(完整版)特征函数在极限理论中的应用
大数定律与中心极限定理41特征函数
一、教材说明 本章内容包括特征函数及其性质，常用的几个大数定律，随机变量序列的两种收敛性 的定义及其有关性质，中心极限定理。大数定律涉及的是一种依概率收敛，中心极限定理 涉及按分布收敛。这些极限定理不仅是概率论研究的中心议题，而且在数理统计中有广泛 的应用。 1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是： （1）使学生掌握特征函数的定义和常用分布的特征函数； （ 2） 使学生深刻理解和掌握大数定律及与之相关的两种收敛性概念， 会熟练运用几个 大数定律证明题目； （3）使学生理解并熟练掌握独立同分布下的中心极限定理。 本章的教学要求是： （1）理解并会求常用分布的特征函数； （2）深刻理解并掌握大数定律，能熟练应用大数定律证明题目； （3）理解并掌握依概率收敛和按分布收敛的定义，并会用其性质证明相应的题目； （4）深刻理解与掌握中心极限定理，并要对之熟练应用。 2、重点与难点 本章的重点是大数定律与中心极限定理，难点是用特征函数的性质证明题目，大数定 律和中心极限定理的应用。 二、 教学内容
n 1 Var ( X i ) 0 成立，则 { X n } 服从大数定律，即对任意的 0 ，式(4.2.5)成立。 n2 i 1
证明 利用切比雪夫不等式就可证得。 例 4.2.3 设 { X n } 为一同分布、方差存在的随机变量序列，且 X n 仅与 X n 1 和 X n 1 相 关，而与其他的 X i 不相关，试问该随机变量序列 { X n } 是否服从大数定律？ 解 可证对 { X n } ，马尔可夫条件成立，故由马尔可夫大数定律可得 { X n } 服从大数定 律。 四、辛钦大数定律 定理 4.2.4 （辛钦大数定律）设 { X n } 为一独立同分布的随机变量序列，若 X n 的数学 期望存在，则 { X n } 服从大数定律，即对任意的 0 ，式(4.2.5)成立。
特征函数及其应用
特征函数及其应用特征函数是一种在机器学习中常用的数学工具，用于将输入数据映射到一个新的表示形式，以便更好地描述和分析数据。
特征函数的应用非常广泛，涉及许多不同领域，包括自然语言处理、计算机视觉、生物信息学等。
本文将介绍特征函数的定义、性质和在不同领域中的应用。
特征函数是一种将输入数据映射到实数域的函数。
在机器学习中，我们通常将输入数据表示为向量的形式，特征函数将向量映射到一个实数。
特征函数的定义可以根据具体问题的需求而有所变化，可以使用原始数据本身的特性，也可以使用一些先验知识。
特征函数的目标是将输入数据映射为一组能够更好描述和区分数据的特征。
特征函数的定义可以采用不同的形式。
一种常用的方式是将特征函数定义为指标函数，即只有在满足其中一种条件时取值为1，否则为0。
例如，在文本分类中，可以使用特征函数表示一些词汇是否在文本中出现，如果词汇出现，则特征函数为1，否则为0。
此外，特征函数还可以采用连续的形式，例如使用激活函数对输入数据进行变换。
特征函数有一些特点，使其在机器学习中应用广泛。
首先，特征函数可以将输入数据映射为实数，这样可以方便地进行数值计算和分析。
其次，特征函数可以将高维数据映射为低维特征，从而简化问题的复杂度和计算难度。
此外，特征函数还可以提取数据的本质特征，去除噪声和冗余信息，从而更好地描述数据。
特征函数在机器学习中有许多应用。
首先，在分类和回归问题中，特征函数可以用于描述输入数据的特征，用于建立模型和进行预测。
例如，在图像分类中，可以使用特征函数描述图像的纹理、颜色等特征，以便进行分类。
其次，在聚类和降维问题中，特征函数可以用于从输入数据中提取主要特征，以便进行数据分析和可视化。
例如，在文本聚类中，可以使用特征函数提取文本的关键词和主题，以便进行聚类分析。
此外，在异常检测和推荐系统中，特征函数可以用于描述输入数据的异常性和用户偏好等特征。
特征函数的应用还包括自然语言处理、计算机视觉、生物信息学等领域。
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
1.2 第二讲特征函数
性质1 特征函数具有以下性质： (1) f (0) 1 (2) | f (t) | f (0)
(3) f (t) f (t)
证明：(1) 显然成立，下证明(2)
|f (t) || e
itx
dF(x) | |e i t x | dF(x)
注意到: eitx=costx+isintx，于是
x x1或x x2 , D x x1 -D x x2 0
x=x1 , 或x x2 , D x x1 D x x2 1 2
x1 x x2 , D x x1 D x x2 1
于是 引理得证.
设 x1<x2
证明: 设x,y是两个相互独立的随机变量，而z=x+y由 x,y的独立性可知两个复值随机变量eitx ,eity 也相互独 立，因此
Ee =Ee
i tz
i t(x y)
=E(e e )=(Ee )(Ee )
itx ity
i tx
i ty
性质5 设随机变量的n阶矩存在，则其特征函数 可微分n次，且当kn时：
|e |= cos tx sin tx 1
itx 2 2
从而
|f (t) | |e
itx
| dF(x) dF(x) 1
(3) 注意到z=a+ib,则 z=a-ib
f (t ) e
itx
f ( x)dx cos(tx) f ( x)dx i sin(tx) f ( x)dx
n n
3.控制收敛定理（Dominated convergence theorem）
函数的极限与导数的应用
函数的极限与导数的应用在微积分学中，函数的极限和导数是两个重要的概念。
函数的极限可以描述函数在某一点逼近的趋势，而导数则可以描述函数在某一点的变化率。
这两个概念在计算机科学、物理学、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍函数的极限和导数，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于的一个确定的值。
通常用符号“lim”表示，下面是函数极限的定义：lim(x→a) f(x) = L意思是当自变量x趋于a时，函数f(x)的取值趋于L。
函数的极限具有一些重要的性质，比如极限的四则运算法则、函数的极限存在性和唯一性等。
通过函数的极限，我们可以研究函数的趋势和性质。
二、导数的定义与性质导数是一个函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点处的导数存在，那么这个函数在该点是可导的。
下面是导数的定义：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h这里，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
导数具有一些重要的性质，比如导数的四则运算法则、导数与函数的关系（如反函数的导数和复合函数的导数）、黎曼积分与导数的关系等。
三、函数极限与导数在实际问题中的应用函数的极限和导数不仅是微积分学的基础概念，也在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 函数的极限在数值逼近中的应用：当我们需要通过计算机进行数值计算时，常常需要使用函数的极限来逼近某个数值。
比如在数值求解方程、数值积分等问题中，通过逼近函数的极限可以得到近似解。
2. 导数在最优化问题中的应用：最优化问题是指在一定的约束条件下，寻找函数取得极值的问题。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的极值点，从而解决最优化问题。
这在经济学、工程学、物理学等领域中具有重要的应用。
3. 函数的极限和导数在物理学中的应用：物理学中的很多问题可以通过函数的极限和导数来进行建模和解决。
函数和极限：极限的计算和应用
函数和极限：极限的计算和应用函数和极限是高等数学中的重要概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
本文将介绍极限的计算方法以及其在数学和实际问题中的应用。
一、极限的计算方法1.1 无穷小量法利用无穷小量的性质来计算极限是一种常用的方法。
无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。
常见的无穷小量有常数型、多项式型和指数型等。
通过对函数进行无穷小量展开，可以得到极限的近似值。
1.2 L'Hopital法则L'Hopital法则是解决函数极限问题的重要工具。
当直接代入极限的定义形式无法得到确定的结果时，可以对函数的导数进行求解。
L'Hopital法则的核心思想是将函数的极限转化为导数的极限，从而简化计算过程。
1.3 夹逼定理夹逼定理是一种常用的极限计算方法。
当需要计算某个函数在某点的极限时，可以通过夹逼定理来确定其极限值。
夹逼定理利用了函数与两个其他函数之间的关系，通过比较确定函数的极限。
二、极限的应用2.1 数列极限与函数极限的关系数列极限是极限概念的一种特殊形式，与函数极限密切相关。
通过研究数列极限的性质，可以推导出函数极限的性质。
数列极限与函数极限的关系是高等数学中的重要内容之一。
2.2 极值问题极限在求解极值问题中有广泛的应用。
当需要求解函数的最大值或最小值时，可以通过求解函数极限来确定。
极值问题在经济学、物理学等领域有着重要的应用。
2.3 泰勒展开与近似计算泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成幂级数的方法。
借助泰勒展开，可以将复杂的函数近似为简单的幂函数或多项式，从而便于计算和分析。
泰勒展开在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
2.4 极限在微分学和积分学中的应用极限在微分学和积分学中起着核心作用。
微分学在研究函数的变化规律和斜率等方面有着重要的应用，而积分学在计算面积、体积等方面有广泛的应用。
极限作为微积分的基础，为这些应用提供了理论支撑。
三、总结函数和极限是高等数学中重要的概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。
第七章特征函数
第七章 特征函数7.1 特征函数的定义及基本性质定义1：设X 为维实随机向量，称为n Xit TEe t =)(ϕX 的特征函数(characteristicfunction )。
一些常见分布的特征函数。
例1：，则其c.f.为),(~p n B X .1,)()(p q pe q t n it −=+=ϕ例2：X 服从参数为λ的Poisson 分布，则其c.f.为 ).1(exp )(−=it e t λϕ例3：，则其c.f.为),(~2σµN X .)(2221t t i e t σµϕ−=特征函数基本性质：1) 1)0(=ϕ；2) （有界）n R t t ∈∀≤,1)(ϕ 3) （共轭对称）；_______)()(t t −=ϕϕ4) （非负定）对任意给定正整数，任意t 和任意复数m n m R t t ∈L 21,m αααL 21,，0≥)(11−∑∑==m l mk k l k l t t ααϕ；5) )(t ϕ为n R 上的连续函数。
证明：4) 0)(2111)(11≥==−∑∑∑===−==ml Xit l ml mk k l X t t i ml mk k l k l TlTk l Ee E Ee t t αααααϕ∑∑。
定理1：（Bocher ）n R 上的函数)(t ϕ是某个随机变量的特征函数当且仅当)(t ϕ连续非负定且1)0(=ϕ。
定理2：（增量不等式）设)(t ϕ是X 的特征函数，则对任意t 有n R h ∈,[])(Re 12)()(2h t h t ϕϕϕ−≤−+由此)(t ϕ在n R 上一致连续。
证明：[][]∫∫−=−=−++dP ee dP ee t h t Xih Xit Xit Xh t i T T T T 1)()()(ϕϕ，由Schwarz 不等式[])(Re 121)()(222h dP edP et h t Xih Xit T T ϕϕϕ−=−≤−+∫∫。
(2021年整理)极限的应用
(完整版)极限的应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)极限的应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)极限的应用的全部内容。
（完整版）极限的应用编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望 (完整版)极限的应用这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为 <(完整版)极限的应用> 这篇文档的全部内容。
有很多问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限概念和极限方法。
起初牛顿和莱布尼茨将无穷小的概念作为基础建立微积分，后来遇到了一些逻辑方面的坎坷，所以在他们探究的晚期都会有不同程度地接受了极限思想。
牛顿运用路程的变量S∆和时间的变量t∆之比表示了运动物体的平均速度,让t∆无限地趋近于零，这样就会得到物体的瞬时速度，因此引出了导数的概念和微分学理论等知识.牛顿发现了极限概念的重要性,尝试将极限概念作为微积分研究的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限的时间内不断趋近于相等，且在这一时间结束之前前互相靠近，使两个两个量和量之比差小于任意给定的差,最终就成为了相等”。
但是牛顿的极限思想也是建立在几何直观上的，因此他将无法得出极限的严格而精确的表述。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 集合列的特征函数1.1集合E 的特征函数定义：对于X 中的子集E ，作E X =⎩⎨⎧∉∈E x E x ,0,1称E X ：{}1,0→X 是定义在X 上的集合E 的特征函数。
由定义知，特征函数E X 在一定意义上作为集合E 的代表。
借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。
1.2定理：对任意的集合列{}n A ，有①n A n X ∞→lim =nn A X →∞lim， ②n A n X ∞→lim=n n A X→∞lim ，③集列{}n A 收敛的充要条件是它的特征函数列{}n A X 收敛，且n A n X ∞→lim =nn A X →∞lim定理说明了集列{}n A 取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。
集列{}n A 收敛性与数列{}n A X 收敛性等价。
证明：由特征函数的定义，n A n X ∞→lim =1或0，x ∀，设n A n X ∞→lim =1⇔有无限个k n ，使得knA X =1，⇔有无限个k n ，使得k n A x ∈， ⇔ n n A x ∞→∈lim ，⇔n A n X∞→lim =1 （*1）x ∀，设n A n X ∞→lim =0⇔有无限个k n ，使得k n A X =0⇔有无限个k n ，使得k n A x ∉， ⇔n n A x ∞→∉lim ，⇔nn A X →∞lim =0 （*2）由（1）（2）式，得证。
2迭代数列收敛性与特征函数2.1.定义：设)(x F =()x f x -在区间I 上有定义，数列{}n x 满足迭代关系：1+n x =()n x f （n=1,2，……） （*3）若存在自然数N ，使得当n>N 时恒有∈n x I 成立，则称F （x ）和f （x ）分别为迭代数列（*3）在区间I 上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I 上的生成迭代数列。
引理：设f （x ）是在区间I 上有定义的单调函数，0x 是I 的内点。
若()x f x x 0lim →存在，则f（x ）在0x 处连续。
证明： 不妨设()x f x x 0lim →=A ，f （x ）在区间I 上单调增加。
故当x<0x 时，()x f <()0x f ，则A=()x f x x 0lim →≤()0x f ，当x >0x 时，()x f >()0x f ,则A=()x f x x 0lim →≥()0x f 。
因此()x f x x 0lim →=A=()0x f ，故()x f 在0x 处连续。
定理1：设()x F =x-()x f 是迭代数列（*3）在区间I 上连续的特征函数，且()x F 在I 上单调增加。
则①若I =[a,b>且F （a ）=0，则n x x ∞→lim 存在且等于a ，②若I =<a,b]且F （b ）=0，则n n x ∞→lim 存在且等于b 。
注：约定区间[a,b> , <a,b]或<a,b>中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是-∞或+∞；为实数是可以包含端点，也可以不包含端点。
证明：（i ）由特征函数和极限的定义，不妨设对一切自然数n ， 迭代数列（*3）恒有∈n x I =[a,b>, 则{}n x 有下界。
再用反证法证明{}n x 在I 上单调减少： 若存在自然数0n 使得0n x <10+n x 即0n x <()0n x f ,则()0n x F =0n x -()0n x f <0. 因为()a F =0，所以()0n x F <()a F 。
这与()x F 在I 上的单调增加矛盾。
故数列{}n x 在I 上单调减少有下界，即n n x ∞→lim 存在。
在迭代数列（*3）中令∞→n ，可得x=()x f 。
由题设可得()x F =x-()x f =0在I 上有唯一实根， 于是由()a F =a-()a f =0得x=a ， 故n n x ∞→lim =a 。
（ii ）类似地可以证明数列{}n x 在I =<a,b]上单调增加有上界，且n n x ∞→lim =b 。
定理2：设()x F =x-()x f 是迭代数列（*3）在区间I =<a,b>上的特征函数，()x F 和()x f 在I 上单调增加且存在I 的内点0x 使得()0x F =0，则n n x ∞→lim 存在且等于0x证明：不妨设对一切自然数n ，迭代数列（*3）恒有I x n ∈，记1I =<a,0x ],2I =[0x ,b>.由题设及引理得()x F 在1I 和2I 上均单调增加且连续。
若对I x ∈1有2x =()x f 0x ≤，则由()x f 在I 上单调增加有 3x =()2x f ()0x f ≤=0x ，一般地由数学归纳法易证1+n x =()00x x f ≤（n=1,2，……）； 若对I x ∈1有2x =()01x x f ≥，类似地可以证明 ()01x x f x n n ≥=+（n=1,2，……）。
所以()x F 是迭代数列（*3）在1I 或2I 上的特征函数。
故由定理1，n n x ∞→lim 存在且等于0x 。
利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用到迭代数列的求解中，简化极限运算。
这种方法解题的一般步奏是：（1）求出函数()x F =x-()x f 的单增区间（或()x F 和()x f 公共的单增区间）； （2）求出方程()x F =0在单增区间的根0x ；（3）判断()x F 是迭代函数列（1）在单增区间上的特征函数； （4）判断极限存在并得出极限。
例1：设1x >0 ,1+n x =()n x c +1ln (n=1,2,……；0<c ≤1)，证明n n x ∞→lim 存在且等于0。
证明：令()x F =x-()x c +1ln ， 则F ’()x =1-xc+1>0（x>0）且()0F =0.当1x >0时，恒有1+n x =()n x c +1ln >0（n=1,2，……）， 故()x F 为迭代数列在单增区间[0,+∞)上连续的特征函数。
于是由定理1可得n n x ∞→lim 存在且等于0.例2：设数列{}n x 满足迭代关系1+n x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+n n x a x 21（n=1,2，……；a>0），证明n n x ∞→lim 存在并求此极限。
证明：由数学归纳法和均值定理可知，当01>x 时有),[+∞∈a x n （n=2,3，……）； 当01<x 时有],(a x n --∞∈（n=2,3，……）。
所以()x ax x a x x x F 22121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=是{}n x 分别在区间),[+∞a 和],(a --∞上连续的特征函数。
由F ’()x =02212>+x a得()x F 在),[+∞a 和],(a --∞上单调增加。
又因为()0=x F 解得a x ±=。
所以由定理1得{}n x 的极限存在且当01<x 时，a x n n -=∞→lim ；当01>x 时，a x n n =∞→lim 。
同理可证数列{}n x ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x n n n a x x 21231（n=1,2，……；a>0）的极限存在且3lim a x n n =∞→。
例3：设数列{}n x 满足迭代关系n n x c x sin 1=+（n=1,2，……；10≤<c ，），证明：对任意的初值1x ，n n x ∞→lim 存在并求此极限。
证明：对任意的1x ，有11≤≤-n x （n=2,3，……），因此F （x ）=()x c x x f x sin -=-是{}n x 在区间]1,1[-上的特征函数。
又当]1,1[-∈x 时，()0cos 1'≥-=x x F （等号仅当0,1==x c 时成立）， 故()x F 和()x f 在]1,1[-单调增加，且()00=F 。
由定理2可知{}n x 的极限存在且等于0.同理可证明{}n n n x x x cos :1-=+（n=1,2，……；10≤<c ）的极限存在且0lim x x n n =∞→，其中)0,1(0-∈x 是()0cos =+=x c x x F 的根。
3.极限定理证明的特征函数法李亚普诺夫提出了一种以特征函数为基础的思想证明了中心极限定理，后来的 发展说明了李亚普诺夫的方法在证明最为多种多样的极限定理时，是十分有效的，这决定了它的发展和广泛应用。
3.1分布函数与特征函数对应的连续性定理1：设{}n F 是分布函数序列：()x F F n n =，R x ∈，而{}n ϕ是相应的特征函数序列：()()x dF t n itxn e⎰∞∞-=ϕ，（1）如果F F w n −→−，其中()x F F =是某一分布函数，则()()t t n ϕϕ→，其中()t n ϕ是()x F F =的特征函数。
（2）如果对于每个R t ∈存在极限()t n n ϕ∞→lim ，而函数()()t t n n ϕϕ∞→=lim 在0=t 连续，则()t ϕ是某一概率分布()x F F =的特征函数，且F F wn −→−注：设21,,ηηη……是随机变量，且ηηF F wn −→−,则称随机变量,,21ηη……依分布收敛于η，并记作ηη−→−dn 定理时，常认为表达式.这一记号很直观（d 是distribution 的字头），因此在表述极限定理时，常认为表达式ηη−→−d n 比ηηF F w n −→−更好。
证明：将弱收敛的定义分别用于函数e itx Re 和e itxIm ，立即可以证明命题（1）； 命题（2）的证明，要求事先证明几个引理。
引理1：设{}n P 是稠密概率测度族。
假设序列{}n P 的弱收敛子序列{}'n P ，都收敛于同一概率测度P 。
则整个序列{}n P 也弱收敛于同一概率测度P证明：假设结果相反，整个数列不收敛于P 则存在这样的有界连续函数()x f f =，使得()()dx P x f nR⎰↛()()dx P x f R⎰由此可得，存在0>ε和无限数列{}{}n n ⊆'，使得()()()()0'>≥-⎰⎰εRRn dx P x f dx P x f （*4）则由序列{}'n P 可以选出子序列{}''n P ，使得Q P wn −→−''，其中Q 是某一测度概率。