福建省莆田二十四中2015届高三上学期第二次月考数学(文) Word版含答案

莆田第二十四中学2014-2015学年上学期高三第二次月考数学(文)试卷高三文科备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 2．设集合2{|20M x x x =--＜｝，{|y 2,N y x x M ==∈｝则集合()R C M N ⋂=( )A ．(—2，4)B ．(—1，2)C ．∞⋃∞（-,-1][2,+）D ．(∞⋃∞（-,-2)4,+）3. 已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A. R m ∈B. 1>mC. 0>mD. 10<<m 4.已知数列{n a }的前n 项和为n s ，且,22-=n n a s 则2a 等于 （ ） A ． 4 B ．2 C ．1 D ． 2-5.在△ABC 中,c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边,若2()()a b c c b <+-,则△ABC 是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、锐角三角形或钝角三角形6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ） A. 若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m B. 若β//m ，αβ⊥，则α⊥m C. 若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m D. 若n m ⊥，α//n ，则α⊥m7.如图为函数y ＝sin(2x ＋ϕ)的图象，则ϕ的值可以为（ ）A.3π或34πB. 3πC. 34πD. 32π 8．已知l ，m 为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l ⊂α，且m ⊂β，那么下列命题中不正确的是（ ） A ． “l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 B ． “l ⊥m ”是“l ⊥β”的必要不充分条件 C ． “m ∥α”是“l ∥m ”的充要条件 D ． “l ⊥m ”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是( )A.①②B. ①④ C .②③ D.③④第9题图 第10题图10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．29πB ．23πC ．169πD ．3π11.若函数()h x 在定义域D 上可导，且其导函数()h x '在D 上也可导，则称()h x 在D 上存在二阶导函数，记作()h x ''，即()()()h x h x '''=，当()0h x ''<在D 上恒成立时，称()h x 在D 上是凸函数.下列函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是．．凸函数的是（ ） A ．()()sin cos f x x x m m R =++∈ B. ()()ln 2015f x x x m m R =-+∈ C ．()3()2020f x x x m m R =-++∈ D. ()()x f x xe m m R =+∈12.设1x →，2x →，3x →为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足1x →与2x →不共线，1x →⊥3x →，1x →=3x →，则23x x →→的值一定等于（ ）A ．以2x →，3x →为两边的三角形面积 B. 以1x →，2x →为邻边的平行四边形的面积 C ．以1x →，2x →为两边的三角形面积 D. 以2x →，3x →为邻边的平行四边形的面积二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

13． 函数xx y 32+=的定义域为_________ 14. 已知α为钝角，且53)2cos(-=+απ,则α2sin = ；15.数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n -1a n ＝n3，则数列{a n }的通项公式为________．16．ABC ∆中，060=∠A ，点M 为边AC 的中点，32=BM ，则AC AB +的最大值为________三．解答题（本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（本小题满分12分）如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， 11A B BC ⊥，1BC =，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点.（Ⅰ）求证：1//C F 平面EAB ；（Ⅱ）求三棱锥A BCE -的体积.18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：25a =，4622a a += （Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）若21()1f x x =- ,()n n b f a =（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）C 1B 1A 1FE CBA 图220.（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线垂直于直线y x =-． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．21．（本小题满分12分）已知长方体1111ABCD A B C D -，其中2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的，且这个几何体的体积为403.（1）求几何体111ABCD AC D -的表面积；（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直， 如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P 万件与促销费用x 万元满足123+-=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品P 万件还需投入成本102P +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？高三第二次月考数学（文）试卷参考答案一、 二、 三、解答题17.解：（Ⅰ）法一：取AB 中点G ，连结EG ，FG …………1分∵E ，F 分别是11AC ，BC 的中点 ∴FG AC ∥，且12FG AC =∵11AC AC ∥，且11AC AC = ∴1FG EC ∥，且1FG EC =∴四边形1FGEC 为平行四边形…………4分 ∴1C F EG ∥又∵EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ∴1C F ∥平面ABE …………6分法二：取AC 中点H ，连结1C H ，FH …………1分则1C E AH ∥且1C E AH =∴四边形1C EAH 为平行四边形∴1C H EA ∥ 又∵EA ⊂平面ABE ，1C H ⊄平面ABE ∴1C H ∥平面ABE …………3分 ∵H 、F 分别为AC 、BC 的中点∴HF AB ∥又∵AB ⊂平面ABE ，FH ⊄平面ABE ∴FH ∥平面ABE …………4分 又∵1C H ⋂FH H =，1C H ⊂平面1C HF ，FH ⊂平面1C HF ∴平面1C HF ∥平面ABE …………5分又∵1C F ⊂平面1C HF ∴1C F ∥平面ABE …………6分 （Ⅱ）∵12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥∴AB 8分∴三棱锥A BCE -的体积为A BCE E ABC V V --=…10分111112332ABC S AA =⋅=⨯⨯=△12分 18.GC 1B 1A 1FE CBA19.解：（I ）()f x n m ∙=22cos sin cos x x x x ωωωω=-+⋅cos 222sin 26x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ……3分0ω>，∴函数f (x)的周期2T 2ππ==ωω，由题意知T 44π≥，即11≥ω，又0ω>，01∴<ω≤．故ω的取值范围是{}01ω<ω≤ ……5分 （Ⅱ）由（I ）知ω的最大值为1，f (x)2sin(2x )6π∴=+．f (A)1=，1sin(2A )62π∴+=．而132A 666ππ<+<π，52A 66π∴+=π，A 3π∴=． ……9分由余弦定理可知：222b c a 1cos A 2bc 2+-==，22b c bc 1∴+-=，又b c 2.+=联立解得：b 1c 1=⎧⎨=⎩ABC 1S bc sin A 2∆∴=⋅= ……12分 20.解：（Ⅰ）'21()a f x xx =--……2分 ∵曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线垂直于直线y x =-∴'(1)11f a =--=，∴2a =-……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2()ln f x x x =--，则'22212()x f x x x x-=-= 令'()0f x =，解得2x =， 又()f x 的定义域为()0,+∞…………6分 当()0,2x ∈时，'()0f x > ∴()f x 在()0,2内为增函数…………8分 当()2,x ∈+∞时，'()0f x < ∴()f x 在()2,+∞内为减函数…………10分 由此知函数()f x 在2x =处取得极大值(2)1ln 2f =--…………12分 21．解：（1）1111111111ABCD AC D ABCD A B C D B A B C V V V ---=- 1111110402222,3233AA AA AA =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==14AA ∴=.------------------------------------------------------3分22,521111===C A B C B A ，设11C A 的中点H ，所以62311=∴=∆B C A S BH ---------------------------5分∴表面积3662483=+++⨯=S ----------------------6分 （2）在平面11CC D D 中作11D Q C D ⊥交1CC 于Q ，过Q 作//QP CB 交1BC 于点P ，则11A P C D ⊥.----------------------------------------7分因为1111111111,,A D CC D D C D CC D D C D A D ⊥⊂∴⊥平面平面，而1111//,//,//QP CB CB A D QP A D ∴，又1111,A D D Q D C D A PQC =∴⊥平面，111PQCD A DC 平面⊥∴且11111,A P A PQC A P CD ⊂∴⊥平面.…………………9分 11D C Q ∆∽11111111,,1,//,42C QD C Rt C CD C Q PQ BC PQ BC CD C C ∆∴=∴=∴==又.11A PQD 四边形为直角梯形，且高112D Q A P ===……12分 22．(1)由题意知， )210()204(p x p py +--+=，----------------------------------------------3分 将231p x =-+代入化简得：x x y -+-=1416（0x a ≤≤）. ----------------------- 6分 (2) ()()()()()()()222222143142311111x x x x x y x x x x -+++--+-'=--==-=-++++当1a ≥时,()0,1x ∈时0y '>， 所以函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增 A 1DD 1C 1 ACPQ B()1,a x ∈时0y '<，所以函数4161y x x =--+在()1,a 上单调递减 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;------------------------------------------------------9分 当1a <时, 因为函数4161y x x =--+在()0,1上单调递增 4161y x x =--+在[]0,a 上单调递增, 所以x a =时,函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . 综上,当1a ≥时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;当1a <时, 促销费用投入a 万元，厂家的利润最大 -------------------------------12分 （注：当1a ≥时，也可：13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号）莆田二十四中2014-2015学年度上学期 高三第二次月考数学（文）答题卷13、 14、15、 16、 三、解答题（74分）。