九年级数学拓展训练二
2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练二(附答案详解)
2019初中数学因式分解的应用拓展创新题型专项训练二（附答案详解）1．观察下列一组等式：（a+1）（a2﹣a+1）=a3+1（a+2）（a2﹣2a+4）=a3+8（a+3）（a2﹣3a+9）=a3+27（1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．①（x﹣3）（x2+3x+9）=_____；②（2x+1）（）=8x3+1；③（）（x2+xy+y2）=x3﹣y3．（2）计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．2．阅读材料：若，求、的值.解：∵，∴，∴∴∴，根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知求、的值；（2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的最大边的值.3．材料阅读：若一个整数能表示成a2＋b2(a、b是正整数)的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2(a、b是正整数)，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美数”．(1)请你写出一个大于20小于30的“完美数”，并判断53是否为“完美数”；(2)试判断(x2＋9y2)·(4y2＋x2)(x、y是正整数)是否为“完美数”，并说明理由．4．阅读材料：把代数式x2﹣6x﹣7因式分解，可以如下分解：x2﹣6x﹣7=x2﹣6x+9﹣9﹣7=（x﹣3）2﹣16=（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）=（x+1）（x﹣7）（1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解；（2）拓展：把代数式x2+2xy﹣3y2因式分解：当________________时，代数式x2+2xy﹣3y2=0．5．阅读下列解答过程：若二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值.解：设另一个因式为x+a则x2-4x+m=(x+3)(x+a)=x2+ax+3x+3a=x2+(a+3)x+3a，∴∴∴另一个因式为x-7，m的值为-21.请依照以上方法解答下面问题：（1）已知二次三项式x2+3x-k有一个因式是x-5，求另一个因式及k的值；（2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式是x+3，求另一个因式及k的值.19．阅读下面题目的解题过程，并回答问题.若,求x2+y2的值.解：设，则原式可化为a2-8a+16=0，即(a-4)2=0，所以a=4.由(x2+y2)2=4，得x2+y2=±2.（1）错误的原因是___________________________________（2）本题正确的结论为_________________________________（3）设“”的方法叫做换元法，它能起到化繁为简的目的.请用“换元法”把(x+y)2-14(x+y)+49因式分解.6．阅读理解并完成下面问题：我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的因式分解：（是正整数），在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解．并规定：（其中）．例如：可以分解成，或，因为，所以是的最佳分解，所以．（）如果一个正整数是另外一个正整数的平方，我们称正整数是完全平方数，若是一个完全平方数，求的值；（）如果一个两位正整数，交换其个位数字与十位数字得到的新两位数减去原数所得的差为，那么我们称这个两位正整数为“吉祥数”，求符合条件的所有“吉祥数”；（）在（）中的所有“吉祥数”中，求的最小值．7．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．8．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积.(1)如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m>n.观察图形，可以发现代数式2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为 .(2)若图1中每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为50 cm2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.(3)将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一条直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b=10，ab=16，请求出阴影部分的面积.9．探索题：(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1，(x﹣1)(x2+x+1)＝x3﹣1，(x﹣1)(x3+x2+x+1)＝x4﹣1，(x﹣1)(x 4+x 3+x 2+x+1)＝x 5﹣1根据前面的规律，回答下列问题：(1)(x ﹣1)(x n +x n ﹣1+x n ﹣2+…+x 3+x 2+x+1)＝_____．(2)当x ＝3时，(3﹣1)(32015+32014+32013+…+33+32+3+1)＝_____． (3)求：22014+22013+22012+…+23+22+2+1的值．(请写出解题过程) (4)求22016+22015+22014+…+23+22+2+1的值的个位数字．(只写出答案)10．对任意一个正整数m ，如果m=n （n+1），其中n 是正整数，则称m 为“优数”，n 为m 的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点． （1）请写出一个“优数” ，它的最优拆分点是 ； （2）求证：若“优数”m 是5的倍数，则m 一定是10的倍数；（3）把“优数”p 的2倍与“优数”q 的3倍的差记为D （p ，q ），例如：20=4×5，6=2×3，则D （20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p 的最优拆分点为t+4，“优数”q 的最优拆分点为t ，当D （p ，q ）=76时，求t 的值并判断它是否为“优数”．11．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式265x x ++的最小值．()22222652333534x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-，∵()23x +≥0，∴当3x =-时， 265x x ++有最小值4-． 请根据上述方法，解答下列问题：（1）()222224122221x x x x x a b +-=+⋅⋅+--=++，则ab 的值是______；（2）求证：无论x 取何值，代数式27x ++的值都是正数；（3）若代数式227x kx ++的最小值为2，求k 的值．12．已知a+b=1，ab=-1.设（1）计算S 2；（2）请阅读下面计算S 3的过程： ()()33332222a b a b b a-b a a b-a b +=+++ =()()()323222a b a b a b b a a b +++-+ =()()()2222a b a a b b ab a b +++-+ =()()()22a b a b ab a b ++-+ ∵a+b=1，ab=-1，∴()()()()33223221111S a b a b a b ab a b S S =+=++-+=⨯--⨯=+=_______. 你读懂了吗？请你先填空完成（2）中S 3的计算结果；再计算S 4；（3）猜想并写出2n S -， 1n S -， n S 三者之间的数量关系（不要求证明，且n 是不小于2的自然数），根据得出的数量关系计算S 3.13．老师在黑板上写出三个算式:52-32=8×2,92-72=8×4,152-32=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式:112-52=8×12,152-72=8×22,……(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式; (2)用文字写出反映上述算式的规律; (3)证明这个规律的正确性. 答案：】1．（1）①x 3﹣27；②4x 2﹣2x+1；③x ﹣y ；（2）a 6﹣b 6．解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）=x3﹣27；②（2x+1）（4x2﹣2x+1）=8x3+1；③（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3﹣y3；故答案为：①x3﹣27；②4x2﹣2x+1；③x﹣y；（2）原式=[（a﹣b）（a2+ab+b2）][（a+b）（a2﹣ab+b2）]=（a3﹣b3）（a3+b3）=a6﹣b6．2．(1) x=−6，y=−3.(2)8，9.解：(1)∵∴∴∴x−2y=0，y+3=0，∴x=−6，y=−3.(2)∵，∴∴∴a−3=0，b−7=0，∴a=3，b=7，∵7−3<c<7+3，∴∴△ABC的最大边c的值可能是8、9.3．解：(1)25=4²+3²，∵53=49+4=7²+2²，∴53是“完美数”；(2)(x²+9y²)⋅(4y²+x²)是“完美数”，(x²+9y²)⋅(4y²+x²)=4x2y²+36++9x²y²=13x²y²+36+=(6y²+x²) ²+x²y²，∴(x²+9y²)⋅(4y²+x²)是“完美数”.4．(1) （x﹣1）（x﹣7）(2)（x+3y）（x﹣y）;﹣3或1解：（1）x2﹣8x+7=x2﹣8x+16﹣16+7=（x﹣4）2﹣32=（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）=（x﹣1）（x﹣7）（2）由x2+2xy﹣3y2=0得x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2=0，（x+y）2﹣4y2=0，（x+y+2y）（x+y﹣2y）=0，（x+3y）（x﹣y）=0，x+3y=0或x﹣y=0，所以，当=﹣3或1时，x2+2xy﹣3y2的值为0．5．（1）另一个因式为x+8，k的值为40.（2）另一个因式为2x-1，k的值为-3. 解：（1）设另一个因式为（x+a），∴x2+3x-k=（x-5）（x+a），则x2+3x-k=x2+（a-5）x-5a，∴，解得：a=8，k=40，∴另一个因式为x+8，k的值为40；（2）设另一个因式为（2x+a），∴2x2+5x+k =（x+3）（2x+a），则2x2+5x+k=2x2+（6+ a）x+3a，∴，解得：a=-1，k=-3，∴另一个因式为2x-1，k的值为-3.6．（1）x2+y2是非负数（2）x2+y2=2（3）(x+y-7)²解：（1）∵x2≥0，y2≥0，x2+y2≥0，∴由(x2+y2)2=4，得x2+y2=±2，这步发生错误，错误原因为x2+y2必须是非负数；（2）由（1）可得，本题正确的结论为：x2+y2=2；（3）设x＋y=m，∴原式=m2-14m+49=(m-7)2，∴原式=(x+y-7)².7．（1）1；（2）可取，，，，，，；（3）解：（）∵是完全平方数∴且∴（）设正整数，则，则．∵．．．∴可取，，，，，，．（）由（）得．∴，，，，，，．∵．∴的最小值为．8．（1）；（2）135、225、315和405．（1）证明：∵这个4位数的前两位为23，后两位为16，∴2316的关联数是23m16 将关联数与原数10倍相减得：m•102﹣9×16．∵m和9均为3的倍数，∴关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）（1）解：设原数为ab=10a+b，其关联数为amb=100a+10m+b．∵amb=9ab，∴100a+10m+b=9×（10a+b），∴5a+5m=4b，∴5（a+m）=4b．∵b、m为整数，a为正整数，且a、b、m均为一位数，∴b=5，a+m=4，∴a=1，m=3；a=2，m=2；a=3，m=1；a=4，b=0，∴满足条件的三位关联数为135、225、315和405．9．（1）(1)(m+2n)(2m+n)；（2）42cm;(3)26.解：(1)(m+2n)(2m+n)(2)由题意得：mn=12,2n 2+2m 2=50，∴n 2+m 2=25，∴(m+n)2= n 2+m 2+2mn=49,∵m>n ，∴m+n=7, ∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和=6(m+n)=42(cm) (3) 阴影部分的面积=0.5a 2+b 2-0.5b(a+b)=0.5(a 2+ b 2-ab)=0.5[(a+b)² -3ab]=0.5×(100-48)=26.10．（1）x n+1﹣1；（2）32016﹣1；（3）22015﹣1；（4）1. 解：（1）（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+x n ﹣2+…+x 3+x 2+x+1）=x n+1﹣1， 故答案为：x n+1﹣1；（2）当x=3时，（3﹣1）（32015+32014+32013+…+33+32+3+1）=32016﹣1， 故答案为：32016﹣1（3）解：原式=（2﹣1）（22014+22013+22012+…+23+22+2+1）=22015﹣1（4）22016+22015+22014+…+23+22+2+1=（2﹣1）（22016+22015+22014+…+23+22+2+1）=22017﹣1，21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环． 2017÷4=504…1， 所以22017的末尾数字是2，22017﹣1的末尾数字是1． 11．（1）56，7；（2）；（3）解：（1）∵56=7×（7+1），∴56是“优数”，它的最优拆分点是7．故答案为：56，7； （2）∵“优数”m 是5的倍数，∴n （n +1）是5的倍数，（n 是正整数），当n 为奇数时，n +1是偶数，∴n （n +1）是能被5整除的偶数，故n （n +1）是10的倍数，当n 为偶数时，∴n （n +1）是能被5整除的偶数，故n （n +1）是10的倍数，即：“优数”m 是5的倍数，则m 一定是10的倍数；（3）由题意知，p =（t +4）（t +5），q =t （t +1）．∵D （p ，q ）=2p ﹣3q =76，∴2（t +4）（t +5）﹣3t （t +1）=76，∴t =3或t =12，∴3不是“优数”，12是“优数”． 12．-10解：（1）()22222412222125x x x x x +-=+⋅⋅+--=+-， 所以a=2，b=-5，所以ab 的值是-10，故答案为：-10；（2）x 2x+7=x 2)2+7=（）2+1，∵（）2≥0，∴x 2x+7最小值为1，∴无论x 取何值，x 2x+7的值都是正数；（3）2x 2+kx+7=）2x×4k+（4k ）2-（4k ）2+7=4）2-18k 2+7，x+4）2≥0，2-18k 2+7的最小值是-18k 2+7， ∴-18k 2+7=2，∴k=±13．（1）S 2=3；（2）4，S 4=7； （3）S n-2+S n-1=S n ， S 8= 47. 解：（1）S 2＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝12－2×(－1)＝3； （2）S 3＝S 2＋1＝3＋1＝4， 故答案为：4；∵S 4＝a 4＋b 4＝( a 2＋b 2)2－2a 2b 2＝( a 2＋b 2)2－2(ab )2， 又∵a 2＋b 2═3，ab ＝－1， ∴S 4＝32－2×1＝7； （3）∵S 1＝1，S 2＝3，S 3＝4，S 4＝7， ∴S 1＋S 2＝S 3，S 2＋S 3＝S 4． 猜想：S n －2＋S n －1＝S n ． ∵S 3＝4，S 4＝7， ∴S 5＝S 3＋S 4＝4＋7＝11， ∴S 6＝S 4＋S 5＝7＋11＝18， ∴S 7＝S 5＋S 6＝11＋18＝29， ∴S 8＝S 6＋S 7＝18＋29＝47．13．（1）72-52=8×3;92-32=8×9；（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）证明解：(1)72-52=8×3;92-32=8×9等.(2)规律:任意两个奇数的平方差是8的倍数.(3)证明设m,n(m≠n)为整数,两个奇数可表示为2m+1和2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).∵当m,n同是奇数或偶数时,m-n一定为偶数,∴4(m-n)一定是8的倍数;∵当m,n一偶一奇时,则m+n+1一定为偶数,∴4(m+n+1)一定是8的倍数.∴任意两个奇数的平方差是8的倍数.。
北师大版数学九年级上册第2章【一元二次方程】拓展训练
【一元二次方程】拓展训练一．选择题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．2x2+x﹣2B．+x﹣1＝0C．2x2+y﹣2＝0D．x2+x﹣1＝02．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0的常数项是4，则m等于（）A．1B．2C．3D．43．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．24．表格对应值：x1234ax2+bx+c﹣0.5512.522判断关于x的方程ax2+bx+c＝2的一个解x的范围是（）A．0＜x＜1B．1＜x＜2C．2＜x＜3D．3＜x＜45．方程x2﹣16＝0的两个根分别是（）A．4，﹣4B．8，﹣8C．2，﹣8D．8，﹣26．若用配方法将一元二次方程x2﹣3x+＝0转化为a（x+m）2+n＝0的形式，则m+n的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．57．用公式法解方程3x2﹣2x﹣1＝0时，正确代入求根公式的是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝8．已知一个等腰三角形的腰长和底边长是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为（）A．10B．13C．17D．13或179．若（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣3＝0，则x2+y2的值是（）A．3B．﹣1C．3或1D．3或﹣110．关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x﹣2，下面说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有两个实数根D．没有实数根二．填空题11．若方程（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是．12．关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，则a满足的条件是．13．已知a是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则2a2﹣6a+8的值是．14．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（x+m+1）2+b＝0的解是．15．用配方法解一元二次方程x2+5x＝1时，应该在等式两边都加上．三．解答题16．已知方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，求m的值．17．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣m＝0的常数项为0，则m的值为多少．18．用配方法解下列方程（1）x2﹣2x﹣2＝0（2）a2﹣5a﹣2＝0（3）x2﹣x＝019．计算或化简：（1）﹣﹣|2﹣4|﹣（）﹣1+2cos60°；（2）已知a是方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，求代数式（a+3）2﹣4（a﹣2）的值．20．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若（x2+y2﹣3）2＝16，求x2+y2的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：∵（x2+y2﹣3）2＝16，①∴x2+y2﹣3＝±4，②∴x2+y2＝7，x2+y2＝﹣1．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．参考答案一．选择题1．解：A.2x2+x﹣2不属于方程，不合题意；B.+x﹣1＝0属于分式方程，不合题意；C.2x2+y﹣2＝0属于二元二次方程，不合题意；D．x2+x﹣1＝0属于一元二次方程，符合题意；故选：D．2．解：由题意得：2m＝4，解得：m＝2，故选：B．3．解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，∴a﹣2b＝﹣1，∴原式＝2（a﹣2b）＝﹣2，故选：A．4．解：∵x＝2时，y＝5，即ax2+bx+c＞0；x＝1时，y＝﹣0.5，即ax2+bx+c＜0，∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1，0）和（2，0）之间，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是1＜x＜2．故选：B．5．解：∵x2＝16，∴x＝±4．即x1＝4，x2＝﹣4．故选：A．6．解：∵x2﹣3x+＝0，∴（x2﹣6x+9）﹣2＝0，∴（x﹣3）2﹣2＝0，∵用配方法将一元二次方程x2﹣3x+＝0转化为a（x+m）2+n＝0的形式，∴m＝﹣3，n＝﹣2，∴m+n＝﹣5，故选：C．7．解：∵3x2﹣2x﹣1＝0，∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，∴x＝＝．故选：D．8．解：解方程x2﹣10x+21＝0，得x1＝7，x2＝3，当7为腰，3为底时，7﹣3＜7＜7+3，能构成等腰三角形，周长为7+7+3＝17；当3为腰，7为底时，3+3＜7，不能构成等腰三角形．故选：C．9．解：设x2+y2＝z，则原方程可变形为z2﹣2z﹣3＝0．解得z1＝3，z2＝﹣1．∵x2+y2不小于0，∴x2+y2＝3，故选：A．10．解：方程化为x2﹣3x+5＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×5＝﹣11＜0，∴方程无实数根．故选：D．二．填空题11．解：∵（a﹣3）x|a|﹣1+2x﹣8＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣3≠0，|a|﹣1＝2，解得，a＝﹣3，故答案为：﹣3．12．解：∵关于x的方程ax2﹣3x﹣6＝0是一元二次方程，∴a满足的条件是a≠0．故答案为：a≠0．13．解：∵a是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣4＝0，∴a2﹣3a＝4，∴2a2﹣6a+8＝2（a2﹣3a）+8＝2×4+8＝16．故答案是：16．14．解：把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，所以x+1＝﹣3，x+1＝2，所以x1＝﹣4，x2＝1．故答案为x1＝﹣4，x2＝1．15．解：∵x2+5x＝1∴x2+5x+＝1+，故答案为：三．解答题16．解：∵方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，∴m+4≠0且|m|﹣2＝2，解得：m＝4．17．解：根据题意得：m2﹣m＝0，且m﹣1≠0，解得：m＝0，即m的值为0．18．解：（1）方程整理得：x2﹣2x＝2，平方得：x2﹣2x+1＝3，即（x﹣1）2＝3，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2）方程整理得：a2﹣5a＝2，配方得：a2﹣5a+＝，即（a﹣）2＝，开方得：a﹣＝±，解得：a1＝，a2＝；（3）配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，解得：x1＝，x2＝0．19．解：（1）原式＝﹣3+2﹣4﹣3+2×＝﹣3+2﹣4﹣3+1＝﹣﹣6；（2）∵a是方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，∴a2+2a﹣1＝0，∴a2+2a＝1，∴（a+3）2﹣4（a﹣2）＝a2+6a+9﹣4a+8＝a2+2a+17＝1+17＝18．20．解；第③步出错了，正确步骤如下，∵（x2+y2﹣3）2＝16，∴x2+y2﹣3＝±4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝7．。
九年级数学上期末提分练案第2讲一元二次方程及其解法第2课时拓展训练配方法的六种常见应用习题北师大
5．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋ c－5 ＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．
【点拨】在一个等式中求多个未知数的值时，通常将等式 通过配方变成几个非负数的和等于零的形式，然后利用“ 若几个非负数的和等于零，则每个非负数都等于零”的性 质解决问题．
解：将原式配方，得a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋ c－5 ＝0， ∴(a－3)2＋(b－4)2＋ c－5 ＝0. 易得a＝3，b＝4，c＝5. ∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
应用上面的解题方法，解下列方程： (1)x2＋5x＋6＝0；
解：原方程变形为(x＋2)(x＋3)＝0， ∴x1＝－2，x2＝－3. (2)x2－7x＋10＝0； 原方程变形为(x－2)(x－5)＝0， ∴x1＝2，x2＝5.
(3)x2－5x－6＝0; 解：原方程变形为(x－6)(x＋1)＝0， ∴x1＝6，x2＝－1.
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You maLeabharlann e my day!(2)若代数式－x2＋4x＋m的最大值为2，求m的值； 解：－x2＋4x＋m＝－(x2－4x＋4)＋m＋4＝－(x－2)2＋m＋4， ∴m＋4＝2，∴m＝－2.
(3)若代数式x2＋(m＋2)x＋4m－7的最小值为0，求m的值．
【点拨】代数式ax2＋bx＋c(a≠0)配方成a(x＋m)2＋n后，若 a＞0，则当x＝－m时，代数式取得最小值n；若a＜0，则 当x＝－m时，代数式取得最大值n. 解：原式的最小值为0，故原式为完全平方式， ∴ m＋2 22＝4m－7. ∴m2－12m＋32＝0.∴m＝4或m＝8.
(4)x2＋3x－4＝0. 原方程变形为(x＋4)(x－1)＝0， ∴x1＝－4，x2＝1.
人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 拓展训练(含答案)
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程拓展训练一．选择题1．已知方程x2﹣（k+1）x+3k＝0的一个根是2，则k为（）A．﹣2 B．﹣3 C．1 D．32．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A． B． C． D．3．设x1，x2是方程x2+10x﹣2＝0的两个根，则+的值是（）A．8 B．5 C．4 D．104．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＞q C．p＝q D．不能确定6．已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1x2为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．37．已知方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＜B．m＞C．m≤D．m≥8．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入4250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（）A．1500 （1+2x）＝4250 B．1500 （1+x）2＝4250C．1500+1500x+1500x2＝4250 D．1500+1500 （1+x）+1500 （1+x）2＝42509．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2011x2，S2＝x12+2011x22，…，S n＝x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（）A．0 B．2011 C．2010 D．201210．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2﹣24x+140＝0，则三角形周长为（）A．24 B．24或28 C．28 D．以上都不对二．填空题11．关于x的方程x2﹣x+c＝0的一个根是3，则c＝．12．若关于x的方程（m﹣1）x﹣x＝1是一元二次方程，则m＝．13．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为．14．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程．15．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．三．解答题16．解一元二次方程：（1）2x2﹣3x﹣1＝0；（2）x2﹣3x+2＝0．17．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？18．汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：a2+b2＝6a+12b﹣45，求△ABC的周长．答案一．选择题1．A．2．C．3．B．4．A．5．A．6．C．7．A．8．D．9．A．10．A．二．填空题（共5小题）11．﹣6．12．﹣1．13．3．14．x2﹣6x+6＝0．15． k＞﹣1．三．解答题（共5小题）16．解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．（2）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1；17．解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，依题意，得：x（28﹣2x）＝80，整理，得：x1＝4，x2＝10．当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．答：这个花圃的长为10米，宽为8米．18．解：（1）设年平均增长率为x，依题意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：年平均增长率为25%．（2）100×（1+25%）＝125（万辆）．答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆．19．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，即a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．20．解：a2+b2＝6a+12b﹣45，a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，则a﹣3＝0，b﹣6＝0，解得，a＝3，b＝6，∵△ABC为等腰三角形，∴三边长分别为3、6、6，∴△ABC的周长为3+6+6＝15．。
上海市初中九年级数学拓展Ⅱ教学参考资料(含练习册答案)
初中数学拓展Ⅱ课本教学参考材料编者的话《数学课程标准》中安排的初中数学拓展II的内容，是定向拓展内容，提供希望在初中毕业后进入普通高中学习的学生修习。
根据《数学课程标准》编写的“初中数学拓展II”课本（试验本），用于九年级，现正在基地学校进行第一轮教学试验。
为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写人员编写了本册课本的教学参考材料。
这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。
由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。
本《材料》提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好基础。
希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝贵意见和修改建议。
初中数学教材编写组2007年8月第一部分课本概述初中数学拓展II课本（以下简称本册课本），含“一元二次方程与二次函数”、“直线与圆”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。
本册课本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。
初中数学内容的设计，整体上按照六、七年级和八、九年级进行分段，同时在九年级进行必要的分层处理。
在初中阶段，以全体学生必学的数学基本内容为课程内容的核心，着眼于所有学生未来发展的普遍需要，构建共同的数学基础；再以学生定向选学的数学拓展II内容，以及学生按兴趣爱好选学的数学拓展I内容和课外活动材料，适当扩充数学基础，形成具有差别性和层次性的数学，满足不同个性的学生的不同需要。
学生在六年级到九年级所学的数学基本内容中，包括“实数知识基础”、“初等代数知识基础”、“平面几何知识基础与向量代数初步知识”、“初等代数函数的基础与分析初步”、“概率与统计初步知识”。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》课后拓展训练
D. m≠－2，且 m≠2 . .
祝福您及家人
6. 把方程 x(x＋1)＝2 化为一般形式为
，二次项系数是
7. 已知 0 是关于 x 的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0 的根，则 m＝
8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为 8m2，求草坪的周长是
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21.1 一元二次方程
1. 下列方程是一元二次方程的是 A.
1 2 3 x 5x 0 3 2
（
） B. 3 x 2 4 x D. ） B. ax2＋bx＋c(a≠0) D. ax2＋bx＋c＝0(b≠0) ）
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2
参考答案 1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③ 未知数的最高次数是 2. ] 2. C 3. C[提示：二次项系数不为 0. ] 4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为 x2＋2ax＋7a－9＝0，其中一次项系数 为 2a. 故选 C. ] 5. D[提示：二次项系数 m2－4≠0. ] 6. x2＋x－2＝0 1[提示：∵x(x＋1)＝2，∴x2＋x－2＝0. ]
C. p≠0
D. p 为任意实数
4. 关于 x 的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a 的一次项系数为 （ ） A. 8a B. －8a C. 2a D. 7a－9 （ ）
新思维系列九年级数学2一元二次方程课后拓展训练
一元二次方程1.下列方程中，一定是关于ｘ的一元二次方程的是（） Ａ.230x mx n ++=Ｂ.220ax x += Ｃ.20xy a +=（ ａ为常数）Ｄ.220x y -= 2.方程236x =的解是Ａ.6Ｂ.-6Ｃ.6±Ｄ.0 3.已知x ＝2是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）.3 C 或34.一元二次方程的一般形式是A.20ax bx c ++=B.2(0)ax bx c a ++≠C.20(0)ax bx c a ++=≠D.20(0)ax bx c b ++=≠5.方程2870x -=的一次项系数是 .8 C6.若22(4)350m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A.2m ≠ B.2m ≠- C.2m ≠-或2m ≠ D. 2m ≠-且2m ≠7.已知x ＝1是方程230x kx -+=的一个根，则k=8.已知x ＝0是关于x 的方程22(3)90m x x m +-+-=的解，则m ＝9.若关于x 的方程210x px ++=的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p 的值是 .10.请你写出一个有一根为1的一元二次方程： .11.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）2(21)(32)9x x x -+=+；（2）22(1)2(1)65x x x +--=-；（3）2(21)(1)21x x x x +-=--；（4）22222x x x x +=+；（5）22610325x x x x +-=+-.12.当m 为何值时，关于x 的方程22(9)(3)20m x m x m -+-+=，（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？13.设33100a x x -+-=和34680b x x -++=都是一元二次方程，求20092008()a b +-的值.参考答案［提示：本题主要考查一元二次方程的概念.B 项中，a 的值不能确定；C ，D 两项中都含有两个未知数.］［提示：此题主要考查方程的解的含义.］［提示：将x =2代入原方程可得4+2m +2＝0，解得m ＝-3.］［提示：此题主要考查一元二次方程的一般形式.］［提示：此题主要考查一元二次方程的项与项的系数的定义.］［提示：240m -≠，即 2.m ≠±］［提示：将x ＝1代入230x kx -+=，得1-k +3＝0,解得k ＝4.］8.3±［提示：此题分两种情况考虑：当m +3=0时，方程为一元一次方程：当30m +≠时，方程为一元二次方程.］9.2±［提示：倒数等于它本身的数只有1±，代入求得2p =-或p=-2.］10.21x =［提示：本题答案不唯一.］11.解：（1）25110x x +-=，5，1，-11.（2）240,1,0,4x -=-.（3）20,1,1,0x x += （4）20,1,0,0.x =（5）2350,3,1, 5.x x --=-- 12.解：（1）当290,30m m ⎧-=⎨-≠⎩时，此方程为一元一次方程，即m =-3时此方程为一元一次方程.（2）当290m -≠时，此方程为一元二次方程，即3m ≠±时，此方程为一元二次方程.13.解：由题意得32,342,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2,a b =⎧⎨=⎩∴原式＝200920082008(1(1[(1(1(11+-=•-+=。
2019秋北师大版九年级数学上册拓展训练：2.1认识一元二次方程
1 认识一元二次方程基础闯关全练拓展训练1.下列方程,是关于x的一元二次方程的是( )A.3(x+1)2=2(x+1)B.+x+2=0C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=x2-1答案 A B中方程分母中含有未知数,不是整式方程;C中方程没有强调a≠0这一条件;D中方程化简后是关于x的一元一次方程,可以排除B、C、D,故选A.2.(2016江苏盐城期中)方程(x-1)(x+3)=12化为ax2+bx+c=0的形式后,a、b、c的值为( )A.1、2、-15B.1、-2、-15C.-1、-2、-15D.-1、2、-15答案 A ∵原方程化成一元二次方程的一般形式为x2+2x-15=0,∴a=1,b=2,c=-15.故选A.3.(2016河南南阳南召月考)已知关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0.(1)当k取何值时,它是一元一次方程?(2)当k取何值时,它是一元二次方程?解析(1)由关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0是一元一次方程,得或解得k=-1或k=0.当k=-1或k=0时,关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0是一元一次方程.(2)由关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0是一元二次方程,得解得k=1.当k=1时,关于x的方程(k+1)+(k-3)x-1=0是一元二次方程.4.将进价为40元的商品按50元售出时,能卖出500个.已知该商品每涨价1元,其销售量就减少10个,问为了赚得8000元利润,售价应定为多少?(只列出方程,不必求解)解析设每个商品涨价x元,根据题意得(50-40+x)(500-10x)=8000.5.若a是方程x2-2014x+1=0的一个根,求a2-2013a+的值.解析∵a是方程x2-2014x+1=0的一个根,∴a2-2014a+1=0,即a2+1=2014a,∴a2-2013a+=a2+(-2014a+a)+=a2-2014a+a+=-1+a+===2013.能力提升全练拓展训练1.已知2是关于x的方程x2-2a=0的一个根,则a的值是( )A.3B.C.2D.答案 A 因为2是关于x的方程x2-2a=0的一个根,所以×22-2a=0,解得a=3.2.方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程,则( )A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2答案 B 由一元二次方程的定义可得|m|=2且m+2≠0,解得m=2.3.若一元二次方程(2a-4)x2+(3a+6)x+a-8=0没有一次项,则a的值为.答案-2解析由题意,得2a-4≠0且3a+6=0,∴a=-2.4.一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1,且a、b、c满足b=+-3,则a= ,b= ,c= .答案2;-3;1解析∵b=+-3,∴a-2≥0,2-a≥0,解得a=2,∴b=0+0-3=-3.∵一元二次方程2x2-3x+c=0的一个根是1,代入得2×12-3×1+c=0,即2-3+c=0,∴c=1.三年模拟全练拓展训练1.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测,1,★☆☆)下列方程为一元二次方程的是( )A.x2-2xy+y2=0B.x(x+3)=x2-1C.x2-2x=3D.x+=0答案 C A中含有两个未知数,B化简后是一元一次方程,D中含有分式,∴只有C符合一元二次方程的定义,故选C.2.(2016辽宁营口大石桥水源二中期末,1,★☆☆)若方程(m-1)-2x-m=0是关于x的一元二次方程,则m的值为( )A.-1B.1C.5D.-1或1答案 A 由(m-1)-2x-m=0是关于x的一元二次方程,得m2+1=2,且m-1≠0,解得m=-1,故选A.3.(2016天津蓟县期中,15,★★☆)若a是关于x的方程x2+x-1=0的根,则a3+2a2的值是.答案1解析将x=a代入方程x2+x-1=0得a2+a-1=0,即a2+a=1,所以原式=a3+a2+a2=a(a2+a)+a2=a+a2=1.五年中考全练拓展训练1.(2017安徽中考,8,★★☆)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足( )A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16答案D第一次降价后的单价为25(1-x)元,第二次降价后的单价为25(1-x)2元,∴25(1-x)2=16,故选D.2.(2015辽宁丹东中考,15,★☆☆)若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根,那么a= .答案-3解析把x=1代入一元二次方程x2+2x+a=0,得12+2×1+a=0,解得a=-3.3.(2015甘肃兰州中考,16,★☆☆)若一元二次方程ax2-bx-2015=0有一根为x=-1,则a+b= .答案2015解析将x=-1代入方程得a+b-2015=0,则a+b=2015.核心素养全练拓展训练关于x的方程(m2-8m+19)x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程,甲、乙两同学有不同意见:甲同学认为:原方程中二次项系数与m有关,可能为零,所以不能确定这个方程就是一元二次方程;乙同学认为:原方程中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零,所以可以确定这个方程一定是一元二次方程.你认为甲、乙两同学的意见,谁正确?证明你的结论.解析乙同学正确.证明:m2-8m+19=m2-8m+16+3=(m-4)2+3≠0,故可以确定这个方程一定是一元二次方程,故乙同学正确.。
9914拓展训练 2020年人教版 九年级 上册 数学 专项综合全练附答案
拓展训练 2020年人教版 九年级 上册 数学 专项综合全练一选择题1．对于实数a,b 定义一种新运算“★”：当a ≥b 时，a ★b=a ²+ab;当a<b 时，以a ★b=b ²+ab;若2★m= 24，则实数m 等于( )A.10B.4C.4或-6D.4或-6或102.（2018内蒙古赤峰中考,10，★☆☆）2017 - 2018赛季中国男子篮球职业联赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为( ) A.21x(x-1)= 380B.x （x-1）=380C.21x(x+1)= 380D.x(x+1)=3803.(2016内蒙古包头中考,7,★☆☆)若关于x 的方程x ²+(m+1)x+21=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( ) A.25-B.21C.25-或21D.14.（2017浙江温州中考）我们知道方程x ²+2x-3=0的解是x ₁=1，x ₂= -3.现给出另一个方程(2x+3)²+2（2x+3）-3=0，它的解是( )A.x ₁=1,x ₂ =3B.x ₁=l,x ₂=-3C.x ₁= -1,x ₂ =3D.x ₁=-1,x ₂= -35.（2014山东枣庄中考，10，★★☆）x ₁，x ₂是一元二次方程3（x-1）²= 15的两个解，且x ₁<x ₂，下列说法正确的是( )A.x ₁小于-1，x ₂大于3B.x ₁小于-2，x ₂大于3C.x ₁，x ₂在-1和3之间D.x ，x ₂都小于36.（2017河北石家庄桥西一模）常数a ，b ，c 在数轴上的位置如图21-2-2-1所示，则关于x 的一元二次方程ax ²+bx+c=0根的情况是( )图21-2 - 2-1A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定7.（2015四川达州中考）方程(m-2)x ²-041m 3=+-x 有两个实数根，则m 的取值范围为( ) A.25m >B.25m ≤且m ≠2 C.m ≥3D.m ≤3且m ≠2二、填空题1.定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n= mn+n;当m<n 时，m ★n= mn-n ．若2x ★（x+2）=0，则x=____．2.对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算，a*b=a(a+b)，如：3*2=3x(3+2)= 15．若x*4=12，则x 的值是___________，3.（2018江西抚州南城期中）对于实数a ，b ，定义运算“*”：例如5*2，因为5>2，所以5*2=5²-5x2=15.若x ₁，x ₂是一元二次方程x ²-5x+6=0的两个根，则x ₁*x ₂=_____．4.（2018江苏无锡崇安期末）对于实数p 、q ，我们用符号min{p ，q}表示p 、q 两数中较小的数，如min{1，2}=1，若imn{（x-1）²，x ²} =1，则x=________________．5.（2018江苏宿迁沭阳月考）对于实数p 、q ，我们用符号max{p ，q}表示p ，q 两数中较大的数，如max{1，2}=2，若max{（x-1）²，x ² }=9，则x=____________．6.（2018四川南充中考,14,★女☆）若2n （n ≠0）是于x 的方程x ²-2mx+2n=0的根，则m-n 的值为___________．7.（2016山东菏泽中考,12,★★)已知m 是关于x 的方程x ²-2x-3=0的一个根，则2m ²-4m=____．8.（独家原创试题）WER2018赛季世界锦标赛于2018年12月15日在上海举行，北城中学赵超凡同学认识了多个外国的小朋友，且每两人都互送礼物，所有人共互送礼物30件，设共有x 人互送礼物，则列出方程为____________．化为一般形式为___________.三、按要求做题1.在实数范围内定义一种新运算，规定：a ★b=a ²-b ²，求方程（x+2）★5=0的解．2.若x ₁，x ₂是关于x 的方程x ²+bx+c=o 的两实根，且或（k 为整数），则称方程x ²+bx+c=0为“B 系二次方程”，如：x ²+2x-3=0,x ²+2x-15=0,x ²+3x-427=0,x²+x-415=0,x ²-2x-3 =0,x ²-2x-15=0等，都是“B 系二次方程”．请问：对于任意一个整数b ．是否存在实数c ．使得关于x 的方程x ²+bx+c=0是“B 系二次方程”，并说明理由．3.（2018福建漳州华安月考）阅读理解：为解方程( x ²-1) ²-5（x ²-1）+4 =0，我们可以将x ²-1视为一个整体，设x ²-1=y 。
2021年中考数学复习专题-【实际问题与二次函数】拓展训练
2021中考数学复习专题【实际问题与二次函数】拓展训练一．选择题1．已知关于x的二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，则m的取值范围是（）A．且m≠B．m＞﹣1C．﹣1＜m＜D．＜m＜12．某工厂2017年产品的产量为a吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝a（1﹣x）2B．y＝C．y＝a（1+x）2D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝4．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）26．已知函数y＝+x，下列结论中正确的是（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值7．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．3或5B．﹣1或1C．﹣1或5D．3或18．关于二次函数y＝x2+4x﹣7的最大（小）值，叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值B．当x＝2时，函数有最小值C．当x＝﹣1时，函数有最大值D．当x＝﹣2时，函数有最小值9．当a，b为实数，二次函数y＝a（x﹣1）2+b的最小值为﹣1时有（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a≥b10．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）二．填空题21．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t （单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．22．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．23．若P是抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的最高点，则点P的坐标是．24．铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是m，铅球落地时的水平距离是m．25．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．三．解答题31．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB．32．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）与它的飞行时间x（s）满足二次函数关系，y与x的几组对应值如下表所示：x（s）00.51 1.52…y（m）08.751518.7520…（Ⅰ）求y关于x的函数解析式（不要求写x的取值范围）；（Ⅱ）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．33．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？34．某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克的钱，现在可买33千克．（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求y与x之间的函数关系式；（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）35．如图，在直角三角形ABC中，直角边AC＝6cm，BC＝8cm，设P，Q分别为AB，BC上的动点，点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm，同时点Q自点B沿BC方向向点C 作匀速移动且速度为每秒1cm．当P点到达B点时，Q点就停止移动，设P，Q移动的时间t秒．（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围．（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：设y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m，∵二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，∴（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＞0且2m﹣1≠0，∴在函数y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m中，m+1＞0且△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m+1）•m＜0且2m﹣1≠0，解得，m＞且m≠，故选：A．2．解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝a（1+x）2，故选：C．3．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝．故选：A．4．解：方法一：根据题意，得y＝x2+6x（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．5．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．6．解：设＝t，则6﹣x＝t2，即x＝6﹣t2，y＝t+6﹣t2＝﹣（t﹣）2+，所以当t＝时，y有最大值．故选：A．7．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：C．8．解：原式可化为y＝x2+4x+4﹣11＝（x+2）2﹣11，由于二次项系数1＞0，故当x＝﹣2时，函数有最小值﹣11．故选：D．9．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b的最小值为﹣1，∴a＞0，b＝﹣1，∴a＞b．故选：C．10．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．故选：A．二．填空题21．解：∵h＝30t﹣5t2，∴当h＝0时，t＝0或t＝6，∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，故答案为：6．22．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．故应填：y＝x2+6x．23．解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的最高点P的坐标为（2，1）．故答案为（2，1）．24．解：∵y＝﹣x2+x+，∴y＝﹣（x﹣4）2+3因为﹣＜0所以当x＝4时，y有最大值为3．所以铅球推出后最大高度是3m．令y＝0，即0＝﹣（x﹣4）2+3解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）所以铅球落地时的水平距离是10m．故答案为3、10．25．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．三．解答题31．解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得a＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9解得x1＝3，x2＝﹣1所以B（3，0）．答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．32．解：（Ⅰ）∵x＝0时，y＝0，∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx（a≠0），∵x＝1时，y＝15；x＝2时，y＝20，∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x2+20x；（Ⅱ）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．33．解：（1）设AB＝x，则BC＝50﹣2x，长方形面积为y 得：y＝x（50﹣2x）＝﹣2x2+50x，＝﹣2（x﹣）2+，＝，当x＝时，y最大值BC＝50﹣2×＝25，答：当AB＝米，BC＝25米时，面积最大是平方米；（2）若墙体长度是20米，则BC≤20，AB≥15，在函数y＝﹣2x2+50x中，a＝﹣2＜0，当x＞时，y随x的增大而减小，＝300，所以当x＝15时，y最大值答：面积最大为300平方米．34．解：（1）设现在实际购进这种牛肉每千克a元，则原来购进这种牛肉每千克（a+2）元，由题意，得32（a+2）＝33a，解得a＝64．答：现在实际购进这种牛肉每千克64元；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（70，140），（80，40）代入，得，解得，故y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+840；（3）设这种牛肉的销售单价为x元时，所获利润为w元，则w＝（x﹣64）y＝（x﹣64）（﹣10x+840）＝﹣10x2+1480x﹣53760＝﹣10（x﹣74）2+1000，所以当x＝74时，w有最大值1000．答：将这种牛肉的销售单价定为74元时，能获得最大利润，最大利润是1000元．35．解：（1）∵Rt△ABC中直角边AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴BP＝10﹣2t，BQ＝t．如图1，过点P作PH⊥BC，垂足为H，∵AC⊥BC，∴△BPH∽△ABC，∴＝，即＝，解得PH＝6﹣t，∴S＝BQ•PH＝t•（6﹣t）＝﹣t2+3t（0＜t≤5）；（2）①当BP＝BQ时，10﹣2t＝t，解得t＝秒；②如图2，当BQ＝PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，∵BQ＝PQ，QE⊥BD，∴BE＝BP＝（10﹣2t）＝5﹣t，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，∴△BQE∽△BAC，∴＝，即＝，解得t＝秒；③如图3，当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，∵BP＝PQ，PF⊥BC，∴BF＝BQ＝t．∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，∴△BPF∽△BAC，∴＝，即＝，解得t＝秒．∴当t＝秒，t＝秒，t＝秒时，均使△PBQ为等腰三角形．。
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九年级数学第二周拓展训练
一、选择题：
1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是-------------------------------------------------( )
A ．（x+1）2=2（x+1） B.
02-x 1x
12=+ C .ax 2+bx+c=0 D. x 2+2x+c= x 2-1 2.用配方法解方程x 2－4x+3=0的过程中，正确的是-----------------------------------------（ ） A ．(x+2)2=7 B. (x-2)2=7 C ．(x+2)2=1 D.(x －2)2
=1 3.一元二次方程0322=--x x 的两个根分别为-------------------------------------------( )
3,1.21==x x A 3,1.21-==x x B 3,1.21=-=x x C 3,1.21-=-=x x D
4.三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，•则这个三角形的周长是---------（
） A ．8 B ．8或10 C ．10 D ．8和10
5.一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是---------------( )
2.>k A 2.<k B 且1=/k 2.<k C 2.>k D 且1=/k
6.已知0)2m 2()x 1(m x 2=----两根之和等于两根之积，则m 的值为---------------------（
） A.1 B.—1 C.2 D.—2
7.已知α，β是方程x 2+2006x+1=0的两个根，则（α2+2008α+1）（β2+2008β+1）的值为-------（
） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8.若分式226
32x x x x ---+的值为0，则x 的值为-----------------------------------------------（
） A ．3或－2 B ．3 C ．－2 D ．－3或2
9.已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2x 2-8x+7=0的两根，则此三角形的斜边长为-----（
） A ．3 B.6 C. 9 D.12
10.设α、β是方程02015x x 2=-+的两个实数根，则βαα++22的值为（ ）
A ．2012 B.2013 C.2014 D.2015
二、填空题：
11.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有__ _____．
①2y 2+y －1=0；②x （2x －1）=2x 2；③21
x －2x=1；④ax 2+bx+c=0；⑤12x 2
=0．
12．方程0322=--x x 的根是 ．
13．若关于x 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．
14．已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+3）=8，则x 2+y 2的值为 ．
15．一元二次方程03x x 2=--两根的倒数和等于__________.
16．已知方程0k x x 2=+-的两根之比为2，则k 的值为_______.
17．方程02x 5x 2=+-与方程06x 2x 2=++的所有实数根的和为___________.
18．关于x 的方程01x 2ax 2=++的两个实数根同号，则a 的取值范围是__________.
三、解答题
19.用适当的方法解下列方程：
（1）2（x+2）2－8=0；（2）x（x－3）=x；（3）5x2=4x－1；（4）x2+3x－10=0．
20.阅读下面的材料，回答问题：
解方程x 4－5x 2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x 2=y ，那么x 4=y 2，于是原方程可变为y 2－5y+4=0 ①，解得y 1=1，y 2=4．
当y=1时，x 2=1，∴x=±1；
当y=4时，x 2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x 1=1，x 2=－1，x 3=2，x 4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到______的目的，•体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x 2+x ）2－4（x 2+x ）－12=0．
21.阅读下面的例题： 解方程：02-x -x 2
=
解：当x ≥0时，原方程化为x 2-x-2=0，解得：x 1=2，x 2=-1(不合题意，舍去)；
当x ＜0时，原方程化为x 2+ x-2=0，解得：x 1=1，(不合题意，舍去)x 2=-2；
∴原方程的根是x 1=2，x 2=-2.
请参照例题解方程：01-1-x -x 2=
22.已知关于x 的一元二次方程.012=-+kx x
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为1x ，2x ，且满足,2121x x x x ⋅=+求k 的值
23.若关于x 的方程04
1)1(22=+--a x a x 有两个不相等的实数根， 试化简代数式.441912422a a a a +--+-。