【解析版】河北省唐山市2017届高三上学期期末考试 数学文
2017届河北省张家口市高三上学期期末考试数学(文)试卷(带解析)
绝密★启用前2017届河北省张家口市高三上学期期末考试数学（文）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：69分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2、程序框图如下图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．2016B ．2017C ．1D ．23、已知函数的图象如下图所示，则函数的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知向量，，若，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ArrayA．2 B．4 C．6 D．126、若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．7、某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为，第二次向上的点数记为，在平面直角坐标系中，以为坐标的点落在直线上的概率为（）A． B． C． D．8、当函数（）取得最大值时，（）A． B． C． D．9、椭圆的焦点坐标为（）A． B． C． D．10、设复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则复数的虚部为（）A． B． C． D．11、设全集,,,则（）A． B． C． D．12、三棱柱中，为等边三角形，平面，，，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、函数，且，，则的取值范围是__________．14、已知直线：与圆相交于，两点，则__________．15、设，，则的值是__________．16、已知向量，，若，则实数__________．三、解答题（题型注释）17、如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求点到平面的距离．18、选修4-5：不等式选讲 已知函数，，的最小值为．（1）求的值； （2）若，，且．求证：．19、选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．20、已知函数，，曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围．21、已知是直线：上的动点，点的坐标是，过的直线与垂直，并且与线段的垂直平分线相交于点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设曲线上的动点关于轴的对称点为，点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为（与不重合）．是否存在一个定点，使得，，三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22、在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6位选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如下图所示的茎叶图．为了增加结果的神秘感，主持人暂时没有公布甲、乙两班最后一位选手的成绩．（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率；（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分．请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况．23、 已知数列的前项和为，满足：，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和．参考答案1、C2、D3、A4、B5、A6、C7、A8、B9、B10、D11、D12、C13、14、15、16、17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定点.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大.23、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】1、由题意为的外心，为边上的中点，可得:，∵，可得：，∴，同理，∴，即；∵，∴，又∵，∴，∴，由余弦定理可得：，故选C.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用以及平面向量的数量积，具有一定的难度；为的外心为边上的中点，，可得：，三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上，由点乘的几何意义：，同理，可求，再利用，求出，利用余弦定理可得的值．2、第1步：，第2步：，第3步：，第4步：，第5步：，第6步：，…，由，同第2步，此时，输出，故选：D．点睛：本题主要考查了循环结构，当满足条件，执行循环，属于基础题；对于循环结构的流程图根据循环的次数，当循环次数较少时，逐步写出，当循环次数较多时，找出其循环周期是关键，在该题中根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出，从而到结论.3、函数，图象关于轴对称，排除选项B，D；当时，函数，与原函数关于轴对称，是对称的函数的图象，排除C；图象A满足题意，故选A.4、由，，且，得，即，∴，则，∴的最大值为，故选B.5、由已知中的三视图可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积，高，故体积，故选A.6、∵，∴图象向左平移个单位长度得：，令，得，取，得，∴图象的一个对称中心是，故选C.7、由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有种结果，满足条件的事件是为坐标的点落在直线上，当共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以为坐标的点落在直线上的概率：，故选A.故选：A.8、∵函数．∵，∴当，即时，函数取得最大值，故选B.9、根据题意，椭圆的标准方程为，则其焦点在轴上，且，，则，故焦点坐标为，故选B.10、复数，其虚部为，故选D.11、∵全集,,，∴，则，故选D.12、三棱柱中，为等边三角形，如图：的中点为，连结，则有，，所以四边形为平行四边形，所以或其补角即为所求，不妨设，则有，在中，由余弦定理可得：，故选C.点睛：空间中求异面直线所成角的方法有。
2017年河北省唐山市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＞0}，，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B3．（5分）若函数，则f（f（2））＝（）A．1B．4C．0D．5﹣e24．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．π+2B．2π+4C．π+4D．2π+25．（5分）在△ABC中，∠B＝90°，，，则λ＝（）A．﹣1B．1C．D．46．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝﹣4，S6＝6，则S5＝（）A．1B．0C．﹣2D．47．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S＝（）△ABFA．B．C．D．8．（5分）二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx＝（）A．ln2B．ln2+1C．1D．9．（5分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A．0.6B．0.1C．0.01D．0.0510．（5分）已知ω＞0，将函数f（x）＝cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（）A．B．3C．D．11．（5分）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知a＞b＞0，a b＝b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4＝32，则a1＝．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|＝4，则p＝．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，且AB＝4，AC ＝5，则BC的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2＝λab．（1）若，，求sin A；（2）若λ＝4，AB边上的高为，求C．18．（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，M、N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．21．（12分）已知函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值范围；（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．23．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2＝x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5？并说明理由．2017年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求．1．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25，则复平面内表示z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：（3+4i）z＝25，∴（3﹣4i）（3+4i）z＝25（3﹣4i），∴z＝3﹣4i．则复平面内表示z的点（3，﹣4）位于第四象限．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＞0}，，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，，∴A∩B＝{x|﹣或1＜x＜}，A∪B＝R．故选：B．3．（5分）若函数，则f（f（2））＝（）A．1B．4C．0D．5﹣e2【解答】解：由题意知，，则f（2）＝5﹣4＝1，f（1）＝e0＝1，所以f（f（2））＝1，故选：A．4．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．π+2B．2π+4C．π+4D．2π+2【解答】解：由三视图可得，直观图是直三棱柱与半圆柱的组合体，体积为+＝π+2，故选：A．5．（5分）在△ABC中，∠B＝90°，，，则λ＝（）A．﹣1B．1C．D．4【解答】解：△ABC中，，，∴＝﹣＝（2，λ+2），又∠B＝90°，∴⊥，∴•＝0，即2﹣2（λ+2）＝0，解得λ＝﹣1．故选：A．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝﹣4，S6＝6，则S5＝（）A．1B．0C．﹣2D．4【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4＝﹣4，S6＝6，∴d＝﹣4，d＝6，解得a1＝﹣4，d＝2．则S5＝5×（﹣4）+×2＝0，故选：B．7．（5分）已知双曲线的右顶点为A，过右焦点F的直线l与C的＝（）一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B，则S△ABFA．B．C．D．【解答】解：由双曲线，可得a2＝1，b2＝3，故c＝＝2，∴A（1，0），F（2，0），渐近线方程为y＝±x，不妨设BF的方程为y＝（x﹣2），代入方程y＝﹣x，解得：B（1，﹣）．＝|AF|•|y B|＝•1•＝．∴S△AFB故选：B．8．（5分）二项式（x﹣a）7的展开式中，含x4项的系数为﹣280，则dx＝（）A．ln2B．ln2+1C．1D．【解答】解：（x﹣a）7的展开式的通项为（﹣1）r a r C7r x7﹣r，令7﹣r＝4得r＝3，∴展开式中x4项的系数（﹣1）3a3C73＝﹣35a3＝﹣280，∴a＝2，∴dx＝lnx＝1．故选：C．9．（5分）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n为6时，输出结果为2.45，则m可以是（）A．0.6B．0.1C．0.01D．0.05【解答】解：模拟程序的运行，可得n＝6，a＝3b＝2.5，不满足条件|b﹣a|＜m，执行循环体，a＝2.5，b＝2.45，由题意，此时应该满足条件|b﹣a|＜m，退出循环，输出b的值为2.45．可得：|2.5﹣3|≥m，且|2.45﹣2.5|＜m，解得：0.05＜m≤0.5，故选：B．10．（5分）已知ω＞0，将函数f（x）＝cosωx的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则ω的最小值是（）A．B．3C．D．【解答】解：由函数f（x）＝cosωx＝sin（ωx）图象向右平移个单位后得到：sin（），由题意可得：，（k∈Z）解得：，∵ω＞0，∴当k＝0时，ω的值最小值为．故选：A．11．（5分）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，基本事件总数n＝＝120，乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数m＝++＝36，∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率p＝＝．故选：D．12．（5分）已知a＞b＞0，a b＝b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③∃a，b满足a•b＜e2；④a•b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：【特殊值法】a＞b＞0，a b＝b a，不妨令a＝4，b＝2，满足条件；则a＝4＞e，b＝2＜e，①正确，②错误；又ab＝2×4＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．【直接法】a＞b＞0，a b＝b a，∴blna＝alnb，∴＝；设f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝，令f′（x）＝0，得1﹣lnx＝0，解得x＝e；∴x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；∴x＝e时f（x）取得最大值为f（e）＝；由函数的图象知，a、b中a＞e，1＜b＜e，∴①正确，②错误；由＝＝t＞0，∴①﹣②得＝t①+②得lna+lnb＝t（a+b）＝＝lna+lnb﹣2＝﹣2③令u＝，则③式变为lna+lnb﹣2＝﹣2＝（lnu﹣）∵a＞e，1＜b＜e，∴u∈（1，+∞）另f（u）＝lnu﹣∵f′（u）＝﹣＞0，∴f（u）在（1，+∞）上单调递增，f（u）＞0，由∵u﹣1＞0，∴lna﹣lnb＞2∴a•b＞e2，③错误，④正确．综上，正确结论的序号是①④．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值是﹣2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（﹣1，﹣1），化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1﹣1＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且，若a4＝32，则a1＝．【解答】解：∵，a4＝32，∴＝32，∴a1＝，故答案为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|＝4，则p＝2或6．【解答】解：由题意，k AF＝﹣，∴直线AB的方程为y＝x+，代入y2＝2px，可得p2x2﹣12px+36＝0，∴x＝，∵|BF|＝4，∴+＝4，∴p＝2或6，故答案为2或6．16．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两互相垂直，且AB＝4，AC ＝5，则BC的取值范围是（3，）．【解答】解：如图设P A、PB、PC的长分别为a、b、c，BC＝m．∵P A，PB，PC两两互相垂直，∴a2+b2＝16，a2+c2＝25，b2+c2＝m2⇒m2＝41﹣2a2，且a2＜16，a2＜25⇒﹣2a2＞﹣32，⇒﹣2a2＞﹣50⇒⇒﹣2a2＞﹣32⇒m2＝41﹣2a2＞9⇒m＞3在△ABC中，⇒3＜m＜故答案为（3，）三、解答题：本大题共70分，其中17-21题为必考题，22、23题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2＝λab．（1）若，，求sin A；（2）若λ＝4，AB边上的高为，求C．【解答】解：（1）由已知，，结合正弦定理得：，于是．因为，所以，可得．（2）由题意可知，得：．从而有：，即，又因为，所以，．18．（12分）某市春节期间7家超市的广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如下：（1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：，经计算得出线性回归模型和对数模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．参数数据及公式：，，，ln2≈0.7．【解答】解：（1），所以，y关于x的线性回归方程是（2）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适．当x＝8万元时，预测A超市销售额为47.2万元．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝2，M、N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点，又∵M为AB的中点，∴MN∥BC1，又BC1⊂平面BB1C1C，MN⊄平面BB1C1C，故MN∥平面BB1C1C．…（4分）（2）解：由A1A⊥平面ABC，得AC⊥CC1，BC⊥CC1．以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC1＝2λ（λ＞0），则M（1，0，1），N（0，λ，1），B 1（2，2λ，0），，＝（﹣1，λ，0），．取平面CMN的一个法向量为，由，得：，令y＝1，得，同理可得平面B 1MN的一个法向量为，∵平面CMN⊥平面B1MN，∴，解得，得，又，设直线AB与平面B1MN所成角为θ，则．所以，直线AB与平面B1MN所成角的正弦值是．20．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率为，得，∴＝∴，∴a2＝2b2；将Q代入椭圆C的方程，得+＝1，解得b2＝4，∴a2＝8，∴椭圆C的方程为；（2）当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为：或，从而有，所以四边形OPMN的面积为；当直线PN的斜率k存在时，设直线PN方程为：y＝kx+m（m≠0），P（x1，y1），N（x2，y2）；将PN的方程代入C整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，所以，，，由得：，将M点坐标代入椭圆C方程得：m2＝1+2k2；点O到直线PN的距离为，，四边形OPMN的面积为．综上，平行四边形OPMN的面积S为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x．（1）证明：函数f（x）在（﹣，）上单调递增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin x+tan x﹣2x则，∵，∴cos x∈（0，1]，于是（等号当且仅当x＝0时成立）．故函数f（x）在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在上单调递增，又f（0）＝0，∴f（x）＞0，（ⅰ）当m≤0时，f（x）＞0≥mx2成立．（ⅱ）当m＞0时，令p（x）＝sin x﹣x，则p'（x）＝cos x﹣1，当时，p'（x）＜0，p（x）单调递减，又p（0）＝0，所以p（x）＜0，故时，sin x＜x．（*）由（*）式可得f（x）﹣mx2＝sin x+tan x﹣2x﹣mx2＜tan x﹣x﹣mx2，令g（x）＝tan x﹣x﹣mx2，则g'（x）＝tan2x﹣2mx由（*）式可得，令h（x）＝x﹣2m cos2x，得h（x）在上单调递增，又h（0）＜0，，∴存在使得h（t）＝0，即x∈（0，t）时，h（x）＜0，∴x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，又∵g（0）＝0，∴g（x）＜0，即x∈（0，t）时，f（x）﹣mx2＜0，与f（x）＞mx2矛盾．综上，满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值范围；（2）以φ为参数，求线段P1P2中点轨迹的参数方程．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝1，根据ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝1，将代入x2+y2＝1得t2﹣4t sinφ+3＝0（*）由16sin2φ﹣12＞0，得，又0≤φ≤π，∴所求φ的取值范围是；（Ⅱ）由（1）中的（*）可知，，代入中，整理：得P1P2的中点的轨迹方程为（φ为参数，）．故得线段P1P2中点轨迹的参数方程为为（φ为参数，）．23．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2＝x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5？并说明理由．【解答】解：（1），当且仅当x＝y＝1时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在．因为x2+y2≥2xy，所以（x+y）2≤2（x2+y2）＝2（x+y），∴（x+y）2﹣2（x+y）≤0，又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．从而有（x+1）（y+1）≤≤＝4，因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）＝5．。
【学期】河北省唐山市开滦2017届高三上学期期中考试数学理试题Word版含答案
【关键字】学期开滦二中2016～2017学年度第一学期高三年级期中考试卷理科数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．设集合，则（）A．B．C．D．2．若是虚数单位）,则（）A．B．C．D．3．等比数列的前成等差数列，若=1，则为（）A．15 B．8 C．7 D．164．分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为（）A．B．C．D．5．已知，若圆与双曲线有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则几何体的体积为（）A．B．C．D．7．设,则（）A．B．C．D．8．已知函数，则的图象大致为（）9．如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为( )A.1B.2C.3D.410．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为（）A．的值B．的值C．的值D．的值11．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为（）A．B．C．D．12．函数的部分图像如图所示，若，则等于（）A、B、C、D、第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）13．设，若函数的最小值为1，则.14．设为坐标原点，，若点满足，则的最大值是．15．将三项式展开，当时，得到以下等式：……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如上右图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数.若在的展开式中，项的系数为75，则实数a的值为.16．已知数列满足：（），若，则.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。
）17、（本题满分12分）在中，内角所对边长分别是，已知，.（1）若的面积等于，求；（2）求a＋b的最大值.18、（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，是的中点（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．19、（本题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．20．（本小题12分）椭圆（）的左右焦点分别为，，且离心率为，点为椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为，过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，连结，并延长交直线分别于，两点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 21. （本小题12分）函数2()ln ,(),f x x g x x x m ==-- （1）若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；（2）若2()()(2)xf xg x x x e +<--在(0,3)x ∈恒成立，求实数m 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答（本小题10分）22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=)(225223为参数t t y t x .在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为(，求PA PB +. 23、已知函数()21()f x x a x a R =++-∈． （1）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集； （2）若()2f x x ≤的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的范围．2016年10月高三期中考试数学（理 ）参考答案1．D 2．B 3．A 4．A 5．A 6．D 7．B 8．A 9．D 10．C 11．A 12．A 13．．5 15．2 16．3417．解：（1）∵2,60c C ==，由余弦定理，得：224a b ab +-=，-----------2分根据三角形的面积1sin 2S ab C ==，可得：4ab =， -----------4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，解得：2,2a b ==. -----6分（2）由题意2sin c R C == -----------8分 则4)6sin(4)]32sin([sin 34)sin (sin 2≤+=-+=+=+ππA A A B A R b a -----------12分18．（1）证明：⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴， -----------2分2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC 222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴又C PC BC = ，⊥∴AC 平面PBC ， -------- ---4分 ∵⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC --------------------5分 （2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示， --------------7分则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）设P （0，0，a ）（0>a ），则E （21，21-，2a），)0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，)2,21,21(aCE -=，取m =（1，－1，0）∴m 为面PAC 的法向量 设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，B依题意，362,cos 2=+=⋅=><a a nm n m n m ，则2=a 于是)2,2,2(--=n --10分 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则32,cos sin =⋅=><=nPA n PA n PA θ，----------- 12分19．解：（Ⅰ）各组的频率分别为0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01-----------3分（Ⅱ）由表知年龄在[15，25）内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35） 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率事件由两个互斥事件构成()111224644422225105104246666222=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅=-----------7分（Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3 所以ξ的分布列是：-----------------10分所以ξ的数学期望65E ξ=． -----------------------------12分20．解：（1）已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即3b t =，其中0t >， 又12F F ∆M 内切圆面积取最大值3π时，点P 为短轴端点，半径为33r =，因此()122222rb ac ⋅⋅=⋅+，()1124222t t t ⋅=+，解得1t =，则椭圆的方程为22143x y +=． -----------4分 （2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,x y A ，()22,x y B ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t-=+， -----------6分 直线1AA 的方程为()()()1122y y x x =----，直线1BA 的方程为()()()2222y y x x =----， 则1164,2y x ⎛⎫P ⎪+⎝⎭，226Q 4,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， -----------8分假设Q P 为直径的圆是恒过定点(),m n M ， 则1164,2y m n x ⎛⎫MP =-- ⎪+⎝⎭，226Q 4,2y m n x ⎛⎫M =-- ⎪+⎝⎭， ()2121266Q 4022y y m n n x x ⎛⎫⎛⎫MP⋅M =-+--= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭， -----------10分即()()()()212122212123612184039nt y y n y y n m t y y t y y --+++-=+++，()()()()()()22223612918640936934nt n t n m t t t t ----++-=-+-++，即()226940nt n m -++-=，若Q P 为直径的圆是恒过定点(),m n M ，即不论t 为何值时，Q 0MP ⋅M =恒成立， 因此，0n =，1m =或7m =，即恒过定点()1,0和()7,0．-----------------12分21．解：（1）2()ln F x x x x m =-++，定义域(21)(1)(0,),(),x x F x x+-'+∞=-由()0F x '>得01x <<, 由()0F x '<得1x >,()F x ∴在(0,1)递增,在(1,)+∞递减,()(1),F x F m ∴==极大没有极小值．--------4分（2）由2()()(2)xf xg x x x e +<--在(0,3)x ∈恒成立，整理得(2)ln xm x e x x >-+-在(0,3)恒成立, -----------5分 设()(2)ln x h x x e x x =-+-, 则1()(1)()xh x x e x'=--,当1x >时,10x ->,且11,1,0,()0x x e e e h x x x'><∴->∴>, 当01x <<时,10x -<,设211(),()0,x x u x e u x e x x'=-=+>()u x ∴在(0,1)递增,又011()20,(1)10,(,1)22u u e x =<=->∴∃∈使得0()0.u x =0(0,)x x ∴∈时,()0u x <,0(,1)x x ∈时,()0u x >, 0(0,)x x ∴∈时,()0h x '>,0(,1)x x ∈时,()0h x '<．∴函数()h x 在0(0,)x 递增,0(,1)x 递减,(1,3)递增, -----------9分又000000001()(2)ln (2)2,xh x x e x x x x x =-+-=-⋅- 3(3)ln 330h e =+->，(0,3)x ∴∈时，()(3)h x h <, -----------11分(3)m h ∴≥,即m 的取值范围是)3ln33,.e ⎡+-+∞⎣ -----------12分22．解：（1）由ρθ=，得2sin ρθ=∴22x y +=,即22(5x y +-= -----------4分 （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程.得22(3)()522t -+=，即240t -+=由于,可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l过点p ,故由上式及t 的几何意义得1212PA PB t t t t +=+=+=-----------10分23．解：（1）解集为203x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 -----------4分 （2）()2f x x ≤的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦即不等式在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，即1x a +≤在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立， 即11a x a --≤≤-+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，得11211a a ⎧--≤⎪⎨⎪-+≥⎩，则3,02a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ .-----------10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
河北省唐山市滦南县第一中学2017届高三上学期期中联考
2016--2017届高三上学期期中联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数1(1)(1)i i-+=A ．-2B ．2C ．2i -D ．2i2、函数y =A ．(0,8]B ．(2,8]C ．(2,8]-D ．[8,)+∞3、已知,a b 是两个不共线的单位向量，3a b -=，则(2)(3)a b a b -+= A ．12 B ．12- C ．112 D ．112-4、以(4,0),(4,0)-为焦点，y =为渐近线的双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221248x y -= D ．221824x y -= 5、执行右面的程序框图，则输出的S 为 A ．-45 B ．36 C ．55 D ．-66 6、002(sin 22.5cos22.5)+的值为A ．2B 1C ．12-D ．12+ 7、已知曲线()2sin()6f x wx π=+关于直线6x π=对称，当w 取最小正数时A ．()f x 在(0,)6π单调递增 B ．()f x 在(,)63ππ单调递增C ．()f x 在(,0)6π-单调递减 D ．()f x 在(,)36ππ--单调递减 8、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为A ．7+．9 C ．7．99、如图，在等腰三角形ABC 所在平面内，090BAC CBD ∠=∠=,若AD xAB yAC =+，则A ．1x y +=B ．x y +C ．1x y -=D ．x y -=10、已知曲线2123123111:1;:;:1,,,212x C y C y C y x C C C x =-==-+与直线1x =及两坐标轴所围成的封闭图形的面积分别为123,,S S S ，则A ．231S S S <<B ．312S S S <<C ．321S S S <<D ．213S S S << 11、函数x xy e x=-的一段图象为12、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？各穿几何？”，意思是：有墙厚5尺，两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老师第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇，各穿几尺？用你所学的知识推算，两鼠相遇在A ．第2天上午B ．第3天上午C ．第2天下午D ．第3天下午第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度()x cm 与肱骨长度()y cm 线性回归方程为ˆ 1.197 3.660yx =-，由此估计，当股骨长度为50cm 时，肱骨长度的估计值为 cm 14、正方形ABCD 的边长为1，,P Q 分别为边AB 、DA 上的点，且CP CQ =，若CPQ ∆的面积为13，则BCP ∠大小为15、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与椭圆的一个交点为P ，若01245F PF ∠=，则椭圆的离心率e =16、四棱锥的底面是正方形，侧棱与底面所成的角都等于060，它的所有顶点都在直径为2的球面上，则该四棱锥的体积为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或额演算步骤 17、（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，234567,18a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求363111nS S S +++.18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且,SD AD AB E ==是SA 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面SAB ；（2）求三棱锥S BDE -与四棱锥S ABCD -的体积比.19、（本小题满分12分）为了检测某批棉花的质量，质检人员随机抽取6根，其平均纤维长度为25mm ，用(1,2,3,n X n =4,5,6)表示第n 根棉花的纤维长度，且前5根的纤维长度如下表：（1）求及中6根棉花的标准差s ；（2）从这6根棉花中，随机选取2根，求至少有1根的长度再区间(20,25) 内的概率.20、（本小题满分12分）已知抛物线2:4P y x =的焦点为F ，过点F 的直线与P 交于A 、B 两点，且8AB =. （1）求直线l 的方程；（2）若进过点A 、B 的圆Q 与抛物线P 的准线相切与点C ，且点C 的纵坐标为2，求圆Q 的方程.21、（本小题满分12分）已知函数()2ln (0)f x ax x x a =-+>.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 出的切线斜率为2，求a 的值及在该点处的切线方程； （2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程直角坐标系xOy 和极坐标系ox 的原点与极点重合，轴正轴于极轴重合，单位长度相同，在直角坐标下，曲线C 的参数方程为4cos (2sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（1）在极坐标系下曲线C 与射线4πθ=和射线4πθ=-分别交于A 、B 两点，求AOB ∆的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为2(x tt y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），求曲线C 与直线l 的交点坐标.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲 已知()12f x x x =++-. （1）解不等式()7f x ≤；（2）若()()f x f x a +-≥，求a 的取值范围.。
唐山市2017高三三模数学试卷(文)(word版含答案)
得sinC＝tanB．…6分
（Ⅱ）由a－b＝bcosC，且a＝1，b＝2，得cosC＝－，…8分
由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×(－)＝7，
所以c＝．…中“读书迷”有x人，则＝，解得x＝210.
所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.…3分
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22、（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
点P是曲线 上的动点，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，以极点 为中心，将点P逆时针旋转得到点 ，设点 的轨迹为曲线 ．
唐山市2016—2017学年高三年级第三次模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合 ，则
A． B． C． D．
2、已知 为虚数单位， ，则复数 的共轭复数为
A． B． C． D．
3、某校有高级教师90人，一级教师120，二级教师75人，现按职称分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为
方程为
15、直角 的三个顶点都在球 的球面上， ，若求的表面积为 ，则球心 到平面 的距离等于
16、 是公差不为0的等差数列， 是公比为整数的等比数列， ，则数列 的前n项和等于
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分12分）
在 中，角 所对应的边分别为 ．
（1）求证： ；
河北省石家庄市2017届高三上学期第四期考试数学文试题Word版含答案
数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．{3} 2.已知复数112m iz i -=+-（i 是虚数单位）的实部与虚部的和为1，则实数m 的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ．33.某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的男生人数是（ ） A ． 6 B ． 10 C ． 12 D ． 154.下列选项错误的是（ ）A ．命题：“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C. 若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”D ．若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题5.给出一个算法的程序框图（如图所示），该程序框图的功能是（ ） A ．求输出,,a b c 三数的最大数 B ．求输出,,a b c 三数的最小数 C.将,,a b c 按从小到大排列 D ．将,,a b c 按从大到小排列6.满足不等式24120m m --≤的实数m 使关于x 的一元二次方程2240x x m -+=有实数根的概率是（ ）A ．12 B ．13 C. 14 D ．157.将函数()3sin cos 22x x f x =-的图象向右平移23π个单位长度得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调减区间是（ ） A ．(,)24ππ-- B ．(,)2ππ C. (,)42ππ- D ．3(,2)2ππ 8.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 263π+B ．83π+ C. 243π+ D ．43π+9.在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且224()S a b c =+-，则sin()4C π+=（ ）A ．1B ．22-C. 22D 310.已知直线x y a +=与圆226x y +=交于,A B 两不同点，O 是坐标原点，向量,OA OB 满足0OA OB •=，则实数a 的值是（ ）A ．2±B ．6 C. 2 D ．-211.若函数()y f x =图象上的任意一点P 的坐标(,)x y 满足条件||||x y >，则称函数()f x 具有性质S ，那么下列函数中具有性质S 的是（ ）A ．()sin f x x =B ．()ln(1)f x x =+ C. ()1xf x e =- D ．()tan f x x =12.若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)3B ．15(,]34 C. 13(,]32 D ．53(,]42第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 0sin(150)-的值为 ．14.已知(,1)a m =，(2,1)b =-，若//()a b a -，则实数m = ．15.已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的3倍，则a 的值是 ．16.已知点F 是抛物线C ：24y x =的焦点，点B 在抛物线C 上，直线:540l kx y k +--=恒过定点A ，当ABF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1020a =，15240S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令112n nn n n a a b a a ++=+-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2CD =，1BC AC ==，O为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面ACM ； （2）证明：平面PAD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．19. （本小题满分12分）一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示，将月用电量落入该区间的频率作为概率，若每月的用电量在200度以内（含200度），则每度电价元，若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价元，记X （单位：度，25325X ≤≤）为该用户下个月的用电量，T （单位：元）为下个月所缴纳的电费．（1）估计该用户的月电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）将T 表示为X 的函数；（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费[37.5,115)T ∈的概率．20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>3，且过点3． （1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠，与该椭圆交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率依次为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．21. （本小题满分12分） 设函数21()ln 22f x x ax bx =+-． （1）当3,1a b =-=时，求函数()f x 的最大值； （2）令211()()2(3)22a F x f x ax bx x x =-++≤≤，其图像上存在一点00(,)P x y ，使此处切线的斜率12k ≤，求实数a 的取值范围； （3）当10,2a b ==-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的直角坐标方程为22y ax =，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为22224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点． （1）写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若2||||||PA PB AB •=，求a 的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-．（1）是否存在实数a ，使得对于任意的[1,5]x ∈-，()2f x <恒成立，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）当2a =且02t ≤<时，解关于x 的不等式()(2)f x t f x +≥+．试卷答案一．选择题：. D．题提示：设)1()(,53)(23+=+-=x a x h x x x g ，由存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，即存在唯一的正整数0x ，使)(x g 在)(x h 的下方，02002632<'<<>'≥∴-=')x (g x ;)x (g ,x ,x x )x (g 时时 ，结合图像可得⎩⎨⎧≤>)3()3()2()2(g h g h 解得4531≤<a 二．填空题： 13. 21-; 14. 2-; 15. 97; 16. 2 16题过点B 作抛物线C 的准线1x =-的垂线，垂足为点1B ，因为周长L AF AB BF =++142AB BB =++，所以当A ，B ，1B 三点共线时ABF ∆的周长最小，此时点B 的坐标为(4,4)，ABF ∆的面积11422S =⨯⨯=． 三．解答题：17.（1）设首项1a ，公差为d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+240214151520911d a d a 解得21==d a 所以18.连接BD 交AC 于O ，连接MO.在平行四边形ABCD 中，O 为AC 的中点，∴O 为BD 的中点.又M 为PD 的中点， （1）MO PB || ,ACM PB ACM MO 平面平面⊄⊂,,//PB ∴平面ACM ；．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）︒=∠∴===90,1,2DAC AC AD DC ，,,ABCD PO AC AD 平面又⊥⊥，AD PO ⊥∴所以AD ⊥平面PAC ,平面PAD ⊥平面PAC ；．．．．．．．．．7分 （3）取DO 的中点N ，连接MN ，AN 可得PO MN ||，121==PO MN 由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， 所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角． 在Rt DAO ∆中，1AD =，12AO =，所以5DO =．从而1524AN DO ==．在Rt ANM ∆中，45tan 554MN MAN AN ∠===．即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45．．．．．．．．．．．12分19.（1）月用电量的平均值16106.030012.025022.02003.015018.010012.050=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X 度．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）⎩⎨⎧≤<-+≤≤=325200),200(6.010020025,5.0X X X X T ．．．．．．．．．．．．．．7分（3）)225,75[)115,5.37[∈⇔∈X T ，7.050)0044.00060.00036.0())225,75[())115,5.37[(=⨯++=∈=∈X P T P ．．．．．．．．．．．．．．12分20.试题解析：（1）依题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+22222231431c b a a cb a «Skip Record If...»解得«Skip Record If...»所以椭圆C 的方程是«Skip Record If...»．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当k 变化时，2m 为定值，证明如下：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x mkx y 得)1(48)41(222=-+++m kmx x k ，设),(),,(2211y x Q y x P 则(*)41)1(4,4182221221⋅⋅⋅+-=+-=+k m x x k km x x 因为直线OQ OP 、的斜率依次为21k k 、，214k k k +=，221122114x mkx x m kx x y x y k +++=+=∴，整理得)(22121x x m x kx +=，．．．．．．．．．．．．．．8分将(*)代入可得212=m ，经检验满足0>∆，故当k 变化时，2m 为定值212=m ．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解:(1)依题意,()f x 的定义域为(0,)+∞, 当3,1a b =-= 时,23()ln 22f x x x x =--, 21132()32x x f x x x x --'=--= 由 ()0f x '>,得23210x x +-<,解得113x -<< 由 ()0f x '<,得23210x x +->,解得13x >或1x <-0x >,()f x ∴在1(0,)3单调递增,在1(,)3+∞单调递减; 所以()f x 的极大值为15()ln 336f =--,此即为最大值 ．．．．．．．．．．．．．．3分 (2)1()ln ,[,3]2a F x x x x =+∈,则有00201(),2x a k F x x -'==≤在01[,3]2x ∈上有解,∴a ≥200min 1()2x x -+,01[,3]2x ∈ 22000111(1)222x x x -+=--+ 所以 当03x =时,02021x x +-取得最小值9333,222a -+=-∴≥- ．．．．．．．．．．．．．．6分 (3)由2)(2xx mf =得222()ln x x m f x x x==+,令2()ln x G x x x=+,2(2ln 1)()(ln )x x x G x x x +-'=+ 令2()2ln 1,()10g x x x g x x'=+-=+>,∴()g x 在(0,)+∞单调递增, 而(1)0g =,∴在(0,1),()0x g x ∈<,即()0G x '<,在(1,),()0x g x ∈+∞>,即()0G x '>, ∴()G x 在(0,1)单调递减,在(1,)+∞单调递增, ∴()G x 极小值=(1)1G =,令21m =,即12m =时方程2)(2x x mf =有唯一实数解．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）曲线C 的极坐标方程为：()2sin 2cos 0a a ρθθ=>，由222242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t 得：42y x +=+，∴直线l 的普通方程为：2y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）直线l 的参数方程为2224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数）， 代入22y ax =，得到)()2224840t a t a -+++=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 是方程的两个解， 由韦达定理得：)()1212224,84t t a t t a +=+=+，因为2PA PB AB =，所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-=， 解得1a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.(1)2)(<x f ，得22+<<-a x a ，若对任意的]5,1[-∈x ，2)(<x f 恒成立，则⎩⎨⎧-<->+1252a a 解集为空集，所以不存在-------5分 (2)2=a 时等价于x t x ≥+-2当x ≥2时，不等式化为x-2+t ≥x,此时无解； 当0≤x ＜2时，不等式化为2-x+t ≥x ,220,2,20+≤≤∴≥+-<≤t x x t x x 当x ＜0时，不等式化为2-x+t ≥-x ，不等式恒成立； 所以原不等式的解集是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,t ---------10分。
河北省唐山市开滦一中2017届高三上学期期中考试数学文
2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）1．若集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3}C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}2．已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．命题“∃x∈R，x2+2x+5＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+5＜0 B．∃x∈R，x2+2x+5≥0C．∀x∈R，x2+2x+5≥0 D．∃x∈R，x2+2x+5≤04．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA=csinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不确定6．在△ABC中，=，=，若点D满足=2，则=（）A．+B．+C．+D．﹣7．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a10=6，则S11等于（）A．24 B．21 C．22 D．238．若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．9．设a=log26，b=log515，c=log721，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b10．已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，且满足f （0）=f（）则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上是增函数C．f（x）的图象关于直线x=π对称D．f（）=﹣211．已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则实数m的取值范围为（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣112．函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}二、（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．已知向量与的夹角为60°，||=1，||=2，则•（2+）的值为．14．已知函f（x）=，则f（f（））=．15．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则a+b 的最小值为．16．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．（10分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，前3项和S3=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）求数列{2n a}的前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足asinC=ccosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．19．（12分）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最小值．20．（12分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，求{a n b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x2+1（x∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程（Ⅱ）求函数f（x）在区间[a，2]（0＜a＜2）上的最小值．22．（12分）设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．2016-2017学年河北省唐山市开滦一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每题中只有一个正确答案）1．（2016秋•路北区校级期中）若集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={0，1，2，3，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，3}C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】化简集合A，根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，2，3，4}，所以A∩B={1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（2014•吉林二模）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将复数进行化简，根据复数的几何意义即可得到结论．【解答】解：z===，∴对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D．【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算将复数进行化简是解决本题的关键，比较基础．3．（2016秋•路北区校级期中）命题“∃x∈R，x2+2x+5＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+5＜0 B．∃x∈R，x2+2x+5≥0C．∀x∈R，x2+2x+5≥0 D．∃x∈R，x2+2x+5≤0【考点】命题的否定．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2+2x+5＜0”的否定是：∀x∈R，x2+2x+5≥0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4．（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．（2016秋•路北区校级期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若acosB+bcosA=csinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不确定【考点】三角形的形状判断．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出sinA，进一步求得∠A，即可得解．【解答】解：由acosB+bcosA=csinA，结合正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=sinCsinA，∴sin（B+A）=sinCsinA，可得：sinC=sinCsinA，在△ABC中，∵sinC≠0，∴sinA=1，又0＜A＜π，∴∠A=，则△ABC的形状为直角三角形．故选：A．【点评】本题考查正弦定理的应用，考查了两角和与差的三角函数，考查了转化思想，属于基础题．6．（2016秋•路北区校级期中）在△ABC中，=，=，若点D满足=2，则=（）A．+B．+C．+D．﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】转化思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】根据三角形法则，写出的表示式，根据点D的位置以及向量的减法运算，写出最后结果．【解答】解：如图示：，=+=+（+）=+=+，故选：C．【点评】本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础，若单独出现在试卷上，则是一个送分题目．7．（2016秋•路北区校级期中）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a6+a10=6，则S11等于（）A．24 B．21 C．22 D．23【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由数列{a n}为等差数列，把已知等式左边的第一项和第三项结合，利用等差数列的性质化简，得到关于a6的方程，求出方程的解得到a6的值，然后利用等差数列的求和公式表示出S11，并利用等差数列的性质化简后，将a6的值代入即可求出值．【解答】解：∵等差数列{a n}，∴a2+a10=2a6，又a2+a6+a10=6，∴3a6=6，即a6=2，又a1+a11=2a6=4，则S11==22．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．8．（2016秋•路北区校级期中）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】利用余弦的倍角公式对等式变形，利用平方关系得到正弦和余弦的比例式，再利用商数关系转化为正切的方程解之．【解答】解：∵α∈（0，），且sin2α+cos2α=，∴sin2α+cos2α﹣sin2α=，∴cos2α=，∴，∴，解得tanα=±，又∵α∈（0，），∴tanα=．故选：B．【点评】本题考查二倍角的余弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．9．（2016秋•路北区校级期中）设a=log26，b=log515，c=log721，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由对数的单调性可得a＞2＞b＞1，再根据c＞1，利用对数的运算法则，判断b＞c，从而得到a、b、c的大小关系．【解答】解：由于a=log26＞log24=2；2＞c=log721=1+log73，∴a＞c．2＞b=log515=1+log53，log37＞log35，可得b＞c．综上可得，a＞b＞c，【点评】本题主要考查对数值大小的比较，换底公式的应用，属于基础题．10．（2016秋•路北区校级期中）已知f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，且满足f（0）=f（）则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上是增函数C．f（x）的图象关于直线x=π对称D．f（）=﹣2【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，得到函数的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：由题意可知A=2，∵满足f（0）=f（），∴当x=时取得最大值2，∴T=4（﹣）=π，可得：ω=2，∴由2sin（×2+φ）=2，可得： +φ=2kπ+，k∈Z，∴可得：φ=2kπ+，k∈Z，又|φ|＜，可得：φ=，∴函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+），对于A，由于T==π，故错误；对于B，当x=时取得最大值2，f（x）在[0，]上不是增函数，故错误；对于C，x=π，则f（π）=2sin（2×π+）=﹣1，不是最值，故错误；对于D，f（）=2sin（2×+）=﹣2，正确．故选：D．【点评】本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型，属于中档题．11．（2016秋•路北区校级期中）已知函数f（x）=e x﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则实数m的取值范围为（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，运用两直线垂直的条件可得e x﹣m=﹣1有解，再由指数函数的单调性，即可得到m的范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣mx+1的导数为f′（x）=e x﹣m，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，即有e x﹣m=﹣1有解，即m=e x+1，由e x＞0，则m＞1．则实数m的范围为（1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于基础题．12．（2014•安庆三模）函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为（）A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}C．{x|x＜﹣1，或x＞1}D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1}【考点】函数单调性的性质；导数的运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造函数g（x）=e x•f（x）﹣e x，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g （0）=1，可得不等式e x•f（x）＞e x+1的解集．【解答】解：令g（x）=e x•f（x）﹣e x，则g′（x）=e x•[f（x）+f′（x）﹣1]∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，∴g′（x）＞0恒成立即g（x）=e x•f（x）﹣e x在R上为增函数又∵f（0）=2，∴g（0）=1故g（x）=e x•f（x）﹣e x＞1的解集为{x|x＞0}即不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为{x|x＞0}故选A【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g（x）=e x•f （x）﹣e x，是解答的关键．二、（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中横线上）13．（2016秋•路北区校级期中）已知向量与的夹角为60°，||=1，||=2，则•（2 +）的值为6．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；向量法；平面向量及应用．【分析】先根据条件可求出和的值，然后进行数量积的运算即可求出的值．【解答】解：根据条件，，；∴=2+4=6．故答案为：6．【点评】考查向量夹角的概念，向量数量积的运算及计算公式．14．（2016•湖南模拟）已知函f（x）=，则f（f（））=．【考点】分段函数的应用；函数的值；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【解答】解：由分段函数可知f（）=，f（f（））=f（﹣2）=．故答案为：．【点评】本题主要考查分段函数求值，比较基础．15．（2014秋•南平期末）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则a+b的最小值为．【考点】余弦定理．【专题】常规题型；计算题．【分析】利用余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC与（a+b）2﹣c2=4可得：ab=，由基本不等式即可求得a+b的最小值．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2=4，∴c2=a2+b2+2ab﹣4①∵△ABC中，C=60°，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab②由①②得：3ab=4，ab=．∴a+b≥2=2=（当且仅当a=b=时取“=”）．∴a+b的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，将已知条件与余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC联立，得到ab=，是关键，属于中档题．16．（2012•新沂市校级模拟）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】计算题．【分析】根据题意，将x=2、x=﹣2分别代入f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2可得，f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2，①和f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2，②，结合题意中函数奇偶性可得f（﹣2）+g（﹣2）=﹣f（2）+g（2），与②联立可得﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③，联立①③可得，g（2）、f（2）的值，结合题意，可得a的值，将a的值代入f（2）=a2﹣a﹣2中，计算可得答案．【解答】解：根据题意，由f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，则f（2）+g（2）=a2﹣a﹣2+2，①，f（﹣2）+g（﹣2）=a﹣2﹣a2+2，②又由f（x）为奇函数而g（x）为偶函数，有f（﹣2）=﹣f（2），g（﹣2）=g（2），则f（﹣2）+g（﹣2）=﹣f（2）+g（2），即有﹣f（2）+g（2）=a﹣2﹣a2+2，③联立①③可得，g（2）=2，f（2）=a2﹣a﹣2又由g（2）=a，则a=2，f（2）=22﹣2﹣2=4﹣=；故答案为．【点评】本题考查函数奇偶性的应用，关键是利用函数奇偶性构造关于f（2）、g（2）的方程组，求出a的值．三、解答题（本题共6道题，共70分）17．（10分）（2016秋•路北区校级期中）已知等差数列{a n}满足：a3=7，前3项和S3=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）求数列{2n a}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由等差数列的性质可知：3a2=15，求得a2=5，由d=a3﹣a2=2，再利用等差数列通项公式的性质，即可求得数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）由=22n+1，可知数列{}是以23，为首项，以4为公比的等比数列，T n=23+25+27+…+22n+1，根据等比数列前n项和公式，即可求得数列{}的前n项和T n，．【解答】解：（Ⅰ）∵设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可知：S3=3a2，则3a2=15，即a2=5，由d=a3﹣a2=2，∴由等差数列的通项公式可得：a n=a3+2（n﹣3）=2n+1，∴数列{a n}的通项公式a n=2n+1，…（3分）a1=3，∴前n项和S n，S n==n2+2n，数列{a n}的前n项和S n，S n=n2+2n；…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：=22n+1，可知数列{}是以23，为首项，以4为公比的等比数列，数列{}的前n项和T n，T n=23+25+27+…+22n+1，===，数列{}的前n项和T n，T n=．…（10分）【点评】本题考查等差数列的性质，通项公式及前n项和公式的应用，考查等比数列前n项和，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•路北区校级期中）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足asinC=ccosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知根据正弦定理得：cosA=sinA，根据同角三角函数基本关系式可求tanA=，结合范围A∈（0，π），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．（Ⅱ）由已知及三角形面积公式可求c，根据余弦定理可得a的值，利用正弦定理即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意得：=，根据正弦定理得：cosA=sinA，∴tanA=，∵A∈（0，π），∴A=，…（4分）（Ⅱ）由S=5=bcsinA，得：c=4，…（6分）根据余弦定理得：a2=42+52﹣2×，解得：a=．…．…（8分）由于2R==2，…（10分）由正弦定理得sinBsinC===．…．（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）（2016秋•路北区校级期中）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣sin2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）﹣，利用周期公式即可计算得解．（Ⅱ）由已知可求范围2x+∈[，]，利用正弦函数的图象和性质即可求得最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意得f（x）=cosxsinx﹣sin2x=sin2x﹣（）=sin2x+cos2x﹣=sin（2x+）﹣…∴T=．…（6分）（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为f（）=．…（12分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．20．（12分）（2016秋•路北区校级期中）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，求{a n b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题意可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，a n=2a n﹣1，∵a1，a2+1，a3成等差数列即a1+a3=2（a2+1），可得a1+a3=2（a2+1），即可求得a1=2，因此数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b n=log2a n=n，a n b n=n•2n，利用“错位相减法”即可求得数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1，…（3分）则a2=2a1，a3=2a2=4a1，又∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1），∴a1+4a1=2（a2+1），解得：a1=2．…∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．∴a n=2n；…（6分）（Ⅱ）由题意得：b n=log2a n=n，a n b n=n•2n，{a n b n}的前n项和T n．T n=1×2+2×22+…+n•2n，∴2T n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，…（8分）∴﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1，=﹣n•2n+1，=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2，数列{a n b n}的前n项和T n，T n=（n﹣1）•2n+1+2．…（12分）【点评】本题考查数列的递推公式，考查等比数列通项公式的应用，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016秋•路北区校级期中）已知函数f（x）=x3﹣x2+1（x∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程（Ⅱ）求函数f（x）在区间[a，2]（0＜a＜2）上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（2），f（2），代入切线方程即可；（Ⅱ）求出f（x）的单调区间，通过讨论a的范围，得到f（x）在[a，2]的单调性，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f′（x）=3x2﹣3x，∴f′（2）=6，又因为f（2）=3，所以曲线y=f（x）在在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9；（Ⅱ）因为f′（x）=3x2﹣3x，令f′（x）=0，解得x=0或x=1，所以f（x）的单增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），所以f（x）的单减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），因为a＞0所以分两种情况：所以当0＜a＜1，f（x）的最小值为；②若1≤a＜2，f（x）在[a，2]上单增，f（x）的最小值为f（a）=a3﹣a2+1，综上所述，当0＜a＜1，f（x）的最小值为，1≤a＜2时，f（x）的最小值为：a3﹣a2+1．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22．（12分）（2010•新课标）设函数f（x）=x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax），令g（x）=e x﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（e x﹣1）﹣x2，=（e x﹣1）（x+1）令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0；∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）；（II）f（x）=x（e x﹣1﹣ax）．令g（x）=e x﹣1﹣ax，则g'（x）=e x﹣a．若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
【全国市级联考】河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考理数(解析版)
河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}5,4,3,2,1⊆A ，且{}{}2,13,2,1= A ，则满足条件的集合A 的个数是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】B 【解析】 试题分析：因为{}{}1,2,31,2A =，所以A 中有1,2没有3，故可能性有{}{}{}{}1,21,2,41,2,51,2,4,5共四种.考点：子集，交集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2.已知复数z 满足i z i 3)31(=+，则=z （ ）A ．i 2323+ B ．i 2323- C ．i 4343+ D ．i 4343- 【答案】C考点：复数运算．3.某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在)130,110[的人数为（ ）A ．12B ．9C ．15D ．18【答案】A考点：频率分布直方图．4.设函数R x x f y ∈=),(，“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：设:p “)(x f y =是偶函数”，:q “)(x f y =的图象关于原点对称”.p 不能推出q ，因为()f x 有可能是偶函数，图象关于y 轴对称.q 可以推出p ，因为原来图象关于原点对称，加绝对值之后就关于y 轴对称，所以p 是q 的必要不充分条件.考点：函数的奇偶性，充要条件．5.设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．25D ．5 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线焦点三角形面积公式为2tan2b S θ=，其中12F PF θ∠=，所以本题面积为11tan 45=.考点：双曲线焦点三角形．6.要得到函数R x x x x f ∈=,cos sin 2)(，只需将函数R x x x g ∈-=,1cos 2)(2的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位【答案】D考点：三角函数图象变换．7.执行如图所示的程序框图，若输入2,1==b a ，则输出的=x （ ）A ．25.1B ．375.1C ．4375.1D ．40625.1【答案】C 【解析】试题分析：运行程序，32x =，判断否，32b =，判断否， 1.25x =，判断是， 1.25a =，判断否， 1.375x =，判断是， 1.375a =，判断否， 1.4375x =，判断否 1.4375b =，判断是，输出 1.4375x =. 考点：算法与程序框图． 8.设0x 是方程x x =)31(的解，则0x 所在的范围是（ ）A ．)31,0( B ．)21,31( C ．)32,21( D ．)1,32( 【答案】B考点：函数的图象与性质，二分法．9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．6226++B ．226+C ．3D ．38【答案】D 【解析】试题分析：该几何体是上面一个三棱锥，下面一个三棱柱，故体积为11182212212323⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 考点：三视图．10.把长为cm 80的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于cm 20的概率是（ ） A ．161 B ．81 C ．41 D ．163【答案】A考点：几何概型．11.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，⊥PA 底面ABCD ，H F E AB PA ,,,4== 分别是棱PD BC PB ,,的中点，则过H F E ,,的平面截四棱锥ABCD P -所得截面面积为（ ） A ．62 B ．64 C ．65 D ．6432+ 【答案】C 【解析】试题分析：取CD 中点K ，连接HK ，根据三角形中位线的性质有//EF HK .取PA 的中点J ，取PJ 的中点I ，根据三角形中位线的性质有////HF BJ EI ，所以EFKHI 共面，面积为12EFKH EHI S S S =+=+⨯=.KJHF EBDAPF I考点：立体几何．【思路点晴】本题主要考查立体几何点线面的位置关系，考查多点共面的证明方法，考查空间想象能力，考查动手能力.先画出题目给定的四棱锥，标出中点,,E F H ，并将三点连接起来，然后在几何体中平移,,EF EH HF 到四棱锥的表面.利用中位线将EF 平移到HK ，由此可得//EH FK .现将//HF JB ，然后将//JB EI ，经过以上步骤，就将平面扩展到几何体的表面了，进而得出截面. 12.设函数a x a x x x f ---+-=5)8(331)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的 取值范围是（ ） A ．]61,151(B ．]41,151(C ．]41,61(D ．]158,41( 【答案】A 【解析】考点：函数导数与不等式．【思路点晴】题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数 形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.选择题可以采用代入法的策略，选项中的特殊值代入，验证来得出结果.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知向量)75sin ,75(cos ),15sin ,15(cos==b a 【答案】3 【解析】试题分析：依题意有，11,1,2sin15cos15sin 302a b a b ==⋅===，所以 222443a b a a b b -=-⋅+=.考点：向量运算． 14.在nxx )12(3-的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是_______. 【答案】14 【解析】试题分析：依题意有721282,7n n ===，37(2x展开式的通项为 ()()173721 3.5277212rrr r r r r C xx C x ----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21 3.50,6r r -==，故常数项为()676671214C --=.考点：二项式．15.已知抛物线y x 42=与圆)0()2()1(:222>=-+-r r y x C 有公共点P ，若抛物线在P 点处的 切线与圆C 也相切，则=r ______. 【答案】2考点：抛物线与圆．【思路点晴】本题考查圆和抛物线的位置关系，考查圆锥曲线的切线.由题意可知，两条曲线相交于切点，对于抛物线来说，先设出切点，就可以利用导数求得切线的斜率和切线方程，对于圆来说，圆心和切点的连线是和切线垂直的，转化为数学的式子就是两直线斜率乘积等于1-，解方程就可以求出切点坐标，然后利用两点间的距离公式求出半径.16.一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A 岛向正北方向行驶80海里至M 处，然后沿东偏南 30 方向行驶50海里至N 处，再沿南偏东 30方向行驶330海里至B 岛，则B A ,两岛之间距离是_____海 里. 【答案】70 【解析】试题分析：以M 为坐标原点建立平面直角坐标系，由图可知()()0,80,70A B --，故70=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、方位角、数形结合的数学思想方法.利用解三角形知识解决实际问题要注意 根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．本题由于涉及方位，所以可以建立平面直角坐标系来求，也就是在M 点建立坐标系，然后求出想关点的坐标，最后利用两点间的距离公式来求.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，240,1101510==S S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11+++=n n n n n a a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）n a n 2=；（2）21n n n n T =++.（2）211111222222++-=+++=+++=n n n n n n n n n n b n ， n n n n n n T n 21211141313121211++=++-+⋅⋅⋅+-+-+-=. 考点：数列基本概念，裂项求和法．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，PB BC ⊥，BCD ∆为等边三角形，3==BD PA ， AD AB =，E 为PC 的中点.（1）求AB ；（2）求平面BDE 与平面ABP 所成二面角的正弦值.【答案】（1）1=AB ；（2）47. 【解析】 试题分析：（1）连接AC ，因为⊥PA 底面ABCD ，ABCD ，所以BC PA ⊥，所以⊥BC 平面PAB .所以BC AB ⊥，因为BCD ∆为等边三角形，所以 30=∠ABD .又已知AD AB =，3=BD ，可得1=AB ；（2）分别以BA BC ,所在直线为y x ,轴，过B 且平行PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，计算得平面PAB 的法向量为)0,0,1(=m ,平面BDE 的法向量为)2,3,3(--=n ，所以3cos ,4m n <>=.（2）分别以BA BC ,所在直线为y x ,轴，过B 且平行PA 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，)0,23,23(),23,21,23(),0,0,3(),3,1,0(D E C P . 由题意可知平面PAB 的法向量为)0,0,1(=.设平面BDE 的法向量为),,(z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0n BD 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++,02323,0232123y x z y x 则)2,3,3(--=， 43)2()3(3020313,cos 222=-+-+⨯-⨯-⨯>=<. 所以平面BDE 与平面ABP 所成二面角的正弦值为47.考点：空间向量与立体几何．19.（本小题满分12分）甲将要参加某决赛，赛前D C B A ,,,四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知B A ,选择 甲的概率均为m ，D C ,选择甲的概率均为)(n m n >，且四人同时选择甲的概率为1009，四人均未选择 甲的概率为251. （1）求n m ,的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）⎪⎩⎪⎨⎧==.21,53n m ；（2）分布列见解析，2.2. 试题解析：（1）由已知可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=--=,,251)1()1(,10092222n m n m n m 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.21,53n m （2）X 可取4,3,2,1,0.251)0(==X P ，51)211(21)531()211()531(53)1(122212=-⨯⨯⨯-+-⨯-⨯⨯==C C X P ， 10037)211()531()211()53()211(21)531(53)2(22221212=-⨯-+-⨯+-⨯⨯⨯-⨯⨯==C C X P ， 103)211(21)53()21()531(53)3(122212=-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯==C C X P ，1009)4(==X P . X 的分布列为2.21004103100251250)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 考点：相互独立事件与二项分布．20.（本小题满分12分） 如图，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点F ，B A ,分别为E 的右 顶点，上顶点，且OP AB ∥，12+=AF .（1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 做斜率为)0(>k k 的直线，交E 于D C ,两点，求四边形ACBD 面积S 的最大值.【答案】（1）1222=+y x ；（2）2. 【解析】试题分析：（1）设焦距为c 2，则),(2a b c P -，由//AB OP 得ab ac b =2，则c a c b 2,==1+解得2,1,1===a b c ，椭圆E 的方程为1222=+y x ；（2）设),(),,(2211y x D y x C ，CD 的方程为kx y =，代入1222=+y x 解得2221212,212kx k x +-=+=，直线AB 的方程为0x +=，故12d d ==，利用面积公式求得22(1S =，利用基本不等式求得最大值为2.（2）kx y CD =:，设),(),,(2211y x D y x C ，到AB 的距离分别为21,d d ，将kx y =代入1222=+y x 得22212k x +=，则2221212,212kx k x +-=+=， 由)1,0(),0,2(B A 得3=AB ，且022:=-+y x AB ，322,322222111-+=-+=y x d y x d ， )](2)[(21)(21212121y y x x d d AB S -+-=+=2212122))(21(21kk x x k ++=-+=， )21221(222kk S ++=，因为k k 22212≥+，当且仅当122=k 时取等号， 所以当22=k 时，四边形ACBD 的面积S 取得最大值2. 考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．21.（本小题满分12分） 已知函数2ln )(-+=xa x x f . （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若函数)(x f y =的两个零点为)(,2121x x x x <，证明：a x x 221>+.【答案】（1）当0≤a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，当0>a 时，)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增；（2）证明见解析.试题解析：（1）)0(,1)(22>-=-='x xa x x a x x f ， 所以当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在),0(a 上单调递减，在),(+∞a 上单调递增.（2）若函数)(x f y =的两个零点为)(,2121x x x x <，由（1）可得210x a x <<<，令)0(),2()()(a x x a f x f x g <<--=， 则0])2(11)[()2()()(22<---=-'+'='x a x a x x a f x f x g ， 所以)(x g 在),0(a 上单调递减，0)()(=>a g x g ，即)2()(x a f x f ->.令a x x <=1，则)2()(11x a f x f ->，所以)2()()(112x a f x f x f ->=，由（1）可得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，所以122x a x ->，故a x x 221>+.考点：函数导数与不等式．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后对参数进行分类讨论的题，求导通分后分子是一个一次函数，则只需要分成两类，结合图像来讨论即可.第二问是极点偏移问题.构造函数()g x 后，利用导数求得函数()g x 是一个减函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆与ABD ∆都是以AB 为斜边的直角三角形，O 为线段AB 上一点，BD 平分ABC ∠，且 BC OD ∥.（1）证明：D C B A ,,,四点共圆，且O 为圆心；（2）AC 与BD 相交于点F ，若62==CF BC ，求D C ,之间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）试题解析：（1）因为ABC ∆与ABD ∆都是以AB 为斜边的直角三角形，所以D C B A ,,,四点都在以AB 为直径的圆上.因为BD 平分ABC ∠，且BC OD ∥，所以OD OB ODB CBD OBD =∠=∠=∠,.又 90,90=∠+∠=∠+∠ODB ODA OBD OAD ，所以OD OA ODA OAD =∠=∠,.所以OB OA =，O 是AB 的中点，O 为圆心.（2）由62==CF BC ，得53=BF ，由BCF RT ADF RT ∆∆~得2==CFBC DF AD . 设x DF AD 22==，则x AF 5=，由BD 平分ABC ∠得2==CFBC DA BD ， 所以2253=+xx ，解得5=x ，即52=AD ， 连接CD ，由（1），52==AD CD .考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程是2=ρ.矩形ABCD 内接 于曲线1C ，B A ,两点的极坐标分别为)6,2(π和)65,2(π.将曲线1C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短 为原来的一半，得到曲线2C .（1）写出D C ,的直角坐标及曲线2C 的参数方程；（2）设M 为2C 上任意一点，求2222MD MC MB MA +++的取值范围.【答案】（1）)1,3(),1,3(---D C ,曲线2C 的参数方程为θθθ(sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)；（2）]32,20[. 【解析】试题分析：（1）先利用公式求得(A B ，利用对称性可求得)1,3(),1,3(---D C .C 的直角坐标方程为224x y +=，参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，即2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）设)sin ,cos 2(θθM ，利用两点间的距离公式，化简2222MA MB MC MD +++得212cos 20θ+，故所求的取值范围是]32,20[.（2）设)sin ,cos 2(θθM ，则2222MD MC MB MA +++22222222(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)θθθθθθθθ=+-+++-+++++++20cos 1216sin 4cos 16222+=++=θθθ，则所求的取值范围是]32,20[.考点：坐标系与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数11)(-++=mx x x f .（1）若1=m ，求)(x f 的最小值，并指出此时x 的取值范围；（2）若x x f 2)(≥，求m 的取值范围.【答案】（1）)(x f 的最小值为2，此时x 的取值范围是]1,1[-；（2）),1[]1,(+∞--∞ .【解析】试题分析：（1）1m =时2)1()1(11)(=--+≥-++=x x x x x f ，当且仅当0)1)(1(≤-+x x 时取等号，解得[1,1]x ∈-；（2）0≤x 时，x x f 2)(≥显然成立；0>x 时，由x mx x x f 211)(≥-++=，得11-≥-x mx ，由1-=mx y 及1-=x y 的图象可得1≥m 且11≤m，解得(,1][1,)m ∈-∞-+∞. 试题解析：考点：不等式选讲．：。
2017届河北唐山市高三年级第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017届河北唐山市高三年级第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足()3425i z +=，则复平面内表示z 的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】由题意， ()()()()253425342534343434i i z z i i i i ⋅-+=∴===-++⋅- ，故复平面内表示z 的点位于第四象限，选D2．已知集合{}2|20A x x x =->，{|B x x =<<，则（ ） A ．AB =∅B ．A B R ⋃=C ．B A ⊆D ．A B ⊆【答案】B 【解析】{}{}{220|02|A x x x x x x B x x =-==<或，A B R ∴⋃= ，选B3．若函数，则（ ）A ．1B ．4C ．0D ．【答案】A 【解析】。
故选A 。
4．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A ．2π+B ．24π+C ．4π+D ．22π+【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为曲边形，（底面2个弓形组成，如图所示），侧棱垂直于底面的柱体，曲边形的面积为121242S ππ=⨯⨯⨯=+，故此柱体的体积2242V ππ⎛⎫=+⨯=+ ⎪⎝⎭，选C点睛： 本题考查三视图及柱体的体积公式，解题的关键是根据左视图得到底面曲边形的构成5．在ABC △中，90B ∠=︒，()12AB =-，，()3AC λ=，，则λ=（ ） A ．1- B ．1C ．32D ．4【答案】A【解析】由题ABC △ 中，(1? 2)(3? )?22AB AC BC AC AB λλ-∴=-=+＝，，＝，，（，），又90?0B AB BC AB BC ，，∠=︒∴⊥∴⋅=即2220λ-+=（）， 解得1λ=-． 故选A ． 点睛：本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，属基础题． 6．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）A ．1B ．0C ．D ．4【答案】B 【解析】由已知及可得 ，故选B ． 7．已知双曲线的右顶点为，过右焦点的直线与的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由双曲线，可得故，渐近线方程为不妨设的方程为代入方程解得.故选B ．点睛：本题考查双曲线方程的运用，注意运用渐近线方程，关键求出 的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．8．二项式()7x a -的展开式中，含4x 项的系数为280-，则21eadx x=⎰（ ） A ．ln 2 B ．ln21+C ．1D ．2214e e- 【答案】C【解析】二项式()7x a - 的展开式的通项为()717rr rr T C x a -+=- ，令74,3r r -=∴= ，根据题意，含4x 项的系数()337280,2C a a -=-∴=，()2222211ln |ln 2ln 2ln 2ln ln 21eeeadx dx x e e x x ===-=+-=⎰⎰ .选C 9．一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n 为6时，输出结果为2.45，则m 可以是（ ）A ．0.6B ．0.1C ．0.01D ．0.05【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得63, 2.5n a b ===，，不满足条件b a m -＜， 执行循环体， 2.5 2.45a b ==，， 由题意，此时满足条件b a m -＜， 退出循环，输出b 的值为2.45．可得：2.53m -≥ ，且2.45 2.5m -＜，解得0.050.5m ≤＜， 故选B ． 点睛：本题主要考查的知识点是程序框图，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属基础题．10．已知0>ω，将函数()cos f x x ω=的图象向右平移2π个单位后得到函数()sin 4g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则ω的最小值是（ ）A ．32B ．3C ．43D ．23【答案】A【解析】由函数2f x cos x sin x πωω==+（）（） 图象向右平移 2π个单位后得到22sin x ωππω-+（），由题意可得：2,224x k k Z ωπππωπ-+=-∈解得：3402k ωω-＝，＞，∴当0k = 时，ω 的值最小值为32.故选A 11．在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是（ ） A ．110B ．15C ．25D ．310【答案】D【解析】在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场的顺序，基本事件总数55120n A ==， 乙、丙都不与甲相邻出场包含的基本事件个数2322232324m A A A A ，=+=∴乙、丙都不与甲相邻出场的概率2411205m p n ==＝．故选B ． 点睛：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知0a b >>，b a a b =，有如下四个结论：①e b <；②b e >；③a b ∃，满足2a b e ⋅<；④2a b e ⋅>． 则正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】0,,b a a b a b >>= 则ln ln ln ln a b b a a b a b =⇒=，设函数ln ,0x y x x=>， 1ln ,0x y x x ='->，可知函数ln ,0x y x x=>在()0,e 单调递增，在(),e +∞上单调递减，如图所示，可知0b e << ，显然2ln ln 1ln ln 22a ba b a b e +>⇒+>⇒⋅> ，故选C点睛：本题考查不等式的性质以及函数ln ,0xy x x=>的性质，解题时根据已知构造函数是解题的关键二、填空题13．若变量,x y 满足约束条件0{2143y x y x y ≤-≥-≤，则z x y =+的最小值是__________．【答案】2-【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当z x y =+ 过点()1,1A -- 时z 有最小值，为2- 。
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【解析】
试题分析：由题意，知 ， ，即 ．由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和 轴垂直，所以 ，又由抛物线的定义知 ，所以 ，即 ， ，解得 ．
考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．
【方法点睛】在抛物线中，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
将l1代入圆M可得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋6＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝ ；…7 分
将l2代入圆N可得：(1＋k2)x2＋16kx＋24k2＝0，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝．…9分
由四边形ABCD为梯形可得，所以＝，
所以(1＋k)2＝4，解得k＝1或k＝－3（舍）． …12分
考点：1、点到直线的距离公式；2、直线与圆的位置关系．
试题解析：（1）显然k≠0，所以l1：y＝kx，l2：y＝－x．
依题意得M到直线l1的距离d1＝＜，
整理得k2－4k＋1＜0，解得2－＜k＜2＋；…2分
同理N到直线l2的距离d2＝＜，解得－＜k＜，…4分
所以2－＜k＜ ．…5分
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
16.已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和等于．
【答案】
【方法点睛】解决非等差、等比数列求和问题的两种思路：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．
考点：1、数列的通项公式；2、裂项法求数列的和．
考点：1、直三棱柱的空间几何体；2、三棱柱的表面积．
7.已知 是等比数列，且 ，则 （）
A． B． C. D．
【答案】A
考点：等比数列的通项公式．
【一题多解】因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，故选A．
8.已知对数函数 ，且 在区间 上的最大值与最小值之积为 ，则 （）
A． B． 或 C. D．
（1）若 ，求 在 上的最大值和最小值；
（2）若 在 和 上都递减，求 的取值范围.
【答案】（1）最大值为22，最小值为 ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）首先求出导函数，然后根据导函数与0的关系求出函数 的单调区间，由此求得最大值与最小值；（2）根据函数的单调性与导函数的关系，结合判别式建立 不等式组求解即可．
考点：1、频率分布直方图；2、平均数；3、独立性检验思想．
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥 中， 底面 为线段 上一点， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）过 作 ，交 于点 ，连 ，然后利用中位线定理结合已知条件证明得 是平行四边形，从而利用平行四边形的性质可使问题得证；（2）根据已知条件结合线面垂直的性质定理推出 平面 ，由此可求得 点到平面 的距离．
考点：1、线面平行的判定定理；2、线面垂直的性质定理与判定定理．
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20.（本小题满分12分）已 知 为实数， .
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数最值与导数的关 系．
21.（本小题满分12分）已知圆 ，圆 ，经过原点的两直线 满足 ，且 交圆 于不同两点 交圆 于不同两点 ，记 的斜率为 .
（1）求 的取值范围；
（2）若四边形 为梯形，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）首先根据条件设出直线 的方程，然后利用点到直线的距离公式求得 的取值范围，；（2）首先设出点 的坐标，然后分别将 的方程代入圆的方程，从而利用韦达定理，结合梯形的性质求得 的值．
【答案】A
考点：1、多面体的外接球；2、球的 体积．
【技巧点晴】对于几何体的外接球的 面积计算的问题，其关键是求出外接球的半径，求解时充分借助正方体和正四棱锥都是对称图形，将球心设在四棱锥与正方体底面的中心的连线上,借助截面圆的圆心与球心连线垂直于截面圆这一事实，运用勾股定理建立．
12.已知 是函数 在 内的两个零点，则 （）
当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2．…6分
②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合题意．…7分
③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，
当且仅当x＝a时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a＜1矛盾．…9分
综上所述，a的取值范围是上递减，在[1，＋∞）上递增，则f(x)≥f(1)．…8分
唐山市
文数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：集合的交集运算．
2.设命题 ,则 为（）
A． B．C． D．ຫໍສະໝຸດ 【答案】B【解析】
试题分析：由全称命题的否定为特称命题，知 为 ，故选B．
当α＝时，取得最大值(＋1)． …10分
考点：1、直线与圆的极坐标方程；2、两差的余弦公式．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
（2）①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，
（2）填写下面的 列联表，能否有超过 的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
文科生
理科生
合计
获奖
不获奖
合计
附表及公式：
，其中
【答案】（1） ， ；（2）表见解析，有把握．
（2）
文科生
理科生
合 计
获奖
5
35
40
不获奖
45
115
160
合计
50
150
200
…8分
k＝＝≈4.167＞3.841，
所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．…12分
考点：1、双曲线的性质；2、点到直线的距离公式．
5.已知 ，则 （）
A． B． C. D．
【答案】C
考点：两角差的正切公式．
6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则 该“堑堵”的表面积为（）
A． B． C. D．
【答案】B
【方法点睛】空间几何体的三视图是从正面、侧面、上面三个方向对一个几何体的全方位透视，因此解答这类问题的关键是根据三视图所提供的图 形信息弄清楚该几何体的形状和有关数据，然后选择运用相应的体积和面积公式进行求解．
18.（本小题满分12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 ，且成绩分布在 ，分数在 以上（含 ）的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.
（1）求 的值，并计算所抽取样本的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若射线 分别交 于 两点，求 的最大值．
【答案】（1） ： ， ： ；（2） ．
试题解析：（1）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，
∵CN＝3NP，∴EN∥BC且EN＝BC，
又∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，M为AD的中点，
∴AM∥BC且AM＝BC，∴EN∥AM且EN＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，
又∵MN平面PAB，AE平面PAB，∴MN∥平面PAB．…6分
考点：全称命题的否定．
3.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，解得 ，故选A．
考点：1、复数的运算；2、复数的模．
4.双曲线 的顶点到渐近线的距离为（）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，得 ，不妨设双曲线的一个顶点为 ，一条渐近线方程为 ，所以所求距离为 ，故选D．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，周长为 ， 求 .
【答案】（1） ；（2）7．
【解析】
试题分析：（1）首先利用正弦定理化已知条件等式中的边为角，然后利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理求得 的值，从而求得角 的大小；（2）首先结合（1）利用三角形面积公式求得 的关系式，然后根据余弦定理求得 的值．
A． B． C. D．
【 答案】D
【解析】
试题分析：在同一坐标系中作出函数 与 ，如图所示，则由图可知，两个函数的图象交点为 ，则在 内 时， ，所以 的概率为 ，故选D．
考点：几何概型．