相交线(2)---垂线
解密数学认识相交线与垂线的关系
解密数学认识相交线与垂线的关系相交线与垂线在数学中是两个常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
通过深入理解相交线与垂线的性质和特点，我们可以更好地应用它们于解决数学问题。
本文将探讨相交线与垂线的关系，并探讨它们在几何学和代数学中的应用。
一、相交线与垂线的概念及性质1. 相交线的定义相交线是指在平面上交叉的两条或多条直线。
相交线的交点称为交点。
当两条直线相交于一点时，这两条直线称为相交于该点。
2. 垂线的定义垂线是指与其他线段或直线相交成90度角的线段或直线。
垂线的性质是其与被垂线所交的线段或直线是垂直的。
3. 相交线与垂线的关系相交线与垂线的关系是指当两条相交线至少有一条是垂直于另一条时，这两条直线就存在着垂直关系。
二、相交线与垂线的应用1. 相交线与垂线在几何学中的应用在几何学中，相交线与垂线常常用于求解图形的性质和证明定理。
以垂线的性质为例，通过垂线的作图方法可以证明两条直线平行、垂直或者过一点的性质。
同时，在求解三角形的内切圆、外接圆和垂心时，也需要运用到相交线与垂线的概念。
2. 相交线与垂线在代数学中的应用在代数学中，相交线与垂线也有着广泛的应用。
例如，在平面直角坐标系中，两条直线的斜率乘积为-1时，可以推断这两条直线是互相垂直的。
此外，通过解线性方程组时，相交线与垂线的关系也被用于求解方程的解集。
三、相交线与垂线的实际应用除了在数学理论中的应用，相交线与垂线的概念也有着实际生活中的应用。
在建筑设计中，如何使得墙壁垂直、水平或者平行是非常重要的。
通过运用相交线与垂线的知识，建筑师可以确保建筑物的结构坚固稳定。
此外，在GPS导航系统中，相交线与垂线的概念也被用于求解车辆与道路的交点，从而确定车辆的行进方向。
总结：相交线与垂线是数学中重要的概念，它们之间存在着紧密的关联。
通过深入理解相交线与垂线的性质和特点，可以更好地应用于解决数学问题。
相交线与垂线在几何学和代数学中有着广泛的应用，对于证明定理、解决方程和求解几何问题都起到了重要的作用。
(华师大)相交线(2)垂直
m
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
（如图中的O点）。
检测巩固
4、如图，AB、CD相交于点O，OE为射线，若 ∠1＝35°，∠2＝55°，则OE AB。
自学质疑
1.两条直线互相垂直的定义？ 垂直的书写？ 什么是垂足？ 2.画一画 （1）利用三角尺作出已知直线的垂线； （2）过直线外一点作已知直线的垂线； （3）过直线上一点作已知直线的垂线。 3.想一想 直线外一点到直线上各点的连线中 最短。 4. 描述距离：点到点的距离？点到直线的距离？ 5. 试一试 作出钝角三角形三个顶点到三边的垂线。
检测巩固 考点一、垂线、垂线段 例1、如图，按要求画图。 （1）连接AC,作点B到AC的距离BF； （2）作点A到DC的距离AE。
评价提升
过AB上一点B，与AB垂直的 直线有哪些？
H
G
F
E
D A B
C
评价提升
H G
E
F
· A ·
A
l l
D A B
C
比 较
性质：平面内，过一点能且只能作一条直 线与已知直线垂直。 经过直线外一点能且只能画一条直线与 这条直线平行。
展示分享 1、过直线l上一点A作直线的垂线，你能作 出多少条？ 2、过直线l外一点A作直线的垂线，你能作 1、靠 2、过 3、画 出多少条？
·
A
l
过一点能且只能作一条直线与已 知直线垂直。
动手作垂线 展示分享 2、利用方格纸可以作出互相垂直的两条 直线；
A C B G F
D E m l H
n
q
自学质疑
检测巩固 1、如下图，与棱AB相交且有垂直关系的棱有 （ ）条 A、1 B、2 C、3 D、4
平面几何中的相交线与垂直线
平面几何中的相交线与垂直线相交线和垂直线是平面几何中常见的概念，它们在几何图形的性质和推导中起着重要的作用。
本文将分析相交线和垂直线的定义、性质以及相关的定理，帮助读者更好地理解和应用于解题中。
1. 相交线相交线是指在平面上两条直线（或线段）共同的交点。
根据相交线的性质，我们可以得出如下的结论：（1）两条相交线的交点只有一个。
（2）交点将两条相交线分成四个角。
（3）相交线上的点可以在两条线的内部或外部。
在平面几何中，相交线经常与平行线共同出现，从而形成各种角度关系和几何形状。
例如，当两条直线相交于一点时，形成的两个角称为相邻角或补角，它们之和为180度；当两条直线相交时，形成的两组相对角度相等，称为对顶角。
2. 垂直线垂直线是指与另一条线段或直线呈直角的直线。
垂直线与水平线是垂直的关系，它们的交点形成了直角。
垂直线的特点如下：（1）垂直线和直线的交点形成90度的角度。
（2）垂直线之间的角度差为180度。
在平面几何中，垂直线的概念与正交、直角等有关，常常用于判断和推导各种几何性质。
例如，在矩形中，对角线相交于一个点，并且互相垂直。
3. 相交线与垂直线的关系相交线和垂直线在平面几何中相互交织，它们之间存在以下关系：（1）两条相交线所形成的角度可能是垂直的，也可能不是垂直的。
只有当两条直线互相垂直时，它们所形成的角度为90度。
（2）有时，两条相交线会形成一对垂直线段。
这表明两条线段之间的交点将线段分成垂直的两部分。
（3）相交线与垂直线的组合可以应用于解决平面几何中的各种问题，例如角度求解、图形分类等等。
在解题过程中，我们可以利用相交线和垂直线的性质，应用相关的定理来推导各种几何形状和角度关系。
例如，在证明两条直线垂直时，可以根据垂直线的性质，推导出两个对应角度相等或互补。
总结起来，相交线和垂直线是平面几何中重要的概念，它们在求解几何问题和理解图形性质中发挥了关键作用。
通过深入学习和掌握相交线和垂直线的定义、性质以及相关的定理，我们能够更好地理解和应用几何知识，提高解题能力。
人教版七年级数学下册《垂线》相交线与平行线PPT教学课件(第2课时)
与 线的距离.
应
用
探
究 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短.
与
应 简单说成: 垂线段最短.
用
探 探究2 学习了上面的知识,你知道水渠该怎样挖了吗?请在图5-1-
究
与 25中画出来.如果图中比例尺为1∶100000,水渠大约要挖多长?
应 用
图5-1-25
探 解:如图,PQ为所挖水渠.
用
图5-1-27
探 (3)量出点B到AC的距离.
究
与 解:如图,过点B画AC的垂线,交CA的 应 延长线于点E,量得线段BE的长度,即
用
点B到AC的距离.具体测量略.
图5-1-27
探
究 垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
与 应
区别:垂线是一条直线;垂线段是一条线段;点到直线的距离
图5-1-29
理由:两点之间,线段最短.
探 (2)从码头到铁路怎样走最近?画图并说明理由;
究
与 解:如图,过点A作AC⊥a于点C.从码头 应 到铁路沿线段AC走最近.理由:垂线段
用 最短.
图5-1-29
探 (3)从火车站到河流怎样走最近?画图并说明理由.
究
与 解:如图,过点B作BD⊥b于点D. 应 从火车站到河流沿线段BD走最近.
用 是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是点到直线的
距离.
联系:它们都与垂直有关.
探 变式 (1)画∠AOB=60°,再画∠AOB的平分线OP;
究
与 (2)在OP上任取一点Q,过点Q分别画OA,OB的垂线段QC,QD;
应 用
(3)量出线段QC,QD的长度后比较QC,QD的大小.
《相交线与平行线——垂线》数学教学PPT课件(3篇)
在相交线的模型中,固定木
条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角 α 也会发生变化.
探究新知
当∠α=90°时,a与b垂直； 当∠α≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
斜交 两条直线相交
垂直
垂直是相交的特殊情况
探究新知
问 题 如 图 , 当 ∠ AOC ＝ 90°时 ， ∠ BOD 、 ∠ AOD、 ∠BOC的度数是多少？为什么？
解: ∵ AB⊥OE （已知）
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∵ ∠BOD= ∠1=55° （对顶角相等）
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD =90 °+55 °=145 °
CE
1(
AO
B
D
探究新知
A O
垂线的画法
如图，已知直线 l ,作 l 的垂线。
工具：直尺、三角板
l
0
1
2
3
4
5
6
7
垂线
人教˙七年级（下册）
课时目标
1.了解垂直概念，能说出垂线的性质，会用三角尺或量角 器过一点画一条直线的垂线。 2.了解垂线段的概念和性质，体会点到直线的距离的意义， 并会度量点到直线的距离。
情景导入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们 有什么特殊的位置关系？
探究新知
b b
bb b
α ）α
如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠DOF，
∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠EOF、 ∠COF的度数．
解: 因为AB⊥OE （已知） 所以 ∠EOB=90°(垂直的定义) 因为∠DOE= 50° （已知）
A
D
新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线知识点梳理汇总
新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线知识点梳理汇总
本文档旨在对新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线的知识点进行梳理和汇总。
一、相交线与垂直线的定义
1. 相交线：两条线段共有的一个或多个点称为相交点，而这两条线段称为相交线。
2. 垂直线：两条互相垂直的线段称为垂直线。
二、相交线与垂直线的性质
1. 垂直线性质：
- 垂直线的两条互相垂直的线段相交于一点。
- 垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点，被另一条垂直线分成两个互为垂直的线段。
- 垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点，与另一条垂直线的两条互相垂直的线段上的任意一点连接起来，构成的两条线段是互相垂直的。
2. 相交线性质：
- 相交线的两条线段互相垂直。
- 相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点，与另一条相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点连接起来，构成的两条线段是互相垂直的。
- 相交线的两条互相垂直的线段上的任意一点，被另一条相交线分成两个互为垂直的线段。
三、应用
1. 通过相交线与垂直线的性质，可以在几何图形中确定垂直关系，帮助解决几何问题。
本文档总结了新北师大版七年级数学上册第二章相交线与垂直线的定义、性质以及应用。
掌握这些基础知识，有助于理解几何图形的垂直关系，解决相关问题。
人教版数学七下5.1《相交线》(第2课时 垂线)观课记录
点评内容
仁智红
目标明确，适时引导学生动手、尝试，在这个过程中，明确垂线的规范画法，效果很好。
胡安海
这节课从木条转动引入本节课，贴近学生生活实际，引导学生积极参与，有助于激发学生的积极性和主动性，加深学生对内容的理解。
张波
这节课设计的数学学习活动充分调动了学生的学习积极性，学生充分展示了自己的想法和成果，效果不错。
胡பைடு நூலகம்恒
学习知识不是目的，重要的是运用这些数学知识解决生活中的实际问题，从中体会到数学在生活中的价值，体验到学习数学的乐趣，获得学习数学的兴趣和信心。
任学忠
这节课教学严谨扎实，整个课堂活动中，能让学生动口说一说、动手画一画、动脑想一想，整个课堂活而不乱。
范宗恒
教学中采取各种教学手段，注意调动学生的积极性和主动性，激发学生的学习兴趣，有助于提高课堂教学效率。
胡春花
在课堂中让学生经历动手操作、动脑思考、动口描述的过程，有效地体现了学生作为主体应有的地位和作用。让学生在“做数学”、“再创造”的过程中讲知识得到“内化”。
《垂线》部分观课点评
相交线(2)-垂线
A
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
(3)如图，已知直线 L 和L外的一点A ,作L的 垂线直线AB是过点 A的直线L的垂线.
B
l
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
总结：
根据以上的操作，你能得出什么结论？ 垂线的性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
课堂练习
1.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ C ）. A B C D
•P
A
O
B
例：如图，过点P画出∠AOB两边的垂线。
B P
O
A
线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
Q
A
B
O
A
巩固拓展
如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为 射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB 的位置关系是 互相垂直 。
M
E
F
O E N
O . ⊥EF , 垂足为___ 记作：MN _________ 或者MN⊥EF于O O . 记作： AB ______ ⊥OE，垂足为____ 或者AB⊥OE于O
A
O
B
学以致用
1.如图，直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 2.若直线AB、CD相交于点O， 90° 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 。 ３.如图，已知AB、CD相交于点O， A OE⊥CD， ∠AOC=36°，则 ∠BOE= 54°。
C
m
1
沪科版七年级下10.1.2相交线(2)垂线课件
D
精选ppt课件
3
练一练
一
M
E
类
F
特
殊 的
O
相
交E
A
C
B
关 系
N 记作：_M__N_⊥__E__F_, 垂足为_O__.
记作：AB⊥CE ，垂足为C____.
垂 直
精选ppt课件
4
生活中的垂直
一 类 特 殊 的 相 交 关 系
垂 直
精选ppt课件
5
活动探究---在实践中收获：
一 【思考】如何过一点画已知直线的垂线？
请
思
考
生一 活类 中特殊 相的
交相
线的交关系
特
龙扬中学七（2）
殊垂
性直
精选ppt课件
1
情景引入---在观察中感 受：
一
如图2，如果∠AOC= 90°，
类
那么其它3个角的度数各是多
特
少?为什么？ A
殊
的
相
交
C
O
D
关
系
B 图2
垂
直 我们将十字路口的两条道 路看作两条直线相交精。选ppt课件
∠BOC=_9_0_°_,
类
特
殊 的
【操作】
相 1、过直线L上一点画已知直线的垂线
交 关
2、过直线L外一点画已知直线的垂线
系 3、你能通过折纸的方法画垂线吗？
垂 直
精选ppt课件
6
活动探究---在实践中收获：
一
类 问题：
特
殊 这样过一点画L的垂线可以画几条？
的
相
交
关 1条
系
注意：在连接直线外一点与直线上个点的所
7.7相交线(2)
随堂练习
随堂练习
找出下图中互相垂直的直线，并用符号 表示。 A
a
C
b
D B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6 5
7 0
8 1
9 10 4 2 3
5
0
1
2
3
4
过一点画已知直线的垂线
作法： 1、靠(边靠线) 2、过(点）
3、画（直线）
性质： 平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7.7 相交线（2）
桐乡十中 刘绵福
(1)
(2)
(3)
(4)
如果两条直线相交所构成的四 个角中有一个是直角，那么这两 条直线互相垂直。
图中，直线AB与直线CD垂直 记作： AB⊥CD； 直线 m 与直线 n 垂直 记作：m⊥n ；
D A
n C
B
O
m
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
注意
“⊥”是“垂直”的记号， 是图形中“垂直”(直角)的标记。 而“ ”
垂直在解题中的应用
如图直线AB与直线CD相交于点O， OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE 的度数。 E D
O C
A
B
看图回答:
线段PA, PB, PC , PD 谁最短？
如何验证你的判断？ 你能用一句话表示这个结论吗？
P
m
A
BCຫໍສະໝຸດ D直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂 线段的长度．
如线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离。
小试牛刀！
C
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在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是 很常见的。如：
十字路口的两条道路 方格本的横线和竖 线
练习
请你先画出一条直线l ，然后画出 它的垂线。 1、靠 A 问题： 2、画 这样画直线l 的垂线可以 l 画几条？
O
无数条
请你给定一点P，并且过点P画出直线 AB的垂线。
A
B
点P位置有两种情况：
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图， 他在P点，应选择什么样的路线尽 快游到岸边m呢？
过直线外一点向已知直线作垂线时,
这一点与垂足之间的线段叫做垂线段.
P
O
连接直线外一点与直线上各点的所有 垂线段最短 线段中，垂线段最短。
点到直线的距离的概念
直线外一点到已知直线的垂 线段的长度就叫做点到直线的距 离。 D 如图，点A到直线l C 的距离就是垂线段 B AB的长度。
1、点P在直线AB上
2、点P在直线AB外
如图，已知直线 AB和AB上的一点P，作直 线AB的垂线
1靠线 2过点 3画线 Q
P A
B
PQ为所求
请用三角尺和量角器过直线外一点P画直线 AB的垂线。
1靠线 2过点 3画线
B
PQ为所求
PQ为所求
想想做做
B
A
P
基本事实： 经过直线上一点或直线外一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
学以致用
1.如图，直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 2.若直线AB、CD相交于点O， 90° 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 。 ３.如图，已知AB、CD相交于点O， A OE⊥CD， ∠AOC=36°，则 ∠BOE= 54°。
C
m
1
O
n
D
O
B
E
思考
七年级 下
新乐市杜固中学 安月红
认识垂直
C
A
D O B
两条直线相交成直角时，这两条直 线互相垂直，其中一条直线是另一条 直线的垂线，这两条直线的交点叫垂 足。
A
C O B （１）因为∠ＡＯＣ＝90°，所以 ＡＢ⊥ＣＤ。 （２）因为ＡＢ⊥ＣＤ，所以 ∠ＡＯＣ＝90° D
记作：“ＡＢ⊥ＣＤ” 读作：“ＡＢ垂直于ＣＤ”
A l
立定跳远中，体育老师 是如何测量运动员的成 绩的？
沙坑
. B
起跳线
A
.
一路下来，我们共同探讨了垂线的 有关知识。你能谈谈自己的收获吗？说 一说，让大家一起来分享。
布置作业，深化认识
1、必做题：课本习题A组1.2.3题。
2、选做题：课本习题B组1.2题