耦合模理论的推导公式

耦合模理论 耦合模理论（Coupled-Mode Theory，CMT）是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一

般规律的理论。CMT可用于非接触电能传输（Contactless Power Transfer，CPT）系统的计算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用CMT来估算线圈间的能量传输效率，首先用电路原理（Circuit Theory，CT）的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过CMT得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程对比后发现可以变换为一套相同的公式。随后分析3个线圈、4个线圈、一直到n-1个线圈都可以变换为同一套公式，最后将此方法推广到在同一平面的n个负载线圈的效率求解。 1 单负载的电路分析 1.1 电路分析

在图1中磁共振系统的逆变和整流部分可以得到高频的交流电，U是逆变后的交流电源，R为原副边的内阻，RL是负载，耦合系数12/KMLL，其中M为L1和L2的互感。系统最佳的工作频率就是谐振点，由集总参数的能量守恒原理可以得到

1121

1URjLIjMIC





(1)

L2122

10RRLIjjMIC





(2)

222L2221,(R)XL

jMUIPIRXM

 (3)

令11iiXRjLC， 2222221121L2(())(RX)CTLLL

PIRMRUIUIRXXM (4) 在谐振状态下，010201021211,,,LLXRXRLL，从而得到 L2222(())(RR)LCTLMRRRRM (5)

1.2 CMT分析 CPT系统中，常常只涉及稳态分析，在此也仅分析稳态特性。主线圈的幅值在正弦时为一个常数；同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线圈12(t),(t)aa的原始储能可分

别表示为2212(t),(t)aa。由CMT可得 111122(t)(j)(t)jK(t)(t)SaaaF （6）

2212121(t)(j)(t)jK(t)aaa （7）

在上述公式中，12,,L分别为原线圈的损耗、负载线圈的损耗和负载的吸收功率，12

K

为两个线圈的耦合率，(t)SF为励磁损耗（忽略不计）。CMT中，1122

(t),(t)jtjtaAeaAe

都是正弦信号；111222222,P2PAA和L22P2LA分别为原线圈、副线圈和负载的功率。由能量守恒定律可得 212

2

222121222222LCMTLLL

APPPPAAA

(8)

由方程（6）和（7）可得11222112LAjKAjK，2LLLQR,11LQR,22LQR。将两者之间关系1212,,222LLQQQ以及122KK代入式（8），解得 1212L2L2112122222222222()(()K(())()(())()LLCMT

LL

LLL

KKLLRRRRKLLRRMRRRRMRR





（9）

与式（5）对比可知，两种方法求出的传输效率的表达式相同。 2 两个负载电路的传输效率分析 2.1 电路分析 对于图2电路，2M和3M为1L分别与2L和3L的互感，3LR为线圈3所带的负载，2

K

和3K分别为两个负载线圈的耦合系数.同理可得

1122331

1URjLIjMIjMIC





（10）

222212

10LRRjLIjMIC





(11)

333313

10LRRjLIjMIC





(12)

在谐振状态下的传输效率为 22233223332

1123

2222222()()1()()CTLLLLLLLLPIRIRMRRRMRRRUIUIGRRRR



 (13)

式中：12323322222()()()()LLLLGRRRRMRRMRR. 2.2 CMT分析 3个线圈的CMT分析和两个线圈的CMT分析方法类似，如下所示：

1111122133(t)()(t)(t)(t)(t)SajajKajKaF （14）

22222121(t)(+)(t)(t)LajajKa (15)

33333131(t)(+)(t)(t)LajajKa (16)

同理可得133122331223331323,,,,,LLLLLALLLLLQQQQQAjKRRRRR.同时有关系式2323123121323123,,,,,,2222222LLLLKKKKQQQQQ.从而解得 223323

123231122332233

22222222222222CMTLLLLLLLLAAPPPPPPPAAAAA





223332223

222222()()()()LLLLLLMRRRMRRRGRRRR



 (17)

式中：22323322222()()()()LLLLGRRRRRMRRMRR.解出的结果与式（13）相同.用CT方法和CMT方法能够得到相同的效率公式. 3 3个负载电路的传输效率分析

对于图3中3个负载电路的拓扑结构，用同样的方法能够证明用集总参数分析方法和CMT求传输效率是相同的.

22334411

222

CTLLLPIRIRIRUIUI

 (18)

2341234234CMT

LLL

LLL

PPPPPPPPPP



 (19)

令234234324423234

2222

22(()()()()()()()()())()()()LLLLLLLLLLLLRRRRRRRMRRRRMRRRRMRRRRRRRRRR



1223433243323

22222222

2222()()()()()()LLLLLLLLLMRRRRRMRRRRRMRRRRR

,

求得传输效率公式为 1CMT





 （20）

4 n-1个负载电路的传输效率分析

用集总参数分析图4拓扑结构，图4有n-1个负载线圈，有n个方程，分别为 112211...nnURjLIjMIjMIC



（21）

110iiiiiL

RRjLIjMIC



(2,...,)in (22)

解上述n个方程，并将12,,...,nIII代入 2j2233n122222222,()...+iin

CT

nn

LLLLLijjiMRRRIRIRIRUI









（23）

式中：2)jnnn222222,()(()jjinLLLijjjjiRRRRRMRR 用CMT方法分析图4的拓扑结构图，同样忽略励磁效应，由前面的方法可得 11111221(t)()(t)(t)...(t)(t)nnSajajKajKaF （24）

211(t)(+)(t)(t)iiiiiLajajKa (2,...,)in （25）

将以上各变量代换，得到 222221212222iiiCMTiiiiiinnLLiinnnnLLiiiiPAPPAA







 （26）

将条件1211,,,,,222iiiiiiiiiiiiiiLLLLLALLKQQKAjKRRQQ代入式（26），忽略两个负载之间的耦合现象及原线圈的励磁后，用集总参数和CMT能得到同样的结果.