的检定关于阿尔法和贝塔

0.93
⑤
-2.0< 0.93 < 2.0 であるから H0 は棄却されない。つまり、αは０であると判断される。
Ｐ値を用いた別解 ① ②は同じ。 ③データから検定統計量
ˆ x2 2 1 ˆ n ( x x )2 i
を計算する。この場合 0.93 である。 ④ 次のように定義されるＰ値をコンピュータの出力から読みとる。
回帰分析【 、 に関する検定】
前章では、ソニーの株価収益率 yi は日経平均の収益率 xi と次のような真の関係にあると 前提することが、容認されるということを学びました。
yi xi i , i 1, n,
εi は互いに独立に平均０，分散σ２の正規分布に従う。 しかし、読者の中には、この関係を容認するのは良いとしてそれがいったいどんな役にた つのかと訝しくおもっている人も多いのではないでしょうか。確かにソニーと日経平均の 上記の関係を前提することは、一見するとあまり重要とは思えませんね。しかしながら、 この前提を持ち込むことによって以下のような重要な問題に対処できるようになるのです。 問１ α＝０は正しいか否か。なぜなら、例えばαが正なら、日経平均の収益率に関係 なく正の収益率を確保できていることになり、ソニー株は投資対象として優れて いるということになる。 問２ β＝０は正しいか否か。もしβが０であれば日経平均の収益率とは無関係にソニ ーの収益率が決定されていることになる。 ここまで読者は、暗黙のうちに、α、βは０ではないと考えていませんでしたか？もし考 えていたとしたら、それは今や誤りです。と言うのは、ｘとかｙと言うのは実際のデータ を表しているのですから、そもそも、ｘとｙとの間に何の関係もない（β=0）ということ は当然想定しなければなりません。同様にα=0 もはなから否定することはできないわけで す。以下では、上記二つの重要な問題に統計的検定が適応可能であることを見ていきまし ょう。 問１の解 問題１については帰無仮説α＝０を検定すれば良いのです。例によって、5 つのステップを 踏んでこの検定を行ってみましょう。データはソニーを利用します。 ① 帰無仮説、対立仮説を次のように設定する。 Ｈ０：α＝０ Ｈ１：α≠０ ② 定理：αに関するｔ変量
2
ˆ P値 Pr 0.93 あるいは 2 x 1 ˆ2 n ( x x )2 i
この場合、Ｐ値は 0.3 である。
ˆ 1 x2 ˆ n ( x x )2 i
Excel 出力の見方
6
エクセルで実験 ・シート名を「αに関するｔ検定」に変更。 ・A 列 1 行に「１」と入力 ・B 列 1 行に「帰無仮説(H0)：α＝） 」と入力。 ・B 列 2 行に「対立仮説(H1)：α^=」と入力。 ・A 列 4 行に「2」と入力。 ・B 列 4 行に「定理」と入力。 ・B 列 6 行に「αに関するｔ変量は自由度(n-2)のｔ分布に従う」と入力。 ・B 列 17 行に「従って、帰無仮説が正しいとき」と入力。 ・B 列 19 行に「αに関するｔ変量において、α＝０と置いた量」と入力。 ・B 列 25 行に「は、自由度 n-2 のｔ分布に従う確率変数である。 」と入力。 ・A 列 27 行に「3」と入力。 ・B 列 27 行に「ソニーのデータでは n=59 であるから、棄却域は自由度」と入力。 ・G 列 27 行に「57」と入力。このセル灰色の網掛け。 ・G 列 28 行に「のｔ分布より」と入力。 ・B 列 28 行に「以下のようになる。 」と入力。 ・B 列 30 行に「αに関するｔ変量において、α＝０と置いた量が」と入力。 ・F 列 31 行に「=-TINV(0.05,57)」と入力。このセルピンクに網掛け。 ・F 列 32 行に「=TINV(0.05,57)」と入力。このセルピンクに網掛け。 ・A 列 35 行に「4」と入力。 ・B 列 35 行に「データから、αに関するｔ変量において、α＝０と置いた量を計算」と入 力。 ・E 列 38 行に「0．93」と入力。 ・A 列 44 行に「5」と入力。 ・B 列 44 行に「ステップ 4 の検定統計量の値が、 」と入力。 ・E 列 44 行に「=F31」と入力。このセルピンクに網掛け。 ・F 列 44 行に「より小さいか」と入力。 ・E 列 45 行に「=F32」と入力。このセルピンクに網掛け。 ・F 列 45 行に「より大きい時」と入力。 ・B 列 47 行に「帰無仮説は棄却、そうでなければ、帰無仮説は受容される。 」と入力。 ・B 列 48 行に「したがって、ソニーのデータでは、 」と入力。 ・C 列 50 行に「=IF(OR(E38<F31,E38>F32),"帰無仮説棄却","帰無仮説受容")」と入力。こ のセルピンクに網掛け。
10
7
ミニテスト
名前 学籍番号
今日の授業について番号に○をつけなさい。
強否定 今日の授業に興味を持てたか。 今日の授業を履修して良かったか。 問 １ １ 弱否定 ２ ２ 中立 ３ ３ 弱肯定 ４ ４ 強肯定 ５ ５
次ページのようにパナソニック、ソニー、大日本印刷、凸版の株価収益率を日経平均
の収益率に回帰させた結果が与えられている。それぞれの回帰分析について、①回帰方程 式、②決定係数、③回帰方程式の標準誤差、④α＝０の検定、⑤β＝０の検定を行え。 パナソニック
2
0.93
⑤ P 値が 0.05 よりも小さいとき、帰無仮説は棄却される。0.05 よりも大きければ、帰無 仮説は受容される。ソニーのデータでは、Ｐ値＝０．３＞０．０５であるから帰無仮説 は棄却されず、受容される。
3
問２の解 帰無仮説β＝０を検定すれば良い。 ① 帰無仮説、対立仮説を次のように設定する。 Ｈ０：β＝０ Ｈ１：β≠０ ②
2
③
棄却域は以下の通り。
④
データから検定統計量を計算すると次のようになる。これをｔ値と呼ぶ。
4
ˆ
(x x)
i
ˆ2
6.43
2
⑤
６．４３＞２．０であるから棄却域に入っているので、帰無仮説は棄却される。つま り、ベータは０ではない。
Ｐ値を用いた別解 ①、②は同じ。 ③ ④ データから検定統計量を計算する。この場合 6.43 である。 次のように定義されるＰ値をコンピュータの出力から読みとる。

ˆ ˆ2 n 1 x2 2 ( xi x )
③
自由度 57 のｔ分布表から、棄却域は以下の通りになる。
④
データから検定統計量を計算すると次のようになる。これをｔ値と呼ぶ。
ˆ x2 2 1 ˆ n ( x x )2 )
i
ˆ2
2
は、自由度 n-2 のｔ分布に従う（βは任意の定数） 。
したがって、 帰無仮説が正しいとき、 次の検定統計量は自由度 n-2=59-2=57 の t 分布に 従う。
(x x )
i
ˆ ˆ2

2
(x x )
i
ˆ ˆ2
ˆ ˆ2 n 1 x2 2 ( xi x )
は、自由度 n-2 のｔ分布に従う（αは任意の定数である） 。 1
したがって、帰無仮説が正しいと仮定すると（α =0 ） 、次の検定統計量は自由度 n-2=59-2=57 の t 分布に従う。
ˆ ˆ2 n 1 x2 2 ( xi x )
P値 Pr
(x x)
i
ˆ ˆ2
6.43 あるいは
2
ˆ 6.43 2 ˆ 2 x x ( ) i
この場合、Ｐ値はほとんど０である。 ⑥ Ｐ値＝０<０．０５であるから帰無仮説は棄却される。
5
ＳＡＳ出力の見方
の収益率に回帰させた結果が与えられている。それぞれの回帰分析について、①回帰方程 式、②決定係数、③回帰方程式の標準誤差、④α＝０の検定、⑤β＝０の検定を行え。 パナソニック ① y = -0.43+0.66x ② 0.20 ③ 7.94 ④ t 値＝-0.41、ｐ値＝0.68→帰無仮説受容 ⑤ t 値＝ 3.86、ｐ値＝0.0003→帰無仮説棄却 ソニー ① y = 1.25+1.42x ② 0.42 ③ 10.16 ④ t 値＝0.93、ｐ値＝0.35→帰無仮説受容 ⑤ t 値＝6.43、ｐ値<0.0001→帰無仮説棄却 大日本印刷 ① y = -0.37+0.56x ② 0.20 ③ 6.87 ④ t 値＝-0.41、ｐ値＝0.67→帰無仮説受容 ⑤ t 値＝ 3.82、ｐ値＝0.0003→帰無仮説棄却 凸版印刷 ① y = -0.47+0.62x ② 0.17 ③ 8.24 ④ t 値＝-0.43、ｐ値＝0.66→帰無仮説受容 ⑤ t 値＝ 3.45、ｐ値＝0.0011→帰無仮説棄却
ソニー
大日本印刷
凸版印刷
8
9
ミニテスト
名前 学籍番号
今日の授業について番号に○をつけなさい。
強否定 今日の授業に興味を持てたか。 今日の授業を履修して良かったか。 問 １ １ 弱否定 ２ ２ 中立 ３ ３ 弱肯定 ４ ４ 強肯定 ５ ５
次ページのようにパナソニック、ソニー、大日本印刷、凸版の株価収益率を日経平均