新人教版数学九年级尖子班成绩高效班《二次函数》培优一
二次函数单元测试(培优压轴卷)九年级数学上册尖子生培优必刷题(原卷版)【人教版】
【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.22第22章二次函数单元测试（培优压轴卷）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023秋•浑源县月考）二次函数y＝x2+8x+9的对称轴为直线（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x=−14D．x=142．（2023秋•龙江县月考）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（0，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＞y2C．y1＞y2＞y3D．y2＞y1＞y33．（2022秋•峰峰矿区期末）把抛物线y＝3（x+1）2﹣2先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线y＝3x2，则n的值是（）A．1B．2C．3D．44．（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当y＞1时，则x的取值范围为（）A．﹣1＜x＜3B．﹣3＜x＜1C．x＜﹣1或x＞3D．x＜﹣3或x＞1 5．（2023•赣州三模）如图1，某地大桥主桥墩结构为抛物线形，桥墩的高度和宽度分别为40m和30m，若建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为（）A．y=845x2−163x B．y＝30x2﹣40xC．y=−845x2+163x D．y＝﹣40x2+30x6．（2023•蕉岭县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点E（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（）A．4B．4√2C．5D．5√27．（2022秋•恩施市期末）函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．（2022秋•金华期末）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有下列结论：①abc＞0；②2c＞3b；③a+2b＞m（am+b）（m≠1）；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个实数根，则这四个实数根的和为4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2022秋•江都区期末）已知点A（m，n）、B（m+1，n）是二次函数y＝x2+bx+c图象上的两个点，若当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＞32B．m≥32C．m＜32D．m≤3210．（2023•叙州区校级模拟）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝x2﹣2x+3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m，2m+4，2m+4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（）A ．﹣2B ．14C ．﹣2或2D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023秋•椒江区月考）2022年C 919大型客机取得合格证，客机着陆后滑行距离g （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数解析式是g =54t −32t 2，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒．12．（2023秋•开平市校级月考）如果y =(m −2)x m 2−m 是关于x 的二次函数，则m ＝ ．13．（2023秋•姑苏区校级月考）抛物线y ＝ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表，则抛物线与x 轴的交点坐标为 ．x…… ﹣2 ﹣1 0 1 …… y …… 0 4 6 6 ……14．（2022秋•青县校级期末）二次函数y ＝x 2﹣2x +1在﹣5≤x ≤3范围内的最大值为 ．15．（2023秋•蔡甸区校级月考）关于抛物线y ＝﹣x 2+4，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是（0，4）；②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；③当﹣2＜x ＜3时，﹣5＜y ＜0；④若（m ，p ）（n ，p ）是该抛物线上两个不同的点，则m +n ＝0．其中正确的说法有 ．（填序号）16．（2023•德惠市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣1经过点（2，7）．若关于x 的一元二次方程ax 2﹣4ax ﹣1﹣t ＝0（t 为实数）在12＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023•海淀区校级开学）抛物线y ＝a （x +h ）2的对称轴是直线x ＝﹣2，且过点（1，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？18．（2023春•海淀区校级期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表所示：x… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …（1）这个二次函数的解析式是 ；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x ＜0时，y 的取值范围为 ．19．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，试解答下列问题：（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式．（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？20．（2023•东台市校级二模）某企业接到一批电子产品的生产任务，按要求在30天内完成，约定这批电子产品的出厂价为每件70元．该企业第x 天生产的电子产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系式：y ={20x(0≤x ≤10)10x +200(10＜x ≤30)． （1）求该企业第几天生产的电子产品数量为400件；（2）设第x 天每件电子产品的成本是P 元，P 与x 之间的关系可用图中的函数图象来表示．若该企业第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？21．（2023秋•汤阴县月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y 轴相交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC 于点D，设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示线段PD的长；②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．22．（2023秋•息县月考）抛物线y＝2x2+n与直线y＝2x﹣1交于点（m，3）．（1）求m和n的值；（2）求抛物线y＝2x2+n的顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数y＝2x2+n中，y随x的增大而减小；（4）函数y＝2x2+n与y＝2x﹣1的图象是否还有其他交点？若有，请求出该交点；若没有，请说明理由．23．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y ＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．（2）当a=19时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24）。
人教版 九年级数学上册 第22章 二次函数 尖子生培优 (含答案)
人教版 九年级数学 第22章 二次函数 尖子生培优一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y ＝2x 2－5的顶点坐标为( )A ．(2，5)B ．(－2，5)C ．(0，－5)D ．(0，5)2. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a (x －h )2 的图象可能是( )3. 抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣5. （2020·温州）9．已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312yx x m=--+上的点，则A ．3y ＜2y ＜1yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜3y ＜1yD ．1y ＜3y ＜2y6. （2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧abc>0，b 2－4ac<0 B.⎩⎪⎨⎪⎧abc<0，2a ＋b>0 C.⎩⎪⎨⎪⎧abc>0，a ＋b ＋c<0 D.⎩⎪⎨⎪⎧abc<0，b 2－4ac>09. （2020·遵义）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2，抛物线与x 轴的一个交点在点(－4， 0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：①4a －b ＝0;②c ≤3a ;③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等实数根;④b 2＋2b > 4ac ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA＝OC.有下列结论：①abc<0；①b 2－4ac 4a >0；①ac －b ＋1＝0；①OA·OB ＝－ca .其中正确的结论有( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 若抛物线y＝x2＋bx＋25的顶点在x轴上，则b的值为________．12. （2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t－6t2，则汽车从刹车到停止所用时间为__________秒．13. 某抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．14. 若二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x －13的解为______________．15. 将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________________．16. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为2h t t=-，则小球从飞出到落地所用的时间为205__________s．17. 如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则此抛物线的解析式为__________________．18. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ①AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m .(1)当a ＝－124时，①求h 的值，①通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125 m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．20. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．当一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为x s ，①PBQ 的面积为y cm 2. (1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求①PBQ 的面积的最大值．21. （2020·鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（16m≤≤），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．22. （2020·青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用mkxy+=2(k≠0)表示.求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/2m.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B 型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？人教版 九年级数学 第22章 二次函数 尖子生培优 -答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】A [解析] 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a )．①－b 2a ＝－－22＝1＞0，4ac －b 24a ＝4（m 2＋2）－44＝m 2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A.4. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误；∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．5. 【答案】B【解析】本题考查了二次函数的增减性，当a ＞0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由对称轴x ＝12222(3)b a --=-=-⨯-，知（-3，y 1）和（-1，y 1）对称，因为a ＝-3＜0，所以当x ≥-2时，y 随x 的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y 2＞y 1＞y 3，因此本题选B ．6. 【答案】 C【解析】本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＞0，则选项A 不正确；选项B 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＜0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项B 不正确；选项C 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项C 正确；选项D 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＜0、b =0，则选项D 不正确；，因此本题选C ． 7. 【答案】 B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根， 240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22b a ∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B ．8. 【答案】C [解析] 由图象可知，当x ＝1时，y ＜0，∴a ＋b ＋c ＜0；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b 2－4ac>0；∵二次函数图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上，∴c ＜0；∵二次函数图象开口向上，∴a ＞0；∵对称轴－b2a ＞0，a ＞0，∴b ＜0.∴abc ＞0.故选C.9. 【答案】C【解析】本题考查二次函数的图象与性质．由－ba2=－2得4a －b ＝0，故①正确;由ac b a-244＝3得4ac －b 2＝12a ，又4a ＝b ，代入消去b 得c ＝4a ＋3，故②错误; 由图，象得，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等实数根正确; 由ac b a-244＝3得4ac －b 2＝12a ，∴4ac ＝12a ＋b 2＝3b ＋b 2，∵a ＜0，b ＜0，c ＜0，∴4ac ＜2b ＋b 2 ，故④正确．故选C ．10. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0， 而a ＜0，∴b 2－4ac4a ＜0，故②错误．∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确． 设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴x 1·x 2＝ca .又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－ca ，故④正确．故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】±1012. 【答案】2.5．【解析】令s ＝0，得15t －6t 2＝0，解得t 1＝2.5，t 2＝0（不合题意，舍去），故答案为2.5．13. 【答案】y ＝7x 2＋28x ＋33 [解析] 设该抛物线的解析式为y ＝a(x －h)2＋k.∵该抛物线与抛物线y ＝7x 2的形状、开口方向都相同，∴a ＝7. 又∵其顶点坐标为(－2，5)，∴它的解析式为y ＝7(x ＋2)2＋5，整理，得y ＝7x 2＋28x ＋33.14. 【答案】x 1＝2，x 2＝4 [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx －5的图象的对称轴为直线x ＝2，∴－b2＝2，∴b ＝－4，∴原方程化为x 2－4x －5＝2x －13，解得x 1＝2，x 2＝4.15. 【答案】y ＝2(x ＋1)2－216. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．17. 【答案】 y ＝－x2＋2x ＋318. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）bb＝3－ 3.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】【思维教练】(1)将点P 坐标代入解析式求出h 的值，当抛物线到达球网位置的时候，对比抛物线与球网的高度判断是否能过网；(2)球能过网说明抛物线过点(0，1)和点(7，125)，代入抛物线解析式求解即可．解：(1)①把(0，1)代入y ＝－124(x －4)2＋h ，得h ＝53.(2分)①把x ＝5代入y ＝124(x －4)2＋53，得y ＝－124(5－4)2＋53＝1.625. ①1.625＞1.55.①此球能过网；(4分)(2)把(0，1)，(7，125)代入y ＝a (x －4)2＋h ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋h ＝1，9a ＋h ＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，h ＝215.①a ＝－15.(8分)20. 【答案】[解析] 先运用三角形的面积公式求出y 关于x 的函数解析式，然后运用公式法或配方法把函数解析式化成顶点式，再根据x 的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题．解：(1)∵S ①PBQ ＝12PB·BQ ，PB ＝AB －AP ＝(18－2x)cm ，BQ ＝x cm ， ∴y ＝12(18－2x)·x ， 即y ＝－x 2＋9x(0<x≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814.∵当x<92时，y 随x 的增大而增大，而0<x≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即①PBQ 的面积的最大值是20 cm 2.21. 【答案】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，代入（4，10000），（5，9500）可得：10000495005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：50012000k b =-⎧⎨=⎩，即y 与x 的函数关系式为50012000y x =-+；（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w ，根据题意可得：315500120006000x x ≤≤⎧⎨-+≥⎩， 解得：312x ≤≤， ()()()2350012000327500551252w y x x x x =-=-+-⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∵312x ≤≤，∴当x ＝12时，w 有最大值，w ＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元． （3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w ， 当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元时， ()()()()()2350012000350050027500243w y x m x x m x m x m =--=-+--=-++-⨯-由题意，当x ≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得：()()50027152500m +-≥⨯-，解得：m ≥3，∵16m ≤≤ ∴36m ≤≤故m 的取值范围为：36m ≤≤．22. 【答案】解：（1）由题意得AD=4，AB=3，EH=4，∴OA=OD=21AD=21×4=2，OE=EH -OH=EH -AB=4-3=1，∴A （-2，0），E （0，1），∴⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+-⋅=m k m k 2201)2(0，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=141m k ， ∴该抛物线的函数表达式为：1412+-=x y .（2）由题意得OM=21GM=21×2=1，∴当x=1时，4311412=+⨯-=y ，∴MN=43. ∴每个B 型活动板房的成本是：425+50×4×43=575（元）. （3）由题意得)1065020100)(575(n n w -⨯+-==)]650(2100)[575(n n -+- =)21300100)(575(n n -+-=)21400)(575(n n --=805000255022-+-n n 由⎪⎩⎪⎨⎧≤-⨯+≤≤1601065020100650575n n x 得620≤n≤650. ∵805000255022-+-=n n w 的对称轴5.637)2(22550=-⨯-=n 在620≤n≤650之内， ∴当公司将销售单价n(元)定为637.5时，每月销售B 型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是：)5.63721400)(5755.637(⨯--=w =62.5×125=7812.5（元）.。
专题22.1二次函数(限时培优满分训练)-【拔尖特训】2024-2025学年九年级数学上册尖子生培优
【拔尖特训】2024-2025学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.1二次函数（限时培优满分训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x B．y=2x C．y＝x2D．y=1x22．（2022秋•普兰店区期末）y=(m−1)x m2+1是二次函数，则m的值是（）A．m＝0B．m＝﹣1C．m＝1D．m＝±13．（易错题）（2022秋•诸暨市期末）已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2B．1C．﹣2D．±14．（2023•郁南县校级模拟）关于x的函数y＝（a﹣b）x2+1是二次函数的条件是（）A．a≠0B．a≠b C．b＝0D．a＝05．（2022秋•新华区校级期末）自由落体公式h=12gt2（g为常量），h与t之间的关系是（）A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对6．（易错题）（2022秋•临淄区期末）下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长xB．速度一定时，路程s与时间tC．三角形的高一定时，面积y与底边长xD．正方形的面积y与边长x7．（2023•桐乡市校级开学）下列函数中，常量3表示二次项系数的是（）A．y＝3x B．y＝3x2C．y=3x D．y＝x2+38．（易错题）（2023春•沈北新区期末）如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（）A．y=x(12−x)2B．y＝x（12﹣x）C．y=x(24−x)2D．y＝x（24﹣x）9．（培优题）（2023•南海区模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w 元，则下列等式正确的是（）A．y＝10x+740B．y＝10x﹣140C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40）D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）10．（在题）（2023春•鼓楼区校级期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x 的变化而变化，则y与x．S与x满足的函数关系分别是（）A．二次函数关系，二次函数关系B．二次函数关系，一次函数关系C．一次函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•驿城区期末）二次函数y＝3x−12x2的二次项系数是．12．（2022秋•宣州区期末）若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣3ax﹣2+a是二次函数，则a必须满足的条件是．13．（易错题）（2023•香坊区校级模拟）如果函数y=(m+1)x m2−m+3是二次函数，则m的值为．14．（易错题）（2022秋•开封期末）已知函数y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函数，则m＝．15．（2023•平远县校级开学）在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x的函数关系式为，其中自变量x的取值范围是．16．（培优题）（2022秋•南关区校级期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（易错题）（2022秋•太康县期末）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．18．（易错题）（2022秋•定远县期中）已知函数y＝﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），求当m为何值时：（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．19．（常考题）（2022秋•庆云县校级月考）已知y＝（m﹣4）x m2−m+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．20．已知y＝（m2﹣m）x m2−2m−1+（m﹣3）x+m2是关于x的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．21．（常考题）已知函数y＝（a2﹣4）x2+（a+2）x+3+c．（1）当a为何值时，此函数是关于x的二次函数？（2）当a为何值时，此函数是关于x的一次函数？（3）当a，c满足什么条件时，此函数是关于x的正比例函数？22．（培优题）（2023•五华县校级开学）如图，一块矩形草地的长为100m，宽为80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x（m）的小路，这时草坪的面积为y（m2）．求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围．23．（压轴题）（2023•丰顺县校级开学）如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30m的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．。
九年级数学 二次函数的专项 培优练习题含详细答案
九年级数学 二次函数的专项 培优练习题含详细答案一、二次函数1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a 12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2a x 12a-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入，得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．2．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx （a ≠0）过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P ，使得△ABP 的面积为△ABC 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴正半轴上运动，当以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN 的面积．【答案】（1）y ＝－x 2＋4x ；（2）C （3，3），面积为3；（3）P 的坐标为（5，－5）；（4）52或5． 【解析】 试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C 的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；（3）利用三角形的面积以及点P 所处象限的特点即可求；（4）分情况进行讨论，确定点M 、N ，然后三角形的面积公式即可求.试题解析：（1）将A （4，0），B （1，3）代入到y ＝ax 2＋bx 中，得16403a b a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得14a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ．（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝12×2×3＝3．（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP∴6＋12×（m－1）×（3＋m2－4m）＝12×3×3＋12×（3＋m－1）（m2－4m）整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．（4）52或5．提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝52；②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.3．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）的图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n ＞0且n为整数），与y轴交于C点．（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC的面积；（2）求证：a=m-；（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，求a的值．【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．【解析】试题分析：（1）①首先根据a=1求得A的坐标，然后代入二次函数的解析式，求得m的值即可确定二次函数的解析式；②根据解析式确定抛物线与坐标轴的交点坐标，从而确定三角形的面积；（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点关于x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间的关系；（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m 的值即可确定a的值．试题解析：（1）①∵a=1，∴A（1，0），代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，∴y=x2-4x+3；②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，∴A（1，0）、B（3，0），∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），∴OC=3，△ABC的面积=×2×3=3；（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，∴对称轴为直线x=m，∵二次函数y=x2-2mx+3的图象与x轴交于点A和点B∴点A和点B关于直线x=m对称，∴a+n-m=m-a，∴a=m-；（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）①当a为整数，因为n＞0且n为整数所以a+n是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=2，∴a=m-1，∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，∴m2-4=0，∴m=2，m=-2（舍去），∴a=2-1=1，②当a不是整数，因为n＞0且n为整数所以a+n不是整数，∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点的横坐标是整数，∴n=3，∴a=m-∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，∴m2=，∴m=，m=-（舍去），∴a=−，综上所述：a=1或a=−．考点：二次函数综合题．4．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A （0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12， 所以抛物线解析式为y=﹣12（x ﹣6）（x+2）=﹣12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH ⊥OB 于H ，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH ∥AO ，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴，∴∠DPE=90°，若△PDE 为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，则当y=6时，﹣12x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4，即点P （4，6）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.5．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y1 3 =x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：390ba b=-⎧⎨+=⎩，解得：133ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y13=x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°3=设DC为y＝kx﹣33，0），可得：k3=联立两个方程可得：233133y xy x⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩，， 所以M 1（33，6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝33，设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（33，0）可得：k 33=， 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，， 所以M 2（3，﹣2）．综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．6．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
人教版九年级数学上册第二十二章 《二次函数》培优训练题(含答案)
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）23．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（）A．±2 B．±4 C．±D．±9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（）A．③④B．②④C．②③D．①④二．填空题 10．若抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为 ． 11．若抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x 的一元二次方程a （x +h ﹣2）2+k ＝0的解为 ．12．抛物线经过原点O ，还经过A （2，m ），B （4，m ），若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为 ． 13．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m /h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱最高点O ．14．如图，抛物线解析式为y ＝x 2，点A 1的坐标为（1，1），连接OA 1；过A 1作A 1B 1⊥OA 1，分别交y 轴、抛物线于点P 1、B 1；过B 1作B 1A 2⊥A 1B 1分别交y 轴、抛物线于点P 2、A 2；过A 2作A 2B 2⊥B 1A 2，分别交y 轴、抛物线于点P 3、B 2…；则点P n 的坐标是 ．三．解答题16．已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点P ．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）若点P 关于坐标系原点O 的对称点仍然在抛物线上，求此时m 的值；（3）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．17．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？18．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2﹣4mx +n （m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且S △ABC ：S △BCE ＝3：4．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上，①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．19．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为ts．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为．参考答案一．选择题1．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；D符合题意；故选：D．2．解：∵抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），∴所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2．故选：D．3．解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x＝2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．4．解：∵y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2﹣4a+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，∴x1+x2＝4，∴当x取x1+x2时，y＝a（4﹣2）2﹣4a+4＝4，故选：C．5．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．6．解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D．7．解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．8．解：设y＝0，则＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，解得：m＝4或m＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴OA＝1，OB＝4，设x＝0，则y＝﹣4m，∴OC＝|﹣4m|，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OC2＝OA•OB，即16m2＝4，解得：m＝±，故选：C．9．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝2，即a﹣b+c＝2，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），即x＝﹣1时，y有最大值2，∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：A．二．填空题（共5小题）10．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线在x轴截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+9，代入（5，0）得，9a+9＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+9．11．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．12．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），∴对称轴是：x＝3，AB＝2，∵△AOB的面积为4，∴AB•|m|＝4，m＝±4，当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．13．解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），由题意：，解得，∴y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，故t＝＝4（h），答：再过4小时水位达到桥拱最高点O．故答案为：4．14．解：∵点A1的坐标为（1，1），∴直线OA1的解析式为y＝x，∵A1B1⊥OA1，∴OP1＝2，∴P1（0，2），设A1P1的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，解求得B1（﹣2，4），∵A2B1∥OA1，设B1P2的解析式为y＝x+b2，∴﹣2+b2＝4，∴b2＝6，∴P2（0，6），解求得A2（3，9）设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3，∴﹣3+b3＝9，∴b3＝12，∴P3（0，12），…∴P n（0，n2+n），故答案为（0，n2+n）．三．解答题（共6小题）15．证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．在Rt△FCG中，CF＝6，∴，．∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝＝216．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），∵对称点仍然在抛物线上，∴m+3＝m+2m﹣3，解得m＝3；（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．17．解：（1）由题意可得：y＝100+×10＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元；∴应降价80﹣70＝10（元）．∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，解得：x1＝65，x2＝75，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．18．解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F，∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0），∴对称轴为直线x＝2，∴AF＝BF，点F（2，0），即OF＝2，∵S△ABC ：S△BCE＝3：4，∴S△ABC ＝3S△ABE，∴3××AB×OE＝AB×CF，∴CF＝3OE，∵CF⊥AB，OE⊥AB，∴CF∥OE，∴，∴AF＝3OA，∵OF＝OA+AF＝2，∴OA＝，AF＝，∴点A坐标为（，0），∵AB＝2AF＝3，∴OB＝，∴点B坐标为（，0）；（2）①∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）过点A（，0），∴0＝m﹣2m+n，∴n＝m，∴y＝mx2﹣4mx+n＝m（x﹣2）2﹣m，∴点C（2，﹣m），如图2，过点C作CF⊥OB于F，CH⊥y轴于H，又∵∠FOH＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴CF＝OH＝m，∵将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，∴OC＝O'C，OB＝O'A＝，又∵CH⊥OO'，∴OO'＝2OH＝m，∵OA2+O'O2＝O'A2，∴+m2＝，∴m＝，∴点C坐标为（2，﹣），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：∴直线CE的解析式为y＝﹣x+；②∵m＝，∴y＝x2﹣x+．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．20．解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6，∴m＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）连线得，（3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：（答案不唯一）（4）∵直线y＝kx+b经过（，），∴，∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，∴x2﹣3x﹣4+kx+b＝0和方程x2+3x﹣4+kx+b＝0各有两个不相等的实数根，即方程x2﹣（3﹣）x﹣4+b＝和0x2+（3+）x﹣4+b＝0各有两个不相等的实数根，∴，解得b≠，且b＞或b＜，∴b的取值范围为b＞或b＜．故答案为：b＞或b＜．。
人教版九年级数学上册《二次函数》培优测试题
人教版九年级数学上册《二次函数》培优测试题一．选择题1.已知函数y=是二次函数，则m的值为（）A. ﹣3B. ±3C. 3D. ±2.二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（）A. （1，0）B. （2，0）C. （﹣1，0）或（﹣2，0）D. （﹣1，0）或（1，0）3.已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A. y3最小，y1最大B. y3最小，y4最大C. y1最小，y4最大D. 无法确定4.已知二次函数y=（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A. ﹣3＜x＜1B. x＜﹣1或x＞3C. ﹣1＜x＜3D. x＜﹣3或x＞15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b+c，N=a－b+c，P=4a+b，则（）A. M>0，N>0，P>0B. M>0，N<0，P>0C. M<0，N>0，P>0D. M<0，N>0，P<06.下列关于二次函数y=﹣2（x﹣2）2+1图象的叙述，其中错误的是（）A. 开口向下B. 对称轴是直线x=2C. 此函数有最小值是1D. 当x＞2时，函数y随x增大而减小7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程=ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3：②a﹣b+c=0；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当y 随x的增大而增大时，一定有x＜O．其中结论正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与D 点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A. 球不会过网B. 球会过球网但不会出界C. 球会过球网并会出界D. 无法确定9.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.若二次函数y=（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有两个交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 511.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.12.已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P 是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（）A. ①②③B. 仅有①②C. 仅有①③D. 仅有②③二．填空题13.将二次函数y=x2+3x﹣化为y=a（x﹣h）2+k的形式，其结果是_____．14.二次函数y=x2﹣3x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____．15.如图，点D，C的坐标分别为（﹣1，4）和（﹣5，4），抛物线的顶点在线段CD上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点B的横坐标最大值为3，则点A的横坐标最小值为_____．16.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行_____m才能停下来．17.已知抛物线y=x2，以D（﹣2，1）为直角顶点作该抛物线的内接Rt△ADB（即A．D．B 均在抛物线上）．直线AB必经过一定点，则该定点坐标为_____．18.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）三．解答题19.如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+6的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点C．（1）求AC的长；（2）求顶点的坐标．20.五家尧草莓是我旗的特色农产品，深受人们的喜欢．某超市对进货价为10元/千克的某种草莓的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为多少时，该品种草莓每天销售利润为150元？（3）应怎样确定销售价，使该品种草莓的每天销售利润最大？最大利润是多少？21.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．=8，并（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时．满足S△PAB求出此时P点的坐标．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使△PAC的面积最大，请直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．24.如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A、B两点（B点在A 点的右侧），与轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．25.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD=3，若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值；（3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标．。
第二十二章 二次函数 尖子生培优练 2021-2022学年人教版 九年级数学上册
第二十二章 二次函数尖子生培优练一、单选题1．在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为（ ） A ．()0,4-B ．()2,0C ．()1,0D ．()1,0-2．二次函数y ＝（x +1）2﹣2的对称轴是（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝2D ．x ＝﹣23．抛物线y ＝x 2﹣2的顶点坐标是（ ） A ．（0，﹣2）B ．（﹣2，0）C ．（0，2）D ．（2，0）4．函数y ＝12x 2+2x +1写成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y ＝12（x ﹣2）2+1B ．y ＝12（x ﹣1）2+12C ．y ＝12（x ﹣1）2﹣3D ．y ＝12（x +2）2﹣1 5．二次函数2(1)2y x =--的图像是由二次函数2y x 的图像（ ）变换得到的．A ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位6．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒7．根据下面表格中的对应值：判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的范围是( ) A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.268．二次函数y=（x ﹣5）2+7的最小值是（ ） A ．﹣7B ．7C ．﹣5D ．59．如图，小聪要在抛物线y ＝x （2-x ）上找一点M （a ，b ），针对b 的不同取值，所找点M 的个数，三个同学的说法如下，小明：若b ＝-3，则点M 的个数为0； 小云：若b ＝ 1，则点M 的个数为1； 小朵：若b ＝ 3，则点M 的个数为2． 下列判断正确的是（ ）．A ．小云错，小朵对B ．小明，小云都错C ．小云对，小朵错D ．小明错，小朵对10．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为2194y x x =-+； ②若点(1,)B n -在这个二次函数图象上，则n m >；③该二次函数图象与x 轴的另一个交点为(4,0)-； ④当06x <<时，8m y <<，所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题11．若点(0)a ,，(3)b ,都在二次函数2(1)y x =-的图象上，则a 与b 的大小关系是：a ____b （填“>”，“<”或“=”）．12．二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象如图所示，若点A (0，y 1)和B (﹣3，y 2)在此函数图象上，则y 1___y 2（填“＜““＞”或“＝”）．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （2，1），B （4，1），将抛物线y ＝x 2沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位长度后，使其与线段AB （含端点）没有交点，那么m 的取值范围是 ___．14．在平面直角坐标系xOy 中，开口向下的抛物线y ＝ax 2+bx +c 的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A (1，0)，与y 轴交于点B (0，3)，可以判断该抛物线的开口方向为___，a 的取值范围是___．三、解答题15．已知：二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A (0，﹣3)，且经过点B (2，5)． （1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式． 16．对于抛物线243y x x =-+．（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；（2）在坐标系中画出此抛物线的图象； （3）当712x -<<时，y 的取值范围是 ．17．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x ＜3时，直接写出y 的取值范围；（3）点P 为抛物线上一点，若S △PAB ＝10，求出此时点P 的坐标．18．如图，己知一次函数3y kx =+的图象与x 轴交于()3,0A ，与y 轴交于点B ．（1）求一次函数的解析式和点B 的坐标；（2）若二次函数2---y x bx c =的图象经过点A ，B ，结合函数的图象，直接写出不等式2---3x bx c kx >+的解集．19．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD ，其中一边靠墙，另外三边米，用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形ABCD的边AB x面积为S平方米．（1）求活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．20．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当-3<x<1时，直接写出y的取值范围．答案与解析：一、单选题1．在抛物线5x -上的一个点的坐标为（ ） A ．()0,4- B ．()2,0 C ．()1,0 D ．()1,0-【答案】D 【解】A ，(0,−4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A 错误B ，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B 错误C ，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C 错误D ，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D 正确 故选：D2．二次函数y ＝（x +1）2﹣2的对称轴是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1 C ．x ＝2 D ．x ＝﹣2【答案】B解：根据二次函数解析式，可得顶点坐标为(1,2)-- 由二次函数的性质可得对称轴为1x =- 故选B3．抛物线y ＝x 2﹣2的顶点坐标是（ ） A ．（0，﹣2） B ．（﹣2，0） C ．（0，2） D ．（2，0）【答案】A解：∵抛物线22y x =-，∴抛物线22y x =-的顶点坐标是（0，-2）， 故选A ．4．函数y ＝12x 2+2x +1写成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ） A ．y ＝12（x ﹣2）2+1 B ．y ＝12（x ﹣1）2+12 C ．y ＝12（x ﹣1）2﹣3 D ．y ＝12（x +2）2﹣1【答案】D 【解】 配方得：221121(2)122y x x x =++=+-故选：D ．5．二次函数2(1)2y x =--的图像是由二次函数2y x 的图像（ ）变换得到的．A ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】C 解：抛物线2yx 向右平移1个单位，得：2(1)y x =-；再向下平移2个单位，得：2(1)2y x =--． 故选：C ．6．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第8秒 B ．第10秒 C ．第12秒 D ．第15秒【答案】C解：此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴直线是：618122x +==， 抛物线开口向下，12x ∴=时，函数值最大，即第12秒炮弹所在高度最高， 故选：C ．7．根据下面表格中的对应值：的范围是( ) A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26【答案】C【解】：函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点就是方程ax 2+bx+c=0的根， 函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的纵坐标为0； 由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间， ∴对应的x 的值在3.24与3.25之间即3.24＜x ＜3.25． 故选C ．8．二次函数y=（x ﹣5）2+7的最小值是（ ） A ．﹣7 B ．7C ．﹣5D ．5【答案】B【解】∵y=（x ﹣5）2+7,∴当x=5时，y 有最小值7．故选B ．9．如图，小聪要在抛物线y ＝x （2-x ）上找一点M （a ，b ），针对b 的不同取值，所找点M 的个数，三个同学的说法如下， 小明：若b ＝-3，则点M 的个数为0； 小云：若b ＝ 1，则点M 的个数为1； 小朵：若b ＝ 3，则点M 的个数为2． 下列判断正确的是（ ）．A ．小云错，小朵对B ．小明，小云都错C ．小云对，小朵错D ．小明错，小朵对 【答案】C 【解】 ∵点(),M a b ，当3b =-时，则()32a a -=-，整理得2230a a --=， ∵()4430∆=-⨯->， ∴有两个不相等的值， ∴点M 的个数为2；当1b =时，则()12a a =-，整理得2210a a -+=， ∵4410∆=-⨯=， ∴a 有两个相同的值， ∴点M 的个数为1；当3b =时，则()32a a =-，整理得2230a a -+=， ∵4430∆=-⨯<， ∴点M 的个数为0； ∴小明错，小云对，小朵错 故选：C ．10．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为2194y x x =-+；②若点(1,)B n -在这个二次函数图象上，则n m >；③该二次函数图象与x 轴的另一个交点为(4,0)-； ④当06x <<时，8m y <<，所有正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】C解：由二次函数图像可知：2(2)9y a x =-+，把（0，8）代入得：28(02)9a =-+，解得：14a =-，即：2211(2)9844y x x x =--+=-++，故①错误；∵点A (6，m )，(1,)B n -在这个二次函数图象上，又∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为：直线x =2，且2-(-1)＜6-2， ∴n m >，故②正确；∵抛物线的对称轴为：直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为(8，0)， ∴该二次函数图象与x 轴的另一个交点为(4,0)-，故③正确； 由二次函数的图像可知：当06x <<时，9m y <≤，故④错误． ∴正确结论的序号是：②③， 故选C ．二、填空题11．若点，都在二次函数2(1)y x =-的图象上，则a 与b 的大小关系是：a ____b （填“>”，“<”或“=”）． 【答案】＜ 【解】二次函数2(1)y x =-的对称轴为：1x =∴当0x =和2x =时，对应的二次函数值y 相等，均等于a又∵当1≥x 时，y 随着x 的增大而增大∴3x =对应的二次函数值b 大于2x =对应的二次函数值a ∴b a >故答案为：＜．12．二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象如图所示，若点A (0，y 1)和B (﹣3，y 2)在此函数图象上，则y 1___y 2（填“＜““＞”或“＝”）．【答案】＞解：∵由图象可知：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，开口向上， ∴当x ＝﹣2时，y 取得最小值，∵点A （0，y 1）与对称轴直线x ＝﹣2相距2个单位长度，点B （﹣3，y 2）与对称轴直线x ＝﹣2相距1个单位长度， ∴点A 比点B 离对称轴要远， ∴y 1＞y 2， 故答案为：＞．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （2，1），B （4，1），将抛物线y ＝x 2沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位长度后，使其与线段AB （含端点）没有交点，那么m 的取值范围是 ___．【答案】01m <<或>5m 55m >或01m << 解：令y ＝1，则1＝x 2，解得： x ＝±1，当抛物线与端点A 没有交点时，021m <<-，即：01m <<， 当抛物线与端点B 没有交点时，()41m >--，即：>5m 5，故填：01m <<或>5m 5 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，开口向下的抛物线y ＝ax 2+bx +c 的一部分图象如图所示，它与x 轴交于A (1，0)，与y 轴交于点B (0，3)，可以判断该抛物线的开口方向为___，a 的取值范围是___．【答案】向下 ﹣3＜a ＜0解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，∴a ＜0，2b x a=-＜0， ∴b ＜0，∵抛物线与x 轴交于A （1，0），与y 轴交于点B （0，3）， ∴03a b c c ++=⎧⎨=⎩， ∴a +b ＝﹣3，∴b ＝﹣3﹣a ，∵b ＜0，∴﹣3﹣a ＜0，解得：a ＞﹣3，又∵a ＜0，∴﹣3＜a ＜0，故答案为：向下；﹣3＜a ＜0．三、解答题＝x 2+bx +c 的图象与y 轴交于点A (0，﹣3)，且经过点B (2，5)． （1）求二次函数的解析式；（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y ＝（x ﹣h ）2+k 的形式．解：（1）将A (0，﹣3)，B (2，5)代入y ＝x 2+bx +c ，得3425c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得23b c =⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为223y x x =+-；（2）223y x x =+-22113x x =++--2(1)4x =+-，∴二次函数的顶点式为2y (x 1)4=+-．16．对于抛物线243y x x =-+．（1）它与x 轴交点的坐标为 ，与y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中画出此抛物线的图象；（3）当712x -<<时，y 的取值范围是 ．解：（1）当0y =时，2430x x -+=，解得11x =，23x =，则抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；当0x =时，2433y x x =-+=，则抛物线与y 轴的交点坐标为(0,3)，∵2(2)1y x =--，∴抛物线的顶点坐标为(2,1)-；（2）抛物线图象如下：（3）由（2）的图中可得1x =与72x =分别在对称轴2x =两侧， ∵当1x =-时，2max 438y x x =-+=； 当72x =时，254314y x x =-+=>-， ∴min 1y =-，∴当712x -<<时，18y -<<． 故答案为：(1,0)，(3,0)；(0,3)；(2,1)-；18y -<<．17．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x ＜3时，直接写出y 的取值范围；（3）点P 为抛物线上一点，若S △PAB ＝10，求出此时点P 的坐标．【解】（1）将点A （﹣1，0），B （3，0）两点代入y ＝﹣x 2+bx +c∴01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++，2y x 2x 3=-++2(1)4x =--+，∴顶点坐标为(1,4)，（2）2y x 2x 3=-++的抛物线的对称轴为1x =，开口向下，如图，∴0＜x ＜3时，04y <≤，（3）设P （x ，y ），∴△PAB 的高为|y |，A （﹣1，0），B （3，0），4AB ∴=，14102ABP S y ∴=⨯⨯=△， 解得5y =±，当5y =时，2523x x =-++，此时方程无解，当5y =-时，-2523x x =-++，解得124,2x x ==-，(4,5)P ∴-或(2,5)P --．18．如图，己知一次函数3y kx =+的图象与x 轴交于()3,0A ，与y 轴交于点B ．（1）求一次函数的解析式和点B 的坐标；（2）若二次函数2---y x bx c =的图象经过点A ，B ，结合函数的图象，直接写出不等式2---3x bx c kx >+的解集．【解】（1）∵一次函数3y kx =+经过()3,0A ，∴将A 点代入，033k =+，得1k =-，∴一次函数为3y x =-+，∵一次函数为3y x =-+与y 轴交于点B ，令0x =，则有3y =，∴()0,3B（2）由题意可得，当03x <<时，23x bx c kx -->+-，所以不等式的解集为03x <<．19．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区ABCD ，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形ABCD 的边AB x =米，面积为S 平方米．（1）求活动区面积S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；（2）当AB 为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．解：（1）四边形ABCD 是矩形，AB x =米，(402)BC x ∴=-米，墙长为22米，040222x ∴<-，920x ∴<，2(402)240S x x x x ∴=-=-+，即2240(920)S x x x =-+<；（2）设矩形的面积为S222402(10)200S x x x =-+=--+，由（1）知，920x <，∴当10x =时，S 有最大值200，即当AB 为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．20．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表所示：（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当-3<x<1时，直接写出y 的取值范围．解：（1）由表格可设()()31y a x x =+-，将（0，-3）代入得33a -=-，解得：1a =，∴二次函数的表达式是223y x x =+-；(2)由表格可描出与x ，y 的交点，顶点，对称轴，如图所示：（3）由（2）中图像可得：当-3<x<1时，y的取值范围是-4≤y<0．。
人教版九年级上 册 第22章 《二次函数》培优练习卷
第22章《二次函数》培优练习卷时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）2．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠13．已知二次函数y＝（x+m﹣2）（x﹣m）+2，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，（）A．若x1+x2＞2，则y1＞y2B．若x1+x2＜2，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y24．抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2 5．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是（）A．3 B．6 C．9 D．186．已知二次函数y＝﹣x2，下列说法正确的是（）A．该抛物线的开口向上B．顶点坐标是（0，0）C．对称轴是x＝﹣D．当x＜0时，y随x的增大而减小7．在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＜1 C．x＜﹣1 D．x＞18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x的图象可能是（）A．B．C ．D ．9．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下面结论：①a ＞0；②c ＝0；③函数的最小值为﹣3；④当x ＞4时，y ＞0；⑤当x 1＜x 2＜2时，y 1＜y 2（y 1、y 2分别是x 1、x 2对应的函数值）．正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc ＞0； ②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，④一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1＝﹣，x 2＝；⑤若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＞﹣3且n ＜2，其中正确的结论有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二．填空题（每题4分，共20分）11．若二次函数y ＝x 2﹣6x +3a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为 ． 12．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB ＝8m ，然后用一根长为4m 的小竹竿CD 竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC ＝2m ，则门高OE 为 ．13．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝ ．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，若点A （1，y 1），B （3，y 2）是图象上的两点，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”、“＝”）．15．在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′）．给出如下定义：若y ′＝，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y ＝x +3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ．（2）若点P 在函数y ＝﹣x 2+16（﹣5≤x ≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是﹣16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是 ．三．解答题（每题10分，共50分）16．已知抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点（1，15）和（0，8），顶点为M ，抛物线L 关于原点O 对称的抛物线为L ′，点M 的对应点为点N ．（1）求抛物线L 的表达式及点M 的坐标；（2）点P 在抛物线L ′上，点Q 在抛物线L 上，且四边形PMQN 为周长最小的菱形，求点P 的坐标．17．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．（1）求抛物线L和L′的表达式；（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．19．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于20元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤10）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1440元，求a的值．20．水果店购进某种水果的成本为10元/千克，经市场调研，获得销售单价p（元/千克）与销售时间t（1≤t≤15，t为整数）（天）之间的部分数据如表：销售时间t（1≤t≤15，t为整数）（天） 1 4 5 8 12 销售单价p（元/千克）20.25 21 21.25 22 23 已知p与t之间的变化规律符合一次函数关系．（1）试求p关于t的函数表达式；（2）若该水果的日销量y（千克）与销售时间t（天）的关系满足一次函数y＝﹣2t+120（1≤t≤15，t为整数）．①求销售过程中最大日销售利润为多少？②在实际销售的前12天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（n＜3）给“精准扶贫”对象．现发现：在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．参考答案一．选择1．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），故选：D．2．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：D．3．解：如图，当x＝m或x＝﹣m+2时，y＝2，∴抛物线的对称轴x＝＝1，∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，观察图象可知，此时y1＞y2，故选：B．4．解：y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是y＝（x ﹣2）2﹣1．故选：B．5．解：令y＝0，即x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，∴A、B两点的坐标为（﹣3，0），（3，0），∴A、B两点的距离＝3﹣（﹣3）＝6．故选：B．6．解：A 、∵a ＝﹣＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意；B 、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意；C 、对称轴为直线x ＝0，故错误，不符合题意；D 、∵a ＝﹣＜0，∴开口向下，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故错误，不符合题意，故选：B ．7．解：∵二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+2，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大， 故选：B ．8．解：∵二次函数y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1， ∴开口向上，顶点为（1，﹣1），且经过原点． 故选：A ．9．解：∵该函数图象开口向上， ∴a ＞0，故①正确；∵该函数图象经过点（0，0）， ∴c ＝0，故②正确；∵该函数图象开口向上，有最低点（2，﹣3）， ∴函数的最小值为﹣3，故③正确；∵该函数的对称轴为直线x ＝2，经过点（0，0）， ∴该函数与x 轴的另一个交点为（4，0）， ∴当x ＞4时，y ＞0，故④正确；由函数图象可知，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，故当x 1＜x 2＜2时，y 1＞y 2（y 1、y 2分别是x 1、x 2对应的函数值），故⑤错误； 故选：C ．10．解：由函数图象可得，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则abc ＞0，故①正确； ﹣＝，得a ＝b ，∵x ＝﹣3时，y ＝9a ﹣3b +c ＝0， ∴6a +c ＝0，∴c ＝﹣6a ，∴3a +c ＝3a ﹣6a ＝﹣3a ＞0，故②正确；由图象可知，当x ＜﹣时，y 随x 的增大而增大，当﹣＜x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故③错误；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与X 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为（2，0）， ∴ax 2+bx +c ＝0的两个根为x 1＝﹣3，x 2＝2， ∴a +b+c （）2＝0的两个根为x 1＝﹣3，x 2＝2，∴一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1＝﹣，x 2＝，故④正确； ∵该函数与x 轴的两个交点为（﹣3，0），（2，0）， ∴该函数的解析式可以为y ＝a （x +3）（x ﹣2）， 当y ＝﹣3时，﹣3＝a （x +3）（x ﹣2）∴当y ＝﹣3对应的x 的值一个小于﹣3，一个大于2，∴若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2，故⑤错误； 故选：A ．二．填空题（共5小题）11．解：∵二次函数y ＝x 2﹣6x +3a 的图象与x 轴有且只有一个交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×3a ＝0， 解得：a ＝3， 故答案为：3．12．解：由题意得，抛物线过点A （﹣4，0）、B （4，0）、D （﹣2，4）， 设y ＝a （x +4）（x ﹣4），把D （﹣2，4）代入y ＝a （x +4）（x ﹣4）， 得4＝a （﹣2+4）（﹣2﹣4）， 解得a ＝﹣，∴y ＝﹣（x +4）（x ﹣4）．令x＝0得y＝，即（0，），∴OE＝∴门的高度约为m．故答案为：m．13．解：∵函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），且两点的纵坐标相等，∴A、B关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：直线x＝＝﹣3，故答案为：﹣314．解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，且开口向下，∴点A（1，y1），B（3，y2）都在对称轴右侧的抛物线上，∴y1＞y2．故答案为：＞．15．解：（1）根据“可控变点”的定义可知M的坐标（﹣1，2）；故答案为：（﹣1，2）；（2）依题意可得，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上（如图），∵﹣16≤y′≤16，∴﹣16＝﹣x2+16，∴x＝4，当x＝﹣5时，x2﹣16＝9，当y′＝9时，9＝﹣x2+16（x≥0），∴x＝，∵0的时候对应的﹣16取不到，要得到﹣16只能是4的时候，∴a的取值范围是a＝4．故答案为：a＝4，三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵y＝x2+bx+c经过点（1，15）和（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+8，∵抛物线L：y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴顶点M（﹣3，﹣1），（2）∵抛物线L′与抛物线L关于原点对称，抛物线L的顶点M（﹣3，﹣1），∴抛物线L′的顶点M′（3，1），解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8∵四边形PMQM′是菱形，∴PQ⊥MM′，∵直线MM′的解析式为y＝x，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x，由，解得或，∴P（1，﹣3）或（8．﹣24）．∵菱形PMQM′的周长最小，∴P（1，3）．17．解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，∴，解得：，∴抛物线L的解析式为：y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标为（，﹣），∵抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，∴抛物线L′的解析式为：y＝﹣（x+）2+；（2）∵点A关于原点O对应点为点A′，∴点A '（1，0），∴AA '＝2，∵以AA ′为边，且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ ＝AA '＝2，PQ ∥AA '，设点P （x ，x 2﹣x ﹣2），当点P 在点Q 的左侧，∴点Q 的横坐标为x +2，∴x 2﹣x ﹣2＝﹣（x +2+）2+，∴x ＝﹣1，∴点P （﹣1，0）（不合题意舍去）；当点P 在点Q 的右侧，∴点Q 的横坐标为x ﹣2，∴x 2﹣x ﹣2＝﹣（x ﹣2+）2+，∴x 1＝+1，x 2＝﹣+1， ∴点P 1（+1，），P 2（﹣+1，﹣）． 18．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+2x 与x 轴交于B 、C 两点，∴0＝x 2+2x ，∴x 1＝0，x 2＝﹣2，∴点B （﹣2，0），点C （0，0），∵y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，∴点A （﹣1，﹣1）；（2）设平移后抛物线的表达式为：y ＝（x +1﹣m ）2﹣1+n （m ＞1），∴点D （m ﹣1，﹣1+n ），∵y ＝（x +1﹣m ）2﹣1+n ＝x 2+2×（1﹣m ）x +m 2﹣2m +n ，∴点E （0，m 2﹣2m +n ），如图1，当点D 在点A 的下方时，过点A 作AM ⊥y 轴于N ，过点D 作DM ⊥AM 于M ，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，∴AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠EAN+∠DAM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠AEN＝∠DAM，∴△AEN≌△DAM（AAS），∴AN＝DM，EN＝AM，∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），∴n＝﹣1，m＝3，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；（2）如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，同理可证△EDN ≌△DAM ，∴DN ＝AM ，EN ＝DM ，∴m ﹣1＝﹣1+n +1，m 2﹣2m +n ﹣（﹣1+n ）＝m ﹣1+1，∴m ＝，n ＝，∴平移后抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣，综上所述：平移后抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣2）2﹣2或y ＝（x ﹣）2﹣． 19．解：（1）由题意得：y ＝250﹣10（x ﹣25）＝﹣10x +500（30≤x ≤40）．∴函数关系式及自变量的取值范围是y ＝﹣10x +500（30≤x ≤40）． （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为W 元，则：W ＝（﹣10x +500）（x ﹣20﹣a ）＝﹣10x 2+（700+10a ）x ﹣500a ﹣10000（30≤x ≤40）， ∴对称轴为x ＝35+， 又∵0＜a ≤10，∴35＜35+≤40，∵30≤x ≤40，∴x ＝35+时，W max ＝1440，∴﹣10+（700+10a ）（35+）﹣500a ﹣10000＝1440，整理得：a 2﹣60a +324＝0，解得a 1＝6，a 2＝54（舍）．∴a ＝6．20．解：（1）设p 与t 之间的变化的一次函数关系为：p ＝kt +b ，将点（4，21）、（8，22）代入上式得：，解得：，故p 关于t 的函数表达式为：p ＝t +20（1≤t ≤15，t 为整数）；（2）①设日销售利润为w ，由题意得：w ＝y （p ﹣10）＝﹣（t ﹣60）（t +40）（1≤t ≤15，t 为整数）， ∵＜0，故w 有最大值，当t ＝10时，w 的最大值为1250；故销售过程中最大日销售利润为1250元；②设捐赠后的日销售利润为m ，由题意得：m ＝w ﹣n ＝﹣（t ﹣60）（t +40）﹣n ＝﹣t 2+（10+2n ）t +1200﹣120n ， ∵在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，∴﹣≥11.5，∴n ≥．又∵n ＜3，∴n 的取值范围为≤n ＜3．1、最困难的事就是认识自己。
九年级数学上册 二次函数(培优篇)(Word版 含解析)
九年级数学上册 二次函数（培优篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）1．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 20x +（b+1）x 0+b ﹣2＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣b ＜0． 【解析】【分析】（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得ax 2+bx+b ﹣2＝0，∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根，∴x 1+x 2＝﹣b a， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122x x +）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a -）， ∵直线y ＝﹣x+2121a +是线段AB 的垂直平分线， ∴点（2b a -，2b a -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2b a -＝21221b a a ++∴﹣b ＝221aa ≤+a∴0＜﹣b ≤4，∴﹣4≤b ＜0，即b b ＜0． 【点睛】本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）51+或﹣1；（2）14；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞43或23≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝512或512（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m 51或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1，综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3．二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．（1）当m =1时，求顶点P 的坐标；（2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ．①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．【答案】（1）P （2，13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=- ∵0b m ->，∴2263m m a a -＞0， ∵m ＞0， ∴2263a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =-+，∴顶点P （2，3m ）， 当x=0时，y=m ，∴点A （0，m ），∴OA=m ；设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A （0，m ），点P （2，3m ）代入，得： 23m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AP 的解析式为y=3m -x+m ， 当y=0时，x=3，∴点B （3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB =90°，∴∠DAF=∠OAB ，在△ADF 和△ABO 中， DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABO （AAS ），∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；②由①同理可得：C （m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，∴当x =m 时，3y m ≤+，可得322363m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m -->，∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．4．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.【答案】（1）213222y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10【解析】【分析】 （1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0）， ∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=， 设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=， 解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=， 解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）； （3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 坐标为：(5,3)-， ∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a=++≠与坐标轴的交点为()30A-,，()10B,，()0,3C-，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式．（2）若E为第二象限内一点，且四边形ACBE为平行四边形，求直线CE的解析式．（3）P为抛物线上一动点，当PAB∆的面积是ABD∆的面积的3倍时，求点P的坐标．【答案】（1）223y x x=+-；（2）33y x=--；（3）点P的坐标为()5,12-或()3,12．【解析】【分析】（1）本题考查二次函数解析式的求法，可利用待定系数法，将点带入求解；（2）本题考查二次函数平行四边形存在性问题，可根据题干信息结合平行四边形性质确定动点位置，进一步利用待定系数法求解一次函数解析式；（3）本题考查二次函数与三角形面积问题，可先根据题干面积关系假设动点坐标，继而带入二次函数，列方程求解．【详解】（1）∵抛物线2y ax bx c=++与坐标轴的交点为()30A-,，()10B,，()0,3C-，∴9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x=+-．（2）如图，过点E作EH x⊥轴于点H，则由平行四边形的对称性可知1AH OB==，3EH OC==．∵3OA =，∴2OH =，∴点E 的坐标为()2,3-．∵点C 的坐标为()0,3-，∴设直线CE 的解析式为()30y kx k =-<将点()2,3E -代入，得233k --=，解得3k =-，∴直线CE 的解析式为33y x =--．（3）∵2223(1)4y x x x =+-=+-，∴抛物线的顶点为()1,4D --．∵PAB ∆的面积是ABD ∆的面积的3倍，∴设点P 为(),12t ．将点(),12P t 代入抛物线的解析式223y x x =+-中， 得22312t t +-=，解得3t =或5t =-，故点P 的坐标为()5,12-或()3,12．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，利用待定系数法求解解析式时还可以假设交点式，几何图形存在性问题求解往往需要利用其性质，假设动点坐标，列方程求解．6．如图，抛物线2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．点A 坐标的为3,0，点C 的坐标为()0,3．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作i 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作//PQ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN x ⊥轴于点N ．若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求AEM △的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若=22FG DQ ，求点F 的坐标．【答案】（Ⅰ）223y x x =--+；（Ⅱ）12；（Ⅲ）()4,5F --或()1,0【解析】【分析】（Ⅰ）将点A ，点C 坐标代入解析式可求解；（Ⅱ）设M （x ，0），P （x ，-x 2-2x+3），利用对称性可求点Q （-2-x ，-x 2-2x+3），可求MP=-x 2-2x+3，PQ=-2-x-x=-2-2x ，则可用x 表示矩形PMNQ 的周长，由二次函数的性质可求当矩形PMNQ 的周长最大时，点P 的坐标，即可求点E ，点M 的坐标，由三角形面积公式可求解；（Ⅲ）先求出点D 坐标，即可求DQ=2，可得FG=4，设F （m ，-m 2-2m+3），则G （m ，m+3），用含有m 的式子表示FG 的长度即可求解．【详解】解:（Ⅰ）依题意()()2330{3b c c --+⨯-+== 解得2{3b c =-= 所以223y x x =--+（Ⅱ）2223(1)4y x x x抛物线的对称轴是直线1x =-(,0)M x ，()2,23P x x x --+，其中31x -<<-∵P 、Q 关于直线1x =-对称设Q 的横坐标为a则()11a x --=--∴2a x =--∴()22,23Q x x x ----+∴223MP x x =--+，222PQ x x x =---=--∴周长()222222232822(2)10d x x x x x x =----+=--+=-++当2x =-时，d 取最大值，此时，(2,0)M -∴2(3)1AM =---=设直线AC 的解析式为y kx b =+则303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩∴设直线AC 的解析式为3yx 将2x =-代入3yx ，得1y = ∴(2,1)E -，∴1EM =∴11111222AEM S AM ME ∆=⋅=⨯⨯= （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ 的周长最大时，2x =-此时点()0,3Q ，与点C 重合，∴3OQ =∵2223(1)4y x x x∴()1,4D -过D 作DK y ⊥轴于K ，则1DK =，4OK =∴431OK OK OQ =-=-=∴DKQ 是等腰直角三角形，2DQ =∴224FG DQ ==设()2,23F m m m --+，则(,3)G m m + ()223233FG m m m m m =+---+=+∴234m m +=，解得14m =-，21m =当4m =-时，2235m m --+=-当1m =时，2230m m --+=．∴()4,5F --或()1,0【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等，利用参数表示线段的长度是本题的关键．7．如图，已知抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中点A的坐标是()1,0，点C的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线和直线AC的解析式．（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC∆的面积的最大值及此时点P的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点E，点M为直线AC上的任意一点，过点M作//MN DE交抛物线于点N，以D，E，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，117-+317-)或117--317+【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m，-m2-2m+3)，则Q(m，-m+1)，求出PQ的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M在线段AC上时，点N在点M上方；②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方；分别求出点M的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23bc=-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．设直线AC的解析式为y=kx+n．将点A，C坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)． （3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=12-+或t=12-． ∴此时点M）． 综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1（12-，32）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．8．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：43x =±抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．9．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+2的图象与x 轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）求直线AC 的函数解析式；（3）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）y=﹣23x 2﹣43x+2；（2）223y x =+；（3）存在，(35,22-) 【解析】【分析】（1）直接用待定系数法即可解答；（2）先确定C 点坐标，设直线AC 的函数解析式y=kx+b ，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO ，作PM⊥x 轴于M ，PN⊥y 轴于N ，然后求出△ACP 面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），∴093202a ba b=-+⎧⎨=++⎩解得2343ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴二次函数的关系解析式为y=﹣23x 2﹣43x+2；（2）∵当x=0时，y=2，∴C（0，2）设直线AC的解析式为y kx b=+，把A、C两点代入得0=32k bb-+⎧⎨=⎩解得232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的函数解析式为223y x=+；（3）存在．如图: 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N设点P坐标为（m，n）,则n=224233m m--+），PN=-m，AO=3当x=0时，y=22400233-⨯-⨯+=2，∴点C的坐标为（0,2），OC=2∵PAC PAO PCO ACOS S S S=+-212411322()3223322m m m⎛⎫=⨯⋅--++⨯⋅--⨯⨯⎪⎝⎭=23m m--∵a=-1<0∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值∴b 当m=()33212-=--⨯- ∴当m=32-时，S △PAC 有最大值n=222423435223332322m m ⎛⎫--+=-⨯-⨯+= ⎪⎝⎭ ∴当△ACP 的面积最大时，P 的坐标为（35,22-）． 【点睛】 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC 的面积是解答本题的关键．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-） 【解析】【分析】 （1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案； （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标.【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.。
人教版数学九年级上册第22章《二次函数》培优检测题(解析版)
•选择题1.2.3.4.5. 《二次函数》培优检测题二次函数y= x2- 2x的顶点坐标是（A.( 1,1)B. (1,- 1) 已知抛物线y = x2-( 2m- 1) x+2n i 大，则抛物线的顶点在（A.第一象限把函数y=的图象（A.B.C.D.C. (- 1,- 1)D. (- 1, 1) 的顶点为A,当-3 v x v 2时，y随x的增大而增B.第二象限C.第三象限D.第四象限向左平移向左平移向右平移向右平移：>2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数1个单位,1个单位,1个单位,1个单位,再向下平移再向上平移再向上平移再向下平移已知两点A (- 6, yj, B (2, y2)是该抛物线的顶点，若y o> y1> y2, A. x o v- 6 B. x o v- 2个单位个单位个单位个单位y「(x- 1) 2+1均在抛物线y= ax2+bx+c (a* 0)上，点C (X o, y°) 则X o的取值范围是（C.- 6 v x o v- 2D.- 2 v x o v 2y= x2- 2x - 3的图象与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,则下列说如图，二次函数B./ OC R 45°C. 当x > 3时,D. 当x > 0时, y随x的增大而减小图象上两点(x i, y i), (X2, y2)满足x i<X2< 1,则y i>y2；④当1<x< 3 时，x + (b- 1)x+c< 0.其中正确的有（）个.D. 1&二次函数y= ax2+bx+c （a* 0）,经过点（1.0 ）,对称轴I如图所示，若M= a+b- c, N=)个.D. 39. 已知二次函数y= ax2+bx+c （a*0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）10. 如图是二次函数 y = ax 2+bx +c 的部分图象，图象过点 A (- 3, 0),对称轴为直线x =-1, 给出四个结论：① b 2> 4ac ：②3a +c = 0③2a +b = 0④若点B(-§, y i ), C (-丄，y ?)2 2为函数图象上的两点，贝Uy i v y 2，其中正确结论是()二.填空题11. _______________________________________ 抛物线y = . (x +3) 2+4的对称轴是 . 12. ________________________________________________________________________ 二次函数y = x 2- 2mx"1在x < 1时y 随x 增大」而减小，则 m 的取值范围是 _________________ . 13.点P (2, 17)为二次函数y = ax 2+4ax +5图象上一点，其对称轴为 I ，则点P 关于I 的对称点的坐标为 _________ . 14. 若点A 「- 3，n )、B(mn )在二次函数y = a(x +2)2+h 的图象上，则m 的值为 _______ .15•利用计算机中“几何画板”软件面出的函数 y = x 2(x - 3)和y = x - 3的图象如图所示.根 据图象可知方程x 2 (x - 3) = x - 3的解的个数为3个，若m n 分别为方程x 2 (x - 3)A. abc v 0B. b 2- 4ac v 0C. a - b +c v 0D. 2a +b = 0C.①③D.②④16. 若二次函数y = ax1 2-bx+5(a^ 5)的图象与x轴交于(1,0)，则b- a+2014的值是 __________ .17. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件•则商场按___________ 元销售时可获得最大利润.18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-( x- h) 2+2 ( h表示常数，且h> 0)的顶点为M函数图象与x轴负半轴交于点A,将此抛物线绕坐标原点O旋转180°得到的抛物线顶点为N,函数图象与x轴正半轴交于点B.则四边形MANE的面积表示为(用含h的代数式表示)三.解答题19. 设二次函数y= m£+nx-( m- n) (m n是常数，m^0).1 请求出m的值；2 某同学根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该二次函数图象的一部分，请观察图象直接写出当y>0时，x的取值范围；(1 )判断该二次函数图象与x轴交点•:的个数，并说明理由；(2)若该二次函数图象经过点A(2, 3), B( 1, 4),求该二次函数图象与x轴的交点坐标.2(3)求出这个二次函数的解析式(也称为函数关系式)21 •某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y (件)与售价x(元)的相关信息如下:售价x (元) 60708090销售量y (件) 280260240220(1) _________________________________________________________ 试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是___________________________________ (填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”)，求这个函数关系式；(2) _______________ 当售价为______________________________________ 元时，当月的销售利润最大，最大利润是 ____ 元；(3) 若获利不得高于进价的80%那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？22. 如图，已知二次函数y = ax2+bx-4的图象M经过A (- 1, 0) , C( 2,- 6)两点，顶点为P.(1 )求该二次函数的解析式和顶点P的坐标(2)设图象M的对称轴为I，点D( m n) (- 1v R K 2)是图象M上一动点，当△ ACD的面积•「为时，点D关于I的对称点为E,能否在图象M和I上分别找到点P, Q使口得以点D E、P、Q为顶点的是四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，23. 如图，抛物线y=- x2+bx+c过等腰Rt△ OAB勺A, B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A (0, 3).(1 )求b, c的值.(2) P是AB上方抛物线上的一点，作PQLAB交“0B于点Q,连结AP,是否存在点P,使四边形APQOI平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2324. 如图①，抛物线y=- x2< x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交£于点C,连接BC(1)过点A且平行于BC的直线交于y轴于点D,求AD的解析式；(2)如图②，P是直线BC上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴I上有一动点M 在x轴上有一动点N,连接PM MN当厶PAD勺面积最大时，求PMMN^BN的最小值；5(3)如图③，Q为直线AD与抛物线的另一个交点，E为抛物线上一动点，F为抛物线的对称轴I上的一动点，是否存在E、F两点，使得以A、Q E、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.團①團②團③参考答案一•选择题2 21 解：••• y= X - 2x=( x- 1) - 1,•••二次函数y= X2+4X的顶点坐标是：(1, - 1),故选：B.2. 解：T y= x2-( 2m- 1) x+2n i- 1•••对称轴为x=-厶」丄=二^-，且抛物线开口向上，2 2•••当x>上」-时，y随x的增大而增大，2•••当-3 v x v 2时，y随x的增大而增大，•••亘一w- 3，解得me -',2 2•2nrl v o 站二b? = 4) -(2inT ) ' =( )2-> o'' - ” ，•抛物线的顶点在第二象限，故选：B.3. 解：抛物线y =- *2的顶点坐标是(0, 0),抛物线线y =-寺(x- 1) 2+1的顶点坐标是(1, 1),所以将顶点(0, 0)向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点(1, 1),即将函数y=- ,：x2“的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y =- ,： (x -1) 2+1的图象.故选：C.4. 解：•••点C( X。
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A．
B．
C．
D．
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（2014•江宁区二模）二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所 示，当x=a时，y＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（ ） A． y＜0 B． 0＜y＜m
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C． y＞m
D． y=m
是y随x
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根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a﹣1＜0，因为当x 的增大而减小，所以当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m． 解：当x=a时，y＜0， 则a的范围是x1＜a＜x2， 又对称轴是x= ， 所以a﹣1＜0， 当x 是y随x的增大而减小， 当x=0是函数值是m． 因而当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．
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（2014•鄂州）已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点 为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛 物线上，当y0≥0恒成立时， 的最小值为（ ）。 A． 1 B． 2
分析： 由0＜2a＜b得x0=﹣ ＜﹣1，作AA1⊥x轴于点A1， CD⊥y轴于点D，连接BC，过点A作AF∥BC，交抛物线于 点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），则AA1=yA， OA1=1，BD=yB﹣yC，CD=1，易证得 Rt△AFA1∽Rt△BCD，利用相似比得到 = ； 过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD，利用相似
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C． 4
D． 3
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比得
=
，再把点A（1，yA）、B（0，yB）、C
（﹣1，yC）、E（x1，yE）代入抛物线y=ax2+bx+c得 yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c，所以 =1﹣x1，整理得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去）， 由于y0≥0恒成立，则有x2≤x1＜﹣1，所以1﹣x2≥1﹣x1， 即1﹣x2≥3，于是得到≥3，所以的最小值为3．
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分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进 行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数． 解：分三种情况： 点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根； 点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0． 故方程x2+bx+c=1的解的个数是0或2． 故选：A．
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本节培优课到此结束，下节课的内容更加充实，你准备好接受挑战了 吗？哈哈，那咋们下次不见不“赛”（散）！ 课后由小编我再次给大家送出一份厚厚的礼还 是
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不理想啊？你寻的那几分是不是丢啦？小编可知道你们的缺点在哪哦：
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（2014•台湾）小智将如图两水平线L1、L2的其中一条当成x轴，且向 右为正向；两铅直线L3、L4的其中一条当成 y轴，且向上为正向，并 在此坐标平面上画出二次函数 y=ax2+2ax+1的图形．关于他选择x、y 轴的叙述，下列何者正确？（ ） A． L1为x轴，L3为y轴 B． L1为x轴，L4为y轴 C. L2为x轴，L3为y轴
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D． L2为x轴，L4为y轴
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Байду номын сангаас
（2014•淄博）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点 A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（ ） A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
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（2014•泰安）二次函数y=ax2 +bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y 的部分对应值如下表： X -1 0 1 5 3 3 y -1 3 下列结论正确的个数有：（ B ） （1）ac＜0； （2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
新人教版物理九年级尖子班成 绩高效班《二次函数》培优一
主讲：
培优安排：①选择题10题 ②选择题13题 ③填空题7题 ④解答题6题 ⑤解答题6题 ⑥《全品》重难点 ⑦《五三》重难点
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（2014•宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的 图象有可能是（ ） A． B． C． D．
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（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0． A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
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（2014 •盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间 的一个动点，且点M是抛物线y= x2+bx+c的顶点，则方程 x2+bx+c=1 的解的个数是（ ） A． 0或2 B． 0或1 C． 1或2 D． 0，1或2
化学：缺乏动手能力，不能大胆试验，导致实验题丢分
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（2014•宛城区一模）二次函数y=ax2+x+a2﹣1的图象可能是（
）
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A、
B、
C、
D、
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（ 2014 • 葫芦岛二模）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和函数 y=mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ） A． B． C． D．
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（2014•镇海区模拟）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y＞0时， ，则函数y=cx2+bx+a的图象可能是下图中的（ ）