法向啮合刚度和综合啮合刚度
齿轮啮合刚度计算的一般表达式
齿轮啮合刚度计算的一般表达式《齿轮啮合刚度计算的一般表达式：探索齿轮的“弹性密码”》嗨，小伙伴们！今天咱们要一起去探索一个超酷又有点神秘的东西——齿轮啮合刚度计算的一般表达式。
你可能会想，这听起来好复杂呀，就像一团乱麻似的。
可是呀，只要咱们一步一步来，就会发现它其实就像解开一个有趣的谜题呢。
我先给你们讲个故事吧。
我有个叔叔，他在一个大工厂里工作，那里有好多好多的机器。
有一次我去他的工厂玩，看到了那些巨大的齿轮。
那些齿轮一个咬着一个，就像一群小伙伴手拉手一样，不停地转动着，带动着整个机器工作。
叔叔告诉我，这些齿轮的工作可不光是简单地互相咬着转就行，这里面还有个很重要的东西叫啮合刚度呢。
那什么是啮合刚度呢？我就问叔叔啦。
叔叔笑着说：“哎呀，小宝贝，这啮合刚度呀，就像是齿轮的骨架强度一样。
你想啊，如果一个人的骨架不结实，他能站得稳、跑得快吗？齿轮也是这样，啮合刚度不够的话，齿轮在工作的时候就会出问题，就像一个人骨头软，走路都会摇摇晃晃的。
”我听了似懂非懂的，就特别好奇这个啮合刚度是怎么计算的。
后来呀，我就开始自己找资料学习。
我发现齿轮啮合刚度计算的一般表达式就像是一个魔法公式。
这个表达式里面包含了好多不同的部分，就像一个大拼图，每个小部分都很重要。
咱们先来说说齿轮的一些基本参数吧。
比如说齿轮的模数，这就像是齿轮的大小尺码。
模数越大，齿轮就越大，也越厚实，就像大鞋子适合大脚一样。
还有齿轮的齿数，齿数就像是齿轮的牙齿数量。
想象一下，如果一个齿轮的牙齿很少，它咬东西的时候肯定没有牙齿多的齿轮咬得紧。
这就跟我们人用牙咬东西一样，牙齿多的话咬合力就大些。
在这个一般表达式里，还有一个很重要的东西就是齿轮的弹性模量。
这弹性模量呀，就像齿轮的皮肤弹性。
如果一个东西的弹性模量很大，那就意味着它很不容易变形，就像橡胶和钢铁相比，钢铁的弹性模量就大得多，很难被轻易弯曲。
齿轮的弹性模量对啮合刚度的影响可大了。
如果弹性模量小，齿轮在啮合的时候就容易变形，就像一个软乎乎的面团，根本没法好好工作。
《机械基础》(教程全集)8章
模数
压力角 螺旋角 齿顶高系数 顶隙系数 全齿高
α β
齿顶高
齿根高 分度圆直径 齿顶圆直径 齿根圆直径 中心距 a d
==
=(+)=1．25 d=z=z/cosβ =d+2=(z/cosβ+2) =d-2=(z/cosβ-2．5) a=(+)/2=(+)/2cosβ
8.5.3斜齿圆柱齿轮传动的正确啮合条件 一对外啮合斜齿轮的正确啮合条件是：两轮的法向模数和法向压 力角必须分别相等，且两轮的螺旋角必须大小相等、旋向相反 (内啮合时旋向相同)，即式中，“-”表示旋向相反。
轮即将脱离接触，故B1为轮齿的终止啮合点。
根据分析，齿轮连续传动的条件是：两齿轮的实际啮合线B1B2应大于 或等于齿轮的基圆齿距pb。通常把B1B2与pb的比值ε 称为重合度，只 要重合度ε ≥1齿轮就可连续传动。 齿轮传动的重合度越大，则同时参与啮合的轮齿越多，不仅传动平稳 性好，每对轮齿所分担的载荷亦小，相对地提高了齿轮的承载能力。
8.5.4斜齿圆柱齿轮传动的重合度 图8-11所示为斜齿圆柱齿轮传动啮合线图。由于螺旋齿面的原因，从 啮合始点A到啮合终点A′比直齿轮传动的B至B′要长，f=btanβ ，b为 齿宽。分析表明，斜齿圆柱齿轮传动的重合度可表达为 ε ＝ε α ＋ε β (8-14) 式中，ε α 为端面重合度，其大小与同齿数的直齿圆柱齿轮传动相同； ε β 为纵向重合度，ε β =btanβ /pt。总重合度ε 随着β 的增大而增 加。 总重合度β 可用公式计算或查线图求得(详见《机械零件设计手册》)。
由于斜齿轮的螺旋形轮齿使一对轮齿的啮合过程延长、重合度增大，因此斜齿轮较
直齿圆柱齿轮传动平稳、承载能力大。但斜齿轮在传动中有轴向力Fa，为了克服这一 缺点，可采用人字齿轮，使两边产生的轴向力Fa相互抵消。人字齿轮制造比较困难， 精度较低，主要用于重型机械。
修形对齿轮系统动力学特性的影响规律_陈思雨
图3
Δ=21 μm 时，修形长度对刚度及传递误差的影响
图2
有限单元模型
基于有限单元方法的齿轮综合啮合刚度可以 表示为 km 1.2 Tg 1 Tg Rg TE Rg R p p Rg g NLTE (5)
修形对刚度及静态传递误差的影响 表2 所示的齿轮的设计载荷为 473.8 N・m（小
+ cδ + kδ = F mδ
(1)
式中
m ——结构质量矩阵； c ——结构阻尼矩阵；
k ——结构刚度矩阵；
F ——外力； δ ——单元节点的位移。
本文基于准静态接触下的齿轮综合啮合刚度 有限元计算方法，忽略惯性力和阻尼力的影响，式 (1)改写为
kδ = F
表2
代号 A1 B1 C1 B2 C2 B3 C3
60
[4,17]
机
械
工
程
学
报
第 50 卷第 13 期期
WAGAJ 等 优化了齿轮的传递误差。 试验研究了 斜齿轮的修形对齿轮的承载寿命的影响规律。 国内， [18-22] 许多学者对齿轮的几何齿面修形原理 、修形导 [23-29] 致的啮合冲击 等做了非常深入的研究。 通过修形来优化齿轮副的平稳性，并降低动载 荷和噪声是一个复杂的系统性的工作。修形设计时 要考虑实际载荷历程、 齿轮安装方式、 转速等因素。 而准确确定一对轮齿的修形量也将是一个非常困难 的问题。一个齿轮的修形量往往根据齿轮的载荷设 定，当改变转速、载荷后，修形有可能导致系统动 [10] 载荷增大、系统振动加剧 。因此，至今修形设计 没有形成一个普适性标准。另外，现有的修形设计 中，主要是以齿轮传动系统的静态传递误差、准静 态范畴内的冲击速度为目标函数，与实际动态行为 有一定的差距。为此，在计算修形量时，应该尽量 使齿轮在比较大的载荷与速度范围内均有效。这也 是本文研究的出发点，希望研究和认识不同的修形 量对齿轮副的动态行为的影响规律，为齿轮的修形 设计提供一种新的思路。 从研究文献分析可知，将轮齿修形量与静态传 递误差、轮齿传动侧隙、内外参数激励、时变刚度 等非线性因素进行耦合，全面分析齿轮修形与传动 非线性性能关联规律的文献很少。修形量是一个非 常小的量。而现有的动力学分析时，对时变啮合刚 度及静态误差激励均作了近似，并不能真实地将修 形的影响引入到动力学分析模型中。 基于以上问题， 下文在建立修形齿轮精确 3D 模型的基础上，研究 工作主要是： ① 基于有限单元方法的齿轮啮合刚度 及静态传递误差的计算； ② 考虑实际啮合刚度和静 态传递误差的齿轮动力学特性分析。
重合度对人字齿轮传动系统振动特性的影响分析
Journal of Mechanical Strength2023,45(2):284-289DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.02.005∗20210903收到初稿,20211012收到修改稿㊂国家自然科学基金项目(52005402)资助㊂∗∗尹逊民,男,1968年生,山东东阿人,汉族,中国船舶重工集团公司第七ʻ三研究所研究员,硕士研究生,主要研究方向为机械传动与振动㊂重合度对人字齿轮传动系统振动特性的影响分析∗ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF CONTACT RATIO ON VIBRATION CHARACTERISTICS OF HERRINGBONE GEAR TRANSMISSION SYSTEM尹逊民∗∗1㊀贾海涛1㊀张润博1㊀张西金2(1.中国船舶重工集团公司第七ʻ三研究所,哈尔滨150078)(2.西北工业大学机电学院,西安710072)YIN XunMin 1㊀JIA HaiTao 1㊀ZHANG RunBo 1㊀ZHANG XiJin 2(1.The 703Research Institute of CSIC ,Harbin 150078,China )(2.School of Mechanical Engineering ,Northwestern Polytechnical University ,Xiᶄan 710072,China )摘要㊀重合度是齿轮传动设计中一个重要的性能指标,直接影响人字齿轮承载能力和传动平稳性,在齿轮设计中必须满足重合度要求㊂首先说明了人字齿轮系统刚度激励和啮合冲击激励,采用集中质量法建立了一对人字齿轮传动系统弯-扭-轴耦合模型㊂然后分析了重合度对时变啮合刚度和啮合冲击力的影响㊂最后研究了重合度对人字齿轮副动态啮合特性的影响㊂得出结论:重合度由2.72增至3.08时,时变啮合刚度峰峰值由4.6533ˑ108N /mm 减至3.2299ˑ108N /mm,最大啮合冲击力由2.23ˑ103N 减至1.92ˑ103N,齿轮副动态啮合力曲线变得平滑,动载系数也由1.23减至1.18,从而得出重合度增大,能达到系统减振降噪和传动平稳的作用㊂关键词㊀重合度㊀人字齿轮传动系统㊀集中质量法㊀振动特性中图分类号㊀TH11Abstract ㊀The contact ratio is an important performance index in the design of gear transmission,and it directly affects theload-bearing capacity and transmission stability of herringbone gears.The requirements of contact ratio must be met when designing gear pairs.Firstly,the stiffness excitation and meshing impact excitation of herringbone gear system are introduced,and a bending-torsion-axis coupling model of a pair of herringbone gear transmission system is established by means of lumped-mass method.Then,the influence of contact ratio on time-varying meshing stiffness and meshing impact force is analyzed.Finally,the influence of contact ratio on the dynamic meshing performance of herringbone gear pairs is studied.The results show that when the contact ratio increases from 2.72to 3.08,the peak-to-peak value of time-varying meshing stiffness is reduced from 4.6533ˑ108N /mm to 3.2299ˑ108N /mm,and the maximum meshing impact force is reduced from 2.23ˑ103N to 1.92ˑ103N,and dynamic meshing force curve of the gear pair becomes smooth,and the dynamic load factor is also reduced from 1.23to 1.18.It is concluded that the increase of contact ratio can achieve the effect of system vibration reduction,noise reduction andtransmission stability.Key words㊀Contact ratio ;Herringbone gear transmission system ;Lumped-mass method ;Vibration characteristics Corresponding author :YIN XunMin ,E-mail :2519335679@ ,Tel :+86-451-87940178,Fax :+86-451-87940178The project supported by the National Natural Science Foundation of China (No.52005402).Manuscript received 20210903,in revised form 20211012.0㊀引言㊀㊀人字齿轮传动系统具有承载能力强㊁工作平稳性好和自平衡轴向力等特点,广泛应用于航天㊁船舶和建筑机械结构等领域,其振动特性直接影响机械设备的性能和效率㊂国内外学者[1-3]依据振动理论对齿轮系统的振动特性进行了大量研究㊂WU S P [4]研究了齿顶高系数等对高重合度齿轮设计的影响,以几何尺寸和动态载荷及应力最小来评价和确定最优齿轮㊂石照耀等[5]基于齿轮副整体误差,综合考虑啮合过程中时变啮合刚度㊁误差激励等因素建立了一种直齿轮动力学模型并分析其动态特性㊂黄康等[6]考虑齿轮重合度的影响因素,提出了齿轮啮合效率公式㊂唐进元等[7]提出了基于有限元方法的受载齿轮啮合刚度计㊀第45卷第2期尹逊民等:重合度对人字齿轮传动系统振动特性的影响分析285㊀㊀算方法,确定了齿轮啮合刚度及重合度与齿轮所受载荷之间的映射关系㊂赵宁等[8]对人字齿轮传动进行了高重合度设计分析,对其进行了动态性能优化设计㊂董皓等[9]提出了一种精确计算人字齿轮副的时变啮合刚度激励的方法,采用数值解法,得到齿侧间隙影响下的系统在无冲击㊁单边冲击和双边冲击状态下的动载系数和振幅㊂丁仁亮等[10]考虑时变啮合刚度㊁齿侧间隙,并把齿廓修形作为一种时变齿侧间隙计入,建立了功率分流齿轮传动的弯-扭-轴耦合动力学模型和相应的非线性动力学方程㊂由于人字齿轮传动理论上轴向力可以抵消,对轴承受力有利,因此可以通过采用大螺旋角设计,以提高啮合重合度,实现减振目标㊂但目前尚较少从重合度角度对齿轮动力学进行研究,其难点在于影响重合度不确定性因素很多,无法从单因素角度研究重合度影响特性㊂本文在设计分析人字齿轮重合度前提下,考虑刚度激励和啮合冲击激励等因素,针对一对主动轮轴向浮动安装特点,应用集中质量法建立人字齿轮传动系统耦合动力学模型,通过改变螺旋角改变重合度对其动态特性进行研究㊂1㊀人字齿轮传动动力学激励㊀㊀齿轮传动系统是一种参数弹性激励机械系统,其振动和噪声来源于齿轮传动系统工作时受各种激励产生的振动,其动力学行为对齿轮机械装置整体性能有重要影响㊂本文轮齿齿面采用标准齿面,不存在几何传动误差,所以不考虑误差激励㊂1.1㊀刚度激励㊀㊀刚度激励本质就是齿轮啮合过程中啮合综合刚度时变性引起的动态激励㊂斜齿轮传动啮合线是 点-线-点 的连续变化过程,啮合过程的轮齿交替不是突变的,但轮齿的综合啮合刚度及轮齿载荷的周期性变化而引起啮合过程的动态刚度激励㊂人字齿轮传动亦如此㊂本文采用文献[11]基于承载接触分析(Loaded Tooth Contact Analysis,LTCA)方法获得刚度激励,建立人字齿轮承载接触模型,计算得到一个啮合周期内不同位置的接触力和接触变形,得到该位置的啮合刚度,然后进行数值拟合及变换变成周期函数形式㊂1.2㊀啮合冲击激励㊀㊀在齿轮啮合过程中,齿轮传动误差和受载弹性变形可归结为 啮合合成基节误差 ,使轮齿啮合线偏离理论啮合线,产生啮入啮出冲击,统称为啮合冲击激励㊂啮合冲击是一种载荷激励,包括基节误差和啮合轮齿对数变化产生的冲击,而后者一般考虑在刚度激励中㊂由于轮齿啮入冲击大于啮出冲击,因此本文仅考虑啮入冲击激励㊂相互啮合轮齿在啮入点瞬时啮合线方向速度不同时会产生啮入冲击,本文利用文献[12]建立的重合度啮合冲击模型计算啮合冲击力㊂2㊀人字齿轮副弯-扭-轴耦合动力学模型建立㊀㊀综合考虑刚度激励和啮合冲击激励影响,本文采用集中质量法建立人字齿轮弯-扭-轴耦合振动模型,如图1所示㊂图1㊀人字齿轮传动系统动力学模型Fig.1㊀Dynamic model of herringbone gear transmission system忽略齿面摩擦效应,系统动力学模型存在16个自由度,则系统的广义位移列阵q表示为qt(t)=[q1L q1R q2L q2R]T(1) qi=x i y i z iθi[]㊀i=1L,1R,2L,2R(2)式中,x i㊁y i㊁z i和θi分别为主㊁从动人字齿轮左右端斜齿轮中心点在x㊁y㊁z向和绕z轴平移振动位移和转角振动位移㊂基于以上动力学模型,根据牛顿力学定律,由图1可得系统动力学方程为m1L x㊆1L+c1L x x㊃1L+k1L x x1L+c b1(x㊃1L-x㊃1R)+k b1(x1L-x1R)+㊀㊀[c12Lλ㊃12L+k12Lλ12L+f s1(t)]cosβ1L sinψ12L=0m1L y㊆1L+c1L y y㊃1L+k1L y y1L+c b1(y㊃1L-y㊃1R)+k b1(y1L-y1R)+㊀㊀[c12Lλ㊃12L+k12Lλ12L+f s1(t)]cosβ1L cosψ12L=0m1L z㊆1L+c1L z z㊃1L z+k1L z z1L z+c1z(z㊃1L-z㊃1R)+k1z(z1L-z1R)+㊀㊀[c12Lλ㊃12L+k12Lλ12L+f s1(t)]sinβ1L=0I1Lθ㊆1L+c t1(θ㊃1L-θ㊃1R)+k t1(θ1L-θ1R)+㊀㊀[c12Lλ㊃12L+k12Lλ12L+f s1(t)]r b1L cosβ1L=T d/2ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï(3)㊀286㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀m 1R x ㊆1R +c 1R x x ㊃1R +k 1R x x 1R +c b1(x ㊃1R -x ㊃1L )+k b1(x 1R -x 1L )+㊀㊀[c 12R λ㊃12R +k 12R λ12R +f s2(t )]cos β1R sin ψ12R =0m 1R y ㊆1R +c 1R y y ㊃1R +k 1R y y 1R +c b1(y ㊃1R -y ㊃1L )+k b1(y 1R -y 1L )+㊀㊀[c 12R λ㊃12R +k 12R λ12R +f s2(t )]cos β1R cos ψ12R =0m 1R z ㊆1R +c 1R z z ㊃1R z +k 1R z z 1R z +c 1z (z ㊃1R -z ㊃1L )+k 1z (z 1R -z 1L )+㊀㊀[c 12R λ㊃12L +k 12R λ12R +f s2(t )]sin β1R =0I 1R θ㊆1R +c t1(θ㊃1R -θ㊃1L )+k t1(θ1R -θ1L )+㊀㊀[c 12R λ㊃12R +k 12R λ12R +f s2(t )]r b1R cos β1R =T d /2ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï(4)m 2L x ㊆1L +c 2L x x ㊃2L +k 2L x x 2L +c b2(x ㊃2L -x ㊃2R )+k b2(x 2L -x 2R )-㊀㊀[c 12L λ㊃12L +k 12L λ12L +f s1(t )]cos β1L sin ψ12L =0m 2L y ㊆1L +c 2L y y ㊃1L +k 2L y y 1L +c b2(y ㊃2L -y ㊃2R )+k b2(y 2L -y 2R )-㊀㊀[c 12L λ㊃12L +k 12L λ12L +f s1(t )]cos β1L cos ψ12L =0m 2L z ㊆2L +c 2z (z ㊃2L -z ㊃2R )+k 2z (z 2L -z 2R )-㊀㊀[c 12L λ㊃12L +k 12L λ12L +f s1(t )]sin β1L =0I 2L θ㊆2L +c t2(θ㊃2L -θ㊃2R )+k t2(θ2L -θ2R )-㊀㊀[c 12L λ㊃12L +k 12L λ12L +f s1(t )]r b2L cos β1L =-T n /2ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï(5)m 2R x ㊆1R +c 2R x x ㊃2R +k 2R x x 2R +c b2(x ㊃2R -x ㊃2L )+k b2(x 2R -x 2L )-㊀㊀[c 12R λ㊃12R +k 12R λ12R +f s2(t )]cos β1R sin ψ12R =0m 2R y ㊆1R +c 2R y y ㊃1R +k 2R y y 1R +c b2(y ㊃2R -y ㊃2L )+k b2(y 2R -y 2L )-㊀㊀[c 12R λ㊃12R +k 12R λ12R +f s2(t )]cos β1R cos ψ12R =0m 2R z ㊆2R +c 2z (z ㊃2R -z ㊃2L )+k 2z (z 2R -z 2L )-㊀㊀[c 12R λ㊃12R +k 12R λ12R +f s2(t )]sin β1R =0I 2R θ㊆2R +c t2(θ㊃2R -θ㊃2L )+k t2(θ2R -θ2L )-㊀㊀[c 12R λ㊃12R +k 12R λ12R +f s2(t )]r b2R cos β1R =-T n /2ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï(6)式中,m i 和J i (i =1L,1R,2L,2R)分别为斜齿轮i 的质量及转动惯量;f s1和f s2分别为齿轮副12L 和12R 啮入冲击激励力;k 12L ,c 12L 和k 12R ,c 12R 分别为斜齿轮副12L 和12R 综合时变啮合刚度和综合啮合阻尼;k ix ,c ix ,k iy ,c iy ,k iz ,c iz (i =1L,1R,2L,2R)分别为斜齿轮i 受到沿坐标轴x ,y ,z 方向等效支撑刚度和支撑阻尼;k b i ,k t i ,k i z ,c b i ,c t i ,c i z (i =1,2)分别为轴段弯曲㊁扭转及拉压刚度和弯曲㊁扭转及拉压阻尼;T d 和T n 分别为输入扭矩和负载扭矩;r b i ,βi (i =1L,1R,2L,2R)分别为斜齿轮i 的基圆半径和螺旋角㊂如图2所示,将一对相互啮合的斜齿轮副向齿轮端面投影,令ψ=α+φ,则γ=ψ-π2=(α+φ)-π2,φ为两齿轮中心连线与坐标轴x 的夹角,α为端面压力角㊂由此可得法向啮合线与坐标轴x ㊁y ㊁z 之间位置关系㊂图2㊀斜齿轮副端面投影受力与几何关系Fig.2㊀Relationship between the force and geometryin the transverse projection of helical gear pair斜齿轮副啮合力为F m ,在xOy 平面上投影为Fᶄm ,再投影到坐标轴x ㊁y 方向的啮合力分别为Fᶄm x 和Fᶄm y ㊂设主从动轮1和2在x ㊁y ㊁z 和绕z 方向上的位移分别为x i ㊁y i ㊁z i ㊁θi (i =1,2);r b1㊁r b2分别为主从齿轮1和2的基圆半径;得到齿轮副沿法向啮合线方向上的相对啮合位移,称为齿轮副耦合方程,为㊀λn =[(x 1-x 2)cos γ+(y 1-y 2)sin γ+(r b1θ1-r b2θ2)]cos β-z 1sin β+z 2sin β-e 12(t )=[(x 1-x 2)cos(ψ-π2)+(y 1-y 2)sin(ψ-π2)+(r b1θ1-r b2θ2)]cos β-z 1sin β+z 2sin β-e 12(t )=[(x 1-x 2)sin ψ+(y 1-y 2)cos ψ+(r b1θ1-r b2θ2)]cos β-z 1sin β+z 2sin β-e 12(t )(7)式中,e 12(t )为啮合平面上的综合几何传递误差㊂则斜齿轮副的啮合力为F m =k m (t )λn +c m λ㊃n(8)式中,k m (t )为主从动轮之间综合时变啮合刚度;c m 为主从动轮之间综合啮合阻尼,其计算式为[13]c m =2ζk m I 1I 2I 1r 2b2+I 2r 2b1(9)式中,ζ为啮合阻尼比,一般取值为0.03~0.17,本文ζ的取值为0.1;I 1㊁I 2分别为主从动轮1和2的转动惯量㊂图2中箭头表示主从动轮之间的动态啮合力,规定啮合力F m 沿啮合线方向压缩为正,远离为负,则㊀第45卷第2期尹逊民等:重合度对人字齿轮传动系统振动特性的影响分析287㊀㊀Fᶄm x =F m cos βcos γ=F m cos βsin ψFᶄm y =F m cos βsin γ=F m cos βcos ψFᶄm z =F m sin βìîíïïïï(10)㊀㊀将绕z 轴的扭转自由度替换为沿啮合线方向上的相对位移λn 和相邻质量节点的相对扭转位移δij =r ij (θi -θj ),再与各质量节点x ㊁y ㊁z 坐标轴方向平移自由度方程相结合,可得到消除刚体位移后的人字齿轮传动系统弯-扭-轴耦合动力学方程M D q ㊆+C D q㊃+K D q =F D (11)式中,M D ㊁K D ㊁C D ㊁q ㊁F D 分别为系统消除刚体位移后质量矩阵㊁刚度矩阵㊁阻尼矩阵㊁位移向量㊁广义激励坐标向量㊂3㊀重合度对人字齿轮系统动态特性的影响㊀㊀本文给出了两组齿轮副参数,如表1所示㊂鉴于可比性,两组齿轮副中心距相同,速比近似,螺旋角设计为有明显的差别㊂根据参考文献[14]得两种端面重合度和轴向重合度分别为:εα1=1.59,εα2=1.34,εβ1=1.13,εβ2=1.74;齿轮副1总的重合度为ε1=2.72,齿轮副2总的重合度为ε2=3.08㊂表1㊀某船用单级人字齿轮副参数Tab.1㊀Parameters of a single-stage herringbonegear pair for a ship参数Parameter齿轮副1Gear pair No.1齿轮副2Gear pair No.2小轮Pinion 大轮Gear 小轮Pinion 大轮Gear 齿数Tooth number34803072法向模数Normal module /mm 5555压力角Pressure angle /(ʎ)20202020螺旋角Helix angle /(ʎ)20.86-20.8633.27-33.27齿宽Width of tooth /mm 54ˑ250ˑ254ˑ250ˑ2退刀槽宽Width of tool with drawalgroove /mm 46504650转速Rotating speed /(r /min)20002000负载转矩Load torque /(N ㊃m)200020003.1㊀重合度对时变啮合刚度的影响㊀㊀利用人字齿轮传动系统承载接触模型,计算得到一个啮合周期内不同啮合位置的接触力和接触变形,从而得到轮齿综合时变啮合刚度㊂如图3所示,图3a 为齿轮副1重合度ε1=2.72时变啮合刚度随时间变化曲线,其峰峰值为4.6533ˑ108N /mm;图3b 为齿轮副2重合度ε2=3.08时变啮合刚度随时间变化曲线,其峰峰值为3.2299ˑ108N /mm㊂图3㊀啮合刚度变化曲线Fig.3㊀Variation curves of meshing stiffness对比图3a 和图3b,重合度为2.72~3.08时,综合时变啮合刚度会增大,而峰峰值减小㊂3.2㊀重合度对啮合冲击力的影响㊀㊀根据表1数据建立冲击模型,得到在两种齿轮副下的啮入冲击力变化曲线,其中图4a 表示齿轮副1在重合度ε1=2.72下啮入冲击力变化曲线,其最大冲击力为2.23ˑ103N;图4b 表示齿轮副2在重合度ε2=3.08下啮入冲击力变化曲线,其最大冲击力为1.92ˑ103N㊂图4㊀啮合冲击力变化曲线Fig.4㊀Variation curves of meshing impact force由图4可知,随重合度的增大,啮合点的冲击力变小,因重合度变大,轮齿综合啮合刚度增大使轮齿弹性变形变小,即轮齿基节误差变小㊂3.3㊀重合度对系统振动特性的分析㊀㊀对建立的动力学方程代入表1两组人字齿轮参数,利用数值积分法Runge-Kutta 算法对其求解,得到仿真数值解㊂初始位移由系统在稳定负载静弹性变形确定,初始速度由理论转速确定㊂因啮合齿轮为标准齿轮齿面,系统激励忽略误差激励,仅考虑刚度和冲击激励,分析在不同重合度下的动态啮合情况㊂如图5所示,其中图5a 表示齿轮副1在一端的动态啮合力,图5b 表示齿轮副2在一端的动态啮合力,人字齿轮两端啮合力近似相等,因此仅绘出一端的动态响应㊂定义动载系数为㊀288㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀K v =max(F d )F -d(12)式中,F d 为动态啮合力;F -d 为平均啮合力㊂当齿轮副1㊁2的负载力矩相等时,由于齿轮参数不同,尤其是螺旋角差别比较明显时,导致齿面法向啮合力明显不同㊂根据式(12)计算得到动载系数,列入表2中㊂图5㊀传动系统动态啮合力曲线Fig.5㊀Dynamic meshing force curves of transmission system表2㊀不同重合度下的动态啮合情况Tab.2㊀Dynamic meshing situation under different contact ratio 齿轮副Gear pair 重合度Contact ratiomax(F d )/N F -d /N 动载系数Dynamic load factor 齿轮副1Gear pair No.1 2.7286007000 1.23齿轮副2Gear pair No.23.08975082591.18动载系数的整数部分表示啮合力的静态成份,小数部分表示动载成份,减振设计仅能降低其动载成份㊂由表2所示动载系数可以计算得到第二对大螺旋角设计的人字齿轮副的动载系数的动载成份下降约22%㊂根据GB 3480 83[15]计算圆柱齿轮动载系数,假定齿轮副精度为6级,按照表1所示两对齿轮副的参数进行动载系数计算,分别为1.22和1.19,第二对大螺旋角设计的人字齿轮副的动载系数其动态部分下降14%,说明增大齿轮啮合重合度能达到系统减振降噪和传动平稳的作用㊂4㊀结论㊀㊀本文研究重合度对人字齿轮传动系统振动特性的影响,主要工作及结论如下:1)综合考虑轮齿刚度激励和啮合冲击激励的影响,建立人字齿轮弯-扭-轴耦合的动力学模型,推导出相应的运动微分方程并进行消除刚体位移处理㊂2)分析重合度对刚度与冲击力的影响㊂随重合度的增大,综合啮合刚度增大而峰峰值减小,啮合点的冲击力变小,使人字齿轮传动中的动态激励减小㊂3)结合算例对比分析重合度对系统动态啮合力的影响,齿轮重合度可以使齿轮副动态啮合力变化曲线趋于平滑,幅值减小,即重合度变大能使齿轮系统振动减小,提高传动平稳性,有减振降噪的作用㊂参考文献(References )[1]㊀王立华,李润方,林腾蛟,等.齿轮系统时变刚度和间隙非线性振动特性研究[J].中国机械工程,2003,14(13):1143-1146.WANG LiHua,LI RunFang,LIN TengJiao,et al.Study on nonlinear vibration characteristics of time-varying stiffness and gap in gear system[J].China Mechanical Engineering,2003,14(13):1143-1146(In Chinese).[2]㊀孙秀全,王㊀铁,张瑞亮,等.斜齿轮渐进性磨损对齿轮振动特性的影响分析[J].机械传动,2021,45(1):17-22.SUN XiuQuan,WANG Tie,ZHANG RuiLiang,et al.Analysis of the influence of progressive wear of helical gear on gear vibration characteristic[J].Journal of Mechanical Transmission,2021,45(1):17-22(In Chinese).[3]㊀SIVAKUMAR P,GOPINATH K,SUNDARESH S.Performanceevaluation of high-contact-ratio gearing for combat tracked vehicles-acase study [J ].Proceedings of the Institution of MechanicalEngineers,2010(224):631-643.[4]㊀WU S P.Optimal design of compact high contact ratio gears [D].Memphis:The University of Memphis,2006:1-121.[5]㊀石照耀,康㊀焱,林家春.基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性[J].机械工程学报,2010,46(17):55-61.SHI ZhaoYao,KANG Yan,LIN prehensive dynamics model and dynamic response analysis of a spur gear pair based on gear pair integrated error [J].Journal of Mechanical Engineering,2010,46(17):55-61(In Chinese).[6]㊀黄㊀康,夏公川,赵㊀韩,等.重合度对齿轮传动啮合效率的影响研究[J].合肥工业大学学报(自然科学版),2015,38(12):1585-1590.HUANG Kang,XIA GongChuan,ZHAO Han,et al.Research on the impact of contact ratio on gear meshing efficiency [J].Journal of Hefei University of Technology (Natural Science),2015,38(12):1585-1590(In Chinese).[7]㊀唐进元,王志伟,雷敦财.载荷与齿轮啮合刚度㊁重合度的关系研究[J].机械传动,2014,38(6):1-4.TANG JinYuan,WANG ZhiWei,LEI DunCai.Study on the relationship between load and gear mesh stiffness [J].Journal ofMechanical Transmission,2014,38(6):1-4(In Chinese).[8]㊀赵㊀宁,秋朋园,刘贵立.高重合度人字齿轮传动动态性能优化设计[J].国防科技大学学报,2015,37(2):166-174.ZHAO Ning,QIU PengYuan,LIU GuiLi.Optimized design of dynamic behavior of double helical gears with high contact ratio[J].Journal of National University of Defense Technology,2015,37(2):166-174(In Chinese).[9]㊀董㊀皓,方宗德,方㊀舟,等.齿侧间隙影响的人字齿四分支传动非线性特性[J].机械强度,2017,39(5):1112-1118.DONG Hao,FANG ZongDe,FANG Zhou,et al.Nonlinear char-acteristics of herringbone gear four-branching transmission conside-ring gear backlash effect [J].Journal of Mechanical Strength,2017,39(5):1112-1118(In Chinese).[10]㊀丁仁亮,王三民.齿廓修形对功率二分支齿轮传动系统的动载荷影响分析[J].机械强度,2015,37(3):514-518.㊀第45卷第2期尹逊民等:重合度对人字齿轮传动系统振动特性的影响分析289㊀㊀DING RenLiang,WANG SanMin.Analysis on the influences of toothprofile modificationon dynamic load in a split path transmission[J].Journal of Mechanical Strength,2015,37(3):514-518(In Chinese).[11]㊀董㊀皓,方宗德,方㊀舟.基于承载接触仿真的双重功率分流系统动态特性[J].机械科学与技术,2016,35(1):67-72.DONG Hao,FANG ZongDe,FANG Zhou.Dynamics characteristics ofdual power-split transmission based on loaded tooth contact analysis[J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering,2016,35(1):67-72(In Chinese).[12]㊀王㊀峰,方宗德,李声晋.重合度对人字齿轮非线性系统振动特性的影响分析[J].振动与冲击,2014,33(3):18-22.WANG Feng,FANG ZongDe,LI ShengJin.Effect of contact ratio ondynamic behavior of a double-helical gear nonlinear system[J].Journal of Vibration and Shock,2014,33(3):18-22(In Chinese).[13]㊀于耀庭,何芝仙,时培成,等.具有轴向重合度的齿轮传动系统动力学行为研究[J].安徽工程大学学报,2020,35(1):47-52.YU YaoTing,HE ZhiXian,SHI PeiCheng,et al.Study on dynamicbehavior of gear transmission system with axial coincidence[J].Journal of Anhui Polytechnic University,2020,35(1):47-52(InChinese).[14]㊀孙㊀恒,陈作模,葛文杰.机械原理[M].北京:高等教育出版社,2006:184-185.SUN Heng,CHEN ZuoMo,GE WenJie.Theory of machines andmechanisms[M].Beijing:Higher Education Press,2006:184-185(In Chinese).[15]㊀中华人民共和国国家标准局.渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法:GB3480 83[S].北京:中华人民共和国国家标准局,1983:17-18.National Standard Administration of China.Methods for thecalculation of load capacity of involute cylindrical gears:GB348083[S].Beijing:National Standard Administration of China,1983:17-18(In Chinese).。
含裂纹变位齿轮的动刚度分析
0引言本文主要对三环传动中变位齿轮的啮合刚度进行分析。
三环主要应用于起重机械、运输机械等以内燃机为动力的工程设备，运用普遍性高。
而变位齿轮系统的一个重要的特性就是啮合刚度，啮合刚度系数也是进行运动学分析的重要参数。
但是齿轮机构在传递运动的过程中，啮合点出现上下位移，因此引起啮合刚度发生变化，所以对啮合刚度分析是有必要的，它直接影响计算和设计精度。
1内啮合变位齿轮动刚度计算方法有限元法的分析主要分为两个方向[1]。
①沿法向载荷方向的位移量，在接触啮合时，分别求出法向载荷与接触啮合齿轮的总变形量，法向载荷与接触啮合齿轮的总变形量比值为啮合刚度。
②转角的变形量，通过求解接触啮合时变形量，再通过变形量求出啮合刚度。
下文将分别对这两个方向进行简单分析。
1.1沿法向载荷方向的位移量计算法齿轮传动系统在啮合力的作用下，在接触啮合面会产生一定的变形，而在接触面的法向载荷F n 为主要载荷，接触啮合齿轮的总变形量为U n ，啮合刚度为：F n U n=K n （1）式中，接触啮合齿轮的总变形量U n 为：U n =U a +U b +U c （2）式中，U a 为接触时剪切变形；U b 为轮齿接触产生的接触变形；U c 为接触时弯曲变形。
三环传动的啮合度为内齿板和外齿轮的啮合刚度总和，而三环传动在工作过程中，属于多齿接触啮合，其啮合刚度简化模型如图1所示。
在图1中，啮合齿轮对1、2、3、4、5的啮合刚度分别为K 1、K 2、K 3、K 4、K 5，五对轮齿啮合时的啮合刚度为并联耦合关系，则多对轮齿的啮合刚度为：K=K 1+K 2+K 3+K 4+K 5（3）1.2转角变形量计算法利用沿法向载荷方向的位移量计算齿轮传动系统的啮合刚度时，由于在接触啮合过程中啮合对的齿轮变形比较复杂，利用沿法向载荷方向的位移量计算齿轮传动系统的啮合刚度相关参数还是比较困难。
运用转角变形量计算法，在主动轮的转动中心添加一个转矩T ，通过转矩T 的作用，计算转角变形量，最后求出齿轮副的啮合刚度。
[12] 齿轮时变啮合刚度改进计算方法_李亚鹏
![[12] 齿轮时变啮合刚度改进计算方法_李亚鹏](https://img.taocdn.com/s3/m/f62ee6d7a1c7aa00b52acb6f.png)
文章编号:1004-2539(2010)05-0022-05齿轮时变啮合刚度改进计算方法李亚鹏 孙 伟 魏 静 陈 涛(大连理工大学机械工程学院, 辽宁大连 116024)摘要 齿轮时变啮合刚度是齿轮系统动力方程的重要基础参数,针对目前时变啮合刚度主要利用有限元方式计算,效率偏低的问题,以及解析法石川公式仅考虑齿轮轮齿刚度,未考虑齿轮轮体刚度,容易在齿轮动力学分析中引入高次谐波激励的不足,本文在详细介绍解析算法石川公式中重要参数算法的基础上提出改进的石川公式,为齿轮动力方程提供一个整体意义上的时变啮合刚度计算方法。
同时介绍了多齿啮合时齿轮综合时变啮合刚度的计算方法。
关键词 时变啮合刚度 改进石川公式 有效齿根圆 内啮合传动Study on the Improved Algorithm of the Time-varying Meshing Stiffness of GearLi Yapeng Sun W ei Wei Jing Chen Tao(School of Mechanical Engineering,Dalian University of Tec hnology,Dal ian116024,China)A bstract The time-varying meshing stiffness of gear is the most important para meter in the dynamic equationof the gear systems,but no w the most usually wa y of obtaining the parameter is the finite element methods and it's very low efficienc y.The Ishika wa formula is the analytical method which was used to calculate the time-varying meshing stiffness,it's high efficienc y but it only considers the deformation of the tooth of the gear,what's more, some parameter which was referred in the Ishika wa for mula don't have a certain way to get now.Aiming at these prob-lems,in this paper,the calculation method of the unclear parameters and an improved formula of the time-varying meshing stiffness are pared with the Ishikawa formula,the improved formula consider the defor mation of the gear web plate and bring less high harmonic excitation.And this paper introduces the calculation principle of multi-tooth time-var ying meshing stiffness.Key words Time-var ying meshing stiffness Improved ishikawa formula E ffective root dia meter Internal meshing transmission0 引言齿轮传动是目前机械系统中的最重要的传动方式,随着齿轮传动系统向高速、重载、大型化方向发展,单纯依赖传统静力学模型所进行的齿廓修形、螺旋角修形等方式已经远远不能满足当前使用要求。
考虑时变啮合刚度的齿轮动态啮合力分析
考虑时变啮合刚度的齿轮动态啮合力分析齿轮传动是工程中常用的一种机械传动方式，它具有传动效率高、传动精度高的优点。
在齿轮传动中，齿轮的啮合刚度对传动系统的工作性能有着重要的影响。
因此，在齿轮传动的设计和分析中，考虑齿轮的时变啮合刚度是非常重要的。
一、时变啮合刚度的影响因素齿轮的啮合刚度是指在齿轮啮合过程中，齿轮对于外加载荷的抵抗能力。
齿轮的啮合刚度主要受到以下几个因素的影响：1.齿轮材料的选择：齿轮的材料对其啮合刚度有着直接的影响。
不同的材料具有不同的弹性模量和硬度等力学性质，因此会导致不同的啮合刚度。
2.齿轮的几何参数：齿轮的齿距、模数、齿宽等几何参数对其啮合刚度也有影响。
一般来说，齿距越小，齿宽越大，模数越小，啮合刚度越大。
3.齿轮的载荷情况：齿轮在传动中的载荷情况也会对其啮合刚度产生影响。
在实际工作中，齿轮的载荷往往是时变的，因此导致了齿轮啮合刚度的时变性。
二、时变啮合刚度的分析方法针对时变啮合刚度的分析，可以采用以下几种方法：1.理论分析法：通过建立齿轮系统的动力学模型，利用力学原理分析齿轮的啮合刚度变化规律。
该方法适用于精确分析齿轮系统啮合刚度的变化趋势，但需要进行大量的数学推导和计算，比较繁琐。
2.数值模拟法：通过有限元分析等数值方法，对齿轮的啮合刚度进行模拟计算。
这种方法可以考虑更多的影响因素，但对模型的精度要求较高，计算时间较长。
3.实验测试法：通过搭建实验平台，进行齿轮的动态加载实验，测量齿轮的啮合刚度。
这种方法可以直接测量得到实际的啮合刚度值，但需要专门的实验设备和较长的测试时间。
三、时变啮合刚度的应用时变啮合刚度分析在齿轮传动系统的设计和优化中具有重要的应用价值：1.优化齿轮设计：根据时变啮合刚度的分析结果，可以对齿轮的几何参数进行优化设计，以提高齿轮的啮合刚度和传动效率。
2.齿轮系统故障诊断：时变啮合刚度的分析可以反映齿轮系统的工作状态和健康状况。
通过对时变啮合刚度的监测和分析，可以及时发现齿轮系统的故障，进行维修和更换。
线外啮合齿轮传动啮合刚度计算_唐进元
(27) (28)
啮合 齿对 在 D 点 的变形 沿理
论啮合线方向的分量 。 式(24) 由等式 rb1 θP =rb2 θG +e 演化 而来 , 该等式是沿理论啮合线
方向的一个几何恒等式 。 方程
式(28)中实际上只有 θG 一个 变量 , 它是一个非线性方程 , 可 通过迭代方 法求解 , 迭代时需 图 3 啮出点计算示意图
许多文献1116在进行齿轮动力学分析时都取无误差的啮合刚度作为刚度模型线外啮合齿轮传动啮合刚度计算2312wjlicosdsigai2kj1j16wjsinjlidci3eeai与节圆齿厚sp之比bsp5时轮齿为宽齿处于平面应变状态此时有ee42若bspeee剪切弹性模量gee21齿根基础的弹性变形引起的啮合点的附加变形dfj对于窄齿bspf2fjj530621dfjhfhfbe04167tan2啮出终点线外啮合变形计算示意10图因此沿wj作用线方向齿部总的弹性变形为线外啮合刚度计算无加工制造误差时由式1式16可计算啮合刚度若计算有误差的线外啮合刚度则必须要知道啮合点位置与载荷作用角为啮合终点处线外啮合示意图图2中虚线为理论啮合终点位置转过的角度为p轮齿2对应转过的角度为为啮合角由三心定理知p为两齿廓退g出线外啮合时的节点位置
伸 , 主要给出一种轮齿上任一点在载荷作用下的变形
计算方法 。假设轮齿为一弹性基础上的变截面悬臂梁
(如图 1), Wj 为作用在轮齿表面 j 点的载荷 , 其引起的 总的弹性变形由下述 3 部分组成
(1)变截 面悬臂梁(齿部)的弯曲 、剪 切和压缩变
形;
(2)基础(齿根)的弹性变形引起的附加变形 ;
从图 5 可见考虑线外啮合时 , 啮合起点的刚度值 较图 4 中的理论啮合起点值要大 , 同时刚度曲线出现 一次从大到小的变化 。 计算表明 , 当同时考虑变形和 误差时 , 实际啮合起点刚度值较图 5 中的值还要大 , 刚 度曲线的变化更显著 , 载荷越大 , 误差越大 , 变化越显 著 。刚度的变化会引起系统动态响应的变化 , 进一步 使系统产生振动和噪声 。 因此 , 齿轮动力学分析中应 考虑线外啮合的实际的齿轮传动刚度 , 本文提出的线 外啮合刚度计算方法能把线外啮合与实际的刚度计算 有机结合起来 , 是一种十分有效的实用方法 。
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法向啮合刚度和综合啮合刚度
法向啮合刚度是指在啮合过程中，啮合齿轮之间的法向刚度。
在齿轮传动中，齿轮齿面的啮合会受到受力，而法向啮合刚度则是描述了齿轮在法向上的刚度特性。
它是啮合齿轮在法向上受到外部载荷作用时，齿轮齿面的位移与受力之间的关系，通常用刚度系数来表示。
法向啮合刚度的大小会影响齿轮传动系统的动态特性和传动精度。
综合啮合刚度是指考虑了齿轮传动中齿轮啮合时的所有刚度因素后得到的综合刚度。
它包括了齿轮的法向啮合刚度、刚度变化系数、齿根刚度、齿顶刚度等因素。
综合啮合刚度的大小直接影响着齿轮传动系统的动态响应和传动精度。
综合啮合刚度越大，传动系统的刚度越高，传动精度也会相应提高。
从设计角度来看，法向啮合刚度和综合啮合刚度对于齿轮传动系统的设计至关重要。
合理选择和设计齿轮的啮合刚度，可以提高齿轮传动系统的动态性能和传动精度，减小齿轮啮合时的振动和噪音。
因此，在齿轮传动系统的设计和优化过程中，需要充分考虑和评估法向啮合刚度和综合啮合刚度，以确保齿轮传动系统具有良好的工作性能和可靠性。
总的来说，法向啮合刚度和综合啮合刚度是齿轮传动系统中重要的参数，它们直接影响着传动系统的性能和精度。
合理的设计和选择可以提高齿轮传动系统的工作效率和可靠性。