人教版九年级上册第二十二章二次函数章末总结2
为),(3
34,1-,且与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式;
(2)点P 为抛物线对称轴上的动点,当△PBC 为等腰三角形时,求点P 的坐标;
(3)在直线AC 上是否存在一点Q ,使△QBM 的周长最小?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.
三、检测
1.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件的制作成本为18元,试销过程中
发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)
(1)写出每月的利润W(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式(不要求写出x的取值范围);
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
2.如图,抛物线经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点N是直线BC上方抛物线上的点(不与B、C重合),过N作MN∥y轴交线段BC于点M,若点N的横坐标为n,请用n的代数式表示MN的长.(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在点N,使四边形OBNC的面积最大?若存在,求N的坐标及最大面积;若不
二次函数章节测试(A卷)
九年级数学人教版 二次函数章节测试(A 卷) (满分100分,考试时间60分钟) 学校____________ 班级__________ 姓名___________ 一、选择题(每小题3分,共24分) 1. 下列函数一定是二次函数的是() A .y =ax 2+bx +c B .y =2x +3 C .y =(x +2)(x -3) D .23 1y x =+ 2. 已知抛物线y =ax 2+bx -1(a ≠0)经过点(1,1),则a +b +1的值是() A .-3 B .-1 C .2 D .3 3. 二次函数y =ax 2+bx +c ,自变量x 与函数y 的对应值如表: 下列说法正确的是() A .抛物线开口向下 B .当x >-3时,y 随x 的增大而增大 C .二次函数的最小值是-2 D .抛物线的对称轴是直线5 2 x =- 4. 下表是满足二次函数y =ax 2+bx +c 的五组数据,x 1是方程ax 2+bx +c =0的一个 解,则下列选项中正确的是() A .1.6<x 1<1.8 B .1.8<x 1<2.0 C .2.0<x 1<2.2 D .2.2<x 1<2.4
5. 已知一次函数b y x c a = +的图象如图,则二次函数y =ax 2+bx +c 在平面直角坐标系中的图象可能.. 是() A B C D 6. 点P 1(-1,y 1),P 2(3,y 2),P 3(5,y 3)均在二次函数y =-x 2+2x +c 的图象上,则 y 1,y 2,y 3的大小关系是() A .y 3>y 2>y 1 B .y 3>y 1=y 2 C .y 1>y 2>y 3 D .y 1=y 2>y 3 7. 将抛物线y =x 2-2x +3先沿水平方向向右平移1个单位,再沿竖直方向向上平 移3个单位,则得到的新抛物线的解析式为() A .y =(x -2)2+3 B .y =(x -2)2+5 C .y =x 2-1 D .y =x 2+4 8. 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)和正比例函数2 3 y x =的图象如图所示,则方程 22 ()03 ax b x c +-+=(a ≠0)的两根之和() A .大于0 B .等于0 C .小于0 D .不能确定 二、填空题(每小题4分,共20分) 9. 二次函数y =x 2-2x +4的顶点坐标是___________. 10. 已知二次函数214 m y x x =-+-的图象与x 轴有交点,则m 的取值范围是 _____________.
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数 知识点总结
右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为:顶点、与 y 轴的交点 0 ,c 、以及 . c - , ? ? 2a ? . 2a 时, y 随 x 的增大而减小;当 2a 时, y 随 x 的增大而增大; 第二十二章 二次函数 一、二次函数的有关概念: 1、二次函数的定义: 一般地,形如 y = ax 2 + bx + c ( a ,b ,c 是常数,a ≠ 0 )的函数,叫做二次函数。 2、二次函数解析式的表示方法 (1) 一般式: y = ax 2 + bx + c ( a , b , c 为常数, a ≠ 0 ); (2) 顶点式: y = a ( x - h )2 + k ( a , h , k 为常数, a ≠ 0 ); (3)两根式:y = a ( x - x 1 )(x - x 2 )( a ≠ 0 ,x 1 ,x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标) 二、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法 1.基本方法:描点法 注 : 五 点 绘 图 法 。 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 y = ax 2 + bx + c 化 为 顶 点 式 y = a ( x - h )2 + k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左 ( ) (0 , ) 关于对称轴对称的点 (2h ,c ) 、与 x 轴的交点 (x 1 ,0) ,(x 2 ,0)(若与 x 轴没有 交点,则取两组关于对称轴对称的点). 2.画草图 抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y 轴的 交点. 三、二次函数的图像和性质 1.二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质 ( 1 ) . 当 a > 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 ? b 4ac - b 2 ? 4a x =- b 2a ,顶点坐标为 当 x <- b b x >- 当 x =- b 4a c - b 2 2a 时, y 有最小值 4a . ( 2 ) . 当 a < 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x =- b 2a ,顶点坐标为
二次函数根的分布专题
一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质,分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一.一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ,2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 :0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用: (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根,求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值,一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根?
二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x,2x,k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k
高中数学空间几何体知识点总结
空间几何体知识点总结 一、空间几何体的结构特征 1 .柱、锥、台、球的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公 共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点。 把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的圭寸闭几何体称之为旋转体,其中定直线称为旋转体的 轴。 (1)柱 棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的 侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形,,的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 注:相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: 四棱柱I底面为平行四边形怦行六面体I侧棱垂直于底面IB平行?硕本I底面为矩形 ■------------------------------ Bh. ------------ ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 斜棱柱棱柱: κ=≡τ?tr J車""理》正棱柱 按方体底面为正方形正四棱柱恻棱与底面边栓相萨IlE方体I 棱柱的性质:
人教版(2019)高中物理必修一 第二章 2.4 章末优化总结
章末优化总结 解决匀变速直线运动问题的常用方法1.匀变速直线运动规律公式间的关系 2.常用解题方法 常用方法规律特点 一般公式法v=v0+at,x=v0t+ 1 2at 2,v2-v20=2ax 使用时应注意它们都是矢量,一般以v0方向为正方向,其余物理量与正方向相同者为正,与正方向相反者为负
平均速度法 v -=x t ,对任何性质的运动都适用; v -=1 2(v 0+v ),只适用于匀变速直线运动 中间时刻速度法 v t 2 =v -=1 2(v 0+v ),适用于匀变速直线运动 比例法 对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动,可利用比例法求解 逆向思维法 把运动过程的“末态”作为“初态”的方法.例如,末速度为0的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动 图象法 应用v -t 图象,可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决,尤其是用图象定性分析,可避免繁杂的计算,快速求解 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面,斜面总长度为l ,到 达斜面最高点C 时速度恰好为零,如图.已知物体运动到距斜面底端3 4l 处的 B 点时,所用时间为t ,求物体从B 滑到 C 所用的时间. [解析] 法一:逆向思维法 物体向上匀减速冲上斜面 相当于向下匀加速滑下斜面 故x BC =at 2BC 2,x AC =a (t +t BC )22,又x BC =x AC 4 由以上三式解得t BC =t . 法二:基本公式法 因为物体沿斜面向上做匀减速运动,设物体从B 滑到C 所用的时间为t BC ,由匀变速直线运动的规律可得 v 20=2ax AC ① v 2B =v 2 0-2ax AB ② x AB =34 x AC ③ 由①②③式解得v B =v 0 2 ④ 又v B =v 0-at ⑤ v B =at BC ⑥ 由④⑤⑥式解得t BC =t . 法三:比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动,在连续相等的时间里通过的位移之比为 x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n =1∶3∶5∶…∶(2n -1)
二次函数经典测试题及答案解析
二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1.如图,ABC ?为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( ) A . B . C . D . 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意. 【详解】 根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意; 点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值, ∴选项B 符合题意,选项A 不合题意. 故选B . 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题. 2.二次函数y =x 2+bx 的对称轴为直线x =2,若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0(t 为实数)在﹣1<x <4的范围内有解,则t 的取值范围是( ) A .0<t <5 B .﹣4≤t <5 C .﹣4≤t <0 D .t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ,确定二次函数解析式,关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函
数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点,﹣1<x <4时﹣4≤y <5,进而求解; 【详解】 解:∵对称轴为直线x =2, ∴b =﹣4, ∴y =x 2﹣4x , 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t =0的解可以看成二次函数y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点, ∵﹣1<x <4, ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y <5, ∴﹣4≤t <5; 故选:B . 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质,一元二次方程的解;将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题,数形结合的解决问题是解题的关键. 3.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( ) A .原数与对应新数的差不可能等于零 B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大 C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30 D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解. 【详解】 解:设原数为m ,则新数为2 1100 m , 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,2 1100 m m - +=21 解得1m =30,2m =70,则C 错误.
九年上第二十二章 二次函数全章知识点总结
二次函数 二次函数的定义:一般地,形如 ()0,,2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的函数,叫做二次函数,x 是 自变量,c b a ,,分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 开口方向:二次函数c bx ax y ++=2图像是一条抛物线,二次项系数()0≠a a 决定二次函数图像的开口方向,当0>a ,二次函数图像开口向上,当0a ,a 越大,抛物线的开口越小。 在直角坐标系中画出二次函数2 2 1x y -=,2x y -=,22x y -=的 图像,观察图像可知三个二次函数图像的顶点坐标,对称轴都相同,开口大小逐渐减小。规律:0 相反的。0>a ,当a b x 2-<时,y 随x 的增大而减小,当a b x 2- >时,y 随x 的增大而增大。0时,y 随x 的增大而减小。 二次函数的顶点:二次函数对称轴与二次函数图像的交点便是二 次函数的顶点。二次函数的顶点坐标是???? ??--a b ac a b 44,22,当 0>a 时,二次函数的顶点是图像的最低点。0a 时,二次函数取得最小值 a b ac 442-,无最大值。当0a 时,二次函数取得最小值a b ac 442 -,最大值是21,y y 中的较大者。当0 【经典例题】二次函数根的分布 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()1 2 0,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()1 2 0,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()1 2 0x x << 大致图 象(0 >a ) 得出的 结论 ()00200 b a f ?>??? -?>?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()0 0【经典例题】二次函数根的分布