2020届高考数学(理)二轮复习专题检测：(4)三角函数与解三角形
)
3cos(
π)
sin( )
，则 sin
cos
cos2
（
）
1
2
3
4
A. 5
B. 5
C. 5
D. 5
4、函数 y 2 cos x 1 的定义域是( )
A．
2kπ
π 3
,
2kπ
π 3
(k
Z)
B．
2kπ
π 6
,
2kπ
π 6
(k
cos2
，故本题选 C.
3 答案及解析：
答案：C
解析：由诱导公式
sin
π 2
3cos
π
sin
化简为 cos
3cos
sin
，即
2 cos
sin , tan
2 ，而 sin cos
cos2
sin cos cos2 cos2 sin2
，
3
A．2
B．3
C．4
D．5
8、在锐角 △ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c 若 A 2B ，则 AB 的取值范围是（ AC
）
A. 0,3
B. 1, 2
C. 2, 3
D. 1,3
B π,
1 BC
9、在 △ABC 中, 4 BC 边上的高等于 3 ,则 cos A ( )
c cos A a cos C c b2 c2 a2 a a2 b2 c2 b
2bc
2ab
∴根据题意， 3b cos A c cos A a cos C b
cos A 1 0
两边约去 b,得 3cos A 1 ,,所以
3
sin A 1 cos2 A 2 2
③由②知 f x x ,故在 0, 一定有最大值,由于 f x 0 ,且和 0 无限靠近,因此无最
小值;
④
f
2
2
,
f
3 2
3 2
,
f
2
f
3 2
.故点
,
0
不是函数
y
f
x 图像的
sinC 3
所以：
AC
BC
2R sinA
sinB
43 3
sinA
sinB
4sin
A
3
，
由于： 0 A 2 ， 3
所以：
A
，
3
3
当 A 时，AC+BC 的最大值为 4 6
8 答案及解析： 答案：B 解析：
9 答案及解析： 答案：C
（4）三角函数与解三角形
1、1 弧度的圆心角所对的弧长为 6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )
A．3
B．6
C．18
D．36
sin2 2 cos2 2、已知 tan 3 ,则 sin cos sin2 ( ).
3
9
11
7
A. 8
B. 16
C. 12
D. 9
π sin( 3、已知 2
12、若函数 f (x) cos x sin x 在[0, a] 是减函数，则实数 a 的最大值为_____.
13、在平面直角坐标系
xOy
中,点
P
x0 ,
y0
在单位圆
O
上,设
xOP
,且
6
,
2
.若
cos
3
则 x0 的值为__________. 14、如图，在四边形 ABCD 中， BAC＝90 ， BC=4，C，D=1 AB=2AD ，AC 是 BCD 的角平分线，则 BD=__________.
由扇形的面积公式，
得
S扇
=
1 2
6
6
18
.
故选 C.
答案以及解析
2 答案及解析： 答案：C
解析：因为 tan 3 ，所以 cos2 0 ，于是有
sin2 2 cos2
sin2 2 cos2
cos2
tan2 2 11
sin cos sin2 sin cos sin2 tan tan2 12
∴A 为锐角,且
3
tan A sin A 2 2
因此,
cos A
故选：C
11 答案及解析： 答案：②③
解析：① f x x sin x f x,易知 f x是偶函数,因此 f x x sin x 在
2
,
2
上不可能单调递增；
②取 M 1 即可说明结论是正确的;
tan 1 1 tan2
21 1 4
3 5 ，选
C.
4 答案及解析：
答案：D 解析：
5 答案及解析：
答案：A 解析：
6 答案及解析： 答案：D 解析：
7 答案及解析： 答案：C 解析： ABC 中， AB 2, C ，
3 则： 2R AB 4 3 ，
Z)
C．
2kπ
π 3
,
2kπ
2π 3
(k
Z)
D．
2kπ
2π 3
,
2kπ
2π 3
(k
Z)
5、把函数 y sin x 的图象上所有点的横坐标都缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再
π
把图象向右平移 个单位，这时对应于这个图象的解析式可能为(
6
A． y sin(2x π ) B． y sin(2x π ) C． y sin(1 x π )
15、在
△ABC
中，内角
A，B，C
所对的边分别为
a，b，c．已知
b
sin
A
a
cos
B
π 6
．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 b 3 ，△ABC 的面积为 2 3 ，求 △ABC 的周 tanB ：根据题意，得
该圆的半径为 6 6 ， 1
①函数
f
x在
2
,
2
上单调递增；
②存在常数 M 0 ，使| f x| M | x | 对一切实数 x 都成立；
③函数 f x在 0, 上无最小值，但一定有最大值；
④点 , 0是函数 y f x图象的一个对称中心，
其中正确的是__________.
解析：设 BC 边上的高线为 AD，则 BC=3AD，所以 AC AD2 DC2 5AD ，
AB 2AD .由余弦定理，知 cos A AB2 AC2 BC2 2AD2 5AD2 9AD2 10
2AB AC
2 2AD 5AD
10
10 答案及解析： 答案：C 解析：∵△ABC 中，由余弦定理得
3 10 A. 10
10 B. 10
10 C. 10
3 10 D. 10
10、在△ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ， 3b cos A c cos A a cos C ，则 tan A 的值是 ( )
A． 2 2
B． 2
C． 2 2
D． 2 2
11、某学生对函数 f x x sin x 进行研究后，得出如下四个结论：
π． 3
（2）∵△ABC 的面积为 2 3 ，∴ 1 acsin π 2 3 ，∴所以 ac 8 ，
2
3
又∵ 9 a2 c2 2accos π a c2 3ac ，所以 a c 33
3
∴△ABC 的周长为 3 33
解析：
一个对称中心.
12 答案及解析：
3π
答案：
4
解析：
13 答案及解析：
1
答案：
26
解析：
14 答案及解析：
答案： 21
解析：
15 答案及解析：
答案：（1）在△ABC 中，由正弦定理，可得 sin Asin B sin Acos(B ) ，即 6
sinB
cos
B
π 6
，
可得．又∵ B 0，π，可得 B=
3
6
23
)
D． y sin(1 x π ) 26
6、已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，若角 终边过点 (3, 4) ，则
cos( π ) 的值为（ ） 4
A. 2 10
B. 2
C.
10
7 2 10
72 D.
10
7、在 ABC 中， AB 2 C ，则 AC BC 的最大值为（ ）
人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳：三角函数 解三角形(中档)
(2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长.
11.解(1)S△ABD＝ AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝ AC·ADsin∠CAD.
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理可得 ＝ ＝ .
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝ .在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，
由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
12.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知A＝ ，b2－a2＝ c2.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值.
12.解(1)由b2－a2＝ c2及正弦定理得sin2B－ ＝ sin2C.所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝ ，即B＋C＝ π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.
(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝ ，cosC＝ ，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ .
法二 由正弦定理，得 ＝ ，从而sinB＝ ，
又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝ ，
故sinC＝sin(A＋B)＝sin ＝sinBcos ＋cosBsin ＝ .
所以△ABC的面积为S＝ absinC＝ .
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知B ·B ＝2，cosB＝ ，b＝3.
4.解(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin 2B＝2sinBcosB.
2020年高考数学二轮复习专题04：三角函数、解三角形
2020年高考数学二轮复习专题04：三角函数、解三角形一、单选题（共13题；共26分）1. ( 2分) 要得到函数的图象，只要将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位2. ( 2分) 若函数，，则是（）A. 最小正周期为为奇函数B. 最小正周期为为偶函数C. 最小正周期为为奇函数D. 最小正周期为为偶函数3. ( 2分) 已知函数其中，的图象如图所示，则函数的解析式为A. B.C. D.4. ( 2分) 若直线与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5. ( 2分) 已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.6. ( 2分) 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则=（）A. B. C. D.7. ( 2分) 函数的部分图像如图所示，则的值分别是（）A. B. C. D.8. ( 2分) 已知a是实数，则函数的图象不可能是（）A. B.C. D.9. ( 2分) 已知函数，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.10. ( 2分) 设，且，则等于（）A. 2B.C. 8D.11. ( 2分) 若为第二象限角，则（）A. B. C. D.12. ( 2分) 定义运算：，将函数（）的图像向左平移个单位所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.13. ( 2分) 函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（共5题；共5分）14. ( 1分) 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的最大值是________．15. ( 1分) 已知角终边上有一点,且，则________16. ( 1分) 已知,则________.17. ( 1分) 已知函数的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为－1.若，的值域是，则m的取值范围是________.18. ( 1分) 函数，下列四个命题① 是以为周期的函数② 的图象关于直线对称③当且仅当，取得最小值-1④当且仅当时，正确的是________．（填正确序号）三、解答题（共8题；共80分）19. ( 10分) 已知，（1）求的值；（2）求；20. ( 10分) 已知函数f(x)=sin(ωx+ ) - b(ω>0，0< <π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f(x)的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数．（1）求f(x)的解析式并写出单增区间；（2）当x∈，f(x)+m-2<0恒成立，求m取值范围．21. ( 10分) 已知角的始边为轴的非负半轴，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点.（1）求的值；（2）若角是第二象限角，求的值.22. ( 10分) 已知函数的部分图象如图所示.（1）将函数的图象保持纵坐标不变,横坐标向右平移个单位后得到函数的图象,求函数在上的值域;（2）求使的x的取值范围的集合.23. ( 10分) 已知函数，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标扩大到原来的倍，所得图像为函数的图像.（1）用“五点描点法”画出的图像（）.（2）求函数的对称轴，对称中心.24. ( 10分) 已知函数（）的最小正周期为，且其图象关于直线对称.（1）求和的值；（2）若，，求的值.25. ( 10分) 在中，角的对边分别为.（1）求的值；（2）求的面积.26. ( 10分) 已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）已知分别为内角的对边，其中为锐角，，且，求的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】将的图象象左平移个单位，可得的图象，故答案为：C.【分析】利用函数图象的平移变换规律，即可得结果.2.【答案】A【考点】正切函数的周期性【解析】【解答】∵=-sin2x，∴f（x）=-sin2x，可得f（x）是奇函数，最小正周期T= =π故答案为：A．【分析】本题主要考查正弦函数的周期性，由诱导公式可将化为f（x）=-sin2x，结合正弦函数的奇偶性即可求出结果。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xy αtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 227．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan =(2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正． (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______； (3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；(4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______；(3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o ______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o ．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα， (2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα； ∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα(2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( ) A ．sin15°－cos15° B ．sin15°＋cos15° C ．－sin15°－cos15° D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12π 2π π Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x x x x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立， 即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间，2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合 (2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6π,21-==ϕω解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y列表(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______． 7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高. 21=∆ABCS ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120°(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a 又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ． 法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和bc＝321+，求∠A 和tan B 的值． 解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ． 由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( )A ．35 B ．45 C ．55 D ．65 二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A . (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米． 求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα，所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35， 因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α， 所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题5．2 6．2 7．)3π2sin(+=x y 8．]2,89[- 三、解答题9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-=＝)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π，f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[．10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3π2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g x x f 又⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-∴函数g (x )是偶函数．11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω。
(新高考)2020版高考数学二轮复习主攻36个必考点三角函数与解三角形考点过关检测二文(最新整理)
考点过关检测（二)1．函数f(x)＝sin x cos x＋(1＋tan2x）cos2x的最小正周期和最大值分别是（) A．π和错误! B.错误!和1C．π和1 D．2π和错误!解析：选A ∵f（x)＝sin x cos x＋（1＋tan2x)cos2x＝错误!sin 2x＋1，∴函数f(x)的最小正周期为π，最大值为32。
故选A。
2．（2019·合肥高三调研）若将函数f(x)＝cos2x（1＋cos x）(1－cos x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的单调递减区间为（）A。
错误!(k∈Z）B.错误!(k∈Z)C。
错误!(k∈Z)D。
错误!(k∈Z）解析：选 A 因为f（x)＝cos2x(1＋cos x）(1－cos x）＝cos2x sin2x＝错误!sin22x＝错误!－错误!cos 4x，所以g(x)＝错误!－错误!cos 2x，所以当－π＋2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z)，即－错误!＋kπ≤x≤kπ(k∈Z)时，y＝g（x）单调递减，所以g(x)的单调递减区间是错误!(k∈Z),故选A.3．（2019·山西平遥中学调研）已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)（ω〉0，|φ|<π）的部分图象如图所示，已知点A(0,错误!)，B错误!，若将它的图象向右平移错误!个单位长度,得到函数g(x）的图象，则函数g(x）图象的一条对称轴方程为( )A．x＝错误!B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析:选 A 由题意知图象过A（0，3)，B错误!，即f(0）＝2sin φ＝错误!，f错误!＝2sin错误!＝0，又ω>0,|φ｜<π,并结合图象知φ＝错误!,错误!·ω＋φ＝π＋2kπ(k∈Z），得ω＝2，所以f（x）＝2sin错误!，因为图象向右平移错误!个单位长度得g(x）＝2sin 错误!＝2sin错误!，所以对称轴满足2x＋错误!＝错误!＋kπ（k∈Z），解得x＝错误!＋错误!（k ∈Z），所以满足条件的一条对称轴方程是x＝错误!,故选A。
2020版高考数学二轮复习专题 三角函数与解三角形 学案与练习 真题分类汇编全集 理
第1讲 三角函数的图象与性质[做真题]题型一 三角函数图象及其变换1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D ．易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D ．2．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．答案：2π3题型二 三角函数的性质1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A ．A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A ．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：选C ．通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C ． 优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )的最大值为2，故④正确．故选C ．3．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：选A ．法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A ．法二：因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A ．4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D ．根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D ．5．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：选B ．因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.答案：1[明考情]高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12题或第14、15题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．三角函数的定义、诱导公式及基本关系[考法全练]1．角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( ) A ．－43B ．43C ．－34D ．34解析：选C ．因为角θ的终边经过点P (4，y )，sin θ＝－35<0，所以角θ为第四象限角，所以cos θ＝1－sin 2θ＝45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－34，故选C ．2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan (π－α)＝( ) A ．43 B ．23 C ．－23D ．－43解析：选A ．由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 得sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan (π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－45－35＝43.3．已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B ．1010C ．－31010D ．31010解析：选C ．因为α是第三象限的角，tan α＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255， 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，故选C ．4．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则 1－2sin(π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝____________．解析：因为1－2sin(π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.答案：sin θ－cos θ5．若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝____________．解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sinα＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：2(1)三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝yr ，cos α＝x r， tan α＝y x(其中r ＝x 2＋y 2)． (2)利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．[注意] “奇变偶不变，符号看象限”． (3)基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin x cos x.[技能] 利用同角三角函数的基本关系求函数值时，要注意确定符号．三角函数的图象与解析式[典型例题]命题角度一 由“图”定“式”(一题多解)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12B ．f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π12 【解析】 法一：根据函数g (x )的图象可知A ＝1，12T ＝π3＋π6＝π2，T ＝π＝2πω，ω＝2，所以g (x )＝sin(2x ＋φ)，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝π＋k π，k ∈Z ，φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后，即可得到函数f (x )的图象，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 法二：根据g (x )的图象可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－π62＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，因为f (x )的图象向右平移π4个单位长度后，即可得到g (x )的图象，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1，对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin π4≠1，不符合题意；对于B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－cos 0＝－1≠1，不符合题意；对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos 0＝1，符合题意；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin π4≠1，不符合题意．【答案】 C由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.记住三角函数的周期T 的相关结论：①两个相邻对称中心之间的距离等于T2.②两条相邻对称轴之间的距离等于T2.③对称中心与相邻对称轴的距离等于T4.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A ，ω，B 已知)，也可代入图象与直线y ＝B 的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．命题角度二 图象变换(1)(一题多解)(2019·广州市调研测试)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －16π的图象，则f (x )＝( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋16πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －16πC ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋13π D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋13π (2)若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( )A ．112B ．52C ．12D ．32【解析】 (1)法一：由题设知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －16π.设12x ＋π3＝t ，则x ＝2t －2π3，所以f (t )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫2t －2π3－16π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6t －16π.故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －16π.故选B ．法二：由题设知，先将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －16π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移π3个单位长度即得函数f (x )的图象，故f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－16π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x －16π.故选B ．(2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，所以－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，所以ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为52，故选B ．【答案】 (1)B (2)B三角函数图象的变换规律由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法．[提醒] (1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x 作的变换．(2)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左(右)平移k 个单位长度后，其图象对应的函数解析式为g (x )＝sin[ω(x ±k )＋φ]，而不是g (x )＝sin(ωx ±k ＋φ)．命题角度三 三角函数图象的应用(1)(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减 (2)已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为____________．【解析】 (1)f (x )＝|sin x |·|cos x |＝12|sin 2x |，作出函数f (x )的图象如图所示，由图知函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，f (x )的最小正周期为π2，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，f (x )的图象无对称中心，故选C ．(2)方程g (x )＝0同解于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解．【答案】 (1)C (2)[3，2)巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．[对点训练]1．(2019·高考天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2C ． 2D ．2解析：选C ．由f (x )为奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g (x )＝A sin 12ωx .由g (x )的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，g (x )＝A sin x ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.2．(2019·湖南省五市十校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f (2 019)的值为________．解析：由题图易知，函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1＝6，所以ω＝2πT ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，将(0，1)代入，可得A sinφ＝1，所以f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝－A sin φ＝－1.答案：－1三角函数的性质 [典型例题](1)(一题多解)(2019·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则下列关于g (x )的说法正确的是( )A ．最大值为3B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π12上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是g (x )图象的一个对称中心 D ．直线x ＝－π6是g (x )图象的一条对称轴(2)(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，83B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，83 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，2 【解析】 (1)通解：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和函数g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1(|φ|<π2)的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3＋φ＝±1(k ∈Z )，所以对任意k ∈Z 均存在m ∈Z ，使得k π＋2π3＋φ＝m π.因为|φ|<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，所以2π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )的最大值为4，所以A 错误．令2n π≤2x ＋π3≤2n π＋π，n ∈Z ，得n π－π6≤x ≤n π＋π3，n ∈Z ，所以B 错误．因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＋1＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫π12，1是g (x )图象的一个对称中心，所以C 错误．因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＋1＝4，所以直线x ＝－π6为函数g (x )图象的一条对称轴，所以D 正确．故选D ．优解：因为函数f (x )＝2sin(ωx －π6)(ω>0)和函数g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (－π6)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝－2，又－2为函数f (x )的最小值，所以直线x ＝－π6为函数f (x )图象的一条对称轴，所以直线x ＝－π6为函数g (x )图象的一条对称轴，故选D ．(2)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ4＋π6≥－π2＋2k π，k ∈Z 2ωπ3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ω≤83－8k ，k ∈Z ω≤12＋3k ，k ∈Z，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－8k >012＋3k >0，k ∈Z ，所以k ＝0，则0<ω≤12，故选B ．法二：取ω＝1，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，令π2＋2k π≤x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π3＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上单调递减，与函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项知选B ．【答案】 (1)D (2)B三角函数性质的应用要注意以下两点：首先要将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再对比y ＝sin x 的性质，即把ωx ＋φ看成一个整体处理，但是一定要注意ω>0，否则易出错；其次一定要结合图象进行分析．[对点训练]1．(一题多解)(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：选B ．法一：因为f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6 ，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为[2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )．故选B ．法二：因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π≤x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B ．2．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0<ω<1，|φ|<π2)的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 解析：选D ．由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0<ω<1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D ．3．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0.若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )是偶函数，则φ＝( )A ．－π3B ．－5π6C ．－π6D ．－2π3解析：选A ．由题意得g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－ 3 sin(3x ＋φ)＝2cos(3x ＋φ＋π3)，因为函数g (x )为偶函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z .又－π<φ<0，所以φ＝－π3.故选A ． 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为6，P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－2是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是( ) A ．(1，0) B ．(2，0) C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C ．由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝6，则ω＝2πT ＝2π6＝π3.结合点P 的坐标可得A ＝2，且π3×32＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，得φ＝2k π－π(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2k π－π＝－2sin π3x (k ∈Z )．令π3x ＝k ′π(k ′∈Z )，得x ＝3k ′(k ′∈Z )， 取k ′＝1可得该函数图象的一个对称中心是(3，0)．三角函数的值域与最值问题[典型例题](1)已知将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x＋12的图象向左平移5π12个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的值域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．【解析】 (1)因为f (x )＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6＋12＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.因为－π3≤x ≤π3，所以0≤2x ＋2π3≤4π3，则－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3≤1，故－32≤g (x )≤1.故选C ．(2)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]， 所以f (x )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，所以当t ＝1时，f (x )有最小值－4.【答案】 (1)C (2)－4有关三角函数的值域与最值问题的解题策略(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，要根据三角恒等变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再借助三角函数的图象与性质确定值域与最值．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，转化为二次函数去求解．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，再转化为关于t 的二次函数去求解．[对点训练]1．(2019·济南市模拟考试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A ．23 B ．34 C ．43D ．32解析：选A ．因为0≤x ≤π，ω>0，所以－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6.又f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以ωπ－π6≥π2，所以ω≥23，故选A ．2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上的最小值为________．解析：由题意得，f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 因为π2≤x ≤3π4，所以5π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤－22，所以1－2≤1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上的最小值为1－ 2.答案：1－ 2一、选择题1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32 C ．1D ．12解析：选A ．依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A ．2．(2019·昆明市诊断测试)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选D ．由题意，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为x ＝5π12.故选D ． 3．(2019·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 解析：选B ．由－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，则函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B ．4．(2019·济南市学习质量评估)为了得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B ．因为y ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以要得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，故选B ．5．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π24解析：选D ．因为函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的图象过点A (0，3)，所以2cos φ＝3，即cos φ＝32，所以φ＝2k π±π6(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2cos(ωx －π6)．因为f (x )＝2cos(ωx －π6)的图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以cos (ω－1)π6＝0，所以(ω－1)π6＝m π＋π2(m ∈Z )，所以ω＝6m ＋4(m ∈Z )．因为ω>0，πω>π6，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.因为x ＝π24时，f (x )＝2，所以x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D ． 6．将偶函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π12，0(k ∈Z )C ．⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋π6，0(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋7π36，0(k ∈Z )解析：选A ．因为函数f (x )＝sin(3x ＋φ)为偶函数且0<φ<π，所以φ＝π2，f (x )的图象向右平移π12个单位长度后可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，分析选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )为曲线y ＝g (x )的对称中心．故选A ． 7．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B ．因为ω>0，π<x <2π，所以ωπ＋π6<ωx ＋π6<2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ<π，0<ω<1，则π6<ωπ＋π6<7π6.当π6<ωπ＋π6<π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0<ω≤16； 当π2≤ωπ＋π6<7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B ． 8．(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B ．(－1，1)C ．(0，2]D ．(－1，2]解析：选D ．由f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，得T ＝π，又ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象．因为函数g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由|φ|<π2，解得φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 因为0<x <π2，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是(－1，2]，故选D ．9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，则ω的最大值为( ) A ．12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ．法一：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，所以ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ωπ8＋π4，因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C ．法二：逐个选项代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C ． 10．(2019·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π8D ．π解析：选C ．由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8，即m的最大值为3π8，故选C ．11．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则f (x )取最大值时x 的值为( )A ．π3＋k π，k ∈ZB ．π4＋k π，k ∈ZC ．π6＋k π，k ∈ZD ．－π6＋k π，k ∈Z解析：选C ．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即当x ＝π6时，f (x )取得最值，所以2×π6＋φ＝n π＋π2，n ∈Z ，φ＝n π＋π6，n ∈Z .又f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ，所以sin (2π＋φ)>sin (π＋φ)，即sin φ>－sin φ，得sin φ>0，所以n ∈Z ，且n 为偶数．不妨取n ＝0，即φ＝π6，当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，故选C ．12．(2019·广东六校第一次联考)已知A 是函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 036解析：选B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f (x )max＝2，f (x )的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，所以f (x 2)＝f (x )max ，f (x 1)＝f (x )min ，故A |x 1－x 2|的最小值为A ×12T＝π1 009，故选B ． 二、填空题13．(一题多解)(2019·福州市质量检测)将函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，则ba＝________．解析：通解：将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ，其中tan φ＝b a ，因为y ＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ为偶函数，所以π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以ba＝tan φ＝ 3.优解：因为将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，所以函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 图象的一条对称轴为直线x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (0)，所以a sin π3＋b cos π3＝b ，因为a ≠0，所以b a ＝ 3. 答案： 314．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________．解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.答案：－215．(2019·长春市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)有零点，且值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，则ω的取值范围是________．解析：由0≤x ≤π，得－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，当x ＝0时，y ＝－12.因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－π6，ω≥16.因为值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以ωπ－π6≤π＋π6，ω≤43，从而16≤ω≤43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，4316．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 解析：因为2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0， 所以1－cos 2x －3sin 2x ＋m －1＝0， 所以cos 2x ＋3sin 2x －m ＝0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m 2.方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的图象与y ＝m 2的图象有2个不同的交点．作出y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π及y＝m 2的图象如图所示，则－1<m 2<－12，即－2<m <－1，所以m 的取值范围是(－2，－1)． 答案：(－2，－1)第1讲 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32 C ．1D ．12解析：选A ．依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A ．2．(2019·昆明市诊断测试)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选D ．由题意，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为x ＝5π12.故选D ． 3．(2019·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 解析：选B ．由－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，则函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B ．4．(2019·济南市学习质量评估)为了得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B ．因为y ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以要得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，故选B ．5．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π24解析：选D ．因为函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的图象过点A (0，3)，所以2cos φ＝3，即cos φ＝32，所以φ＝2k π±π6(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2cos(ωx －π6)．因为f (x )＝2cos(ωx －π6)的图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以cos (ω－1)π6＝0，所以(ω－1)π6＝m π＋π2(m ∈Z )，所以ω＝6m ＋4(m ∈Z )．因为ω>0，πω>π6，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.因为x ＝π24时，f (x )＝2，所以x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D ． 6．将偶函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π12，0(k ∈Z )C ．⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋π6，0(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋7π36，0(k ∈Z )解析：选A ．因为函数f (x )＝sin(3x ＋φ)为偶函数且0<φ<π，所以φ＝π2，f (x )的图象向右平移π12个单位长度后可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，分析选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )为曲线y ＝g (x )的对称中心．故选A ． 7．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B ．因为ω>0，π<x <2π，所以ωπ＋π6<ωx ＋π6<2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ<π，0<ω<1，则π6<ωπ＋π6<7π6.当π6<ωπ＋π6<π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0<ω≤16； 当π2≤ωπ＋π6<7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B ． 8．(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B ．(－1，1)C ．(0，2]D ．(－1，2]解析：选D ．由f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，得T ＝π，又ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象．因为函数g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由|φ|<π2，解得φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 因为0<x <π2，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是(－1，2]，故选D ．9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，则ω的最大值为( ) A ．12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ．法一：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，所以ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ωπ8＋π4，因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C ．法二：逐个选项代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C ． 10．(2019·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π8D ．π解析：选C ．由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8，即m的最大值为3π8，故选C ．11．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则f (x )取最大值时x 的值为( )A ．π3＋k π，k ∈ZB ．π4＋k π，k ∈ZC ．π6＋k π，k ∈ZD ．－π6＋k π，k ∈Z解析：选C ．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即当x ＝π6时，f (x )取得最值，所以2×π6＋φ＝n π＋π2，n ∈Z ，φ＝n π＋π6，n ∈Z .又f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ，所以sin (2π＋φ)>sin (π＋φ)，即sin φ>－sin φ，得sin φ>0，所以n ∈Z ，且n 为偶数．不妨取n ＝0，即φ＝π6，当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，故选C ．12．(2019·广东六校第一次联考)已知A 是函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 036解析：选B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f (x )max＝2，f (x )的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，所以f (x 2)＝f (x )max ，f (x 1)＝f (x )min ，故A |x 1－x 2|的最小值为A ×12T＝π1 009，故选B ． 二、填空题13．(一题多解)(2019·福州市质量检测)将函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，则ba＝________．解析：通解：将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ，其中tan φ＝b a ，因为y ＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ为偶函数，所以π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以ba＝tan φ＝ 3.优解：因为将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，所以函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 图象的一条对称轴为直线x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (0)，所以a sin π3＋b cos π3＝b ，因为a ≠0，所以b a ＝ 3. 答案： 314．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________．解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.答案：－215．(2019·长春市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)有零点，且值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，则ω的取值范围是________．解析：由0≤x ≤π，得－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，当x ＝0时，y ＝－12.因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－π6，ω≥16.因为值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以ωπ－π6≤π＋π6，ω≤43，从而16≤ω≤43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，4316．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在。
人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳：三角函数 解三角形(基础)
解答题题型归纳核心考点1: 三角函数的图像和性质1.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.2π D.4π1.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]2.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π32.A [点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ， 故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.103.C [由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.]4.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位4.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.]5.函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.5.π2 [y ＝1－2cos 2(2x )＝1－2×1＋cos 4x 2＝－cos 4x ，则最小正周期为π2.]6.定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .6. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]7.设常数a ∈R ，函数f(x)=asin2x +2cos 2x ．（1）若f(x)为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f(x)=1﹣√2在区间[﹣π，π]上的解．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．10.解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得a sinA =b sinB ，得bsinA=asinB ， 又bsinA=acos （B ﹣π6）．∴asinB=acos （B ﹣π6），即sinB=cos （B ﹣π6）=cosBcos π6+sinBsin π6=√32cosB+12sinB ， ∴tanB=√3，又B ∈（0，π），∴B=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，a=2，c=3，B=π3，由余弦定理得b=√a 2+c 2−2accosB =√7，由bsinA=acos （B ﹣π6），得sinA=√3√7， ∵a ＜c ，∴cosA=2√7，∴sin2A=2sinAcosA=4√37， cos2A=2cos 2A ﹣1=17，∴sin （2A ﹣B ）=sin2AcosB ﹣cos2AsinB=4√37×12−17×√32=3√314． 11. 在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．11.解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角， ∵cosB=﹣17，∴sinB=√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得a sinA =b sinB 得sinA=asinB b =7×4√378=√32，则A=π3． （Ⅱ）由余弦定理得b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，。
2020届高考数学压轴必刷题 专题04三角函数与解三角形(文理合卷)(含答案)
2020届高考数学压轴必刷题专题04三角函数与解三角形(文理合卷)1．【2019年天津理科07】已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（），则f（）＝（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，则f（x）＝A sin（ωx）将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．即g（x）＝A sin（ωx）∵g（x）的最小正周期为2π，∴2π，得ω＝2，则g（x）＝A sin x，f（x）＝A sin2x，若g（），则g（）＝A sin A，即A＝2，则f（x）＝2sin2x，则f（）＝2sin（22sin2，故选：C．2．【2019年新课标3理科12】设函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【解答】解：当x∈[0，2π]时，∈[，]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x∈（0，）时，∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，∵，故③正确．故选：D．3．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．4．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d，tanα，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝13．∴d的最大值为3．故选：C．5．【2017年天津理科07】设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω，φB．ω，φC．ω，φD．ω，φ【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（），得sin（φ）＝1．∴φ，k∈Z．取k＝0，得φπ．∴，φ．故选：A．6．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x 为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．7．【2013年新课标2理科12】已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为1，由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故0，故点M在射线OA上．设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．②若点M在点O和点A之间，此时b，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若点M在点A的左侧，则b，由点M的横坐标1，求得b＞a．设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|，即（1﹣b）•||，化简可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化简可得b＞1，故有1b．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a＝0时，直线y＝ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得，b＝1，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b．综上可得，1b，故选：B．8．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．9．【2010年浙江理科09】设函数f（x）＝4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）A．[﹣4，﹣2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[2，4]【解答】解：在同一坐标系中画出g（x）＝4sin（2x+1）与h（x）＝x的图象如下图示：由图可知g（x）＝4sin（2x+1）与h（x）＝x的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，由图可知函数f（x）＝4sin（2x+1）﹣x在区间[﹣4，﹣2]上没有零点故选：A．10．【2010年上海理科18】某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人将（）A．不能作出这样的三角形B．作出一个锐角三角形C．作出一个直角三角形D．作出一个钝角三角形【解答】解：设三边分别为a，b，c，利用面积相等可知a b c，∴a：b：c＝13：11：5令a＝13，b＝11，c＝5由余弦定理得cos A0，所以角A为钝角，故选：D．11．【2019年江苏13】已知，则sin（2α）的值是．【解答】解：由，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α，cos2α，∴sin（2α）；当tanα时，sin2α，cos2α，∴sin（2α）．综上，sin（2α）的值是．故答案为：．12．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．13．【2017年浙江14】已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2，点D为AB延长线上一点，BD＝2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC＝．【解答】解：如图，取BC得中点E，∵AB＝AC＝4，BC＝2，∴BE BC＝1，AE⊥BC，∴AE，∴S△ABC BC•AE2，∵BD＝2，∴S△BDC S△ABC，∵BC＝BD＝2，∴∠BDC＝∠BCD，∴∠ABE＝2∠BDC在Rt△ABE中，∵cos∠ABE，∴cos∠ABE＝2cos2∠BDC﹣1，∴cos∠BDC，故答案为：，14．【2016年江苏14】在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是．【解答】解：由sin A＝sin（π﹣A）＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，sin A＝2sin B sin C，可得sin B cos C+cos B sin C＝2sin B sin C，①由三角形ABC为锐角三角形，则cos B＞0，cos C＞0，在①式两侧同时除以cos B cos C可得tan B+tan C＝2tan B tan C，又tan A＝﹣tan（π﹣A）＝﹣tan（B+C）②，则tan A tan B tan C•tan B tan C，由tan B+tan C＝2tan B tan C可得tan A tan B tan C，令tan B tan C＝t，由A，B，C为锐角可得tan A＞0，tan B＞0，tan C＞0，由②式得1﹣tan B tan C＜0，解得t＞1，tan A tan B tan C，（）2，由t＞1得，0，因此tan A tan B tan C的最小值为8，另解：由已知条件sin A＝2sin B sin c，sin（B十C）＝2sin B sin C，sin B cos C十cos B sin C＝2sin B cos C，两边同除以cos B cos C，tan B十tan C＝2tan B tan C，∵﹣tan A＝tan（B十C），∴tan A tan B tan C＝tan A十tan B十tan C，∴tan A tan B tan C＝tan A十2tan B tan C≥2，令tan A tan B tan C＝x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t＝2时取到等号，此时tan B+tan C＝4，tan B tan C＝2，解得tan B＝2，tan C＝2，tan A＝4，（或tan B，tan C互换），此时A，B，C均为锐角．15．【2016年上海理科13】设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x）＝a sin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x）＝a sin（bx+c），∴必有|a|＝2，若a＝2，则方程等价为sin（3x）＝sin（bx+c），则函数的周期相同，若b＝3，此时C，若b＝﹣3，则C，若a＝﹣2，则方程等价为sin（3x）＝﹣sin（bx+c）＝sin（﹣bx﹣c），若b＝﹣3，则C，若b＝3，则C，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．16．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．17．【2015年上海理科13】已知函数f（x）＝sin x．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为．【解答】解：∵y＝sin x对任意x i，x j（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，要使m取得最小值，尽可能多让x i（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|＝12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．18．【2014年江苏14】若△ABC的内角满足sin A sin B＝2sin C，则cos C的最小值是．【解答】解：由正弦定理得a b＝2c，得c（a b），由余弦定理得cos C，当且仅当时，取等号，故cos C＜1，故cos C的最小值是．故答案为：．19．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．20．【2014年上海理科12】设常数a使方程sin x cos x＝a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝．【解答】解：sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）＝a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x），x2kπ，即x＝2kπ，或x2kπ，即x＝2kπ，∴此时x1＝0，x2，x3＝2π，∴x1+x2+x3＝02π．故答案为：21．【2014年北京理科14】设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为．【解答】解：由f（）＝f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x，则x离最近对称轴距离为．又f（）＝﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则T⇒T，从而⇒T＝π．故答案为：π．22．【2013年浙江理科16】△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC＝．【解答】解：如图设AC＝b，AB＝c，CM＝MB，∠MAC＝β，在△ABM中，由正弦定理可得，代入数据可得，解得sin∠AMB，故cosβ＝cos（∠AMC）＝sin∠AMC＝sin（π﹣∠AMB）＝sin∠AMB，而在RT△ACM中，cosβ，故可得，化简可得a4﹣4a2b2+4b4＝（a2﹣2b2）2＝0，解之可得a b，再由勾股定理可得a2+b2＝c2，联立可得c，故在RT△ABC中，sin∠BAC，另解：设∠BAM为α，∠MAC为β，正弦定理得BM：sinα＝AM：sin∠BBM：sinβ＝AM又有sinβ＝cos∠AMC＝cos（α+∠B），联立消去BM，AM得sin∠B cos（α+∠B）＝sinα，拆开，将1化成sin2∠B+cos2∠B，构造二次齐次式，同除cos2∠B，可得tanα，若，则cos∠BAM，tan∠BAM，解得tan∠B，cos B易得sin∠BAC．另解：作MD⊥AB交于D，设MD＝1，AM＝3，AD＝2，DB＝x，BM＝CM，用△DMB和△CAB相似解得x，则cos B，易得sin∠BAC．故答案为：23．【2013年上海理科11】若cos x cos y+sin x sin y，sin2x+sin2y，则sin（x+y）＝．【解答】解：∵cos x cos y+sin x sin y，∴cos（x﹣y）．∵sin2x+sin2y，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]，∴2sin（x+y）cos（x﹣y），∴，∴sin（x+y）．故答案为．24．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：225．【2010年江苏13】在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若6cos C，则的值是．【解答】解：∵6cos C，由余弦定理可得，∴则故答案为：426．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．1．【2019年天津文科07】已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（），则f（）＝（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴π，得ω＝2，则f（x）＝A sin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝A sin x，若g（），则g（）＝A sin A，即A＝2，则f（x）＝A sin2x，则f（）＝2sin（22sin2，故选：C．2．【2019年新课标2文科11】已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα．故选：B．3．【2019年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A，则（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A，∴，解得3c2，∴6．故选：A．4．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．5．【2018年新课标2文科10】若f（x）＝cos x﹣sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）sin（x），由2kπ≤x2kπ，k∈Z，得2kπ≤x2kπ，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a．则a的最大值是．故选：C．6．【2018年新课标1文科11】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a），B（2，b），且cos2α，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α，∴cos2α＝2cos2α﹣1，解得cos2α，∴|cosα|，∴|sinα|，|tanα|＝||＝|a﹣b|．故选：B．7．【2018年新课标3文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC，∴sin C cos C，∵0＜C＜π，∴C．故选：C．8．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．9．【2017年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c，则C＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵A＜π，∴A，由正弦定理可得，∴sin C，∵a＝2，c，∴sin C，∵a＞c，∴C，故选：B．10．【2017年天津文科07】设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω，φB．ω，φC．ω，φD．ω，φ【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（），得sin（φ）＝1．∴φ，k∈Z．取k＝0，得φπ．∴，φ．故选：A．11．【2016年新课标2文科11】函数f（x）＝cos2x+6cos（x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）＝cos2x+6cos（x）＝1﹣2sin2x+6sin x，令t＝sin x（﹣1≤t≤1），可得函数y＝﹣2t2+6t+1＝﹣2（t）2，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t＝1即x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．12．【2016年天津文科08】已知函数f（x）＝sin2sinωx（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，1）C．（0，] D．（0，]∪[，]【解答】解：函数f（x）sinωx sinωx，由f（x）＝0，可得0，解得x∉（π，2π），∴ω∉∪∪∪∪，∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴ω∈∪．故选：D．13．【2014年天津文科08】已知函数f（x）sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵已知函数f（x）sinωx+cosωx＝2sin（ωx）（ω＞0），x∈R，在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则，∴T＝π，故选：C．14．【2012年天津文科07】将函数y＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是（）A．B．1 C．D．2【解答】解：将函数y＝sinωx（其中ω＞0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sinω（x）．再由所得图象经过点可得sinω（）＝sin（ω）＝0，∴ω•kπ，k∈z．故ω的最小值是2，故选：D．15．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinαcosα+3C．3sinαcosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．16．【2018年新课标1文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，利用正弦定理可得sin B sin C+sin C sin B＝4sin A sin B sin C，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sin B sin C≠0，所以sin A，则A由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A时，，解得bc，所以．②当A时，，解得bc（不合题意），舍去．故：．故答案为：．17．【2018年北京文科14】若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）ac sin B，，可得：tan B，所以B，∠C为钝角，A∈（0，），tan A，∈（，+∞）．cos B sin B∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．18．【2017年新课标2文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C+c cos A，则B＝．【解答】解：∵2b cos B＝a cos C+c cos A，由正弦定理可得，2cos B sin B＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B，∵sin B≠0，∴cos B，∵0＜B＜π，∴B，故答案为：19．【2015年天津文科14】已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为．【解答】解：∵f（x）＝sinωx+cosωx sin（ωx），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπωx2kπ，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω①，ω②，k∈Z，∴解得：0＜ω2且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：，k∈Z，∴可解得：k＝0，又∵由ωx kπ，可解得函数f（x）的对称轴为：x，k∈Z，∴由函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，可得：ω2，可解得：ω．故答案为：．20．【2014年新课标1文科16】如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝m．【解答】解：△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，∴AC100．△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得，解得AM＝100．Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝100sin60°＝150（m），故答案为：150．21．【2013年新课标1文科16】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：22．【2013年新课标2文科16】函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y ＝sin（2x）的图象重合，则φ＝．【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，得平移后的图象的函数解析式为y＝cos[2（x）+φ]＝cos（2x+φ﹣π），而函数y＝sin（2x），由函数y＝cos（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin（2x）的图象重合，得2x+φ﹣π，解得：φ．符合﹣π≤φ＜π．故答案为．23．【2010年新课标1文科16】在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD，∠ADB＝135°．若AC AB，则BD ＝．【解答】用余弦定理求得AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BD cos135°AC2＝CD2+AD2﹣2AD•CD cos45°即AB2＝BD 2+2+2BD①AC2＝CD2+2﹣2CD②又BC＝3BD所以CD＝2BD所以由（2）得AC2＝4BD2+2﹣4BD（3）因为AC AB所以由（3）得2AB2＝4BD2+2﹣4BD（4）（4）﹣2（1）BD2﹣4BD﹣1＝0求得BD＝2故答案为：2。
2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(4)三角函数与解三角形+Word版含答案
（4）三角函数与解三角形 1、若角θ满足sin 0θ<,tan 0θ<则角θ是（ ）A. 第三象限角B. 第四象限角C. 第三象限角或第四象限角D. 第二象限角或第四象限角 2、一个扇形的弧长与面积都是3,则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A ．2radB ．32radC ．1radD ．52rad 3、已知tan 3α=,则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ). A.38 B.916 C.1112 D.794、函数23cos π2()cos(π)x x f x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-++在[]-π,π的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5、已知0ω>，函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A.1(0,]2 B. (0,2] C. 15[,]24 D. 13[,]246、在ABC ∆中，已知5cos 13A =，4cos 5B =，则cos C 的值为（ ） A. 1665 B. 5665 C. 1665或5665 D ．1665- 7、在ABC △中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若4,60,75a B C ==︒=︒,则b 等于（ ）A.42 B.3 C.6 D.68、在ABC △中，3,45,60c B C ==︒=︒，则b =( )A. 2B. 3C. 32D. 29、在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为、b 、,若222a c b +-,则角B 的值为( ) A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π310、在ABC △中，2cos a b C =(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边），则ABC △的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形11、若1sin cos ,,52αααπ⎛⎫+=∈π ⎪⎝⎭,则sin cos αα-=___________.12、振动量函数()()0y x ωϕω=+>的初相和频率分别为π-和32,则它的相位是__________.13、在ABC △中,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,D 是AB 上的三等分点(靠近点A),且1CD =,()()()sin sin sin a b A c b C B +=+-,则2a b +的最大值是___________.14、已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2A B =,则2()b a c b+最小值是________________15、在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos sin cos b a c A ac A A--= （1）求角A ；（2）若a =，求bc 的取值范围．答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：∵sin θ<0，∴θ为第三或第四象限角或终边落在y 轴的非正半轴上，又tan θ<0，∴θ为第二或第四象限角，取交集得：θ为第四象限角。
专题04 三角函数与解三角形(原卷)2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)
三观一统2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题4 三角函数与解三角形十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：三角化简求值（2019新课标I 卷T7文科）tan255°＝（ ） A ．﹣2﹣B ．﹣2+C ．2﹣D ．2+（2015新课标I 卷T2理科）o ooosin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）-（B （C ）12- （D ）12（2010新课标I 卷T1文科）cos300︒=(A)2-(B)-12 (C)12(D) 2（2011新课标I 卷T7文科）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．注意： (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．（2010新课标I 卷T2理科）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.一、角的有关概念1．定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ；终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ；终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ．象限角和终边相同的角的判断及表示方法： 1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解. 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形三角函数线的应用：1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况4．特殊角的三角函数值补充：sin15cos 75,sin 75cos15,︒=︒=︒=︒=tan152,tan 752︒=︒=+ 四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．同角三角函数基本关系式的应用：1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化．2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.二、考向题型研究二： 三角恒等变换（2017新课标I 卷T15文科）已知α∈（0，），tanα=2，则cos （α﹣）=．（2016新课标I 卷T14文科）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= .（2010新课标I 卷T14文科）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .(2014新课标Ⅰ卷T8理科)设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）A. 3α﹣β= B .3α+β= C. 2α﹣β= D.2α+β=B.（2010新课标I 卷T14理科）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .1.三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．*诱导公式的应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． *诱导公式的应用：1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等. 2.．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+（2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-（3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+（4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z3．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且4．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=5．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 6．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.*三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.三、考向题型研究三： 三角函数图像的平移、伸缩和翻折问题（2017新课标I 卷T9理科）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2（2016新课标I 卷T6文科）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y =2sin(2x +4π) B ．y =2sin(2x +3π) C ．y =2sin(2x –4π) D ．y =2sin(2x –3π)*y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念*用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：*函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径*图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数）1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()f x ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） *图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换 （2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 ③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：()()21y f x y f x =→=+有两种方案方案一：先放缩：()()2y f x y f x =→=，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即()()()221y f x y f x =→=+方案二：先平移：()()1y f x y f x =→=+，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a 倍，那么()()()11y f x y a f x =+→=+，无论a 取何值，也无法达到()21y f x =+，所以需要对前一步进行调整：平移12个单位，再进行放缩即可（2a =） 四、考向题型研究四：三角函数)sin(φ+=wx A y 的图像和性质（2015新课标I 卷T8文科）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈ C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈（2019新课标I 卷T11理科）．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③（2015新课标I 卷T8理科）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈（2011新课标I 卷T11文科）设函数，则f （x ）=sin （2x+）+cos （2x+），则（ ）A ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称（2016新课标I 卷T12文科）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13] C ．[-,13] D ．[-1,-13](2014新课标Ⅰ卷T6理科)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．（2012新课标I 卷T9文科）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（2011新课标I 卷T11理科）设函数f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）的最小正周期为π，且f （﹣x ）=f （x ），则（ ） A ．f （x ）在单调递减B ．f （x ）在（，）单调递减C ．f （x ）在（0，）单调递增D ．f （x ）在（，）单调递增1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 4．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 5、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定．【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z . 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴. (7)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(8)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(9)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.6、关于辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+注意事项：① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角， 7、表达式的化简攻略：可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换。
2020高考二轮复习三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．(2)高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12或14～16题位置上．考点一 三角函数的定义、诱导公式及基本关系1.[三角函数的定义及应用](2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．210B ．－210C ．7210D ．－72102.[同角三角函数的关系式及应用]若tan α＝12，则sin 4α－cos 4α的值为( )A ．－15B ．－35C ．15D ．353.[诱导公式及应用]设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12 B ．32 C ．0 D ．－121.[与数列交汇]设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个A ．25B ．50C ．75D ．1002.[与算法交汇]某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为( )A.32B ．－32C.3D ．03.[借助数学文化考查]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．6 m 2B ．9 m 2C ．12 m 2D ．15 m 2考点二 三角函数的图象与解析式题型一 由“图”定“式”[例1] (1)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12B ．f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π12 (2)(2019·长沙市统一模拟考试)已知P⎝⎛⎭⎫12，2是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．若|BC |＝6，则f (x )的图象的对称中心可A ．(0,0)B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(3,0)题型二 三角函数的图象变换[例2] (1)(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向右平移5π12个单位长度B ．向左平移5π12个单位长度C ．向右平移5π6个单位长度D ．向左平移5π6个单位长度(2)(2019·开封模拟)将函数y ＝sin 2x －cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度以后得到的图象与函数y ＝k sin x cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )A ．2＋π4B ．2＋3π4C ．2＋5π12D ．2＋7π12考点三 三角函数的性质[例3] (1)(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z )(2)(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点；④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③(3)(2019·江西省五校协作体试题)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，112∪⎣⎡⎦⎤14，23 B ．⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23 C.⎣⎡⎦⎤14，23 D ．⎣⎡⎦⎤13，231．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |2．(2019·广东六校第一次联考)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．为奇函数，在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 C ．为偶函数，在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增 D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称3．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)在区间[2,4]上单调，且f (2)＝1，f (4)＝－1，则ω＝________，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，3上的值域是________．考点四 三角函数图象与性质的综合应用[例4] (2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．1．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．2．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．3. (2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增； ④ ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【课后专项练习】A 组一、选择题1．(2019·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z2．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．123．(2019·江西七校第一次联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( ) A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴4．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度得到f (x )的图象，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 B ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3 C ．g (x )＝sin 4xD ．g (x )＝cos x5．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减6．(2019·昆明市质量检测)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m ，m ]上单调递增，则m 的最大值为( )A.π8 B.π4 C.3π8 D.π2二、填空题7．(2019·广东揭阳检测改编)已知f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)－3cos ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)，则f (x )的最小正周期为________，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.8．(2019·天津高考改编)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝________.9．(2019·福州模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是________．三、解答题10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．11．已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．12．已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．B 组1．已知向量m ＝(2sin ωx ，sin ωx )，n ＝(cos ωx ，－23sin ωx )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ＋3，直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数y ＝f (x )的图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间．2．已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．3．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0≤φ≤π2图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，且在x ＝π8时取得最大值1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8时，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．第2讲 三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析](2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18题)位置上，难度中等．考点一 三角恒等变换1.[化简求值]2sin 47°－ 3sin 17°cos 17°＝( )A ．－3B ．－1C ．3D ．12.[条件求值](2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B ．55C.33D ．2553.[给值求角]已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B ．π3 C.π4D ．π64.[与三角函数结合](2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．1.[与复数交汇](2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17C ．7D ．－7或－172.[与不等式交汇]已知tan 2α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－353.[与向量交汇]设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.考点二 利用正、余弦定理解三角形 题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算[例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A－sin B sin C . (1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .题型二 利用正、余弦定理进行面积计算[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．题型三 正、余弦定理的实际应用[例3] 如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．32．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sinB ＝4a sinC .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A .(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝2534，且a ＝5，求sin B ＋sin C .考点三 解三角形的综合问题题型一 与平面几何的综合问题[例4] (2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD ⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2.(1)求CD ； (2)求∠ABC .题型二 与三角函数的交汇问题[例5] 如图，在△ABC 中，三个内角B ，A ，C 成等差数列，且AC ＝10，BC ＝15.(1)求△ABC 的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy 中点D (10,0)，若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的图象经过A ，C ，D 三点，且A ，D 为f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，求f (x )的解析式．1．(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714，cos ∠AMC＝－277.(1)求B ；(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．2．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．3.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°.(1)求A ，C 两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC .(已知声音的传播速度为340 m/s)【课后通关练习】A 组一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－23 B ．－2＋3 C ．2－3 D ．2＋32．(2019·重庆市学业质量调研)已知15sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( ) A ．－157 B ．157 C ．－158D ．1583．(2019·湖北省5月冲刺)已知α为锐角，β为第二象限角，且cos(α－β)＝12，sin(α＋β)＝12，则sin(3α－β)＝( )A ．－12B ．12C ．－32D ．324．(2019·湖南省湘东六校联考)若△ABC 的三个内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能5．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°6．已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝( )A ．60B ．80C ．100D ．125二、填空题7．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.8．(2019·开封市定位考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为________．9.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，sin ∠CAD ＝2114，3AC sin ∠BAC ＋BC cos B ＝2BC ，且B ＋D ＝π，则△ABC 的面积的最大值为________．三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．11．(2019·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B .(1)求B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －3sin A sin C .(1)求B ；(2)求sin A ＋cos C 的取值范围．B 组1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接CE ，DE .CB ＝2，BE ＝1，∠B ＝∠CED ＝2π3.(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A sin B ＝cos 2C2，(c －3b )sin C＝(a ＋b )(sin A －sin B )．(1)求A和B；(2)若△ABC的面积为3，求BC边上的中线AM的长．3．(2019·昆明质量检测)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－a cos B)＝3b.(1)求A；(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．4．(2019·福州市质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若角A，B，C成等差数列，且b＝3 2.(1)求△ABC的外接圆直径；(2)求a＋c的取值范围．。