关于复变函数积分求解总结

关于求积分的各种方法的总结

摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.

关键词：积分，解析，函数，曲线

1.利用定义求积分

例1、计算积分()

d z ix y x c ⎰+-2，积分路径C 是连接由0到i +1的直线段. 解：()10≤≤=x x y 为从点0到点i +1的直线方程，于是

()d z ix y x c ⎰+-2()()iy x d ix y x i ++-=⎰+10

2

()()ix x d ix x x ++-=⎰1

2 ()dx x i i ⎰+=1

021 3

1i --

=. 2.利用柯西积分定理求积分 柯西积分定理：设()z f 在单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()0=⎰dz z f c

. 柯西积分定理的等价形式：设C 是一条周线，D 为C 之内部，()z f 在闭域C D D +=上解析，则()0=⎰dz z f c

. 例2、求dz i

z z c ⎰+cos ，其中C 为圆周13=+i z ， 解：圆周C 为()13=--z z ，被积函数的奇点为i -，在C 的外部， 于是，

i

z z +cos 在以C 为边界的闭圆13≤+i z 上解析， 故由柯西积分定理的等价形式得dz i

z z c ⎰+cos 0=. 如果D 为多连通区域，有如下定理： 设D 是由复周线---+++=n C C C C C 210所构成的有界多连通区域，()z f 在D 内

解析，在C D D +=上连续，则()0=⎰dz z f c

. 例3.计算积分()

⎰=+6113z z z dz . 分析：被积函数()()131+=z z z F 在C 上共有两个奇点0=z 和3

1-=z ，在1=z 内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.

解：显然，()1

331131++=+z z z z 任作以0=z 与以31-

=z 为心，充分小半径61

⎫ ⎝⎛--Γ31:2，将二奇点挖去，新边界构成复周线--Γ+Γ+21C ()1:=z C . ()()⎰⎰Γ+Γ=+=+2113131z z dz z z dz z

()()

⎰⎰ΓΓ+++=211313z z dz z z dz ⎰⎰⎰⎰

ΓΓΓΓ+-++-=2211133133z dz z dz z dz z dz ⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221

13131z dz z dz z dz z dz 0=.

3.利用柯西积分公式求积分

设区域D 的边界是周线或复周线C ，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有()()()

ζζζπd z f i z f c ⎰-=21 ()D z ∈，即()()()z if d z f c πζζζ2=-⎰. 例4.计算积分dz z z z c ⎰-+-1

122的值，其中2:=z C 解：因为()z f 122+-=z z 在2≤z 上解析， 21<∈=z z ，

由柯西积分公式得()

122112222+-=-+-⎰=z z i dz z z z z π. 设区域D 的边界是周线或复周线C ，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数()z f 在区域D 内有各阶导数，并且有()()()()ζζζπd z f i n z f c n n ⎰+-=12!()D z ∈ () 2,1=n 即()()()()z f n i d z f n c

n !21πζζζ=-⎰+. 例5.计算积分()

dz i z z c ⎰-3cos ，其中C 是绕i 一周的周线. 解：因为z cos 在z 平面上解析，

所以()

()i z c z i dz i z z ="=-⎰|cos !22cos 3πi i cos π-= i e e 2

1+-=-π. 例6. 求积分()()ζζζζd c ⎰+-192，其中C 为圆周2=ζ.

解：()()

ζζζζd c ⎰+-192()ζζζζ

d i c ⎰---=2

9 5π

=

另外,若a 为周线C 内部一点，则()⎰

-c a z dz i π2= ()

0=-⎰

c n a z dz （1≠n ，且n 为整数）.

4.应用留数定理求复积分 ()z f 在复周线或周线C 所围的区域D 内，除n a a a ,,21外解析，在闭域C D D +=上除n a a a ,,21外连续，则()()z f s i dz z f n

k a z c k ∑⎰===1Re 2π.

设a 为()z f 的n 阶极点，()z f ()

()n a z z -=ϕ，其中()z ϕ在点a 解析，()0≠a ϕ，则

()()()()!1Re 1-=-=n a z f s n a z ϕ.

例7.计算积分()

dz z z z z ⎰=--22125 解：被积函数()z f ()2125--=

z z z 在圆周2=z 的内部只有一阶极点0=z 及1=z ， ()()

2|225Re 020-=--===z z z z z f s ()2|2|25Re 1211=='⎪⎭

⎫ ⎝⎛-====z z z z z z z f s 因此，由留数定理可得

()dz z z z z ⎰=--22125()0222=+-=i π.

例8.计算积分dz z z z ⎰

=13

cos . 解：()z f 3cos z

z =只以0=z 为三阶极点， ()[]21cos !21Re 00-="=∴==z z z z f s 由留数定理得 dz z z z ⎰=13cos i i ππ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=212. 5.用留数定理计算实积分

某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.

5.1计算()θθθπ

d R ⎰20sin ,cos 型积分 令θ

i e z =，则2cos 1-+=z z θ，i z z 2sin 1--θ，iz dz d =θ， 此时有()θθθπ

d R ⎰20sin ,cos iz dz i z z z z R z ⎰=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1112,2

.