参数估计练习题

参数估计练习题1. 指出下列分布中的参数,并写出它的参数空间: (i)二点分布; (ii) 普哇松分布;(iii)在()θ,0上的均匀分布; (iv) 正态分布()2,σμN.解:()i P []1,0=Θ∈；()ii ()∞=Θ∈,0λ；()iii ()∞=Θ∈,0θ；（iv ）()()().,0,,∞⨯∞∞-=Θ∈σμ2. 设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.解: p E =ξ ξ=∴pˆ 3. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.解: 2βαξ+=E ，()122αβξ-=D 。

令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+22122n S αβξβα得 n S 3ˆ-=ξα，.3ˆnS +=ξβ 4. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,2;2ax x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.解: ()322a dx x a a x E a=-=⎰ξ 令ξ=3a得ξ3ˆ=a . 5. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()()∏∏==+=+=ni i ni nni x x L 111ααααα ()i ix∀<<1∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i n i x nL ααα，得 ∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα。

由于 ()01ln 222<+-=∂∂ααnL 故∑=--=ni iL xn1ln 1ˆα是α极大似然估计.(2) 由211+-=αξE 令ξα=+-211 得 .112ˆξξα--=6. 用极大似然法估计几何分布 ()() ,2,1,11=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .解:()()nx n i p p p L -∑-=1，令()01ln =---=∂∂∑pnx p n p p L i 得x p1ˆ=而01ln 2ˆ2<--=∂∂=x x n p Lpp ξ1ˆ=∴p是P 的极大似然估计.7. 设随机变量ξ的密度函数为()0,,21>∞<<-∞=-σσσx e x f x，n ξξ,,1 是ξ的容量为n 的子样,试求σ的极大似然值.解: ()()∑=--ix neL σσσ12，()01ln 2=+-=∂∂∑i x n L σσσσ。

得i x n∑=1ˆσ， 又0ln 22<-=∂∂σσn L 故.1ˆ∑=i Ln ξσ 8. 设n ξξ,,1 是取自均匀分布()1,+θθR 的母体的一个子样,其中.∞<<∞-θ试证:θ的极大似然估计量不止一个,例如()()()()()()()2121,1,13211-+=-==n n ξξθξξθξξθ都是θ的极大似然估计量. 解: 证:()1,+θθR 的密度函数为()⎩⎨⎧=01x f 其它1+≤≤θθx ，故()⎩⎨⎧=01θL ()()其它11+≤≤≤θθn x x即凡满足()()1ˆˆ1+≤≤≤θθn x x 的θˆ均为θ的极大似然估计. 从而(1)()()11ˆξξθ=满足此条件，故1ˆθ是θ的极大似然估计. (2)由于()()11≤-ξξn 故()()()()()1ˆ1212+≤≤≤-=ξθξξξξθn n ，所以()ξθ2ˆ也是θ的极大似然估计. (3)由于()()11≤-ξξn ， 故()()()1121ξξξ≤-+n ，()()()n n ξξξ211≥++，从而()()()()()()()()1ˆ21212121ˆ31113+=++≤≤≤-+=θξξξξξξθn n n ，故3ˆθ也是θ的LM. 9.设n ξξ,,1 是取自对数正态分布母体ξ的一个子样,即(),.,~12σμξN n ∞<<∞<<∞-σμ0,，试求:ξ的期望值ξE 和方差D ξ的极大似然估计. 解:ξ的密度函数为()()22221σμσπ--=x n exx f ，所以()()221221,σμσπσμ--=∏=i mx ini ex L ，0>i x两边对数并分别对μ和2σ求寻,并令其为0,得似然方程组，解得()22ln 1ˆln 1ˆμσμ-==∑∑i i x n x n 经验知μ和2σ的LM 为: i x n ∑=ln 1ˆμ，()22ln 1ˆμσ-=∑i x n又()22212ln 0121σμσμσπξ+--∞=⋅=⎰edx e xx E x ，()()12221222-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+σσμξξξeeE E D()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-∑∑0ln 2120ln 12422μσσμσi i x n x从而 ,21ˆexp 2⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∧∧σμξE .112⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧∧∧σξξe E D10. 一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为n 的子样;其中有k 个白球,求罐子里黑球数和白球数之比R 的极大似然估计量.解:设罐子里有白球x 个,则有黑球Rx 个,从而共有()x R 1+个球,从罐中有放回地抽一个球为白球的概率为:()R x R x +=+111，黑球的概率为.1R R +从而抽球为二点分布()().1111nkn kn k R R R R R R L +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--似然方程为01=+--R n R k n 。

从而解得1ˆ-=kn R. 可验证这是R 的极大似然估计. 11.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下: 大肠杆菌个数/升 0 1 2 3 4 5 6升 数 17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大. 解:由，设一升水中大肠杆菌个数()k ~=ξξP =λλ-e k k!， ,2,1,0=k 又λξ=E .故问题为求λ的极大似然估计.由()λλλn i x e x L i-∏∑=!，可得ξλ=Lˆ.由观测值代入求设1=λ.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大.12．设()11,ηξ,()n n ηξ,, 是取自二维正态母体()ρσσ,,,0,02221N 的一个子样,求2221,σσ和ρ的极大似然估计.解:由L ()()()[]{()}⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---⋅-=--22221212222222122212121exp 12,,σησσρσρρσσπρσσi i i i nny x x可得似然方程为()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=∑+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---=∑--∑-=--∑-∑∑302121111111212222122221222222122122 σσσσσρσρρρσσρρσσσσρρσρi i i i i i ii i i ii i y x y y x x n n y x y n y x x 将(1),(2)代入(3)得:[].02121ρσσησσρρn x y x n n n ii ii =∑⇒=∑++- (4)由(4)代入(1),(2)得似然估计:∑=∧2211i n ξσ ∑=∧2221i n ησ 211ˆσσηξρi i n ∑=.13． 从四个正态母体(它们都有同样的方差2σ)中,各抽一个容量为n 的子样,第i 个子样的观测值为,4,3,2,1,,,2,1,==i n j x ij 若四个母体的平均数分别为,,,,c b a c b a c b a c b a --+--+++试求c b a ,,和2σ的极大似然估计.解:()()[]+++-⎩⎨⎧-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=211242{21exp 21,,,c b a xc b a L jnj nσσπσ()[]()[]()[]}242322c b a x c b a x c b a x j j j ---++--+-+-+两边取对数后对c b a ,,分别求导,令其均为0， 即得()432141ˆx x x x a+++=，()432141ˆx x x x b --+=， ()432141ˆx x x x c -+-=。

对2σ求导代入c b a ˆ,ˆ,ˆ得=∧2σ{()[]+++-∑=211ˆˆˆ41c b a x n j n j()[]()[]()[]}242322ˆˆˆˆˆˆˆˆˆc b a x c b ax c b ax jjj ---++--+-+-+.14. 考虑某种离散分布 ()(),2,1,0,===x f a x P x x θθξ，其中对某些x 可能有()θf a x ,0=有连续导数,设n ξξ,,1 是取自具有这种分布的母体ξ的一个子样.()i 证明θ的极大似然估计是方程 ()()ξθθθξE f f ='=的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同. ()ii 试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分布.解: (1)证()()()()[]n x xxx f a f a L iiiiθθθθθ∑∏=∏= ()()θθθf n x a L i x iln ln ln -∑+∑=∴ 对θ求导得()()01='-∑θθθf f n x i ()().θθθξf f '=∴又由()11=∑=θθf a xx n i 知()x x ni a f θθ∑==1从而()()()()()().111θθθθθθθθθθθξf f f a x a f f x a E x xx x n i x x ni '⋅=⋅'∑==⋅=-==∑∑所以似然方程可写为ξξE =这与矩法方程一致. (2) 对()()λλλξλf a ex x P x x x⋅===-!其中λθ= !1x a x = ()λλe f = 从而()()λλλf e f =='， 故似然方程的显式为λξ=.对二项分布:()()()θθξf a p p x n x P x x xn x =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1pp-=1θ ()().111nnx p f x n a --⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθ 又()().1111θθθθθθ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+='nf n f 故似然方程的显式为()().1np n f f =+-'=θθθθθξ15. 设ξ1n ξ 是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数()⎪⎩⎪⎨⎧>=--其它,0,1,122121θθθθθθx e x ；f x ，其中.0,21∞<<∞<<∞-θθ试求参数1θ和2θ的极大似然估计和矩法估计.解: (1) LM 估计()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑-=121211exp 1,θθθθθn x L i n，().11θ>x ()()121211ln ,ln θθθθθn x n L i -∑--=∴()11θ>x0ln 21>=∂∂θθnL 故L ln 是1θ的递增函数,1θ取到最大可能值时可使lnL 达到最大,故1θ的极大似然估计为()11ˆξθ= 由0ln 2=∂∂θL 可解得2θ的LM 这()12ˆξξθ-=. (2)矩法估计由于212221θθθξθθθ+==--∞⎰dx exE x ，()2222θξξξ=-=E E D 故由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-∑==ξθθξξθ2122221i n n S 解得n S =2ˆθ .ˆ1n S -=ξθ 16. 设n ξξ,,1 为取自参数为λ的普哇松分布的一个子样.试证子样平均ξ和∑=*--=ni i nn S 122)(11ξξ都是λ的无偏估计.并且对任一值10,≤≤αα()2*1n S αξα-+也是λ的无偏估计.证: 对普哇松分布有λξξ==D E , 从而.λξ=E ().11212*λξξξ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑=D E n ESi n i n故ξ与2n S 都是λ的无偏估计. 又()[]()λλααλαξα=-+=-+112*nS E故()2*1n S αξα-+也是λ的无偏估计.17.设,,,1n ξξ 为取自正态母体()2,σμN 的一个子样,试适当选择c ,使()21112∑-=+-=n i i i c Sξξ为2σ的无偏估计.解: 由μξ=i E ，2σξ=i D 且n ξξ,,1 相互独立可知,2μξξξξ=⋅=j i j i E E E j i ≠ 从而()()()()[]212112211212122ξξξξξξE n E n c E E E E cES i i i i n i ---=-+=++=∑()()12122-=-=n c D n c i σξ.取()121-=n c 时, n S 为2σ的无偏估计.18设母体ξ的数学期望为,μ方差.2σε=D 又设()()()1111,,n ξξ 和()()()2212,,n ξξ 为取自此母体的两个子样.试证:()()()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+--+=∑∑==211222211121221n i in i i nn n S ξξξξ是2σ的无偏估计量. 其中()().2,1,11==∑=j n ji j ijj nξξ证:()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+=∑∑==222121112122121ξξξξi n i i n i E E n n ES()()[]22221211121σσσ=-+--+=n n n n , 故2S 是2σ的无偏估计.19. 设随机变量ξ服从二项分布()(),1,0,1=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-x x n x P xn x θθξ,n 试求2θ无偏估计量.解: 由于θξn E = ()()()()222211θθθθθξξξ-+=+-=+=n n n n n E D E故()().122θξξ-=-n n E 从而当抽得容量为N 的一个子样后,2θ的无偏估计为:()().1ˆ22--∑=n Nn i i ξξθ20. 设n ξξ,,1 是取自参数为λ的普哇松分布的一个子样,试求2λ的无偏估计. 解: 由λξ=E λξ=D 故λξ=E ()222λλξξξ+=+=nE D E从而221λξξ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n E , 所以2λ的无偏估计为.122ξξλn -=∧21. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2,σμN的一个子样,试证对任一固定的a ,()⎩⎨⎧≥<=aa ，n 111,01,,ξξξξϕ 是 ⎪⎭⎫⎝⎛-Φσμa 的无偏估计,其中()x Φ是()1,0N 的分布函数.证: 记i ξ的密度函数为()i x f ， 则n ξξ,,1 的联合密度函数为()ini x f ∏=1从而()()()()⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞∞-∞∞-σμφξξϕa dx x f dx dx x f x f E an n an 11111故ϕ（n ξξ,,1 ）是⎪⎭⎫⎝⎛-σμφa 的无偏估计.22. 设n ξξ,,1 是取自母体ξ的子样,ξ的分布函数()θθ,x ；F 为未知参数,()n ξξθθ,,1=是θ的一个有偏估计,且()na E θθθ1+=, 其中()θ1a 是仅与θ有关的一个函数,为了减少偏性,常要用如下的“刀切法”。