2013届高考数学一轮复习讲义第四章 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
π － 6 0 0 0源自π 12 π 2 1 2π 3 π 0 0
7π 12 3π 2 －1 －2
5π 6 2π 0 0
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y
6
o
3
5 6
x
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π (3)方法一 把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位， 得 3 π π 到 y＝sinx＋3 的图象，再把 y＝sinx＋3 的图象上的点 π 1 的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋3的 2 π 图象，最后把 y＝sin2x＋3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 π 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝2sin2x＋3 的图象．
S＝ 6sin θ( 6cos θ－ 6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin2θ) 1 1 1 ＝62sin 2θ＋2cos 2θ－2 π ＝3 2sin2θ＋4 －3.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点 P 在 DE 上，故 OP
（
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π ∵0<θ≤ ， 4 π π π ∴当 2θ＋ ＝ ，即 θ＝ 时，S 取得最大值． 4 2 8
探究提高
本题属三角函数模型的应用，通常解决方法是转化为 y＝sin x， y＝cos x 等基本初等函数可以解决图象、最值、单调性等问题， 体现了化归的思想方法；用三角函数模型解决实际问题主要有 两种：一种是指用已知的模型去分析解决实际问题，另一种是 需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用 数据建立拟合函数解决实际问题充分体现了新课标中“数学建 模”的本质．
各点的纵坐标变为原来的A倍
以上两种方法的区别：方法一先平移再伸缩；方法二先伸缩再 平移．特别注意方法二中的平移量．
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要点梳理
忆一忆知识要点
3．当函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一 2π 1 个振动时， 叫做 振幅， ω 叫做 周期， T叫做 频率 ， A T＝ f＝ ωx＋φ 叫做 相位 ，φ 叫做 初相 ． 4．三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数 拟合，从而得到函数模型．
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T 2π π 解 (1)由条件，得 A＝2， ＝3.∵T＝ ω ，∴ω＝ . 4 6 π 2π ∴曲线段 FBC 的解析式为 y＝2sin6x＋ 3 . 当 x＝0 时，y＝OC＝ 3. π π 又 CD＝ 3，∴∠COD＝ ，即∠DOE＝ . 4 4
(2)由(1)，可知 OD＝ 6. ＝ 6. “矩形草坪”的面积为
π π π ∵－ <φ< ，∴φ＝ . 2 2 4 1 π ∴y＝ 2sin2x＋4 .
3π π 2，T＝4× 2 －2 ＝4π，
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π 1 π π (2)令 2kπ－ ≤ x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 2 4 2 3π π ∴4kπ－ ≤x≤4kπ＋ ，k∈Z. 2 2 ∴函数 f(x)的单调递增区间为 3π π 4kπ－ ，4kπ＋ (k∈Z)． 2 2
π 设函数 f(x)＝cos(ωx＋φ) (ω>0，－ <φ<0)的最小正周期为 π，且 2 π 3 ＝ f4 . 2 (1)求 ω 和 φ 的值； (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若 f(x)>
2 ，求 x 的取值范围． 2
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2π 解 (1)周期 T＝ ω ＝π，∴ω＝2， π π π 3 ＝cos2× ＋φ＝cos ＋φ＝－sin φ＝ ∵f 4 ， 4 2 2 3 π π ∴sin φ＝－ ，∵－ <φ<0，∴φ＝－ . 2 2 3 π (2)∵f(x)＝cos2x－3 ，列表如下：
求函数y＝Asin(ωx＋φ ) 的解析式
例 2 已知曲线 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的 π 坐标为2， 2，由此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点 3 π π π，0，若 φ∈－ ， . 2 2 2 (1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．
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要点梳理
[难点正本 疑点清源]
忆一忆知识要点
1．作图时应注意的两点 (1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域． (2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作 出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象． 2．图象变换的两种方法的区别 由 y＝sin x 的图象，利用图象变换作函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B (A>0，ω>0) (x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变 换的先后顺序不同时，原图象沿 x 轴的伸缩量的区别．先平移 变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期 |φ| 变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是 ω 个单位．
π 1 π 3 令 2kπ＋ ≤ x＋ ≤ π＋2kπ (k∈Z)， 2 2 4 2 π 5π ∴4kπ＋ ≤x≤4kπ＋ ，k∈Z. 2 2 ∴函数 f(x)的单调递减区间为 π 5π 4kπ＋ ，4kπ＋ (k∈Z)． 2 2
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探究提高
根据 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以 下四个方面来考虑： ①A 的 确 定 ： 根 据 图 象 的 最 高 点 和 最 低 点 ， 即 A ＝ 最高点－最低点 ； 2 ②k 的 确 定 ： 根 据 图 象 的 最 高 点 和 最 低 点 ， 即 k ＝ 最高点＋最低点 ； 2 2π ③ω 的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由 T＝ ω (ω>0) 来确定 ω； ④φ 的确定： 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 最开始与 x 轴的交点(最 φ φ 靠近原点)的横坐标为－ω(即令 ωx＋φ＝0，x＝－ω)确定 φ. 主页
一轮复习讲义
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
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要点梳理
个特征点． 如下表所示. x
忆一忆知识要点
1．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五
0－φ ω
π －φ 2 ω π 2
π－φ ω π
3π －φ 2 ω 3π 2
2π－φ ω 2π
ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ)
变式训练 2
(1)(2011· 江苏)已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω， φ 为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示， 则 f(0)的值是______． π (2)已知函数 f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )， 2 π y＝f(x)的部分图象如图所示，则 f( )＝________. 24
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要点梳理
忆一忆知识要点
为什么会有这个区别呢？其原因是，我们所说的平移多少(即平 移量)是相对于 x 来说的，与 x 的系数 ω 无关，因而应写成 y＝ φ |φ| ωx＋ ＋B 的形式．故平移量为 个单位． Asin ω ω
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作y＝Asin(ωx＋φ )的图象
T 7π π π (1)由题图知 A＝ 2， ＝ － ＝ ， 4 12 3 4 2π ∴T＝π，ω＝ ＝2. π π π ∴2× ＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋ . 3 3
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π 令 k＝0，得 φ＝ . 3 ∴函数解析式为 f(x)＝
π 2sin2x＋3 ，
π 6 ∴f(0)＝ 2sin ＝ . 3 2 π 3 π π (2)由图形知，T＝ω＝2( π－ )＝ ，∴ω＝2. 8 8 2 3 3 由 2× π＋φ＝kπ，k∈Z，得 φ＝kπ－ π，k∈Z. 8 4 π π 又∵|φ|＜ ，∴φ＝ . 2 4 π 由 Atan(2×0＋ )＝1， 4
例 1 已知函数
π y＝2sin2x＋3 ，
(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； π (3)说明 y＝2sin2x＋3 的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的 变换而得到．
(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决． (2)五点法作图，关键是找出与 x 相对应的五个点． (3)只要看清由谁变换得到谁即可．
0
0
A
0
－A
0
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要点梳理
骤如下：
忆一忆知识要点
2.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步
方法一
向左（右）平移|φ|个单位长度
各点的横坐标变为原来的
1
倍
各点的纵坐标变为原来的A倍
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要点梳理
忆一忆知识要点
方法二
1
各点的横坐标变为原来的
倍
向左(右)平移 个单位长度
(1)由最高点和相邻最低点间的相对位置，确定周期；根据待定 系数法求 φ. (2)将“ωx＋φ”看作一个整体放在一个单调区间内求解．
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解
(1)依题意，A＝
2π 1 ∵T＝ ＝4π，ω>0，∴ω＝ . |ω| 2 1 ∴y＝ 2sin2x＋φ. π 又曲线上的最高点为2， 2， 1 π ∴sin2×2＋φ＝1， π π ∴φ＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z. 4 2
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探究提高
(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一 个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的 图象；(2)变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是 φ 先伸缩后平移， 对于后者可利用 ωx＋φ＝ωx＋ω来确定平移单 位．
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变式训练 1
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方法二
1 将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 2
超实用高考数学专题复习教学课件：4.4函数y=Asinωx φ的图像及应用
2.变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于
后者可利用 ωx+φ=ω +
来确定平移单位.
对点训练 1 已知函数 y=2sin 2
π
+
3
.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出函数 y 在一个周期内的图像;
(3)说明 y=2sin 2
π
+3
的图像可由 y=sin x 的图像经过怎样的变换而得到.
(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设
3
z=ωx+φ,由z取0 , ,π, ,2π 来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描
2
2
点后得出图像.
(2)图像变换法:由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像,有
两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
y 轴最近的对称轴的方程是
5π
x=-24.
考点1
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
【例 1】某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) > 0,|| <
个周期内的图像,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π
2
x
3
Asin(ωx+φ)
0
5
3
2
5
6
-5
π
2
在某一
2π
π
2x)=2sin(2x+ )=2sin
4
π
2(x+ ),故选
高考数学第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《函数y=Asin(ωx+φ)》课件ppt
依题意，将 y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线 上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到 f(x)的图象， 所以 y＝sinx－π4 —将—其—图—象—向—左—平——移—π3—个—单—位—长—度→ y＝sinx＋1π2的图象
—所—有—点—的—横—坐—标—扩—大—到——原—来—的—2→ 倍 f(x)＝sin2x＋1π2的图象.
C 项，先把曲线 C1 上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向右平移1π2个单位长度得 y＝cos 2x－1π2＝cos2x－π6＝sin2x＋π3的图象，故 C 正确；
D 项，先把曲线 C1 上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长度得 y＝cos 2x＋1π2＝cos2x＋π6＝sin2x＋23π的图象，故 D 错误.
思维升华
(1)由y＝sin
ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移
φ ω
(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用
诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
跟踪训练1 (1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝ sin2x＋π3 ， 为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是
A.－32π＋3kπ，3kπ(k∈Z) B.3kπ，3kπ＋32π(k∈Z)
√C.－74π＋3kπ，－π4＋3kπ(k∈Z)
D.－π4＋3kπ，54π＋3kπ(k∈Z)
依题意，A－＋Ab＋＝b＝1，－3， 解得Ab＝＝－2，1， ∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1， 而 f 1π2＝1，f π3＝－1， ∴T4＝π3－1π2＝π4， 故 T＝π＝2ωπ，则 ω＝2，
2013高考数学一轮同步训练(文科) 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第四节 函数y =A sin ()x ωϕ+的图象强化训练1.将函数y =sin2x 的图象向左平移4π个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式是( )A.y =2cos 2xB.y =2sin 2xC.y =1+sin (2)4x π+D.y =cos2x答案:A解析:将函数y =sin2x 的图象向左平移4π个单位长度,得到函数y =sin 2()4x π+,即y =sin (2)2x π+=cos2x 的图象,再向上平移1个单位长度,所得图象的函数解析式为y =1+cos2x =2cos 2x ,故选A.2.已知函数f (x )=sin ()(4x x ωπ+∈R 0)ω,>的最小正周期为π,将y =f (x )的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的一个值是( )A.2πB.38π C.4π D.8π答案:D解析:由已知,周期为π22ωωπ=,=,则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数,sin [2()]4x ϕπ++=±cos2x ,故选D.3.(2011山东高考,文6)若函数f (x )=sin (0)x ωω>在区间[0]3π,上单调递增,在区间[]32ππ,上单调递减,则ω等于( ) A.23B.32C.2D.3答案:B解析:由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin 3ωπ,故选B.4.要得到函数y =sin x 的图象,只需将函数y =cos(x -)3π的图象 . 答案:向右平移6π个单位长度解析:y =sin x =cos ()2x π-=cos ()2x π- =cos [()]36x ππ--.∴y =cos ()3x π-的图象向右平移6π个单位长度得到y =sin x 的图象.5.已知函数y =A sin ()(x ωϕ+A >00(0))2ωϕπ,>,∈,在一个周期内的图象如图所示,求其解析式.解:由图象知A =2,272()21212T ωωπππ==-⇒=.∴y =2sin (2)x ϕ+.又图象过点(2)12π,,所以2=2sin (2)12ϕπ⨯+⇒sin ()16ϕπ+=623ϕϕπππ⇒+=⇒=.故所求解析式为y =2sin (2)3x π+.见课后作业A题组一 函数y =A sin ()x ωϕ+图象的作法和变换1.函数y =cos (x x ∈R )的图象向左平移2π个单位长度后,得到函数y =g (x )的图象,则g (x )的解析式为( ) A.g (x )=-sin x B.g (x )=sin x C.g (x )=-cos x D.g (x )=cos x答案:A解析:y =cos ()2x π+=-sin x .2.设函数f (x )=cos (0)x ωω>,将y =f (x )的图象向右平移3π个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( ) A.13B.3C.6D.9答案:C解析:将y =f (x )的图象向右平移3π个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明了3π是此函数周期的整数倍.由题知2(3k k ωππ=⋅∈Z ),解得6k ω=.令k =1,即得min 6ω=.3.已知函数f (x )=sin ()(4x x ωπ+∈R 0)ω,>的最小正周期为π,为了得到函数g (x )=cos x ω的图象,只要将y =f (x )的图象( )A.向左平移8π个单位长度B.向右平移8π个单位长度C.向左平移4π个单位长度D.向右平移4π个单位长度答案:A解析:由题知2ω=, 所以f (x )=sin (2)4x π+=cos [(2)]42x ππ-+=cos (2)4x π-=cos 2()8x π-,故选择A.4.把函数y =sin (x x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )A.y =sin (2)3x x π-,∈RB.y =sin ()26x x π+,∈RC.y =sin (2)3x x π+,∈RD.y =sin 2(2)3x x π+,∈R答案:C5.函数y =sin (2)3x π-在区间[2π-,π]上的简图是( )答案:A6.已知函数y =f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿x 轴向左平移2π个单位长度,这样得到的曲线和y =2sin x 的图象相同,则已知函数y =f (x )的解析式为 . 答案:12y =-cos2x解析:y =2sin x 右移2π个单位长度y =2sin ()2x π-横坐标缩小到原来的12倍纵坐标不变y =2sin (2)2x π-纵坐标缩小到原来的14倍横坐标不变y =12sin (2)2x π-12=-cos2x .7.已知函数12y =sin (2)6x x π+,∈R .(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用五点法作出它的简图;(3)该函数的图象可由y =sin (x x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解:(1)函数12y =sin (2)6x π+的振幅为12,周期为π,初相为6π.(2)列表:画简图如下图所示:(3)方法一:函数y =sin x 的图象向左平移6π个单位长度函数y =sin ()6x π+的图象各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)函数y =sin(2x +)6π的图象各点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)函数y =12sin(2x +)6π的图象.方法二:函数y =sin x 的图象各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)函数y =sin2x 的图象向左平移12π个单位长度函数y =sin (2)6x π+的图象各点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)函数y =12sin(2x +)6π的图象.题组二 求函数y =A sin ()x b ωϕ++的解析式8.已知简谐运动f (x )=2sin ()(3x ϕπ+|ϕ|)2π<的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为( ) A.66T ϕπ=,= B.63T ϕπ=,= C.T =6π6ϕπ,=D.T =6π3ϕπ,=答案:A解析:263T π==,π又∵f (0)=2sin 1ϕ=,∴sin 12ϕ=.∵|ϕ|2π<,∴6ϕπ=.9.函数f (x )=A sin ()(x ωϕ+其中00A ω>,>,|ϕ|)2π<的图象如图所示,则f (0)等于( )A.1B.12答案:D解析:由图可知A =1,22274()123Tωππ===,ππ⨯-∴f (x )=sin (2)x ϕ+,()3f π=sin (2)03ϕπ⨯+=. ∵A >0,|ϕ|2π<,∴3ϕπ=.∴f (0)=sin (0)3π+=sin3π=10.已知函数y =sin ()x ωϕ+(0ω>,-πϕ≤<π)的图象如图所示,则ϕ= .答案:910π解析:由图可知,T =2(2π35)42ππ-=,∴45ω=,把(2π,1)代入y =sin 4()5x ϕ+,有1=sin 8()5ϕπ+,∴910ϕπ=.11.已知函数f (x )=2sin ()(0x ωϕω+>,π0)ϕ<<的图象如图所示,则7()12f π= .答案:0解析:由图象知最小正周期5222()3443T ωππππ=-==,故3ω=.又4x π=时,f (x )=0,即2sin (3)04ϕπ⨯+=,可得34ϕπ=-,所以7()212f π=sin 73(3)0124ππ⨯-=.12.已知函数f (x )=A sin ()(00x A ωϕω+>,>,|ϕ|)2π<的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式;(2)如何由函数y =2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象,写出变换过程. 解:(1)由图象知A =2,f (x )的最小正周期54()126T ππ=⨯-=π,故22Tωπ==.将点(2)6π,代入f (x )的解析式得sin ()13ϕπ+=,又|ϕ|2π<,∴6ϕπ=.故函数f (x )的解析式为f (x )=2sin (2)6x π+.(2)变换过程如下:y =2sin x 图象向左平移6π个单位长度y =2sin(x +)6π所有点的横坐标缩短为原来的12倍纵坐标不变y =2sin (2)6x π+;另解:y =2sin x 所有点的横坐标缩短为原来的12倍纵坐标不变y =2sin2x 图象向左平移12π个单位长度y =2sin (2)6x π+.高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！。
高考数学一轮复习 第四章三角函数、解三角形4.4函数y=
4.4 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质考纲要求1．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象；了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．3.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤1．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )．A ．1B ．4 C.14D ．22．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π33．(2012安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )．A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －3π4的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝__________.5．(2012湖南高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．一、三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在一个周期上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 方法提炼1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2．图象变换法 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)；②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变)． 请做演练巩固提升2,3二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式【例2－1】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示：(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．【例2－2】 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．方法提炼确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤： 1．求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.2．求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT.3．求φ，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.请做演练巩固提升4三、三角函数模型的应用【例3】 已知某海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？方法提炼三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．请做演练巩固提升5不理解相位变换而致误【典例】 (2012天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )．A ．13B ．1C ．53 D ．2 解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.又所得图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0.∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2. 答案：D 答题指导：要熟练掌握“先平移再伸缩”和“先伸缩再平移”这两种变换方案．即前者平移|φ|个单位，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．1．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝23π对称，它的周期是π，则下列结论一定正确的是( )．A ．f (x )的最大值为AB ．f (x )的一个对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，0 C ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤512π，23π上是减函数2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )．A.π6B.5π6C.7π6D.11π6 3．(2012浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．4.(2012重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．5．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？参考答案基础梳理自测知识梳理 1.2πω ω2π2．－φω π2ω－φω πω－φω 3π2ω－φω 2πω－φω3．|φ| 1ω 1ω |φω| A A基础自测1．C 解析：y ＝sin 12x ――――――――――→横坐标变为原来的2倍y ＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝sin 14x ，∴ω＝14.2．D 解析：由题意得ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又f (0)＝3，即2sin φ＝3，∴sin φ＝32，∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，故选D.3．C 解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， ∴只须将y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．4．0 解析：由图象知32T ＝π，所以T ＝2π3.所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －3π4. 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4－3π4＝0. 5．解：(1)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2，因为点⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0. 又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .考点探究突破【例1】 解：(1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. 又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)(3)把y ＝sin x 图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 【例2－1】 解：(1)由图象可知，函数的最大值M ＝3，最小值m ＝－1，则A ＝3－(－1)2＝2，b ＝3－12＝1.又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.将x ＝π6，y ＝3代入上式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1， ∴π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1. (2)由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋12k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的对称轴方程为：x ＝π6＋12k π，k ∈Z . 【例2－2】解：(1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin(ωx ＋φ)－12cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6. 因为f (x )为偶函数，所以对x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，即－sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝sin ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6， 整理得sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0. 因为ω＞0，且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0. 又因为0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 【例3】 解：(1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5； 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1＞1，∴cos π6t ＞0， ∴2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3＜t ＜12k ＋3，k ∈Z .①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2， 得0≤t ＜3，或9＜t ＜15，或21＜t ≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00. 演练巩固提升1．B2．D 解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋11π6，∴φ＝11π6.3．A 解析：y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应图象为A.4．解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π＜φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos 2x＝(2cos 2x －1)(3cos 2x ＋2)2(2cos 2x －1) ＝32cos 2x ＋1⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.因cos 2x ∈[0,1]，且c os 2x ≠12，故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦⎥⎤74，52.5．解：解法一：(1)连接MP .依题意，有A ＝23，T 4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6，∴y ＝23sin π6x ，当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)，又P (8,0)，∴MP ＝(－4)2＋32＝5.(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5.设∠PMN ＝θ，则0°＜θ＜60°.由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MNsin(60°－θ).∴NP ＝1033s in θ，MN ＝1033sin(60°－θ)． ∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．∵0°＜θ＜60°，∴60°＜θ＋60°＜120°， ∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长． 解法二：(1)同解法一．(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，由余弦定理得MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos∠MNP ＝MP 2，即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22， 从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033，当且仅当MN ＝NP 时等号成立．亦即，设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．。
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.4函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是
【解】(1)∵ x= 是函数 y=f(x)图象的对称轴, ∴ sin 2 × + φ =± 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x������ 2 3������ 4 ������ 2 3������ 4 3������ 4 3������ 4 ������ 8 ������ 4 ������ 2
π 0
ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
ω 3������ 2
ω
2π 0
A
-A
3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤:
4.解三角函数应用题的一般步骤: (1)阅读理解材料:将文字语言转化为符号语言; (2)建立变量关系:抽象成数学问题,建立变量关系; (3)讨论变量性质:根据函数性质讨论变量性质; (4)作出结论.
π 6 π 6
的图象,则 φ 等于( B.
5π 6
) C.
7π 6
D.
11π 6
【答案】D 【解析】 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ≤2π)个单位长度得到函数 y=sin(x+φ)的图象,在 A,B,C,D 四个选项中,只有 φ=
11π 6 11π 时有 6
y=sin ������ +
5π 8
1
7π 8
0
π
2 2
y
-
-
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一) 复习讲义
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的图象与性质(一)一、y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的有关概念二、用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一般步骤 1.定点:如表.2.作图,在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(ωx+ϕ)在一个周期内的图象.3.扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(ωx+ϕ)在R 上的图象. 三、由函数y=sin x 的图象变换得到y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 法一法二1.法则理解(1)无论哪种变换,每一个变换总是针对“自变量x ”而言的. 即图象变换要看“自变量x ”发生什么变化,而不是看角“ωx+ϕ”的变化.(2)在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,左右平移的单位长度个数是不一样的.前者平移|ϕ|个单位长度,后者平移|ϕω|个单位长度,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误. (3)平移的法则是“左+右-,上+下-”.2.与确定解析式y=Asin(ωx+ϕ)+b 中参数相关的结论 (1)求ϕ①代入法.把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b 已知)或代入图象与直线y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法.确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下: 选“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=0; 选“第二点”(即图象的“峰点”)时,令ωx+ϕ=π2; 选“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时,令ωx+ϕ=π; 选“第四点”(即图象的“谷点”)时,令ωx+ϕ=3π2; 选“第五点”时,令ωx+ϕ=2π. (2)求ω:因为T=2πω,所以求ω即求T.①图象上相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T,相邻的一个最高点与最低点之间的距离是2T.②图象的相邻的对称轴(中心)之间的距离为2T,相邻的一个对称中心与对称轴之间的距离为2T.1.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( C )(A)13(B)3 (C)6 (D)9解析:由题意可知,nT=π3(n∈N*),所以n·2πω=π3(n∈N*),所以ω=6n(n∈N*),所以当n=1时,ω取得最小值6.故选C.2.为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin(2x+π6)的图象( B )(A)向左平移π4个单位长度(B)向右平移π4个单位长度(C)向左平移π2个单位长度(D)向右平移π2个单位长度解析:y=sin(2x+π6)=sin[2(x+π12)],y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)]=sin[2(x-π4+π12)],所以将y=sin(2x+π6)的图象向右平移π4个单位长度得到y=sin(2x-π3)的图象.故选B.3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)+2(A>0,ω>0)的图象的一部分,它的振幅、周期、初相各是( C )(A)A=3,T=4π3,ϕ=-π6(B)A=1,T=4π3,ϕ=3π4(C)A=1,T=4π3,ϕ=-3π4(D)A=1,T=4π3,ϕ=-π6解析:由图象知,A=312-=1,2T = 5π6-π6=2π3,则T=4π3,ω=32,由5π6×32+ϕ=π2+2k π,k ∈Z,得ϕ=-3π4+2k π,k ∈Z,令k=0,得ϕ=-3π4.故选C.4.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 .解析:由图可知4T=7π12-π3=π4,所以T=π,故ω=2, 因此ϕ).又函数图象过点(π3,0) 因此2×π3+ϕ=π+2k π,k ∈Z, 又根据|ϕ|<π,所以ϕ=π3,故π3).答案π3)5.将函数∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是 .解析12sin x)=2sin(x+π3)的图象向左平移m 个单位长度后,得到y=2sin(x+m+π3)的图象,此图象关于y 轴对称,则x=0时,y=±2,即2sin(m+π3)=±2,所以m+π3=π2+k π,k ∈Z,即m=π6+k π,k ∈Z,由于m>0,所以m min =π6. 答案:π6(对应学生用书第66～68页)考点一 五点法作图【例1】 设x ∈R,函数y=f(x)=cos(ωx+ϕ)(ω>0,- π2<ϕ<0)的最小正周期为π,且f(π4.(1)求ω和ϕ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;(3)若,求x 的取值范围.解:(1)因为函数f(x)的最小正周期T=2πω=π, 所以ω=2,因为f(π4)=cos(2×π4+ϕ)=cos(π2+ϕ)=-sin ϕ且-π2<ϕ<0, 所以ϕ=-π3. (2)由(1)知f(x)=cos(2x-π3),列表如下:图象如图:(3)因为,即cos(2x-π3,所以2k π-π4<2x-π3<2k π+π4,k ∈Z, 则2k π+π12<2x<2k π+7π12,k ∈Z,即k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z. 所以x 的取值范围是{x|k π+π24<x<k π+7π24,k ∈Z}.用“五点法”作y=Asin(ωx+ϕ)或y=Acos(ωx+ϕ)的简图,主要是通过列表,计算得出五点的坐标,描点后得到,由于表中“五点”相邻两点的横向距离均为4T ,因此可以通过“定两端,分中间”的方法快速写出“五点”的坐标.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),ω>0,|ϕ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0),求θ的最小值;(3)说明函数f(x)的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,ϕ=- π6,数据补全如下表:且函数解析式为f(x)=5sin(2x-π6). (2)由(1)知f(x)=5sin(2x-π6), 则g(x)=5sin(2x+2θ-π6). 因为函数y=sin x 图象的对称中心为(k π,0),k ∈Z,令2x+2θ-π6=k π,k ∈Z,解得x=π2k +π12-θ,k ∈Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点(5π12,0)成中心对称,所以令π2k +π12-θ=5π12,解得θ=π2k -π3,k ∈Z. 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6. (3)把y=sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度,得到y=sin(x-π6)的图象,再把y=sin(x-π6)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin(2x-π6)的图象,最后把y=sin(2x-π6)上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),即可得到f(x)=5sin(2x-π6)的图象. 考点二 函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象变换【例2】 (1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),所得图象关于直线x=π4对称,则ϕ的最小值为( )(A)18π (B)12π (C)34π (D)38π(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象关于原点对称,则ϕ的一个可能取值为( )(A)-π3 (B)π6 (C)π3 (D)5π6解析:(1)将函数f(x)=2sin(2x+π4)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,可得函数y=2sin[2(x-ϕ)+π4]=2sin(2x+π4-2ϕ)的图象,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),可得函数y=2sin(4x+π4-2ϕ)的图象;再根据所得图象关于直线x=π4对称,可得π+π4-2ϕ=k π+π2(k ∈Z),即ϕ=3π8-π2k ,k ∈Z,所以ϕ的最小值为3π8,故选D.(2)将函数y=cos(2x+ϕ)的图象沿x 轴向右平移π6后,得到的图象对应的解析式为y=cos[2(x-π6)+ϕ]=cos(2x-π3+ϕ).再根据得到的图象关于原点对称,则-π3+ϕ=k π+π2,k ∈Z,即ϕ=k π+5π6,k ∈Z.结合所给的选项,故选D.(1)解决三角函数图象变换问题,应先把变换前后两个函数化为同名函数,然后找出它们的不同,指出实施的变换.(2)平移变换要注意平移量和平移方向,其实质是点的坐标的变换,横坐标的变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点),则ϕ的值可以是( B )(A)5π3 (B)5π6 (C)π2 (D)π6解析:因为函数f(x)的图象过点P,所以θ=π3,所以f(x)=sin(2x+π3).又函数f(x)的图象向右平移ϕ个单位长度后,得到函数g(x)=sin[2(x-ϕ)+π3]的图象,所以sin(π3-2ϕ所以ϕ可以为5π6.故选B.考点三求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的解析式【例3】 (1)函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(x)等于( )π6)π3)π3)π6)(2)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<ϕ<π2)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上一个最低点为M(2π3,-2),则f(x)的解析式为.解析:(1)由题图知f(x)在x=512π且最小正周期T满足34T=512π+π3.故34×2πω=3π4,ω×5π12+θ5π6+θ)=1,5π6+θ=2kπ+π2,k∈Z,θ=2kπ-π3,k∈Z.所以f(x)的解析式可为π3).故选B.(2)由最低点为M(2π3,-2)得A=2.由题意得2T=π2,即T=π,ω=2πT=2ππ=2, 由点M(2π3,-2)在图象上得2sin(2×2π3+ϕ)=-2, 即sin(4π3+ϕ)=-1,故4π3+ϕ=2k π-π2,k ∈Z, 所以ϕ=2k π-11π6,k ∈Z,又ϕ∈(0,π2), 所以ϕ=π6, 故f(x)=2sin(2x+π6). 答案:(1)B (2)f(x)=2sin(2x+π6)确定y=Asin(ωx+ϕ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A,b,确定函数的最大值M 和最小值m,则A=2M m -,b=2M m+.(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2πT. (3)求ϕ,常用方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定ϕ值时,往往寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.已知函数f(x)=Atan(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2),y=f(x)的部分图象如图,则f(π24)等于( B )解析:由图象可知T=2(3π8-π8)=π2,所以ω=2,所以2×π8+ϕ=k π+π2,k ∈Z,得ϕ=π4+k π,k ∈Z, 又|ϕ|<π2, 所以ϕ=π4. 又f(0)=1,所以Atan π4=1,得A=1, 所以f(x)=tan(2x+π4), 所以f(π24)=tan(π12+π4)=tan π3.考点四 易错辨析【例4】 (2018·浙江金华十校模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(x ∈R,ω>0)与g(x)=cos(2x+ϕ)的对称轴完全相同,为了得到h(x)=cos(ωx+π3)的图象,只需将y=f(x)的图象( ) (A)向左平移π4个单位长度 (B)向右平移π4个单位长度 (C)向左平移π2个单位长度 (D)向右平移π2个单位长度 解析:因为对称轴一样,所以两个三角函数的周期必定一样,即ω=2,所以f(x)=sin(2x+π3),h(x)=cos(2x+π3)=sin[2(x+π4)+π3],故得到h(x)的图象仅需将y=f(x)的图象向左平移π4个单位长度,故选A.(1)忽略函数名称的不同,误以为同名三角函数之间的变换;(2)忽略系数ω的存在,误将x 的变换认为是ωx 的变换.已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|< π2)的最小正周期是π,若将f(x)的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象( B )(A)关于直线x=π12对称(B)关于直线x=5π12对称(C)关于点(π12,0)对称(D)关于点(5π12,0)对称解析:因为f(x)的最小正周期为π, 所以2πω=π,ω=2,所以f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)=sin[2(x-π3)+ϕ]=sin(2x-2π3+ϕ)的图象,又g(x)的图象关于原点对称, 所以-2π3+ϕ=kπ,k∈Z,所以ϕ=2π3+kπ,k∈Z,又|ϕ|<π2,所以ϕ=-π3,所以f(x)=sin(2x-π3).当x=π12时,2x-π3=-π6,所以A,C错误;当x=5π12时,2x-π3=π2,所以B正确,D错误.故选B.(对应学生用书第68～69页)三角函数图象【例题】已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β.a.求实数m 的取值范围;b.证明:cos(α-β)=225m -1. (1)解:将g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x 的图象,再将y=2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y=2cos(x-π2)的图象,故f(x)=2sin x. 从而函数f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为x=k π+π2(k ∈Z). (2)a.解:f(x)+g(x)=2sin x+cossin cos ϕ)(其中sinϕϕ依题意知,sin(x+ϕ[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当故m 的取值范围是b.证明:因为α,βϕ)=m 在[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α+ϕβ+ϕ当1≤,α+β=2(π2-ϕ), 即α+ϕ=π-(β+ϕ); 当时,α+β=2(3π2-ϕ),即α+ϕ=3π-(β+ϕ). 所以cos(α+ϕ)=-cos(β+ϕ). 于是cos(α-β)=cos[(α+ϕ)-(β+ϕ)] =cos(α+ϕ)cos(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ) =-cos 2(β+ϕ)+sin(α+ϕ)sin(β+ϕ)22=225m -1.规范要求:(1)根据图象变换规律求出函数解析式,再根据对称轴的特点求对称轴方程.(2)通过三角变换将f(x)+g(x)化为一个角的一种三角函数形式.(3)分离参数法转化为求函数的值域,从而解绝对值不等式求得参数范围.(4)利用三角函数相等,求得α,β的关系,从而判定cos(α+ϕ)与cos(β+ϕ)的关系,进而利用两角和与差公式求值.(5)解决给值求值问题的关键是找出未知角与已知角关系,从而选择对应公式求解.【规范训练1】如图为y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的图象的一段.(1)求其解析式;(2)若将y=Asin(ωx+ϕ)的图象向左平移π6个单位长度后得y=f(x),求f(x)的对称轴方程.解:(1)由图象知由“五点法”列方程组π0,35ππ,6ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩解之2,2π,3ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩得所以所求解析式为2π3 ).π6)-2π3sin(2x-π3),令2x-π3=π2+kπ(k∈Z),则x=512π+π2k(k∈Z),所以f(x)的对称轴方程为x=512π+π2k (k ∈Z).【规范训练2】 设关于x在区间(0,2π)内有相异的两个实根α,β. (1)求实数a 的取值范围; (2)求α+β的值.解:(1)原方程可化为sin(x+π3)=-2a ,作出函数y=sin(x+π3)(x ∈(0,2π))的图象.由图知,方程在(0,2π)内有相异实根α,β的充要条件是11,2a a ⎧-<-<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ 即(2)由图知,当即-2a∈)时,直线 y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象交于C,D 两点,它们中点的横坐标为76π, 所以2αβ+=7π6, 所以α+β=7π3. 当即-2a∈,1)时,直线y=-2a 与三角函数y=sin(x+π3)的图象有两交点A,B,由对称性知,2αβ+=π6, 所以α+β=π3. 综上所述,α+β=π3或73π.(对应学生用书第69页)类型一 三角函数图象变换1.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( A )解析:把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=cos x+1的图象,然后把所得函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到函数y=cos(x+1)的图象.故选A.2.(2018·浙江镇海中学期中)将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则y=g(x)图象的一条对称轴是( C )(A)x=π12 (B)x=π6 (C)x=π3 (D)x=2π3解析:将函数f(x)=3sin(4x+π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=3sin(2x+π6)的图象,再向右平移π6个单位长度,得g(x)=3sin[2(x-π6)+π6]=3sin(2x-π6)的图象,令2x-π6=k π+π2,k ∈Z,则y=g(x)图象的对称轴是x=π2k +π3,k ∈Z,故选C. 类型二 求函数y=Asin(ωx+ϕ)+b 的解析式3.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,此函数的解析式可为( B ) (A)y=2sin(2x+π3) (B)y=2sin(2x+2π3)(C)y=2sin(2x -π3)(D)y=2sin(2x-π3)解析:由题图可知A=2,2T =5π12-(-π12)=π2, 所以T=π,ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+ϕ),又f(-π12)=2sin(-π6+ϕ)=2, 即-π6+ϕ=π2+2k π,k ∈Z, 所以ϕ=2π3+2k π(k ∈Z),结合选项知选B.4.已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)图象的最高点的纵坐标是4,相邻的两对称中心距离为π2,图象经过点(π6,0),则函数f(x)的解析式为 .解析:由题意知A=4,T=2×π2=π, 所以2πω=π,则ω=2, 所以f(x)=4sin(2x+ϕ). 又函数图象经过点(π6,0), 所以4sin(2×π6+ϕ)=0, 所以ϕ+π3=k π(k ∈Z), 所以ϕ=k π-π3(k ∈Z),又|ϕ|<π, 所以ϕ=-π3或ϕ=2π3. 所以f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3). 答案:f(x)=4sin(2x-π3)或f(x)=4sin(2x+2π3)5.如图所示,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P 012),当秒针从P 0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 .解析:由题意可得,函数的初相位是π6,又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转,即T=2πω=60,所以|ω|=π30,即ω=-π30,故y=sin(-π30t+π6). 答案:y=sin(-π30t+π6) 类型三 函数y=Asin(ωx+ϕ)与y=Acos(ωx+ϕ)图象的应用6.函数y=f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|< π2)的部分图象如图所示,若x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),则f(x 1+x 2)等于( D )(A)1 (B)12解析:观察图象可知,A=1,T=π, 所以ω=2,f(x)=sin(2x+ϕ).将(-π6,0)代入上式得sin(-π3+ϕ)=0, 由|ϕ|<π2,得ϕ=π3, 则f(x)=sin(2x+π3). 函数图象的一条对称轴为x=ππ632-+=π12.又x 1,x 2∈(-π6,π3),且f(x 1)=f(x 2),所以122xx +=π12,所以x 1+x 2=π6,所以f(x 1+x 2)=sin(2×π6+π3.故选D.7.已知直线y=b(b<0)与曲线y=f(x)=sin(2x+π2)在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列,则b 的值是 . 解析:设三个横坐标依次为x 1,x 2,x 3,由图及题意有12232213π,2π,,x x x x x x x ⎧+=⎪+=⎨⎪=⎩解得x 2=2π3,所以b=f(2π3)=-12. 答案:-12。
新人教A版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形函数y=Asinω+φ的图象及应用教案理解析版
基础知识整合１．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念２．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．３．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的步骤函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换；k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．１．为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y＝sin２x的图象上的所有点（）Ａ．向左平行移动错误!个单位长度Ｂ．向右平行移动错误!个单位长度Ｃ．向左平行移动错误!个单位长度Ｄ．向右平行移动错误!个单位长度答案D解析∵y＝sin错误!＝sin２错误!，∴只需将函数y＝sin２x图象上的所有点向右平移错误!个单位长度即可得到函数y＝sin错误!的图象．故选Ｄ．２．函数f（x）＝２sin（ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）Ａ．２，—错误!Ｂ．２，—错误!Ｃ．４，—错误!Ｄ．４，错误!答案A解析由图可知，错误!T＝错误!＋错误!＝错误!，T＝π，ω＝错误!＝２．因为点错误!在图象上，所以２×错误!＋φ＝错误!＋２kπ，φ＝—错误!＋２kπ，k∈Z.又—错误!<φ<错误!，所以φ＝—错误!.故选Ａ．３．（２0１8·西安模拟）已知函数f（x）＝cos错误!（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）Ａ．关于点错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于直线x＝错误!对称答案D解析错误!＝π得ω＝２，函数f（x）的对称轴满足２x＋错误!＝kπ（k∈Z），解得x＝错误!—错误!（k ∈Z），当k＝１时，x＝错误!.选Ｄ．４．（２0１9·河北五校联盟摸底）把函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）Ａ．x＝0 Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝错误!Ｄ．x＝—错误!答案C解析５．（２0１8·天津高考）将函数y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数（）Ａ．在区间错误!上单调递增Ｂ．在区间错误!上单调递减Ｃ．在区间错误!上单调递增Ｄ．在区间错误!上单调递减答案A解析将y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin错误!＝sin２x，当２kπ—错误!≤２x≤２kπ＋错误!（k∈Z），即kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z）时，y＝sin２x单调递增，令k＝0，则x∈错误!，所以y＝sin２x在错误!上单调递增，故选Ａ．核心考向突破考向一三角函数的图象变换例１将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）Ａ．y＝sin错误!Ｂ．y＝sin错误!Ｃ．y＝sin错误!Ｄ．y＝sin错误!答案C解析将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin 错误!；再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y＝sin错误!.故选Ｃ．触类旁通两种图象变换的区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是错误!（ω>0）个单位长度．即时训练１．将函数y＝cos错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），再向左平移错误!个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）Ａ．x＝错误!Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝πＤ．x＝错误!答案D解析y＝cos错误!错误!y＝cos错误!y＝cos错误!，即y＝cos错误!.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝错误!时，y＝cos错误!＝１．故选Ｄ．考向二求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例２已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，—π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.答案错误!解析由图象可知ω＝错误!，当x＝２π时，y＝１，∴错误!×２π＋φ＝错误!＋２kπ，k∈Z.∵—π≤φ<π，∴φ＝错误!.触类旁通确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>0，ω>0）的解析式的步骤（１）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝错误!，b＝错误!.错误!３求φ，常用方法有：１代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω，b已知或代入图象与直线y＝b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.２五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.即时训练２．已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）错误!，y＝f（x）的部分图象如图所示，则f错误!＝________.答案错误!解析由图象可知，错误!＝错误!—错误!，即错误!＝错误!，所以ω＝２，再结合图象，可得２×错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，即|φ|＝错误!<错误!，所以—错误!<k<错误!，只有k＝0，所以φ＝错误!，又图象过点（0,１），代入得Atan错误!＝１，所以A＝１，函数的解析式为f（x）＝tan错误!，则f错误!＝tan错误!＝错误!.考向三函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质角度错误!函数图象与性质的综合应用例３（２0１9·山西模拟）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）Ａ．错误!，k∈ZＢ．错误!，k∈ZＣ．错误!，k∈ZＤ．错误!，k∈Z答案D解析由图象可知错误!＋φ＝错误!＋２mπ，错误!＋φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以函数f（x）＝cos错误!＝cos错误!的单调递减区间为２kπ<πx＋错误!<２kπ＋π，k ∈Z，即２k—错误!<x<２k＋错误!，k∈Z.故选Ｄ．角度错误!图象变换与性质的综合应用例４（２0１8·太原模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）错误!的最小正周期是π，若将f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）Ａ．关于直线x＝错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于点错误!对称答案B解析∵f（x）的最小正周期为π，∴错误!＝π，ω＝２，∴f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到g（x）＝sin错误!＝sin错误!的图象，又g（x）的图象关于原点对称，∴—错误!＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝错误!＋kπ，k∈Z，又|φ|＜错误!，∴φ＝—错误!，∴f（x）＝sin错误!.当x＝错误!时，２x—错误!＝—错误!，∴A，C错误；当x＝错误!时，２x—错误!＝错误!，∴B正确，D错误．角度错误!三角函数模型的简单应用例５某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）＝１0—错误!cos错误!t—sin错误!t，t∈[0,２４）．（１）求实验室这一天的最大温差；（２）若要求实验室温度不高于１１℃，则在哪段时间实验室需要降温？解（１）f（t）＝１0—２错误!＝１0—２sin错误!，因为0≤t<２４，所以错误!≤错误!t＋错误!<错误!，—１≤sin错误!≤１．当t＝２时，sin错误!＝１；当t＝１４时，sin错误!＝—１．于是f（t）在[0,２４）上取得最大值１２，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为１２℃，最低温度为8 ℃，最大温差为４℃.（２）依题意，当f（t）>１１时实验室需要降温．由（１）得f（t）＝１0—２sin错误!，故有１0—２sin错误!>１１，即sin错误!<—错误!.又0≤t<２４，因此错误!<错误!t＋错误!<错误!，即１0<t<１8．在１0时至１8时实验室需要降温．触类旁通１解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f x＝Asinωx＋φ＋k中的待定系数.２研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题。
高考数学一轮总复习第4章三角函数第4节函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用教师用书
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．( √ ) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B 解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B 解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4 解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ．3 解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1 由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC 解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－ 解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2 函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB 解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A 解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin 解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D 解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C 解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3 三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D 解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD 解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2 解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B 解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B 解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D 解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。
高三数学一轮复习知识点讲解5-5函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用
高三数学一轮复习知识点讲解专题5.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及其应用【考纲解读与核心素养】1.了解函数 y ＝A sin (ωx ＋φ) 的物理意义，掌握 y ＝A sin (ωx ＋φ) 的图象，了解参数 A ， ω，φ 对函数图象变化的影响.2.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.3.高考预测：（1） “五点法”作图； （2）函数图象的变换； （3）三角函数模型的应用问题.（4）往往将恒等变换与图象和性质结合考查 4.备考重点：（1）掌握函数图象的变换； （2）掌握三角函数模型的应用.【知识清单】知识点1．求三角函数解析式 （1）()sin y A x ωϕ=+的有关概念（2）用五点法画sin y A x =+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：知识点2．三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图象; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图象; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图象; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图象. 伸缩变换:把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图象; 把函数()y f x =图象的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y fx ωω=>的图象;把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图象; 把函数()y f x =图象的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图象. 2. 由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 知识点3．函数()sin y A x ωϕ=+的图象与性质的综合应用 （1）x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．（3）若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.（4）()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【典例剖析】高频考点一 求三角函数解析式【典例1】（2020·湖南娄星�娄底一中高一期末）将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ） A ．πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 43y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，则1C 的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为1sin(2)sin()233y x x ππ=⨯+=+故选：A【典例2】（2020·山东五莲�高三月考）函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=__________；将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移(0)2b b π<<个单位后，得到一个偶函数的图象，则b =__________.【答案】4π 38π 【解析】根据函数的图象可得134884T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，所以2ω=， 又因为18f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以sin 218πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以242k ππϕπ+=+，k Z ∈， 所以24k πϕπ=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以4πϕ=. 所以()sin(2)4f x x π=+，将()f x 的图象沿x 轴向右移b 个长度单位得函数()sin 2sin 2244y x b x b ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象， 因为函数sin 224y x b π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，所以242b k πππ-=+，k Z ∈， 所以28k b ππ=--，k Z ∈， 因为02b π<<，所以1k =-，38b π=. 故答案为：4π；38π. 【规律方法】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：在观察图象的基础上可按以下规律来确定A ，ω，φ． (1)A ：一般可由图象上的最大值、最小值来确定．(2)ω：因为T ＝2πω，故往往通过求周期T 来确定ω.可通过已知曲线与x 轴的交点来确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T ．(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－φω，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象第二次上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π．在用以上方法确定φ的值时，还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．(4)A ，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ．2.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 【变式探究】1.（2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考）函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】根据函数的部分图象知，，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选B.2.（2020·江苏南通�高三其他）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式()f x =________. 【答案】2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】因为函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π， 所以22ππωω=∴=函数的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 2()3y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为sin 2()3y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭关于原点对称， 所以22()()33k k Z k k Z ππϕπϕπ-+=∈∴=+∈ 203πϕπϕ<<∴=因此()f x =2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭故答案为：2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【总结提升】根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的主要方法： （1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定； （3）ϕ主要是由图象的特殊点的坐标确定． 高频考点二 三角函数图象的变换【典例3】（2018·浙江镇海中学）函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则ϕ=________，为了得到()cos g x A x ω=的图象，需将函数()y f x =的图象最少向左平移________个单位长度．【答案】6π- 3π【解析】由图知2A =，236T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，所以22T πω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+ 把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈即2()6k k Z πϕπ=-+∈，又0πϕ-<<，所以6πϕ=-所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为()2cos22sin 22sin 2236g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()g x 的图象需将函数()f x 的图象最少向左平移3π个单位长度． 故答案为：6π-；3π 【典例4】（2020·浙江高一课时练习）已知函数()sin (,0)4f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则将()y f x =的图象向________平移________个单位长度可得到函数()cos g x x ω=的图象． 【答案】左 8π【解析】由于T π=，则2ω=，因此()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 又因为()cos 2sin 22g x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 假设将()f x 的图象平移ϕ个单位，则()sin 2()sin 2244f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 故242ππϕ+=，得8πϕ=，所以只需将函数()y f x =的图象向左平移8π个单位长度就得到函数()cos g x x ω=的图象． 故答案为：左，8π. 【规律方法】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f (x )的图象与f (－x )的图象关于y 轴对称；－f (x )的图象与f (x )的图象关于x 轴对称；－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称；f (|x |)的图象关于y 轴对称． 【变式探究】1.（2020·浙江高一单元测试）如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】AC 【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π）， sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C正确．故选：AC2.（2019·江苏高三开学考试）将函数πsin 6y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移π4个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为________． 【答案】15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移4π个单位长度， 得到函数5sin sin 4612y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)， 可得函数15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 因此变换后所得图象对应的函数解析式为15sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故答案为：15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 【特别提醒】1.图象的左右平移是针对x 而言的，即平移多少是指自变量“x ”的变化，x 系数为1，而不是对“ωx ＋φ”而言的．2．图象的伸缩变换即周期变换也是针对x 而言的，即只是自变量x 的系数发生改变，变为原来的1ω倍，而不涉及φ．3.在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了|φ|个单位长度，而后者平移了|φω|个单位长度，这是因为由y ＝sin ωx 的图象变换为y ＝sin(ωx＋φ)的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了|φω|个单位长度，即x →x ＋φω，ωx →ωx ＋φ．高频考点三 三角函数模型的应用【典例5】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间()024,t t ≤≤单位小时呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如下表： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1.52．41.50．61.42.41.60.61.5（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ①()sin y A t ωφ=+， ②()cos b y A t ωφ=++，③sin y A t b ω=-+(A 0,0,0)ωπφ>>-<<中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 【答案】(1) 选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型， 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练. 才能确保集训队员的安全. 【解析】（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型，2.40.6 2.40.60.9 1.522A b -+∴==== 2126T ππωω==∴=0.9cos 1.56y t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭0.9 1.532.462.40.93 1.5612102y cos t cos cos sin πϕπϕπϕϕπϕπϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴=⨯⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭∴=--<<∴=-又函数的图象过点（，）又 0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t πππ⎛⎫⎛⎫∴=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭令 1.05y ≥，即0.9sin 1.5 1.056t π⎛⎫+≥⎪⎝⎭1sin 62t π⎛⎫∴≥- ⎪⎝⎭()722666k t k k Z πππππ∴-≤≤+∈ 121127k t k ∴-≤≤+又518t ≤≤571118t t ≤≤≤≤或∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练， 才能确保集训队员的安全. 【规律方法】三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题． 【变式探究】据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为 元． 【答案】6000． 【解析】作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.高频考点四 函数 的图象与性质的综合应用【典例6】（2020·浙江高三专题练习）【多选题】先将函数()cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向右平移4π个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列说法中正确的是（ ）． A ．()f x 的周期是πB ．12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 C ．()g x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】AD 【解析】由题意得()f x 的最小正周期22T ππ==，A 正确； cos2112f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭为偶函数，B 错误；将()f x 的图象上所有的点向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后， 得到函数()sin 226g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令26x k ππ-=，得212k x ππ=+，k Z ∈， 令1k =，得712x π=，则()g x 的图象关于点7,212π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误； 若x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2[,]662x πππ-∈-，则()g x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确． 故选：AD.【典例7】(2019年高考全国Ⅲ卷文)函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【典例8】（2017·山东高考真题（理））设函数，其中.已知.（Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1) .(2).【解析】 （Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，. 故，，又，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【规律方法】1.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．2.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 【变式探究】1.（2020·嘉祥县第一中学高三其他）【多选题】已知函数()()sin 0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>⎛⎫< ⎪⎝>⎭，的最2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（ ）.A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =对称B ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为C ．若65f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则44sin cos αα-的值为45-D ．要得到函数()f x 的图像，只需要将()2g x x =的图像向右平移6π个单位 【答案】BD 【解析】由题知：函数()f x ，所以A =因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，所以22T π=，2T ππω==，2ω=，()()2 f x x ϕ=+. 又因为()f x 的图像关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以 =0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+，6k ππϕ-+=，k Z ∈.所以6k πϕπ=+，k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ.即()2 6f x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭.对选项A ，0512f ππ==⎫⎪⎝⎭≠⎛A 错误. 对选项B ，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ266x时，()f x 取得最小值2-， 故B 正确.对选项C ，sin(2)2625f ππααα⎛⎫-=-==⎪⎝⎭， 得到3cos 25α=.因为()()4422223sin cos sin cos sincos cos 25ααααααα-=+-=-=-，故C 错误. 对选项D ，()2g x x =的图像向右平移6π个单位得到222263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD2. （2020·全国高三（文））已知0ϕπ≤<，函数2())sin f x x x ϕ=++． （Ⅰ）若6π=ϕ，求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值．【答案】（Ⅰ）2[,]36k k ππππ--,k Z ∈;（Ⅱ）2ϕπ=. 【解析】（Ⅰ）由题意()11cos2sin2442f x x x =-+ 11cos 2232x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 由2223k x k ππππ-≤+≤，得236k x k ππππ-≤≤-． 所以单调()f x 的单调递增区间为2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（Ⅱ）由题意()11cos cos2sin22222f x x x ϕϕ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的最大值为32，即221cos 1222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而cos 0ϕ=，又0ϕπ≤<， 故2πϕ=．。