复杂网络上带有直接免疫的SIRS类传染模型研究_夏承遗
具有饱和接触率的SIRS传染病模型的周期解
质， 通过分析模型平凡解和无病周期解 的存在性和稳定性 以及超 临界分 岔发生 的条件 ， 得 到 决 定 疾 病 流 行 与 否 的 阈值 ， 给 出验 证 理 论 分 析 的 数 值 结 果 。 关键词 ： Ｓ Ｉ Ｒ Ｓ传 染 病 模 型 ； 饱 和接触率 ； 脉冲接种 ； 周期解 ； 超 临 界 分 岔
Ｈａ ｏ Ｌ ｉ ｊ ｉ ｅ ， Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｇ ｕ ｉ ｒ ｏ ｎ ｇ ，Ｌ ｕ Ｐ ｅ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｇｕ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｉｃ ｎ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ，Ｇｎ ｉｌ ｍ ５ ４ １ ０ ０ ４，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ｖ０ １ ． ３ ３． Ｎｏ ． １ Ｆｅ ｂ ． ２ ０ １ ３
具 有饱和接触 率的 Ｓ Ｉ Ｒ传 染 病模 型 的周 期 解
郝丽杰 ， 蒋贵 荣， 鹿 鹏
（ 桂 林 电子 科 技 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ， 广西 桂 林
摘
５ ４ １ ０ ０ ４ ）
要： 基于离散映射和分岔理论 ， 研 究 了具 有 脉 冲生 育 、 脉 冲接种 和饱和接 触率 的 Ｓ Ｉ Ｒ Ｓ传 染 病 模 型 的 动 力 学 性
中图 分 类 号 ：０１ ７ ５ ． １ 文 献 标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１ ６ ７ ３ — ８ Ｏ ８ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） Ｏ １ — ０ ０ ６ １ － ０ ５
Ｐｅ ｒ ｉ ｌ ｄ ｉ ｏ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｏ ｆ ａ ｎ Ｓ Ｉ ＲＳ ｅ ｐｉ ｄ ｅ ｍｉ ｃ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎｃ ｉ ｄ ｅ ｎ ｃ ｅ
几类分数阶传染病动力学模型研究
几类分数阶传染病动力学模型研究分数阶传染病动力学模型是对传染病传播过程进行建模和研究的数学方法。
与传统的整数阶模型不同，分数阶模型在描述传染病传播过程时引入了分数阶微分和分数阶积分的概念，能够更精确地描述传染病的动力学特性。
在研究中，分数阶传染病动力学模型主要可以分为以下几类。
首先，基础的分数阶SIR模型。
这类模型由分数阶微分方程组成，通常包括感染者数量、易感者数量和移动者数量等变量。
这类模型是传染病基本的传播模型，能够描述传染病的传播过程和基本动力学特性，如传播速率、传播范围等。
其次，分数阶SEIR模型。
这类模型在基础的SIR模型基础上引入了潜伏期概念，即将可感染的个体区分为潜伏期个体和易感个体。
潜伏期个体是指已经感染病毒但尚未出现症状的个体，通过分析潜伏期个体数量和易感个体数量的变化趋势，可以更准确地描述疫情的传播和爆发过程。
再次，分数阶SI模型。
这类模型通常用于描述传染病的最早期传播过程，不考虑恢复和治愈过程，即所有感染的个体都是永久性的感染者。
通过分析易感个体数量的变化趋势，可以预测传染病的传播速度和传播范围，为疫情的控制和预防提供科学依据。
最后，分数阶传染病模型的参数优化与控制。
在实际应用中，传染病的传播受到多种因素的影响，如人群流动、医疗资源分配等。
利用分数阶传染病模型可以推导出传播参数的数学表达式，进而进行参数优化和控制策略的设计。
通过优化模型参数，可以最大限度地减少疫情的传播速度和传播范围，为疫情防控提供有力支持。
综上所述，分数阶传染病动力学模型是对传染病传播过程进行建模和研究的一种重要方法。
在分析疫情特征、预测疫情走势以及指导疫情防控方面具有重要意义。
随着分数阶微积分的理论和方法的不断发展，分数阶传染病动力学模型的应用将会更加广泛和深入。
禽流感的SIR模型研究——以北京市为例
Байду номын сангаас
直
莒 流 感 的 ＳＩ 型 研 究 ＲＭ
以 北京 市 为例
兰州交通大学数理与软件工程学院 节青青 南车青岛四方机车车辆股份有限公 司技术 中心 朱 佳
［ 摘 要］ 文通过理论研 究的方法， 本 应用 ＳＲ模 型对北京市禽流感的传播规 律进行 了相关的分析。 Ｉ ［ 关键 词］ 传染病 禽流感 数学模 型 ＳＲ模 型 Ｉ
２ ３模 型 建 立
图２移 出率变化 图 对上述处理后 的数据进行 曲线拟合 ， 得图 ３
南上述参数确定可 以知道 ： 单位时间 内患 禽流感 的病鸡被移 出的鸡数 变化 为 ：
Ｒ ｚ＝８ Ｉｔ ｔ （ ） Ｎ （ Ａ ）
单位时间 内患禽流感 的病鸡鸡数变化 为 ：
Ｎ ， ＋ ｔ Ｊ ） ２ Ｓｔ （Ａ－ （ ＝ Ｎ （Ｉ ）ｔ Ｎ （ Ａ ｌ ｆ Ａ） （Ｉ Ｎ （Ｉ ）ｔ Ｒ ｔ ２ Ｓｔ （Ａ Ｏ Ｉ）ｔ （ ，＝ ）ｔ ） ）ｔ ｔ
１引 言 ．
传染病 是 目前全世界最为关注 的问题 之一。各类传染性疾病 的迅 速蔓 延已经对 人类的生 存构成 了一定威胁 。对 于传染病 的理论研究 ， 动力学分 析是 目前常用 的重要方法 之一。该方法主要在种群生 长特征 的基础上 ， 通过研究疾病 的发生 、 群内的传播扩散及其发展规律等 在种 相关 因素 ， 求建立一种能够充分反 映传 染病 动力学特征的数学模 型， 力 通过对传染 病相关动力学模型 的性态进行定 性和定量分析来反映传染 病 的发展过 程 ， 从而对其流行 的规律进行 分析 ， 在此基础上预测该传染 病 的发展趋 势和动向 ， 最终能够找 到传染 病流行的原 因及其影 响因素 ， 寻找 对传染病 预防及控 制的方法 ， 为人类防制传 染病提供 必要的理论 基础和依据 。 ２禽流感 ＳＩ 型的建立 ． Ｒ模 ２１ 究 假 设 ．研 （） １对于禽流感 的传播 ， 只有 患病者 会进行传播 ； （） ２ 患禽流感 的病 鸡其传 染病 毒的能力基本都一致 ； （ ） 禽流感 的病鸡其被 治愈 的概率 基本都一致 ； ３患 （） ４ 患禽 流感 的病鸡经治疗痊愈后将带有 免疫力 ， 即不再会感染禽 流感 ； （） ５ 中华 人 民共 和国卫生部 提供 的有关 禽流感疫 情的数据 符合现 实情况 。
复杂网络中具有媒介传播SIS模型的稳定性分析
（） １
作者简介 ： 尹礼寿（ ９２ ） 男 ， １８ － ， 山西盂县人 ， 助教 ， 硕士研究生 ， 主要从事传染病的数学建模与动力 学分 析。
第４ 期
尹礼寿 ， ： 等 复杂网络中具有媒介传播 Ｓ 模型的稳定性分析 Ｉ Ｓ
３ 太原师范大学 ． 摘
理学院 ，山西
太原
００ １ ） ３ ０ ２
要： 介绍 了具有媒介传播 的 ＳＳ传 染病模型 ， Ｉ 并根据 已有 文献 中证 明的 结论 和 Ｈ ｒ ｉ ｕｗｔ ｚ判据法证 明了无病 平衡
点的渐进稳定性 ， 出了基本再生数 ％ ， 给 并且讨论 了在不 同度分布下基本再生数。 关键词 ： 复杂网络 ； 基本再生数 ； 稳定性
对无尺度 网络的研究模式 ， 科学家们较多采用 ＳＳＳＲ Ｓ Ｉ Ｉ ， ，Ｈ Ｒ等模型 ， Ｉ 在文献 ［ ］ 提出了具有媒介传 １ 中， 播 的 Ｓ 模型 ， Ｉ Ｓ 因为人类的许多疾病（ 例如疟疾 、 登革热 Ｄ Ｎ ） Ｅ Ｇ 是具有媒介 （ 如蚊子） 传播 的。因此 ， 疾病的 传 播不 仅依赖 于人类 之 间的接触 ， 而且 依赖 于个体 与媒介 的接触 传播 。
第２ Ｏ卷
第 ４期
长
春
大
学
学
报
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ４ Ｉ２ ．
Ａｐ ． ２ ０ ｒ ０１
２１ ００年 ４月
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦＣＨＡＮＧ ＣＨＵＮ ＵＮ ＶＥ Ｉ Ｙ Ｉ ＲＳＴ
复杂 网络中具有媒介传播 ＳＳ模型 的稳定性分析 Ｉ
尹礼寿 ，闫喜红。
（ ．中北大学 １ 理学院 山西 太原 ００ ５ ；２ ３０ １ ．太原工业学院 理学系 ，山西 太原 ０ ００ ； ３０ ８
复杂网络上具出生和死亡的一类分数阶SIR模型的全局渐近稳定性
复杂网络上具出生和死亡的一类分数阶SIR模型的全局渐近稳定性魏晓丹【摘要】研究了复杂网络上具出生和死亡的一类分数阶SIR模型地方病平衡解的全局渐近稳定性.在某些额外的条件下,这个问题已被讨论.通过构造一个Lyapunov 函数,在没有任何额外的条件下,证明了该模型地方病平衡解的全局渐近稳定性.这个结果改进了已有文献中的一个结果.%The global stability of the endemic equilibrium of a fractional order SIR model with birth and death on complex networks is studied.Under some additional conditions,the problem is discussed.It is proved by constructing a Lyapunov function that without any additional condition,the endemic equilibrium is globally asymptotically stable.The result improves previous work.【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(056)004【总页数】4页(P20-22,27)【关键词】复杂网络;分数阶微分方程;全局渐进稳定性;Lyapunov函数方法【作者】魏晓丹【作者单位】大连民族大学计算机科学与工程学院,辽宁大连 116600;吉林大学计算机科学与技术学院,吉林长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O75.13是度值为k的节点的分布函数，n为所有节点的最大度数，并指出：如果传播率超过这个临界值，那么疾病将会持续传播，并转化为地方病。
对这一结果的数学证明于2008年由Wang等[3]给出。
自Pastor-Storras和Vespignani的研究工作以来，复杂网络上流行病模型的传播动力学得到了广泛研究，这其中的一个重要课题便是复杂网络上微分方程模型的稳定性分析，参见文献[4-13]。
自媒体复杂网络消息传播模型
自媒体复杂网络消息传播模型作者：盛成成刘亚平朱勇来源：《软件导刊》2019年第03期摘要：由经典传染病模型SIR衍生出的消息传播模型，对现实中的自媒体网络来说过于简单，无法适用。
依据自媒体网络属于非均质的无标度网络、传染者自行退化特点建立了退化机制，并利用PageRank算法计算节点权威值，表达消息的传播概率，建立改进模型，提出新消息影响增强因子。
考虑新消息发布的时机不同，在不同时间将传播概率叠加上增强因子，在原有传播人数达到最大值的时间前后发布，以增大传播者数量，延长传播时间。
对不同消息的传播改变了固有的传播率。
固有传播率越大，传播范围越广，传播时间越长，即越受社会关注的消息传播越快越广泛，延续时间也越长。
关键词：SIR模型;PageRank算法;自媒体;无标度网络DOI：10. 11907/rjdk. 173234中图分类号：TP393 文献标识码：A 文章编号：1672-7800（2019）003-0157-050 引言相对于传统媒体，以互联网技术为基础的自媒体以其信息传播的即时性、交往方式的平等性和交往身份的虚拟性等特点，成为公民获取信息、表达感情与思想、参与社会公共生活的重要载体，并逐渐渗透到政治、经济、文化、社会等诸多领域。
研究消息在这些自媒体上的传播，对于了解舆情、舆论掌控具有重要意义。
由于现实中的自媒体网络等信息交互系统十分复杂，受诸多因素影响，所以消息传播研究都从建立一个合理有效的数学传播模型开始，用这些模型进行仿真实验获得有价值的传播机理[1]。
现今的传播模型大多改进于经典传染病模型SIR（Susceptible-Infective-Removal），如DK 谣言传播模型[2-3]、考虑积极和消极两极社会加强的传播模型[4]、考虑潜伏期的SEIR模型[5]，但模型对现今以微博为代表的大规模自媒体网络来说不够完善，难以应用[6]。
所以，要结合现实中自媒体网络用户活跃度，分析人们对事件兴趣的减退情况[7]，建立传染者退化机制。
规则网络中的SIRS病毒局域控制建模与仿真
ＧＵＯ Ｃｈａ ｇ ｒ ’，ＣＡＩＳ ａ —ｈ ｎ ，ＺＨＡＮＧ —ｍｉ ｎ — ｕｉ ｈｏ ｏｇ’ Ｄａ ｎ
（ ， ｏｅｅｏ ｃ ｎｅ Ｇ ＆ ｏ ｎｖｒｔ，Ｇ ｉ ｎ ５ ０ ５ ｈｎ ； ． ｕｚｏ ｒ ｉ ｅＫｙＬ ｂｒｔｙｏ ｃｎｍｉＳｓ ｍ Ｓｍ ｌｔ ｎ Ｇ ｉ １Ｃ ｌｇ ｉ ｃ ， ｕ ｈ ｕＵ ｉ ｓｙ ｕｙ ｇ５ ０ ２ ，Ｃ ｉａ ２ Ｇ ｉ ｕＰｏ ｎ ｅ ａ ｏａｏ ｌ ｆＳ ｅ ｅｉ ａ ｈ ｖｃ ｒ ｆＥｏ ｏ ｃ ｙｔ ｉｕａｉ ， ｕ－ ｅ ｏ ｙ ｎ ５０ ４， ｈｎ ３ Ｇ ｉ ｏ ｏ ｅｅｏ ｉａ ｃ Ｅｏｏ ｃ， ｕ ａｇ５ ００ Ｃ ｉａ ａｇ５０ ０ Ｃ ｉ ａ； ． ｕ ｈ ｕＣｌｇ Ｆｎ ｎｅ＆ ｃｎｍｉ Ｇ ｉ ｎ ５０ ４， ｈｎ ） ｚ ｌ ｆ ｓ ｙ
郭长睿 ， 蔡绍洪 ， 张达敏
（ ．贵 州大 学 理 学院 ， 阳 ５０ ２ ２ １ 贵 ５ ０ ５； ．贵 州省经 济 系统 仿真 重 点 实验 室 ， 阳 ５ ０ ０ ３ 贵 ５ ０ ４； ．贵州财 经 学 院 ， 阳 贵
／
５ ００ ） ５ ０ ４
摘
要 ：提 出一 个带有 局域控 制 的二维规 则 网络 ＳＲ 模 型 ， 论 分析 和 计算 机仿 真 都表 明局域 控 制 能很好 地 ＩＳ 理
为 易 感个 体 Ｓ 。这 些 模 型 在 一 定 程 度 上 描 述 了 病 毒 传 播 的 规
０ 引言
各 种 有 害 的生 物 病 毒 对 人 类 和 动 物 的健 康 具 有 巨 大 的威 胁 。历 史 上 爆 发 的 西 班 牙 流 感 病 毒 使 数 千 万 人 死 亡 ，０ ３年 ２０ ＳＲ Ａ Ｓ病 毒 的传 播 使 得 数 百 人 死 亡 。禽 流感 和 最 近爆 发 的 甲型
异质网络下含有相关系数的SIR传染病模型的建立和分析
异质网络下含有相关系数的SIR传染病模型的建立和分析作者：杨婵张菊平来源：《河北工业科技》2018年第01期摘要：在疾病传播过程中，染病者和易感者有多大的倾向接触是传染病是否流行的关键因素。
为了研究相关系数在疾病传播过程中的动力学行为以及其对于传染病传播动力学特性的影响，将状态节点之间的相关系数作为动态变量，利用二元组的反卷积逼近方法，在异质网络上建立了含有相关系数的SIR传染病动力学模型，分析了系统平衡点的存在性，给出了染病者与易感者之间相关系数存在正值的条件。
在泊松分布下，模拟出了平衡状态下相关系数的三维变化图。
通过生物学意义，用概率的方法，给出了系统的最终规模。
结果表明，通过分析含有相关系数的SIR传染病模型，得到SIR传染病模型复杂的动力学性态，即当染病者数量趋于零时，染病者与易感者之间的相关系数不为零。
研究模型在控制传染病传播的动力学研究方面具有一定的参考价值。
关键词：微分动力系统；相关系数；反卷积逼近；最终规模；平衡点中图分类号：O175.1文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2018yx01002Establishment and analysis of SIR epidemic model with correlation coefficient under heterogeneous networkYANG Chan， ZHANG Juping（Complex Systems Research Center， Shanxi University， Taiyuan， Shanxi 030006，China）Abstract：In the course of disease transmission， how much contact between the infected and the susceptible is key factor of infectious diseases prevalence. Therefore， in order to study the dynamic behavior of correlation coefficients and its influence on the dynamics of disease transmission， with the correlation coefficient between the state nodes as dynamic variables， the SIR epidemic dynamic models with correlation coefficient is constructed by using deconvolution approximation method on heterogeneous network. The existence of each equilibrium of the model is analyzed， and the condition for the existence of positive correlation coefficients between the infected and susceptible individuals is derived. In the Poisson distribution， the threedimensional variation plot of the correlation coefficient under the equilibrium state is simulated. Through biological meaning， the final size of the system is given by probabilistic method. Through analyzing the SIR epidemic model with correlation coefficient， the complicate dynamics behavior of the SIR epidemic model is obtained， namely when the infected individuals tends to be zero， the correlation coefficient between the infected and susceptible individuals is not zero. The study model has reference value in the dynamic research of controlling infectious disease transmission.Keywords：differential dynamical systems； correlation coefficient； deconvolution approximation； the final size； equilibrium point研究傳染病的传播机制，有效控制传染病的流行一直是研究者们不断研究的课题。
sars
SARS传播的数学模型摘要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。
根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。
以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。
当λ1 =1.5 和λ2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。
他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。
本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS 病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。
关键词：SARS 微分方程曲线拟合数学模型相轨线一 、问题的提出SARS 俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。
我国作为发展中大国深受其害：SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。
在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS 顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS 自然发展最有效办法。
而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS 传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS 蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。
二 、模型的假设1． 地总人数N 可视为常数，即流入人口等于流出人口。
2． 据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS 病人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。
复杂网络上具有出生和死亡的SIS模型及其分析
复杂网络上具有出生和死亡的SIS模型及其分析冯浩;刘桂荣【摘要】建立了复杂网络上总人口数满足Logistic方程的SIS传染病模型,采用下一代矩阵方法得到了该模型的基本再生数R0.利用微分方程比较原理,证明了当R0＜1时无病平衡点是全局渐近稳定的.最后通过数值模拟验证了主要结果,且当R0 ＞1时存在地方病平衡点.【期刊名称】《云南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(036)004【总页数】9页(P28-36)【关键词】SIS模型;复杂网络;基本再生数;全局渐近稳定【作者】冯浩;刘桂荣【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】O175传染病是危害人类身体健康的重要因素之一,研究传染病传播机理进而控制其传播具有重大意义.复杂网络上传染病研究已经有很多成果[1].大多数的传染病模型都是基于静态网络,即不考虑出生(迁入)与死亡(迁出)[2-5].然而有些传染病传播时间比较长,出生(迁入)与死亡(迁出)对人口总数影响比较大,所以研究这类传染病时应当考虑出生与死亡.复杂网络上的传染病研究若考虑人口的出生与死亡,则导致相应的复杂网络为一个动态网络,即网络节点个数与连边随时间而演化,进而导致网络拓扑结构随时间而演化,因此动态复杂网络上的传染病研究具有较大的困难.目前,国内外关于动态复杂网络上传染病动力学分析的成果还不多.文[6]在复杂网络上考虑了具有出生与死亡的SIS传染病模型,该文利用空格子方法,就是将空格子作为节点,死亡节点会变成空格子节点,个体出生只能放在空格子中,进而将空格子节点变为易感者节点.这种方法相应的网络在本质上仍然是一个静态网络.2014年,Jin等[7]通过引入连边概率与断边概率,建立了具有出生与死亡的复杂网络上的SIS传染病模型,利用下一代矩阵方法,得到了基本再生数、无病平衡点与地方病平衡点的全局渐近稳定性.此外,文[7]假设人口出生率为常数出生、人口死亡率为常数死亡.基于上述研究背景,本文将在复杂网络上考虑总人口数满足Logistic方程的SIS传染病模型.人群分为两种,S为易感者,I为染病者,易感者通过接触染病者染上疾病,染病者通过治疗等方法又可以恢复为易感者.N(t)代表t时刻的总人口数,S(t)代表t时刻易感者的数量,I(t)代表t时刻染病者的数量,从而N(t)=S(t)+I(t).把人看做是网络中的节点,人与人的接触看做是网络中的连边.一个节点的连边数称为该节点的度,n是网络中最大的度.Sk(t)表示t时刻度为k的易感节点数量,Ik(t)表示t时刻度为k的染病节点数量,Nk(t)表示t时刻度为k的总节点数量,从而因此网络可以按度分为n个仓室.p(k,t)表示t时刻网络的度分布,即为了建立具有出生与死亡的传染病传播模型,做下面的基本假设:(ⅰ)所考虑网络为度不相关网络;(ⅱ)染病者恢复率为γ,一个易感者与一个染病者接触并被传染的概率为τ;(ⅲ)死亡率系数,出生率系数,其中b>0、d>0、K>0分别为自然出生率系数、自然死亡率系数和环境容纳量，η、1-η分别为人口密度制约项对出生与死亡率的影响因子(0<η<1)[8];(ⅳ)新节点以概率rk成为度为k的易感节点,即该节点发出k条边,其中任一条边与网络中原有节点随机连接,即原网络中有N个节点,新节点的一条边与原网络中任意一个老节点相连的概率为1/N，新节点与度为n的老节点不连边;(ⅴ)度为k的节点死亡后,其所有的边与其邻居都会断开.记p(k,l)表示度为k的死亡节点的其中一条边与度为l的节点断开的概率，死亡节点与度为l的节点不断边. 令表示t时刻一个度为k的节点的一条边连接到染病节点的概率.由假设(ⅰ)可知由假设(ⅲ)可知,总节点数N(t)应满足方程易知(2)有不稳定的平衡点N*=0及全局渐近稳定的平衡点=K.根据上述网络演化机制与病毒传播机制,可以建立下列复杂网络上具有出生与死亡的SIS模型其中k=2,3,…，n-1.由(3)可得其中k=2,3,…,n-1.总节点数满足(2),N有唯一的全局渐近稳定的平衡点N*=K.本文仅考虑(4)的渐近行为,则(4)归结为其中d.定理1 系统(5)有唯一的正平衡点,且=K.此外,该正平衡点是全局渐近稳定的,即,n. 证明为了得到系统(5)的平衡点的存在性,考虑代数方程组.其中令从而因此,J与J*相似,所以J和J*具有相同的特征值.J*是实对称矩阵,故J的特征值都是实数.利用Gerschgorin圆盘定理可知,J的特征值落在了下列至少一个圆盘中:根据文献[9]中定理1.2知,系统(5)有唯一的正平衡点T,且=K.易知,系统(5)在平衡点处的Jacobi矩阵为J,从而线性系统(5)的正平衡点是全局渐近稳定的.定理1得证. 根据定理1,考虑系统(3)的极限系统其中.由定理1知,(6)有唯一的无病平衡点,.下文利用下一代矩阵方法[10]计算系统(6)的基本再生数R0.这里仅考虑染病项Ik(k=1,2,…,n).系统(6)的染病项Ik在平衡点处的Jacobi矩阵为其中γ.令从而M=F-V,由文[10]知,系统(6)的基本再生数为R0=ρ(FV-1),其中ρ(FV-1)为FV-1的谱半径.为了计算ρ(FV-1),将三对角矩阵V变为对称的三对角矩阵.记V*=T-1VT,从而其中x1=α,xk=α+(k+1)u,2≤k≤n-1,xn=γ+(n+1)u.记.显然,也为一个对称矩阵,由文献[11]中的推论16得可知其中⋱因为F的秩为1,所以就是FV-1的迹,即R0=tr(FV-1).由V*=T-1VT可知,进而,因此由文[10]可知,下列结论成立.定理2 系统(6)的基本再生数,且当R0<1时系统(6)的无病平衡点是局部渐近稳定的.推论1 当n=2时,系统(6)的基本再生数为证明为得到系统(6)的无病平衡点,考虑代数方程组得到无病平衡点,此外,因此其中c=r1+2r2.定理3 当R0<1时,系统(6)的无病平衡点是全局渐近稳定的.证明由定理2可知,为了证明无病平衡点E0全局渐近稳定,只需证明E0是全局吸引的,即Ik(t)=0,k=1,2,…，n.由定理1知对任意的ε>0,当t充分大时,有由系统(6)可知构造下列线性系统其中ε为充任意小的正数,令从而,线性系统(7)的系数矩阵为M+εM1.由文[10]知,当R0<1时,s(M)=max{Reλ|λ为M的特征值}<0.因此,当R0<1时,由s(M+εM1)关于ε连续,从而存在充分小的正数ε使得s(M+εM1)<0.因此,系统(7)的无病平衡点是全局吸引的,即系统(7)的解Ik(t)→0(t→),k=1,2,…,n.利用微分方程比较原理知,系统(6)的解Ik(t)满足,n.定理3得证.本节将用数值模拟的方法来验证本文的主要结果.考虑网络中初始节点数为Sk(0)=Ik(0)=5 000, k=1,2,…,100,γ=0.015,η=0.5,K=1 100000,b=0.012,d=0.005.新生节点的度k满足泊松分布或幂率分布.图1、2分别表示网络中新生节点的度满足λ=4的泊松分布时S8、I8和S10、I10的节点数量随时间变化的函数.其中.图3、4分别表示网络中新生节点的度满足λ=4的幂率分布时S4、I4和S8、I8的节点数量随时间变化的函数. 其中.图1-4表明,系统(6)的无病平衡点是全局吸引的.且当R0<1时疾病灭亡.图5、6分别表示网络中新生节点的度满足λ=4的泊松分布时S5、I5和S10、I10的节点数量随时间变化的函数.其中.图7、8分别表示网络中新生节点的度满足λ=4的幂率分布时S4、I4和S5、I5的节点数量随时间变化的函数. 其中, λ=4, γ=0.015,R0=1.000 000 000 007 14>1.图5-8表明,系统(6)的地方病平衡点存在且是全局吸引的,且当R0>1时疾病存在. 图9、10分别表示新生节点的度满足λ=4的泊松分布和幂率分布,且当R0>1时,染病总节点数随时间变化的函数.图9、10可以看出当R0>1时,染病总节点数随时间变化趋于常数,即疾病是存在的.本文建立了复杂网络上总人口数满足Logistic方程的SIS传染病模型,利用下一代矩阵方法得出了该模型的基本再生数R0.还证明了当R0<1时,无病平衡点全局渐近稳定.通过数值模拟可以看出当R0>1时,存在地方病平衡点且其全局吸引.【相关文献】[1] 靳祯,孙桂全,刘茂省.网络传染病动力学建模与分析[M].北京:科学出版社,2014.[2] MILLER J C.A note on a paper by Erik Volz: SIR dynamics in randomnetworks[J].Journal of Mathematical Biology,2011,62(3):349-358.[3] MA J,VAN DEN DRIESSCHE P,WILLEBOORDSE F H.Effective degree household network disease model[J].Journal of Mathematical Biology,2013,66(1-2):75-94.[4] 王丽敏，刘熙娟.一类具有时滞和阶段结构的SIR流行病模型分析[J].云南民族大学学报：自然科学版，2015，24(3)：211-216.[5] 闫卫平，薛倩倩，刘桂荣.无标度网络上具有2个染病者仓室的SIR模型分析[J].云南民族大学学报：自然科学版，2015:24(5):386-391.[6] ZHANG J P,JIN Z.The analysis of an epidemic model on networks[J].Applied Mathematics and Computation,2011,217(17):7053-7064.[7] JIN Z,SUN G,ZHU H.Epidemic models for complex networks withdemographics[J].Mathematical Biosciences and Engineering,2014,11(6):1295-1317.[8] 马知恩,周义仓,王稳地,等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004.[9] SMITH H L.On the asymptotic behavior of a class of deterministic models of cooperating species[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,1986,46(3):368-375. [10]VAN DEN DRIESSCHE P,WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J].Mathematical Biosciences,2002,180(1):29-48.[11]K1l1 E.Explicit formula for the inverse of a tridiagonal matrix by backward continued fractions[J].Applied Mathematics and Computation,2008,197(1):345-357.。