陕西高考数学专题练习(理科)：平面向量应用举例-2019年学习文档

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理科数学2010-2019高考真题分类训练专题五平面向量第十四讲向量的应用答案

专题五平面向量第十四讲向量的应用答案部分2019年1.解析设()2AD AB A AO C λλ==+u u u u r u u u u u r u u u rr ，1()(1)3AO AE EO AE EC AE AC AE AE AC AB ACμμμμμμ-=+=+=+-=-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11()24AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，13EC AC AE AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，221131266()()()43233AO EC AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=⨯+⨯-+=-+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r221322AB AB AC AC -+⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r ，因为221322AB AC AB AB AC AC ⋅=-+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以221322AB AC =u u ur u u u r ，所以223AB AC=u u u r u u u r ，所以3AB AC =. 2.解析：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，0AB AD ⋅=u u ur u u u r ，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++,由于(1,2,3,4,5,6)i i λ=2，3，4，5，取遍1±，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取5613241,1,1,1λλλλλλ=====-=，可得所求最小值为0；由13564λλλλ-+-=，24564λλλλ-++=，可取2456131,1,1,1,1,λλλλλλ==-====-可得所求最大值为3.解析因为AB BE =，//AD BC ，30A ∠=o ，所以在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=o ，又AB =，所以25BE AD =-u u u r u u u r .因为AE u u u r 25AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r .又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r ，所以()22272555BD AE AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-+⋅-=-+⋅-= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u ru u u r u u u ru u ur u u u r u u u r u u u r u u u r 2272cos 55AB AB AD A AD-+⋅-=u u u r u u u r u u u r u u ur 7212525155-+⨯⨯-⨯=-. 2010-2018年1．A 【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，120BAD ∠=︒，所以(0,0)A ，(1,0)B ，1(,22D -，设(1,)C m ,(,)E x y ，所以3(,2DC m =-u u u r ，1(2AD=-u u u r ，因为AD CD ⊥，所以31(,(022m ⋅-=，即31()02222m ⨯-+-=，解得m =C ，因为E 在CD上，所以2y CE CD k k =，2112=+，即2x =-，因为(,)AE x y =u u u r ，(1,)BE x y =-u u u r ，所以2222(,)(1,)2)2AE BE x y x y x x y y ⋅=⋅-=-+=--++u u u r u u u r246y =-+，令2()46f y y =-+，y ∈．因为函数2()46f y y =-+在上单调递减，在上单调递增，所以2min 21()4(68816f y =⨯-+=．所以⋅uu u r uur AE BE 的最小值为2116，故选A ．2．A 【解析】解法一设O 为坐标原点，OA =u u u r a ，(,)OB x y ==u u u rb ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||1CA CB -=-u u u r u u u ra b ．故选A ．解法二由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =u u u r b ，OE =u u u r e ，3OF =u u u r e ，所以EB -=u u u r b e ，3FB -u u u r b e =，所以0EB FB ⋅=u u u r u u u r，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =u u u r a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||1CA BC ---=-u u u r u u u ra e eb ．故选A ．3．A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)Px y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=，所以(,1)AP x y =-u u u r ，(0,1)AB =-u u u r ，(2,0)AD =u u u r，由AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12x y -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=，点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，，解得13z≤≤，所以z的最大值为3，即λμ+的最大值为3，选A．4．B【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则A，(1,0)B-，(1,0)C，设(,)P x y，所以()PA x y=-u u u r，(1,)PB x y=---u u u r，(1,)PC x y=--u u u r，所以(2,2)PB PC x y+=--u u u r u u u r，22()22)22(PA PB PC x y y x y⋅+=-=+-u u u r u u u r u u ur23322--≥，当P时，所求的最小值为32-，故选B．5．C【解析】如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO AF<，而90AFB∠=o，∴AOB∠与COD∠为钝角，AOD∠与BOC∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA-=⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos0OB CA AOB∠<u u u r u u u r，∴12I I<，同理23I I>．做AG BD⊥于G，又AB AD=．∴OB BG GD OD<=<，而OA AF FC OC<=<，∴||||||||OA OB OC OD⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，而cos cos0AOB COD∠=∠<，∴OA OB OC OD⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，即13I I>，∴312I I I<<，选C．G FEOABCD6．B【解析】由2DA DB DC ===u u u r u u u r u u u r 知,D 为ABC ∆的外心．由DA DB ⋅u u u r u u u r =DB DC ⋅u u ur u u u r=DC DA ⋅u u u r u u u r知D 为ABC ∆的内心，所以ABC ∆为正三角形，易知其边长为23，取AC 的中点E ，因为M 是PC 的中点，所以1122EM AP ==，所以max 17||||22BM BE =+=u u u u r ，则2max 49||4BM =u u u u r ．故选B ．7．D 【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o可知18060120BAD ∠=-=o o o，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．8．A 【解析】由题意得111333=+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAD AC CD AC BC AC AC AB1433=-+u u ur u u u r AB AC ．9．A 【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t⋅=----=-⨯--⨯-u u u r u u u r=1174t t --117413t t -⨯=≤（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅u u u r u u u r的最大值为13．故选A ．10．C【解析】311,443 AM AB ADNM CM CN AD AB=+=-=-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，所以11(43)(43)412AM NM AB AD AB AD⋅=+⋅-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211(169)(1636916)94848AB AD=-=⨯-⨯=u u u r u u u r，选C．11．B【解析】由题意得，AC为圆的直径，故可设),(nmA，),(nmC--，),(yxB，∴(6,)PA PB PC x y++=-u u u r u u u r u u u r，而491237)6(22≤-=+-xyx，∴PA PB PC++u u u r u u u r u u u r的最大值为7，故选B．12．A【解析】设(1,0),(0,1)a b==r r，则(cos,sin)OPθθ=u u u r，(2,2)OQ=u u u r，所以曲线C是单位元，区域Ω为圆环（如图）∵||2OQ=u u u r，∴13r R<<<．13．C【解析】因为120BAD?o，所以cos1202AB AD AB AD?鬃=-ou u u r u u u r u u u r u u u r.因为BE BCl=，所以AE AB ADl=+u u u r u u u r u u u r，AF AB ADm=+u u u r u u u r u u u r.因为1AE AF?u u u r u u u r，所以()()1AB AD AB ADu u u r u u u r u u u r u u u rl m+?=，即3222l m l m+-=①同理可得23l m l m--=-②，①+②得56l m+=.14．B【解析】如图，设,AB b AC c==u u u r r u u u r r，则1,2,0b c b c==•=r r r r，CBQP又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-u u u r u u u r u u u r r r ，CP CA AP c b λ=+=-+u u u r u u u r u u u r r r，由2-=•得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-•-+=--=--=-r r r r r r ，即32,23==λλ，选B. 15．A 【解析】【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==u u u r则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-u u u r ．【方法二】将向量(6,8)OP =u u u r 按逆时针旋转32π后，可知Q 点落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，由向量的夹角公式可得cos 2QOP ∠=-，∴34QOP π∠=． 16．C 【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b o和b a o 的范围如下：因为(0,)4πθ∈，∴cos 12θ<<，而||cos ||θ⋅==⋅o b a b b a a a a ，且||||0>…a b ，可得||0cos 1||θ<<b a ，又∵∈o b a {|}2∈nn Z 中，∴||1cos ||2θ=b a ，从而||1||2cos θ=b a ，∴2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅o a b a a b b b b ，所以12<<o a b ．且a b o 也在集合{|}2∈nn Z 中，故有32=o a b ． 17．D 【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-，即(,0)(1,0)c λ=，从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-，即(,0)(1,0)d μ=，得d μ=，根据112λμ+=，得112c d+=．线段AB 的方程是0y =，[0,1]x ∈．若C 是线段AB 的中点，则12c =，代入112c d +=，得10d=．此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立；若,C D 同时在线段AB 上，则01c <≤，01d <≤，此时11c ≥，11d≥，112c d +≥，若等号成立，则只能1c d ==，根据定义，,C D 是两个不同的点，故矛盾，故选项C 的说法也不正确，若,C D 同时在线段AB 的延长线上，若1c >，1d >，则112c d+<，与112c d +=矛盾，若0,0c d <<，则11c d +是负值，与112c d+=矛盾，若1c >，0d <，则11c <，10d <，此时111c d +<，与112c d+=矛盾，故选项D 的说法是正确的．18．3-【解析】设(0,)E t ，(0,2)±F t ，所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±u u u r u u u rAE BF t t 222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ，当1=±t 时，AE BF ⋅u u u r u u u r取得最小值3-．19．[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r≤，得250x y -+≤，x如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN上，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得(1,7)M ，(5,5)N --，所以P 点横坐标的取值范围为[-．20．311【解析】032cos603AB AC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ，1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,则12212()()34934333333AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，311λ=．21．12【解析】由题意令(1,0)=e ，(cos ,sin )αα=a ，(2cos ,2sin )ββ=b ，则由||||+„ae be 可得|cos |2|cos |αβ+„①，令sin 2sin m αβ+= ②22①+②得24[|cos cos |sin sin ]1m αβαβ++„对一切实数,αβ恒成立，所以4[|cos cos |sin sin ]1αβαβ+„．故12(cos cos sin sin )2[|cos cos |sin sin ]2αβαβαβαβ⋅=++剟a b ．故最大值为12． 22．12 16- 【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =+=+=+-1126AB AC xAB y AC u u u r u u u r u u u r u u u r =-=+．所以12x =，16y =-． 23．2918 【解析】因为19DF DC λ=u u u r u u u r ，12DC AB =u u u r u u u r ，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，AE AB BE AB BC λ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()1918AE AF AB BC AB BC λλλu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r +⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭22191911818AB BC AB BC λλλλλλu u u r u u u r u u ur u u u r ++⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭ 19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥=当且仅当2192λλ=即23λ=时的最小值为2918． BA24．1(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin 66666k k k k k k k a a πππππ+++⋅=+⋅+u u r u u u r(1)cos )6k π+2(1)2cos sincos cos sin 66666k k k k πππππππ+++=++=++1(21)cos 26k π+，因此111012k k k a a +=⋅==∑u u r u u u r 25．2【解析】因为120BAD?o，菱形的边长为2，所以2AB AD?-u u u r u u u r.因为113AE AFAB AD AD AB λu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur 骣骣鼢珑?+?鼢珑鼢珑桫桫，由1AE AF?u u u r u u u r ，所以4412(1)133λλ+-+=，解得2λ=．26．1+(,)D x y ，由||1CD =u u u r ，得22(3)1x y -+=，向量OA OB OD ++u u u r u u u r u uu r (1,x y =-+，故||OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r的最大值为圆22(3)1x y -+=上的动点到点(1,距离的最大值，其最大值为圆22(3)1x y -+=的圆心(3,0)到点(1,的距离加上圆的半径，11=27．2【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y轴建立直角坐标系，则B ，E ，(0,2)D ，2)C ．设(,2)F x (0≤x ≤2)，由1AB AF x ⋅=⇒=u u u r u u u r ，∴(1,2)F ，AE BF u u u r u u u rg =()1,2(12,2)=2．28．(2sin 2,1cos 2)--【解析】如图过P 作轴的垂线，垂足为E ，过C 作y 轴的垂线，垂足为A ，根据题意可知圆滚动了2个单位的弧长，BAC E∴2PCD ∠=，可知22PCB π∠=-，此时点P 的坐标为2cos(2)2sin 2,2P x π=--=-1sin(2)1cos 2,2P y π=+-=-另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，且223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=OP .29．14-【解析】根据已知得1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以AD BE ⋅=u u u v u u u v 1()2AB AC +⋅u u u r u u u r （23AC AB -u u u r u u u r ）=1211(1)2334AB AC --⋅=-u u u r u u u r ．30．【解析】(1)∵⊥m n ，∴0⋅=m n，故cos 022x x -=，∴tan 1x =．（2）∵m 与n 的夹角为3π，∴122cos ,112x x-⋅<>===⨯m n m n |m ||n |，故1sin()42x π-=，又(0,)2x π∈，∴(,)444x πππ-∈-，46x ππ-=，即512x π=．故x 的值为512π．31．【解析】（Ⅰ）已知()sin2cos2f x m x n x =⋅=+a b ，)(x f Θ过点)2,32(),3,12(-ππ，∴()sin cos 1266f m n πππ=+= 234cos 34sin )32(-=+=πππn m f∴12122m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得⎩⎨⎧==13n m（Ⅱ）由（Ⅰ）知)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f由题意知()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x由题意知2011x +=．所以00x =，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入()y g x =得sin 216πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又∵0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此()2sin 22cos 22g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭由222,k x k k Z πππ-+≤≤∈，得z k k x k ∈≤≤+-,2πππ∴()f x 的单调增区间为[,],2k k k πππ-+∈Z ．32．【解析】（Ⅰ）∵1cos ,3,cos 233acB b BA BC ca B ==⋅===u u u r u u u r ，且222-cos 2a c b B ac+=，∴c 6,5a a c =+=，∵a c >，∴解得3,2a c ==．所以3,2a c ==．（Ⅱ）∵1cos 3B =，∴sin B =，∵3,3,2a b c ===，222-c 7cos 29a b C ab +==，sin 9C =，∴23cos(-)cos cos sin sin 27B C B C B C =+=，故23cos(-)27B C =． 33．【解析】（1）-a b ＝(cos cos ,sin sin )αβαβ--，2||-a b ＝22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+-＝22(cos cos sin sin )2αβαβ-⋅+⋅=．所以，cos cos sin sin 0αβαβ⋅+⋅=，所以，b a ⊥．（2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：1cos()2αβ-=-．所以，αβ-＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin (π32＋β)＋sin β＝23cos β＋12sin β＝sin (3π＋β)＝1，所以，3π＋β＝2π．所以，α＝65π，β＝6π．34．【解析】由题意，抛物线E 的焦点为(0,)2p F ，直线1l 的方程为12py k x =+．由1222p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22120x pk x p --=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x 、2x 是上述方程的两个实数根．从而1212x x pk +=，212121()2y y k x x p pk p +=++=+．所以点M 的坐标为211(,)2ppk pk +，211(,)FM pk pk =u u u u r ．同理可得点N 的坐标为222(,)2p pk pk +，222(,)FN pk pk =u u u r ．于是2221212()FM FN p k k k k ⋅=+u u u u r u u u r ．由题设，有1＋2＝2，1>0，2>0，1≠2，所以212120()12k k k k +<<=．故222(11)2FM FN p p ⋅<+=u u u u r u u u r ．(2)【解析】由抛物线的定义得1||2p FA y =+，2||2p FB y =+，所以2121||22AB y y p pk p =++=+，从而圆M 的半径211r pk p =+．故圆M 的方程为22222111()()()2p x pk y pk pk p -+--=+．化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=．同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=．于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=．又2－1≠0，1＋2＝2，则l 的方程为＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离222117[2()]p k d ++===故当114k =-时，d．，解得8p =．故所求的抛物线E 的方程为216x y =． 35．【解析】（I）由2222)(sin )4sin ax x x =+=，222(cos )(sin )1b x x =+=，及2,4sin 1a b x ==得又1[0,],sin 22x x π∈=从而，所以6x π=.（II）2()cos sin f x a b x x x =⋅=⋅+=1112cos 2sin(2)22262x x x π-+=-+. 当[0.]sin 2- 1.326x x πππ=∈时，（）取最大值所以3().2f x 的最大值为 36．【解析】（1）由(2,1)MA x y =---u u u r ，(2,1)MB x y =--u u u r，MA MB +=u u u r u u u r ()(,)(0,2)2OM OA OB x y y ⋅+=⋅=u u u u r u u u r u u u r ，22y +．化简得曲线C 的方程：24x y =．（2）假设存在点(0,)(0)P t t >满足条件，则直线PA 的方程是12t y x t -=+，PB 的方程是12ty x t -=+．曲线C 在Q 处的切线l 的方程是20024x x y x =-，它与y 轴的交点为2(0,)4x F - 由于022x -<<，因此0112x -<<． ①当10t -<<时，11122t --<<-，存在0(2,2)x ∈-，使得0122x t -=．即l 与直线PA 平行，故当10t -<<时不符合题意． ②1t -„时，011,22x t --<„01122x t ->…，所以l 与直线,PA PB 一定相交．分别联立方程组0201224t y x t x x y x -⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得,D E 的横坐标分别是 20042(1)D x t x x t +=+-，20042(1)E x t x x t +=+-，则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=--- 又204x FP t =--，有220220(4)1128(1)PDE E D x t t S FP x x t x ∆+-=⋅⋅-=⋅--，又2200414(1)242QABx x S ∆-=⋅⋅-=，于是22200220(4)(1)41(4)QAB PDEx x t S S t x t ∆∆⎡⎤---⎣⎦=⋅-+=422200422004(1)4(1)41816x t x t t x tx t⎡⎤-+-+-⎣⎦⋅-++，对任意0(2,2)x ∈-，要使QAB PDES S ∆∆为常数，即只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎨-=⎩，解得1t =-，此时2QAB PDES S ∆∆=，故存在1t =-，使得QAB ∆与PDE ∆的面积之比是常数2．37．【解析】由λ=知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于轴的直线上，故可设 .)1(),(),,(),,(),,(2020220y x y x y y x x x M y x Q y x P λλλ-+=-=-则则 ①再设),1,1().(,),,(010111y x y y x x y x B --=--=λλ即由解得⎩⎨⎧-+=-+=.)1(,)1(011λλλλy y x x ②将①式代入②式，消去0y ，得⎩⎨⎧-+-+=-+=.)1()1(,)1(2211λλλλλλy x y x x ③ 又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得.012),1(,0.0)1()1()1(2,)1(2)1()1()1(,))1(()1()1(22222222=--+>=+-+-+++-+=-+-+-+=-+-+y x y x x x y x x y x 得两边同除以因λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ故所求点P 的轨迹方程为.12-=x y38．【解析】（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-u u u r u u u r，则(2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r所以|||AB AC AB AC +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r故所求的两条对角线的长分别为、（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则 E 为B 、C 的中点，E （0，1）又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC =、AD =（2）由题设知：OC u u u r =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++u u u r u u u r．由(OC t AB -)·OC =0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，从而511,t =-所以115t =-．或者：2· AB OC tOC =u u u r u u u r u u u r ，(3,5),AB =u u u r2115||AB OC t OC ⋅==-u u u r u u u r u u u r ．。

2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题34平面向量平面向量的应用文含解析

专题34 平面向量平面向量的应用【考点讲解】一、具本目标：一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算.二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题：1.垂直问题:⊥⇔ .(1)对非零向量a与b,a b(2)若非零向量 .2.平行问题:(1)向量a与非零向量b共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设是平面向量,则向量a与非零向量b共线⇔ .3.求角问题:(1)设,a b 是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= . (2)若是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =,则22a a == ,即a = .(2)若,且a AB=,则.【答案】1.2.(1)a b λ=,(2)3.(1)a b a b⋅⋅,(2).4.(1)(2).【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，,BC 边上的高为AD ，求点D和向量AD 的坐标.解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =，．设函数，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若a =，2b =，sin B =，求（[0,]3x π∈）的取值范围.因为+32.所以=12-,，,所以.【答案】3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【答案】（）法二：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （x,y ）.21PF F ∠ 为钝角，∴=25109x -<. 解得：.∴点P 横坐标的取值范围是（）.【答案】（）【真题分析】1.【2017浙江，15】已知向量,满足则的最小值是________，最大值是_______．设，则，那么有，因为，所以，可以得到的最小值是4，最大值是52.【答案】4，2. 【2015高考安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB2=→，，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题20平面向量的数量积(题型专练)含解析

【答案】 C 【解析】因为点 C(－ 1,0)，D (4,5)，所以 C→D ＝(5,5) ，又 A→B＝ (2,1)，所以向量 A→B在
C→D 方向上的投影为
|A→B
|cos〈
A→B，
C→D
〉＝
A→B·C→D |C→D |
＝
15 ＝3 52
2
2.
11．若向量 a＝ (2，－ 1)， b＝ (3－ x,2)， c＝ (4， x)满足 (6a－ b) ·c＝ 8，则 x 等于 ( )
2
＝8
x0＋
1 4
－
1 2≥－
1， 2
14．若非零向量 a，b 满足 |a|＝ 1，|b|＝ 2，且 (a＋ b)⊥ (3a－ b)，则 a 与 b 夹角的余弦值为 ________．
【答案】 1 4
【解析】由 (a＋ b)⊥(3 a－ b)可得 (a＋ b) ·(3a－ b)＝ 0，又 |a|＝ 1， |b |＝ 2，则可得 a·b＝ 1，设 a， b 2
且 O→A⊥ O→B，则 tan α的值为 (
)
4
4
A ．－ 3 B．－ 5
4 C． 5
3 D．4
【答案】A 【解析】由题意知 6sin2α＋ cos α·(5sin α－ 4cos α)＝ 0，即 6sin2α＋ 5sin αcos α－ 4cos2α
＝ 0，上述等式两边同时除以
cos2α，得
6tan2α＋ 5tan α－ 4＝0，由于
2.已知 e1， e2 是单位向量， m=e1+2e2， n=5e1 -4e2 ，若 m⊥ n，则 e1 与 e2 的夹角为 ( )
A.
B.
C. π
【解析】选 B.因为 m⊥ n，|e1|=|e2|=1，

高考数学(人教a版,理科)题库：平面向量应用举例(含答案)

第4讲平面向量应用举例一、选择题1．△ABC 的三个内角成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高，故△ABC 为等腰三角形，又A ，B ，C 成等差数列，故B ＝π3. 答案 C2. 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．2D ．无法确定，与C 点位置有关解析 (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2. 答案 A3. 函数y ＝tan π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )．A ．4B ．6C ．1D ．2解析由条件可得B (3,1)，A (2,0)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝OB →2－OA →2＝10－4＝6. 答案 B4．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为边BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( )． A.53B.54C.109D.158解析法一依题意，不妨设BE →＝12E C →，BF →＝2FC →，则有AE →－AB →＝12(AC →－AE →)，即AE →＝23AB →＋13AC →； AF→－AB →＝2(AC →－AF →)，即AF →＝13AB →＋23AC →. 所以AE →·AF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC → ＝19(2AB →＋AC →)·(AB →＋2AC →)＝19(2AB →2＋2AC →2＋5AB →·AC→) ＝19(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝53，选A.法二由∠BAC ＝60°，AB ＝2，AC ＝1可得∠ACB ＝90°，如图建立直角坐标系，则A (0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋(－1)·(－1)＝23＋1＝53，选A. 答案 A5．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·yx ＋y的值为( )．A ．3B.13C ．2D.12解析 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y＝13. 答案 B6．△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )．A ．1B ．2C. 3 D ．3解析如图，由题意可设D 为BC 的中点，由OA →＋AB →＋AC →＝0，得OA →＋2AD →＝0，即AO →＝2AD→，∴A ，O ，D 共线且|AO →|＝2|AD →|，又O 为△ABC 的外心， ∴AO 为BC 的中垂线，∴|AC→|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴|CD →|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. 答案 C 二、填空题7. △ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析 ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1， ∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2. ∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3. 答案 38．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝4|a ||b |cosπ3＝4＞0， ∴|a ＋b |＞|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，∴|a －b |＝ 3. 答案39．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为________．解析若a ⊥b ，则4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2. 9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥2×32x ＋y ＝2×32＝6. 当且仅当x ＝12，y ＝1时取得最小值．答案 610．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为________．解析由题意得：f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b 必有可变号零点，即Δ＝|a |2－4a ·b >0，即4|b |2－8|b |2cos 〈a ，b 〉>0，即－1≤cos 〈a ，b 〉<12.所以a 与b 的夹角范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π三、解答题11．已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点 (1) AC ·BC ＝－13，求sin 2θ的值．(2)若|OA ＋OC |＝7，且θ∈(－π，0)，求OB 与OC 的夹角．解 (1) AC ＝(cos θ，sin θ)－(2,0) ＝(cos θ－2，sin θ)BC ＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)．AC ·BC ＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2) ＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－13.∴sin θ＋cos θ＝23，∴1＋2sin θcos θ＝49，∴sin 2θ＝49－1＝－59.(2)∵OA ＝(2,0)，OC ＝(cos θ，sin θ)， ∴OA ＋OC ＝(2＋cos θ，sin θ)， ∴|OA ＋OC |＝＋cos θ2＋sin 2θ＝7.即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7. ∴4cos θ＝2，即cos θ＝12.∵－π<θ<0，∴θ＝－π3. 又∵OB ＝(0,2)，OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴cos 〈OB ，OC 〉＝|OB ·OC ||OB |·|OC |＝0－32＝－32.∴〈OB ，OC 〉＝5π6. 12．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC→|＝|BC →|，求角α的值；(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解 (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，由|AC→|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4. (2)由AC →·BC→＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49， ∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.13．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0)． (1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值，并求此时x 的值．解 (1)设a 与c 夹角为θ，当x ＝π6时，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，cos θ＝a ·c|a ||c |＝32－＋12×0⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×－2＋02＝－32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. (2)f (x )＝2a ·b ＋1＝2(－cos 2x ＋sin x cos x )＋1＝2sin x cos x －(2cos 2x －1)＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，2π，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时，f (x )max ＝1. 14．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2 x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2 x4 ＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

高考数学平面向量专题练习、参考答案

高考数学平面向量专题练习考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式。

1、已知向量b a 与不共线，且0||||≠=b a ，则下列结论中正确的是 A ．向量b a b a -+与垂直 B ．向量b a -与a 垂直C ．向量b a +与a 垂直D ．向量b a b a -+与共线2．已知在△ABC 中，OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 为△ABC 的A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心3．在△ABC 中设a AB =，b AC =，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，则AD 用b a ,表示为。

4、已知21,e e 是两个不共线的向量，而→→→→→→+=-+=2121232)251(e e b e k e k a 与是两个共线向量，则实数k = .5、设→i 、→j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且→→+=j i OA 24，→→+=j i OB 43，则△OAB 的面积等于：A ．15B ．10C ．7.5D ．56、已知向量OB OA OC OB OA +==--=),3,2(),1,3(，则向量OC 的坐标是，将向量OC 按逆时针方向旋转90°得到向量OD ，则向量OD 的坐标是 . 7、已知)3,2(),1,(==AC k AB ，则下列k 值中能使△ABC 是直角三角形的值是A ．23B ．21-C ．－5D ．31-8、在锐角三角形ABC 中，已知ABC AC AB ∆==,1||,4||的面积为3，则=∠BAC ，AC AB ⋅的值为 .9、已知四点A ( – 2，1)、B (1，2)、C ( – 1，0)、D (2，1)，则向量AB 与CD 的位置关系是 A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 无法判断10、已知向量OB OA CA OC OB 与则),sin 2,cos 2(),2,2(),0,2(αα===夹角的范围是：A ．]4,0[π B ．]125,4[ππ C ．]125,12[ππ D ．]2,125[ππ 11、若,4,,2||,3||π夹角为且b a b a ==则||b a +等于：A ．5B ．52C ．21D ．1712、已知→a =（6，2），→b =)21,4(-，直线l 过点A )1,3(-，且与向量→→+b a 2垂直，则直线l 的一般方程是 . 13、设]2,[,),()()(ππ--∈-+=R x x f x f x F 是函数)(x F 的单调递增区间，将)(x F 的图象按)0,(π=a 平移得到一个新的函数)(x G 的图象，则)(x G 的单调递减区间必是：A ．]0,2[π-B ．],2[ππC ．]23,[ππ D ．]2,23[ππ14、把函数3)2(log 2+-=x y 的图象按向量a 平移，得到函数1)1(log 2-+=x y 的图象，则a 为（）A ．（3，－4）B ．（3，4）C ．（－3，4）D ．（－3，－4）15、如果把圆)1,(02:22-==-+m a y y x C 沿向量平移后得到圆C ′，且C ′与直线043=-y x 相切，则m 的值为 .16、已知P 是抛物线122-=x y 上的动点，定点A （0，-1），若点M 分PA 所成的比为2，则点M 的轨迹方程是_____，它的焦点坐标是_________．17、若D 点在三角形的BC 边上，且4CD DB r AB sAC ==+，则3r s +的值为:A. 165B. 125C. 85D. 4518、若向量),sin ,(cos ),sin ,(cos ββb a ==αα则b a与一定满足:A.b a 与的夹角等于βα-B.)()(b a b a -⊥+C. b a //D.b a ⊥19、已知A （3，0），B （0，3），C （cos α，sin α）.（1）若BC AC ⋅=－1，求sin2α的值；（2）若13||=+OC OA ，且α∈（0，π），求OB 与OC 的夹角.20、已知O 为坐标原点，a R a R x a x OB x OA ,,)(2sin 3,1(),1,cos 2(2∈∈+==是常数），若.OB OA y ⋅=（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式);(x f （Ⅱ）若]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值为2，求a 的值并指出)(x f 的单调区间.21、已知A （－2，0）、B （2，0），点C 、点D 满足).(21,2||AC AB AD AC +== （1）求点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为54，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程. 22、如图，已知△OFQ 的面积为S ，且 1=⋅FQ OF . （1）若21＜S ＜2，求向量OF 与FQ 的夹角θ的取值范围；（2）设|OF | = c （c ≥2），S =c 43，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程.参考答案1、A ；2、D ；3、→→+b a 4341；4、231或；5、D ；6、)2,1(-，)1,2(--；7、D ；8、3π, 2；9、A ；10、C ；11、D ；12、0932=--y x ；13、D ；14、D ；15、35±；16、)0(162≠-=x x y ,)21,0(；17、C ；18、B19（1）解：(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BC αα=-∴BC AC ⋅=－1⇒cos (cos 3)sin (sin 3)1αααα-+-=- ∴2cos sin 3αα+=，∴224cos sin 2sin cos 9αααα++= ∴5sin 29α=- （2）∵(3cos ,sin )OA OC αα+=+=化简得1cos 2α=， ∵(0,)απ∈，∴sin 2α=∴3sin cos ,sin 3||||OB OC OB OC OB OC αα⋅<>====2 ∴OB 与OC 的夹角为6π20．（1）,2sin 3cos 22a x x OB OA y ++=⋅=).](32,6[:).](6,3[:)(.1,23,3)(,]6,0[6,262.1)62sin(2)()2(.12sin 32cos )(Z k k kx Z k k kx x f a a a x f x x a x x f a x x x f ∈+-∈+--==++∈==+∴+++=+++=∴πππππππππππ单调减区间是的单调增区间是可解得函数解得由取最大值时解得 21．解：（I ）设C 、D 点的坐标分别为C （),00y x ，D ),(y x ，则00,2(y x AC +=），)0,4(=AB则),6(00y x AC AB +=+，故)2,32()(2100y x AC AB AD +=+=又解得故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=.2,232),,2(00y y x x y x AD ⎩⎨⎧=-=.2,2200y y x x 代入2)2(||2020=++=y x AC 得122=+y x ，即为所求点D 的轨迹方程.（II ）易知直线l 与x 轴不垂直，设直线l 的方程为)2(+=x k y ①.又设椭圆方程为)4(1422222>=-+a a y a x ②. 因为直线l 与圆122=+y x 相切.故11|2|2=+k k ，解得.312=k将①代入②整理得，0444)4(2422222222=+-++-+a a k a x k a x a k a ，而313=k ，即0443)3(24222=+-+-a a x a x a ，设M （),11y x ，N （),22y x ，则32221--=+a a x x ，由题意有)3(5423222>⨯=-a a a ，求得82=a .经检验，此时.0>∆ 故所求的椭圆方程为.14822=+y x 22．解：（1）由已知，得.2tan 1cos ||||)sin(||||21S FQ OF SFQ OF =⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-⋅θθθπ ∵21＜S ＜2，∴2＜tan θ＜4，则4π＜θ＜arctan4. （2）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞0，b ＞0），Q 的坐标为（x 1，y 1），则FQ =（x 1－c ，y 1）,∵△OFQ 的面积为,43||211c y OF =⋅∴y 1 =23又由OF ·FQ =（c ，0）·⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,1c x =（x 1－c ）c = 1，得x 1 =491|| ,122121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+c c y x OQ c c （c ≥2）.当且仅当c = 2时|OQ |最小，此时Q 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛23 ,25，由此可得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+6104149425222222b a b a b a ，故椭圆方程为161022=+y x .。

专题13 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=-c a ，则co s ,=a c ___________．【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23．【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12．【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．专题13 平面向量CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大．【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解．3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；（2）若a∥b（a≠0），则b＝λa，应视题目条件灵活选择．【知识总结】1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A为起点、B为终点的向量记作AB，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB的大小即向量AB的长度（模），记为|AB|．（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．（2）任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0．（3）向量不能比较大小，但|a|是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小．2．几种特殊向量说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量；（4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．（2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b ．（3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ．（4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）．【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．（1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式．（2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C中，若D是BC的中点，则AD=12（AC+AB）；②O为△ABC的重心的充要条件是OA+OB+OC=0；③四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则AB+DC=2EF．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a∥b⇔a=λb（b≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔,AB AC共线．（3）若a与b不共线且λa=μb，则λ=μ=0．（4）OA=λOB+μOC（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a，b为非零向量，且a∥b，则a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．（2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b<a，b>∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a bA ．5B ．6C ．7D ．82．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．33．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC 的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2CD ．04．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =∠，则DE AC ⋅的值为 A ．4 B ．–3CD ．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．12 D ．1-26．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=，(1)()AN AC R λλ=-∈，设()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A ．3 B ．C ．3D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-D ．4-9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BC D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D 11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x = A ．32- B ．–1 C ．23 D ．3212．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23πC ．π3D ．6π 13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =，AN CN =+0，则A ．2136MN AB AC =+ B ．2376MN AB AC =+ C ．1263MN AC AB =-D ．7263MN AC AB =-14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+，则λμ+=__________．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0，则||OP ＝__________．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=，则AB =______．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+(),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥，则实数m =__________．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=__________．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________．29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =．则AB AD ⋅=__________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，若∥a b ，则x =__________．。

2019年高考数学考点分析与突破性讲练专题16平面向量的数量积及应用理

专题16 平面向量的数量积及应用一、考纲要求:1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．二、概念掌握及解题上的注意点： 1.向量数量积的两种计算方法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ. 当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝x 1，y 1，b ＝x 2，y 2，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.2.向量数量积性质的应用类型与求解策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有 ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a·b ＋b 2.③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. (4)射影的数量(投影)a 在b 上的投影|a | cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |.三、高考考题题例分析：例1．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.【答案】7【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)．又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0，即(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.例2. (2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________.【答案】6【解析】法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝x ＋2＋y 2，cos θ＝AQ AP＝x ＋2x ＋2＋y2，所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.例3.(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 【答案】2 3.【解析】法一：|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.例4(2015高考安徽，理8)C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b =（B ）a b ⊥（C ）1a b ⋅=（D ）()4C a b +⊥B 【答案】D【解析】如图，例5(2016高考山东理数)已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（）（A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】：由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B.例6.(2016高考新课标2理数)已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8【答案】D【解析】：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.例7.(2017天津，理13)在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.【答案】311【解析】01232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=例8.（2018课标卷II ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B【解析】：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B ．例9.（2018课标卷III ）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ= ．【答案】平面向量数量积及其应用练习一、选择题：1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C2．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝ ( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ．4【答案】C【解析】：由已知得2a －b ＝(3，x )，而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3，所以|a |＝1＋x 2＝4＝2．3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )2C ．32 D ．3【答案】A【解析】：依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. 4.线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝( )A ．－32B ．32C ．－332D ．332【答案】A【解析】：由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →·BE →＝|AD →||BE →|cos 〈AD →，BE →〉＝3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A.5．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( )A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5【答案】C6．若向量a ＝(2，－1)，b ＝(3－x,2)，c ＝(4，x )满足(6a －b )·c ＝8，则x 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】D【解析】：因为6a －b ＝(9＋x ，－8)，所以(6a －b )·c ＝36＋4x －8x ＝8，解得x ＝7，故选D.7．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为 ( )35C ．45 D ．34【答案】A【解析】：由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则tan α<0，解得tan α＝－43，故选A ．8.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a·b ＝1，则|a －b |＝( )A ．2B ．2 3C ．3D ．2 5【答案】B【解析】：由|a ＋b |＝4两边平方可得|a |2＋|b |2＝16－2a·b ＝14，则|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a·b ＋|b |2＝12＝23，故选B ．9.已知平面向量a ，b 的夹角为120°，且a ·b ＝－1，则|a －b |的最小值为 ( ) A. 6 B ． 3 C. 2 D ．1 【答案】 610．已知两点A (－1,1)，B (3,5)，点C 在曲线y ＝2x 2上运动，则AB →·AC →的最小值为( )A ．2B ．12 C ．－2 D ．－12【答案】D【解析】：设C (x 0,2x 20)，因为AB →＝(4,4)，AC →＝(x 0＋1,2x 20－1)，所以AB →·AC →＝8x 20＋4x 0＝8⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋142－12≥－12，即AB →·AC →的最小值为－12，故选D.11.O 是平面上一点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】A【解析】∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|＝1， ∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|表示与∠A 的平分线共线的向量．又OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴P 一定在∠A 的平分线上，即P 点一定通过△ABC 的内心．12．已知a ，b 均为单位向量，且a·b ＝0．若|c －4a |＋|c －3b |＝5，则|c ＋a |的取值范围是 ( )A ．[3，10 ]B ．[3,5]C ．[3,4]D ．[10，5]【答案】B【解析】： ∵a ，b 均为单位向量，且a·b ＝0，∴设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，二、填空题：13.设向量a 与b 的夹角为θ，若a ＝(3，－1)，b －a ＝(－1,1)，则cos θ＝________. 【答案】31010【解析】：由题意得向量b ＝(b －a )＋a ＝(2,0)，所以cos θ＝a·b|a ||b |＝3×2＋－10×2＝3101014．若非零向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥(3a －b )，则a 与b 夹角的余弦值为________．【答案】 14【解析】：由(a ＋b )⊥(3a －b )可得(a ＋b )·(3a －b )＝0，又|a |＝1，|b |＝2，则可得a·b ＝12，设a ，b 的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝a·b |a |·|b |＝14. 15.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________【答案】71216．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________.【答案】1【解析】：由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |，由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0. 所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.三、解答题:17．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b |，②|4a －2b |； (2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．【答案】(1) |a ＋b |＝43；|4a －2b |＝16 3 (2) k ＝－7【解析】：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.18.如图431，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x,3sin x )，OB →＝(3cos x ，sin x )，OC →＝(3，0)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.图431(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值．【答案】(2) x ＝π6【解析】 (1)证明：OA →－OB →＝(0,2sin x )，∴(OA →－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0，∴(OA →－OB →)⊥OC →.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ，∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ，整理得2cos 2x －3cos x ＝0，解得cos x ＝0，或cos x ＝32. ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，x ＝π6. 19.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．【答案】(1) a·b x 2＝cos 2x ；|a ＋b |＝2cos x . (2) 最小值－32；最大值－1.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【答案】(1) tan x ＝1.(2) x ＝5π12.【解析】：(1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22， n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0＜x ＜π2，所以－π4＜x －π4＜π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12. 21.已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R ．(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．【答案】(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2) b ＝3，c ＝2．【解析】：(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1) B ＝π4. (2) 32＋32(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积 S ＝12ac sin B ≤2＋2，即△ABC 的面积的最大值为32＋32.。

专题平面向量的数量积-2019年高考理科数学考点讲解与仿真测试含答案

平面向量的数量积【考点讲解】一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.二、知识概述：一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a、b，它们的夹角为θ，则a·b=θcos.若a=(1x,1y),b=(2x,2y)，则a·b=.2.向量的模：若a=(,)x y，则|a.3.两向量的夹角余弦值：a ba b×.4.向量垂直的等价条件：a⊥b⇔0a b?⇔.二）主要知识点：1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA＝，OB＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ叫做与的数量积，记作⋅，即⋅a b ＝，其中θ是a 与b 的夹角．规定0=⋅.当⊥时，θ＝90°，这时0a b ?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）a a =⋅，.（2）a b a b×(θ为与的夹角).（3）.4.数量积的运算律（1）交换律：.（2）分配律：（3）对.5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：（1）.（2）a ⊥b ⇔0a b ?⇔.（3）（4）(θ为与的夹角).【真题分析】1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则⋅的值为（）A.-15 B .-9 C.-6 D. 0【答案】C2.【2017北京，理6】设n m ,为非零向量，则“存在负数λ，使得n m λ=”是“0<⋅n m ”的A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【解析】如果存在负数λ，使得λ=，此时两向量方向相反，夹角为180°，一，两向量的数量积为：成立.如果0<⋅，此时两向量的夹角在90°到180°之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数λ，使得λ=成立，所以是充分不必要条件. 【答案】A3.【2014山东.理12】在ABC ∆中，已知，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【答案】164. 【2016高考浙江理数】已知向量ba ,,，若对任意单位向量，均有,则⋅的最大值是．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知，即最大值为12. 【答案】125.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且则AE AF ⋅的值为．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,得,1AB AD ⋅=,12DC AB =,所以=【答案】29186.【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．则【答案】787.【2017课标1，理13】已知向量,的夹角为602=1==+ .【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用，法一：由题意可知所以.【答案】法二：利用如下图形，可以判断出2a b +的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱形对角线的长为【答案】8.【2017山东，理12】已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 .【模拟考场】1.已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则（）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【答案】A2. 已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（） A.4B.–4C.94D.–94【解析】由43m n =，可设，又，所以.所以4t =-，故选B. 【答案】B3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（）A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =，BC b =，∴，，，∴，故选B.【答案】B4.已知向量a 与b 的夹角为60°，||2a =，||5b =，则2a b -在a 方向上的投影为（）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【答案】A 5.设向量，，且a b ⊥，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥，所以有0a b ?，可以得到，则，应填答案2.【答案】26.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，，且，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：，，=，所以可得113=λ.【答案】113 7.已知3a =， 4b =， 0a b ⋅=，若向量c 满足，则c 的取值范围是__________．【答案】[]0,58.已知两个不共线的向量b a ,，它们的夹角为θ，且，x 为正实数．(1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直，所以. 所以，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，所以cos θ＝16，又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.(2)＝故当x ＝36时，x -取最小值为12，此时＝36×9－3×1×cos π6＝0，故向量与x -垂直.。

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2019年陕西高考数学专题练习（理科）：平面向
量应用举例
根据同学们的需求，查字典数学网编辑老师整理了2019
年陕西高考数学专题练习（理科）：平面向量应用举例，欢
迎大家关注!
[A级基础达标练]
一、填空题
1.(2019课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD
的中点，则=________.
[解析] 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD
所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，
D(0,2)，E(1,2)，
=(1,2)，=(-2,2)，
=1(-2)+22=2.
[答案] 2
2.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(m，m+1)，若，则实数m
的值为________.
[解析] 依题意得，=(3,1)，
由，
得3(m+1)-m=0，m=-.
[答案] -
3.(2019徐州调研)已知a=(1,2)，2a-b=(3,1)，则
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ab=________.
[解析] a=(1,2)，2a-b=(3,1)，
b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).
ab=(1,2)(-1,3)=-1+23=5.
[答案] 5
4.(2019常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系
xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，
N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为________.
[解析] 根据题意得：M(2,0)，N(0,2).设P(2cos ，2sin )，
则=(2-2cos ，-2sin )，=(-2cos ，2-2sin )，
所以=-4cos +4cos2-4sin +4sin2
=4-4(sin +cos )=4-4sin，
因为-11，所以4-44+4，
所以的最大值为4+4.
[答案] 4+4
5.(2019宿迁调研)已知点A(-2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)
满足=x2，则点P的轨迹方程是________.
[解析] =(-2-x，-y)，=(-x，-y)，则
=(-2-x)(-x)+(-y)2=x2，
y2=-2x.
[答案] y2=-2x
6.(2019常州质检)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B
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两点，且|+|=|-|，其中O为原点，则正实数a的值为
________.
[解析] 由|+|=|-|，知，
|AB|=2，则得点O到AB的距离d=，
解得a=2(a0).
[答案] 2
7.(2019南京、盐城二模)已知||=1，||=2，AOB=，=+，则与
的夹角大小为________.
[解析] 令=，=，因为||=1，||=2，所以||=||，由=+=+，得
四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角，因此
AOC=60.
[答案] 60
8.如图43，在ABC中，AB=AC，BC=2，=，=.若=-，则=________.
图43
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则=(1，-a)=-=-，解
得a=2，所以=，=(-1，-2)，所以=-.
[答案] -
二、解答题
9.(2019苏北四市质检)已知向量a=(cos ，sin )，b=(2，
-1).
(1)若ab，求的值;
(2)若|a-b|=2，，求sin的值.
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[解] (1)由ab可知，ab=2cos -sin =0，所以sin =2cos ，
所以==.
(2)由a-b=(cos -2，sin +1)，可得|a-b|===2，
即1-2cos +sin =0，
又cos2+sin2=1，且，
由可解得
所以sin=(sin +cos )
10.已知向量a=(cos x，sin x)，b=(sin 2x,1-cos 2x)，
c=(0,1)，x(0，).
(1)向量a，b是否共线?并说明理由;
(2)求函数f(x)=|b|-(a+b)c的最大值.
[解] (1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin2 x)
=2sin x(cos x，sin x)=2sin xa，且|a|=1，即a0.
a与b共线.
(2)f(x)=|b|-(a+b)c
=2sin x-(cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x)(0,1)
=2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x
=-2sin2x+sin x=-22+.
当sin x=时，f(x)有最大值.
[B级能力提升练]
一、填空题
1.(2019南京、盐城二模)在ABC中，点D在边BC上，且
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DC=2BD，ABAD∶AC=3k∶1，则实数k的取值范围为________.
[解析] 因为DC=2BD，所以=+.平方得：2=2+2+||||cos ，
(0，)，即k2=32+12+31cos =+cos ，因为k0，所以k.
[答案]
2.设O是ABC外接圆的圆心，=x+y，且||=6，||=8,4x+y=2，
则=________.
[解析] 依题意=x+y=2x+(2)，设=，=2，则E是AB中点，C
是AF中点，=2x+.又因为4x+y=2，所以2x+=1，由三点共线
的充要条件知E、O、F三点共线.由题意不难发现OEAB，即
EFAB，那么在RtAEF中cosBAC==，=68cosBAC=9.
[答案] 9
二、解答题
3.(2019南京质检)设a=(cos ，(-1)sin )，b=(cos ，sin )，
是平面上的两个向量，若向量a+b与a-b互相垂直.
(1)求实数的值;
(2)若ab=，且tan =，求tan 的值.
[解] (1)由(a+b)(a-b)=0，得|a|2-|b|2=0，
cos2+(-1)2sin2-cos2-sin2=0.
(-1)2sin2-sin2=0，
0，sin 0，2-2=0，=2(0).
(2)由(1)知，ab=cos cos +sin sin =cos(-)=，
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0-0，
sin(-)=-，tan(-)=-.

tan =tan[(-)+]
以上就是高考频道2019年陕西高考数学专题练习（理科）：
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