
简单应用 绝对可积性与绝对连续性．
4. 积分的极限定理
分析：勒贝格控制收敛定理；
掌握：Fatuo 引理的证明；
利用勒贝格（Lebesgue)控制收敛定理计算积分
例 计算1
[0,1]()lim (01)1()s
s n nx dx s nx ； 例 计算 1(0,)1
lim 1k k k dt t t k ．
5. 有界变差函数与微分
1. 有界变差函数
了解：有界变差函数的定义、分解定理，以及可微性；
2.绝对连续函数
了解：绝对连续函数的定义，与牛顿-莱布尼兹公式的关系． 6. ()p L E
了解：()p L E 的定义．
关于考核目标说明
了解：指能够对有关名词、概念、知识、术语作出正确解释，
并能记住和正确表述出来．
简单应用（会）：在了解的基础上，能够进一步深入全面地把握基本概念、基本原理，使所学知识融汇贯通，能够正确运用．
综合应用（掌握）：能够正确熟练地简单应用所学知识，处理相关一般性问题．
分析（熟练掌握）：在理解掌握所学知识的基础上用所学知识分析解决实际问题．
温馨提示
习题以课后作业题、习题课上讲解题目为主！
考试题目类型：判断题、填空题、叙述题、计算题、证明题．
祝同学们复习愉快！。