新人教版九年级上册数学22.1.1二次函数课件(第一课时)
解：（1）由n² -1=0，n² -2n-3=0 n= ±1,n ≠-1且n ≠3 ∴当n=1时，y是x的一次函数
（2）由n² -1 ≠0,得n ≠ ±1. ∴当n ≠ ±1时，y是x的二次函数
解得
(4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 -x __ (5)y= 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=8π r² 1 不是二次函数. (2) y=x+ __ 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 8π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
（3） y=x(1+x)
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 1 __ (1) y=3(x－1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3－2t² (4) y=(x+3)² －x² 1 __ (5)y= －x (6) v=8π r² x²
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
问题1:
2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比 赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的 关系式.
问题3：某工厂一种产品现在的产量是20
件，计划今后两年增加产量。如果每年都 比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种 产品的产量y将随计划所定的x的值而确定， y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 20(1+x) 件, 再经过一年后的产量是 20(1+x)(1+x) 件，即两年后的产
m 2 m 1 函数y= (m+1)x
2
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
∴m=3
驶向胜利 的彼岸
易错题
已知函数y=(n² -1)x² +(n² -2n-3)x-n-1 (1)当n为何值时，y是x的一次函数？
(2)当n为何值时，y是x的二次函数？
量为Leabharlann y=20(x+1)²
即
y=20x² +40x+20 ③
观察： 函数①②③有什么共同点? y=6x2①
m 1 n2 1 n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次整式表示的。
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数 的有 B C 。
A y=ax2+bx+c
C y=x2
B y2=x2-4x+1
D y=2+ √x2+1
4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( A C m,n是常数,且m≠0 m,n是常数,且m≠n B D m,n为任何实数
奥运赛场腾空的篮球
基础回顾
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫因变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
C
)
m,n是常数,且n≠0
想一想
函数y ax bx c(其中a, b, c是常数)，
2
当a, b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数 ？
解：（1）a 0
(2)a 0, b0
(3)a 0, b 0,c 0
知识运用
例2:m取何值时，
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且
a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一个 整 式
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
（一般式）
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax² +bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6
y=kx+b (k≠0)
变 量 之 间 的 关 系
一次函数
正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
反比例函数
y=k/x (k≠0)
二次函数
22.1.1二次函数
正方体的六个面是全等的正方形,设 正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关 系可以表示为 y=6x2①
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九年级数学上册 22.1.1 二次函数课件 (新版)新人教版
三、研读课文
练一练
知
识
一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与底面半径r 之间的关系式.
点
一 解： S 4r2
三、研读课文
知识点二 二次函数的定义
思考 函数 y 6 x 2 , y 1 n2 1 n ,
22
y20x240x20有什么共同点？ 答： 上面的三个函数都是用自变量的平方表 示的.
一
有什么关系？
三、研读课文
分析：因为每个队要与其他 n-1个队各比赛一场，
知 所以共有 n(场n-比1)赛；
识
又因为甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛
是同一场比赛，所以比赛的场次数为：n(n-1)/2.
点 即：
一
对于上式，比赛的场次数m与球队数n的关系， n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的
二次项系数是 -1 ，
一次项系数是 5 ，
常数项是 2
.
五、强化训练
4、下列函数表达式中，哪些是二次函 数？哪些不是？若是二次函数，请指出 各项对应项的系数．
(1) y 13x2
解：
(2)y 3x2 2x （1）是；
(3) yx(x5)2
（2）是； （3）是；
(4)y3x3 2x2
(5) y x 1 x
练一练 二次函数 y3x25x12中，
二次项系数是 -3 ，一次项系数
是5
，常数项是 -12 .
四、归纳小结
1、一般地，形如： yax2 bxc ,
（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次
函数.
2、学习反思：________
________
_____________________
_______
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
人教版数学九年级上册22 二次函数(第一课时)课件
4
【典例】下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( )
A．y＝x12
B．y＝2x＋1
C．y＝x2＋x－2
D．y2＝x2＋3x
分析：y＝x12中，x12为分式，不是二次函数，故 A 不符题意；y＝2x＋1 中，x 的
次数为 1，是一次函数，故 B 不符题意；y＝x2＋x－2 符合二次函数的定义，是二次
函数解析式是 y＝3x＋2 或 y＝33＋215
5x＋5＋23
5或 y＝33－215
5x＋5－23
5 .
(2) 若 函 数 y ＝ (m2 － m － 2)xm2 － 5m － 4 ＋ (m ＋ 1)x ＋ m 为 二 次 函 数 ， 则
m2－5m－4＝2， m2－m－2≠0.
解得 m＝6.故当 m＝6 时，函数 y＝(m2－m－2)xm2－5m－4＋(m
• (1)求直线AB的解析式； • (2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数解析
式．
17
解：(1)如图所示，∵OE＝CD＝80 m，OC＝ED＝100 m，AE＝60 m，BC＝70 m， ∴OA＝20 m，OB＝30 m，即 A(0,20)、B(30,0)．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地 和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我 们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的 人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的 真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
九年级数学人教版(上册)22.1.1二次函数教学课件
人教版《义务教育教科书》
22.1.1二次函数
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某 个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一 的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关 系。（刻画变化规律的数学工具）
对于上述两个变量， x叫自变量， 我们把y叫x 的函数。（运动变化与联系对应的思想）
提炼方法 明确路径
一次函数研究路径：
认识函数
图像与性质
与方程、不等式的联系
数学思想：归纳思想、建模思想、 解决实际问题 数形结合思想
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的表面积 为y 与棱长为x y =6x2
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛。比赛的场次数m与球队n之间有什么
解（1）由题意得
y x2 (x 0) 4
其中y是x的二次函数
（2 ）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
其中S是x的二次函数 2
2
例2: 关于x的函数 y (m 得 m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
当a,b,c满足 什么 条件时
（1）它是二次函数 （2）它是一次函数
（1）a 0 (2)a 0,b 0
（3）它是正比例函数 (3)a 0,b 0,c 0
分类讨论思想
3、m取何值时，函数是 y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？ 4、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
22.1.1二次函数
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某 个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一 的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关 系。（刻画变化规律的数学工具）
对于上述两个变量， x叫自变量， 我们把y叫x 的函数。（运动变化与联系对应的思想）
提炼方法 明确路径
一次函数研究路径：
认识函数
图像与性质
与方程、不等式的联系
数学思想：归纳思想、建模思想、 解决实际问题 数形结合思想
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的表面积 为y 与棱长为x y =6x2
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛。比赛的场次数m与球队n之间有什么
解（1）由题意得
y x2 (x 0) 4
其中y是x的二次函数
（2 ）由题意得 S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
其中S是x的二次函数 2
2
例2: 关于x的函数 y (m 得 m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
当a,b,c满足 什么 条件时
（1）它是二次函数 （2）它是一次函数
（1）a 0 (2)a 0,b 0
（3）它是正比例函数 (3)a 0,b 0,c 0
分类讨论思想
3、m取何值时，函数是 y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？ 4、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级数学上册：22.1.1 二次函数 课件(共36张PPT)
解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
∵AB∴=12, ∴PB=12-2t,
∴S
=
1 2
PB
BQ
=
1 2
(12
-
2
t)
4t＝-
4
t2+
24
t
.
t的取值范围为0≤t≤6.
课堂小结 1.二次函数的概念是什么？ 2.辨析二次函数时应注意哪些问题？
作业 1.（必做）课本41页第1、2题
2.（选做）课本42页第12题
形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
常数项
一次项
问题：
?
a，b，c为常数，a≠0
学以致用 判断依据： y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
1.下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和
常数项。
二次项
常数项
注意：
（1）a,b,c 为常数，且a ≠ 0，但b、c可以取0
（2）各项均为整式.
（3）自变量的最高次数是2，取值范围是全体实数.
考查角度一 二次函数的识别 下列函数中是二次函数的有 ①⑤ 。
①y= 2x2 2 √
③y x2(1 x2) 1 ×
经过12s汽车行驶了多远？行驶380m需要多少时 间？
知识点2 根据具体问题确定二次函数解析式
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场
地，场地面积 S(m²)与矩形一边长a(m)
之间的关系是什么？是哪种函数关系？
∵AB∴=12, ∴PB=12-2t,
∴S
=
1 2
PB
BQ
=
1 2
(12
-
2
t)
4t＝-
4
t2+
24
t
.
t的取值范围为0≤t≤6.
课堂小结 1.二次函数的概念是什么？ 2.辨析二次函数时应注意哪些问题？
作业 1.（必做）课本41页第1、2题
2.（选做）课本42页第12题
形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
常数项
一次项
问题：
?
a，b，c为常数，a≠0
学以致用 判断依据： y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
1.下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和
常数项。
二次项
常数项
注意：
（1）a,b,c 为常数，且a ≠ 0，但b、c可以取0
（2）各项均为整式.
（3）自变量的最高次数是2，取值范围是全体实数.
考查角度一 二次函数的识别 下列函数中是二次函数的有 ①⑤ 。
①y= 2x2 2 √
③y x2(1 x2) 1 ×
经过12s汽车行驶了多远？行驶380m需要多少时 间？
知识点2 根据具体问题确定二次函数解析式
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场
地，场地面积 S(m²)与矩形一边长a(m)
之间的关系是什么？是哪种函数关系？
九年级数学上册教学课件《二次函数的图象和性质(第1课时)》
向下平移1个单位.
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；
当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其
图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x轴的交点坐标
是 (-1,0),(1,0) .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
y 1 x2+2 2
（0，-2）
y 1 x2 2
y 1 x2 -2
2
-2 O -2
-4
-6
2 4x
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
y 4
在同一坐标系内画出
2
下列二次函数的图象：
-2
0
2
x
-2
y 1 x2
-4
3
y1
1 3
x2
2
y2
1 3
当x＞0时，y随x的增大而增大.
巩固练习
22.1 二次函数的图像和性质
在同一坐标系中，画出二次函数
y
1 2
x
2
，y
1 2
x2
2
，y
1 2
x2
2
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
如图所示
y
抛物线
开口方向 向下 向下 向下
对称轴 x=0 x=0 x=0
顶点坐标
-4
（0,0） （0,2）
顶点坐标
（0,1） （0，-1）
y y = 2x2+1
8 6 4 2
-4 -2 O 2 4 x -1
（2）函数y=-x2+1，当x >0 时， y随x的增大而减小；
当x =0 时，函数y有最大值，最大值y是 1 ，其
图象与y轴的交点坐标是 (0,1) ，与x轴的交点坐标
是 (-1,0),(1,0) .
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
y 1 x2+2 2
（0，-2）
y 1 x2 2
y 1 x2 -2
2
-2 O -2
-4
-6
2 4x
探究新知
22.1 二次函数的图像和性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
y 4
在同一坐标系内画出
2
下列二次函数的图象：
-2
0
2
x
-2
y 1 x2
-4
3
y1
1 3
x2
2
y2
1 3
当x＞0时，y随x的增大而增大.
巩固练习
22.1 二次函数的图像和性质
在同一坐标系中，画出二次函数
y
1 2
x
2
，y
1 2
x2
2
，y
1 2
x2
2
的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.
如图所示
y
抛物线
开口方向 向下 向下 向下
对称轴 x=0 x=0 x=0
顶点坐标
-4
（0,0） （0,2）
顶点坐标
（0,1） （0，-1）
y y = 2x2+1
8 6 4 2
-4 -2 O 2 4 x -1
九年级(人教版)数学上册课件：22.1 第1课时 二次函数
∴ x 的取值范围是 92＜x＜9，
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x 2 + 9x = 18，
解得 x1 = 3，x2 = 6． 当 x = 3 时，y = 9 - 3 = 6，但 y＞x ，不合题意，舍 去． 当 x = 6 时，y = 9 - 6 = 3． 所以当绿地面积为 18 m 2 时，矩形的长为 6 m ，宽 为 3 m．
y=20(1+x)2=20x2+40x+20
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x 之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对 应值,即y是x的函数.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
观察下列函数有什么共同点: y=6x2
m 1 n2 1 n 22
y=20x2+40x+20
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x米，宽为y 米，面积为S平方米，（x＞y）． （1）如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框（即周长）， 求S与x的函数关系，并求出x的取值范围． （2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18平方 米，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少米？
函数都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义：一般地，形如 y ax2 bx c （a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
• 课后作业：“学生用 书”的“课后作业” 部分．
思考（1） 题目中蕴涵的公式是什么？第（2）问就是已知 _S_（_函__数_值__），求___x（__自_变_量__）_的问题． （2）根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求 自变量的值或二次函数值与以前学过的哪些知识相关？
∴ S矩形 = xy = x（9-x）=-x2+9x．
（2）当矩形面积 S矩形 = 18 时，即 - x 2 + 9x = 18，
解得 x1 = 3，x2 = 6． 当 x = 3 时，y = 9 - 3 = 6，但 y＞x ，不合题意，舍 去． 当 x = 6 时，y = 9 - 6 = 3． 所以当绿地面积为 18 m 2 时，矩形的长为 6 m ，宽 为 3 m．
y=20(1+x)2=20x2+40x+20
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x 之间的关系,对于x的每一个值,y都有一个对 应值,即y是x的函数.
合作探究 达成目标
探究点一 二次函数及其相关概念
观察下列函数有什么共同点: y=6x2
m 1 n2 1 n 22
y=20x2+40x+20
例 某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x米，宽为y 米，面积为S平方米，（x＞y）． （1）如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框（即周长）， 求S与x的函数关系，并求出x的取值范围． （2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18平方 米，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少米？
函数都是用自变量的二次式表示的.
二次函数的定义：一般地，形如 y ax2 bx c （a ，b ，c 是常数，a≠0） 的函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a， b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项 系数和常数项．
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
• 课后作业：“学生用 书”的“课后作业” 部分．
思考（1） 题目中蕴涵的公式是什么？第（2）问就是已知 _S_（_函__数_值__），求___x（__自_变_量__）_的问题． （2）根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求 自变量的值或二次函数值与以前学过的哪些知识相关？
人教版数学九年级上册22.1.1 二次函数课件(共21张PPT)
∴当m=3 时，该函数是二次函-1+(3-5)x+32, 即y=12x²-2x+9.
例3在情境2中，若某年级共有4个班参加篮球比赛，那么总共要比 多少场? 解：∵比赛的场次数
∴代入n=4, 得m=6 ∴总共要比6场
随堂练习
1.下列函数关系中，是二次函数的为( D
方法总结判断二次函数的方法
1. 自变量的最高次数是2次； 2.二次项系数a≠0;
iSyNVH1
i 凹量‘凿异业
一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c a≠0)的函数叫做二次函数。
是常数，
二次 函数
注意：a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项. (自变量的最高次数是2;二次项系数a≠0)
特殊形式
y=ax²(a≠0);y=ax²+bx(a≠0); y=ax²+c(a≠0,a,b,c 是常数).
解：比赛的场次数为
即
情境3悦悦通过调查发现，由于学生参加校运动会的积极性非常高，所以 今年学校增加了每个项目的参赛人数。已知今年有300名同学参赛，今年比 去年的参赛人数增加了t倍，若按照这样的增长速度，预计两年后的参赛人 数与t之间有怎样的关系?
解：两年后参赛人数f=300(1+t)², 即f=300t²+600t+300.
(1)求y与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
解 ：y=300+30(60-x)=-30x+2100(40≤x≤60). (2)设每星期的销售利润为W 元，求W 与 x 之间的函数关系式.
解 ：W=(x-40)(-30x+2100)=-30x²+3300x-84000.
二次函数(1)PPT课件(人教版)
九年级上册人教版数学
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．