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运动型问题

【题型特征】用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数

方程等重要的数学思想,综合性较强 .

运动型试题主要类型:(1)点的运动 (单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动 );(3)形的运动 (三角形运动、四边形运动、圆的运动等).

【解题策略】解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变

关系或特殊关系 .

解决点动型问题 ,一是要搞清在点运动变化的过程中 ,哪些图形 (如线段、三角形等 ) 随之运动变化 ,并在点运动在相对静止的瞬间 ,寻找变量的关系 .二是要运用好相应的几何知识 .三

是要结合具体问题 ,建立函数模型 ,达到解题目的 .

线动实质就是点动,即点动带动线动 ,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通

过转化成点动型问题来求解 .解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程 , 抓住其中的等量关系和变量关系 .从运动变化得到图形的特殊位置 ,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示 .

, 解决形动类问题 ,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性

充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的

不同阶段 ;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使

得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确 .

类型一点动

典例 1 (2015·江西 )如图 (1),AB 是☉ O 的直径 ,点 C 在 AB 的延长线上 ,AB=4,BC=2,P 是☉O 上半部分的一个动点 ,连接 OP,CP.

(1)求△ OPC的最大面积 ;

(2)求∠ OCP的最大度数 ;

(3)如图 (2),延长 PO交☉ O 于点 D,连接 DB,当 CP=DB时 ,求证 :CP是☉ O 的切线 .

(1)

(2)

举一反三

1. (2015·黑龙江牡丹江)如图 ,在 Rt△ ABC中,∠ ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB 于点 D.点 P 从点 D 出发 ,沿线段 DC向点 C 运动 ,点 Q 从点 C出发 ,沿线段 CA 向点 A 运动 ,两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度 ,当点 P 运动到 C 时,两点都停止 .设运动时间为 t 秒.

(1)求线段 CD的长 .

(2)设△ CPQ的面积为 S,求 S与 t 之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时

刻 t,使得 S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在 ,求出 t 的值 ;若不存在 ,说明理由 .

(3)当 t 为何值时 ,△CPQ为等腰三角形 ?

(第 1题)

类型二线的运动

典例 2 (2015·广东 )如图 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD⊥ BC 于点 D,BC=10cm,AD=8cm.点 P 从点 B 出发 ,在线段 BC上以每秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动 ,与此同时 ,垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC出发 ,以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移 ,分别交 AB,AC,AD 于点 E,F,H,当点P 到达点 C 时,点 P 与直线 m 同时停止运动 ,设运动时间为 t 秒 (t>0).

备用图

(1)当 t=2 时 ,连接 DE,DF,求证 :四边形 AEDF为菱形 .

(2)在整个运动过程中,所形成的△ PEF的面积存在最大值,当△ PEF的面积最大时 ,求线段 BP的长 .

(3)是否存在某一时刻t,使△ PEF为直角三角形 ?若存在 ,请求出此时刻t 的值 ;若不存在,请说明理由 .

举一反三

2. (2015·湖南衡阳 )如图 ,直线 AB 与 x 轴相交于点 A(-4,0),与 y 轴相交于点B(0,3),点 P 从点 A 出发 ,以每秒 1 个单位长度的速度沿直线AB 向点 B 移动 .同时 ,将直线以每秒

0.6 个单位长度的速度向上平移,交 OA 于点 C,交 OB 于点 D,设运动时间为t (0

(1)证明 :在运动过程中 ,四边形 ACDP总是平行四边形 ;

(2)当 t 取何值时 ,四边形 ACDP为菱形 ?请指出此时以点 D 为圆心、 OD 长为半径的圆与直线 AB 的位置关系并说明理由.

(第 2题)

类型三面的运动

典例 3 (2015·甘肃天水 )如图 (1),在平面直角坐标系中,点 A(0,-6),点 B(6,0).Rt△ CDE中 , ∠CDE=90°,CD=4,DE=4 ,直角边 CD 在 y 轴上 ,且点 C 与点 A 重合 .Rt△ CDE沿 y 轴正方向平行移动 ,当点 C 运动到点 O 时停止运动 .解答下列问题 :

(1)如图 (2),当 Rt△CDE运动到点 D 与点 O 重合时 ,设 CE交 AB 于点 M,求∠ BME 的度数.

(2)如图 (3),在 Rt△CDE的运动过程中 ,当 CE经过点 B 时 ,求 BC的长 .

(3)在 Rt△CDE的运动过程中 ,设 AC=h,△OAB与△ CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与 h 之间的函数表达式,并求出面积S 的最大值 .

(1)

(2)

(3)

举一反三

3. (2015·福建三明 )如图 (1),在 Rt△ABC中 ,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片 DOE的顶点 O 与边 AB 的中点重合 ,OD 交 BC 于点 F,OE经过点 C,且∠ DOE=∠ B.

(1)证明△ COF是等腰三角形 ,并求出 CF的长 ;

(2)将扇形纸片 DOE绕点 O 逆时针旋转 ,OD,OE与边 AC分别交于点 M,N(如图 (2)),当 CM 的长是多少时 ,△ OMN 与△ BCO相似 ?

(1)

(2)

备用图

【小结】解决运动型问题时 ,一是要搞清运动变化的过程中 ,哪些图形 (如线段、三角形

等 )不改变、那些图形随之变化 ,即确定运动变化过程中图形中的变与不变 ,充分利用不变量来

解决问题 ;二是要运用好相应的几何知识 ;三是要结合具体问题 ,建立函数模型 , 达到解题目的 .

对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小

都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系 ,探究图形运动变化过程中的不同阶段;

三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质 ,这种方法能够使得问题解决的

过程更加简洁 ,结论更加准确 .

好题精练

类型一

1. (2015·贵州贵阳 )如图 ,在 Rt△ABC中 ,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD 为 BC边上的高 .动点P从点 A 出发 ,沿 A→D 方向以cm/ s 的速度向点 D 运动 .设△ ABP的面积为 S ,矩形 PDFE

1

的面积为 S2

,运动时间为 t 秒(0

12 秒时 ,S =2S .

(第1题)

类型二

3. (2015·湖南怀化 )如图 (1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒 2 个单位长度的速度向右平行移动,当射线 OC 经过点 B 时停止运动 ,设平行移动 x 秒后 ,射线 OC扫过 Rt△ABO 的面积为 y.

(1)求 y 与 x 之间的函数表达式;

(2)当 x=3 秒时 ,射线 OC平行移动到 O'C',与 OA 相交于点 G,如图 (2),求经过 G,O,B 三点的抛物线的表达式 ;

(3)现有一动点 P 在 (2)中的抛物线上 ,试问点 P 在运动过程中 ,是否存在三角形 POB的面积

S=8 的情况 ?若存在 ,求出点 P 的坐标 ,若不存在 ,请说明理由 .

(1)

(2)

4.(2015·江苏连云港 )在一次科技活动中 ,小明进行了模拟雷达雪描实验 .如图 ,表盘是△ABC,其中 AB=AC,∠BAC=120°,在点 A 处有一束红外光线A P,从 AB 开始 ,绕点 A 逆时针匀速

旋转 ,每秒钟旋转 15°,到达 AC 后立即以相同的旋转速度返回转过程 .小明通过实验发现 ,光线从 AB 处开始旋转计时 ,旋转

A,B,到达后立即重复上述旋1 秒,时光线 AP 交 BC于点

M,BM 的长为 (20 -20)cm.

(1)求 AB 的长 .

(2)从 AB 处旋转开始计时 ,若旋转 6 秒 ,此时 AP 与 BC边交点在什么位置 ?若旋转 2015 秒 , 此时 AP 与 BC边交点在什么位置 ?并说明理由 .

(第 4题)

类型三

5.(2015·湖南益阳 )如图 ,在平面直角坐标系 xOy中 ,半径为 2 的☉ P的圆心 P的坐标为 (-3,0), 将☉ P 沿 x 轴正方向平移 ,使☉ P 与 y 轴相切 ,则平移的距离为 ().

(第 5题)

A. 1

B.1或5

C. 3

D. 5

6. (2015·黑龙江黑河 )在等腰直角三角形 ABC中,∠ BAC=90°,AB=AC,直线 MN 过点 A 且

MN∥ BC,过点 B为一锐角顶点作 Rt△ BDE,∠ BDE=90°,且点 D在直线 MN 上 (不与点 A 重

合 ), 如图 (1),DE 与 AC 交于点 P,易证 :BD=DP(.无需写证明过程 )

(1)在图 (2)中 ,DE与 CA 延长线交于点 P,BD=DP是否成立 ?如果成立 ,请给予证明 ;如果不成立,请说明理由 .

(2)在图 (3)中 ,DE与 AC延长线交于点P,BD与 DP是否相等 ?请直接写出你的结论,无需证明 .

(1)

(2)

(3)

(第6题)

补充：

如图所示，菱形 ABCD边长 6 厘米，角 B=60°。从初始开始，点 P,Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米 / 秒的速度A 到 C到 B的方向运动，点 Q 以 2 厘米 / 秒的速度沿 A 到 B 到 C到 D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时， P,Q 同时停止运动，设 P,Q 运动的时间为 x 秒，△ APQ 与△ ABC重叠部分的面积为 y 平方厘米（这里规定，点和线段是面积为 0 的三角形）解答下列问题：

（1）点 P,Q 从出发到相遇所用的时间是秒

（2）点 P,Q 从开始运动到停止的过程，当△APQ 是等边三角形时x 的值是秒

（3）求 y 与 x 之间的函数关系式