向量组的极大无关组的定义
极大线性无关组的定义与性质
极⼤线性⽆关组的定义与性质
1. 线性⽆关；
2. 新加向量必然线性相关；
3. 极⼤⽆关组不唯⼀；
4. 极⼤⽆关组的个数唯⼀：称作秩(rank)；
5. 极⼤⽆关组与向量组等价；
6. 线性⽆关的向量组的极⼤⽆关组为⾃⾝↔秩=个数；
7.等价的向量组有相同的秩；
推论：
新加的向量⼀定可以由线性⽆关组线表出
习题1：
秩为r的向量组中任意r个线性⽆关向量都构成极⼤⽆关组
Proof. 只需证这r个⽆关的，再+1个就会得到线性相关组（事实上，这第r+1个能由前r个线性表出）；
秩为r说明有r个线性⽆关的极⼤⽆关组，进⽽等价原组，从⽽要证明的这r+1个可由r个极⼤⽆关组表出，从⽽相关；
8. 秩为r的向量组中任意r个线性⽆关向量都为极⼤⽆关组；
习题2：
如果秩为r的向量组中存在r个向量，使得向量组所有向量都可以由其表出，则它必是极⼤⽆关组；
Proof. 由性质6，只需证明这r个向量线性⽆关，证1：如果相关，必有⼀向量可以由r-1个向量线性表出，
因此向量组也能由这r-1个表出，进⽽r个极⼤⽆关组也能由这r-1个表出，因此得到r个⽆关组相关的⽭盾。
证2：由题向量组和这r个等价，因此r个极⼤⽆关向量和这r个向量组等价，等价组有相同的秩，因此这r个
向量秩为r，说明这r个向量线性⽆关；
Processing math: 100%。
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
等价向量组的极大无关组等价_概述说明
等价向量组的极大无关组等价概述说明1. 引言1.1 概述等价向量组是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵和线性方程组密切相关。
在研究线性方程组的解的唯一性和非唯一性、图像处理以及数值计算优化算法等领域中，等价向量组都有着广泛的应用。
本文将深入探讨等价向量组以及其中的极大无关组，并对构建等价向量组的方法进行介绍。
同时，我们会通过具体的应用案例分析，展示等价向量组在解决实际问题中的作用和意义。
1.2 文章结构本文共分为五个部分。
首先，在引言部分我们将对文章进行概述，并明确论述目的。
接下来，在第二部分中，我们将详细讨论等价向量组的定义与性质，包括等价向量组和极大无关组的概念以及它们之间的关系。
第三部分将重点介绍构建等价向量组的各种方法，包括行变换法、列空间表示和正交归纳法等。
这些方法不仅有助于理解等价向量组的形成过程，还能帮助我们在实际问题中灵活运用。
在第四部分，我们将通过应用案例分析，展示等价向量组在不同领域中的具体应用。
其中，我们会探讨线性方程组解的唯一性与非唯一性判断依据、图像处理中等价向量组的应用举例，以及基于等价向量组的数值计算优化算法研究进展及展望。
最后，在结论部分我们将对本文进行总结，并提出对未来研究方向和发展趋势的展望。
1.3 目的本文旨在全面阐述等价向量组及其极大无关组等价的概念和方法，并通过实际应用案例分析，揭示其在不同领域中的作用和意义。
通过阅读本文，读者能够深入了解等价向量组原理和构建方法，并在实际问题求解过程中加以运用。
同时，本文也为相关领域的研究者提供了一个思考和探索的起点。
2. 等价向量组的定义与性质2.1 等价向量组的概念等价向量组是指有相同向量秩的向量组。
具体来说，给定一个向量组V1和另一个向量组V2，如果两个向量组的秩相同，即rank(V1) = rank(V2)，则它们是等价的。
2.2 极大无关组的定义与性质极大无关组是指一个向量组中所包含的一部分向量构成的子集，在此子集中，任意一次线性相关关系都不能再增加新的线性相关关系。
极大线性无关组
（2）当P为何值时，该向量组线性相关？此时 ，求出它的秩， 和一个极大线性无关组.
解：作矩阵 ， 1 1 3 2
，
1
3
2
6
1 5 1 10
3
1
p2
p
对矩阵A作初等行变换化阶梯形
1 1 3 2 1 1 3 2
A
0
2
1
0 6 4
4
0
1,2线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故
1,2是1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组
1
,
3和
3
,
4等也是1
,
2
,
3
,
的极大无关组.
4
( 5 )向量组的所有极大无关组含向量个数相同
二、向量组的秩
定义 向量组1,2 ,L ,s 的极大无关组所含向量个
数称为这个向量组的秩. R1,2,L ,s r
其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
(任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1,2,L ,s线性无关， ,1,2 ,L ,s 线性相关
可由 1,2,L ,s 唯一线性表示.
§4. 1 n维向量概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 极大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
§4. 3 极大无关组
一、极大线性无关组
定义 设 1,2 ,L ,s 为 Pn 中的一个向量组，它的 一个部分组 i1,i2 ,L ,ir 若满足
i) i1,i2 ,L ,ir线性无关； ii) 对任意的 j (1 j s) , j 可经 i1,i2 ,L ,ir
线性表出；
则称 i1,i2 ,L ,ir 为向量组 1,2 ,L ,s 的一个
第3.3节 向量组的秩
例2 证明
(1) n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是Rn的极大无关组； (2) Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的极大无关组. 证 (1) 1 , 2 , , n 显然线性无关；又 ( a1 , a2 , , an ) R n , 有
( a1 , a2 , , an ) a1 1 a2 2 an n ,
因此，1 , 2 , 4 是向量组A的极大无关组，且
3 1 2 0 4 1 2 .
例7 设向量组 (I) 1 (1, 1, 0, 0)T， 2 (1, 0, 1, 1) T , (II) 1 (2, 1, 3, 3)T， 2 (0, 1, 1, 1) T . 证明向量组(I)与向量组(II)等价. 证 方法1 考虑向量组 (III)
例1 考察下列向量组的极大无关组.
(1) 1 (0, 0, 0);
不存在
(2) 1 (0, 0, 0)， 2 (1, 0, 0)， 3 (0,1, 0); (3) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (0, 0,1); (4) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (1,1, 0).
不难归纳
2 , 3
1,2,3
1,2； 1,3；2,3
(1)只含零向量的向量组不存在极大无关组； (2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组； (3)线性无关向量组的极大无关组是其本身； (4)线性相关组的极大无关组所含向量个数少于 原向量组所含向量个数； (5)向量组的极大无关组可能不唯一.
故而r1 r2 .
(2)略.
例4
已知向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 的秩为r ，且
非齐次线性方程组解向量组的极大无关组
非齐次线性方程组解向量组的极大无关组
非齐次线性方程组解向量组的极大无关组是互联网领域的一个重要概念。
它是
由一组线性方程组的无关组构成的，这组线性方程组可以表示为 ax=b，其中
a 是一个矩阵，
b 是一个向量，x 是该方程组的解向量组。
非齐次线性方程组解向量组的极大无关组有多种可能，它们最常见的使用情况
是来求解特定的问题。
例如，如果要求出一组解向量组，使得线性方程组的解最大，可以通过极大无关组来达到这一目的。
此外，在优化问题中，也有时需要使用极大无关组来最大化或最小化特定问题的计算结果。
在互联网行业中，非齐次线性方程组解向量组的极大无关组也是一项很重要的
技术。
它可以用于多个实际应用，其中包括复杂物联网网络的优化、移动互联网访问速度的增加、搜索引擎的优化等等。
同时，非齐次线性方程组解向量组的极大无关组也在很多其他领域得到了应用，例如数值计算、机器学习以及动画制作等等。
总的来说，通过极大无关组可以更高效地求解线性方程组解向量组，使得求解问题的负担大大减轻。
3-3 向量组的秩和极大线性无关组
显然 Rn的最大无关组很多 任何n个线性无关的n维向量 都是Rn的极大无关组
Henan Agricultural University
3.性质
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组 规定它的秩为0 （2）一个线性无关向量组的极大线性无关组是向量组本身. （3）向量组的极大无关组一般不是唯一的。 例如 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组 而a1 a2 a3线性相关 所以a1 a3和a2 a3都是向量组a1 a2 a3的极大无关组
k11 k (b1, b2, , bl ) (a1, a2, , am ) 21 km1 k12 k22 km 2 k1l k2l km l
B =AK
注
bj k1ja1k2ja1 kmjam
的极大无关组提供了方法。 Henan Agricultural University
四、向量组极大线性无关组的求法
矩阵A经行初等变换化为B，则A的列向量组与 B对应的列向量组有相同的线性组合关系.
1.把向量组按列排成矩阵A; 2.用初等行变换把A化为简化的行阶梯形矩阵C; 3.求出C的列向量组的一个极大线性无关组; 4.与其相应的A中的列就是A的列向量组的一个极大线性无关组.
Henan Agricultural University
例2 求矩阵A的列向量组的 一个极大无关组 并把不属于 极大无关组的列向量用极大 无关组线性表示 其中
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
可见B中1，2，4列有单位矩 阵，对应B的一个最高阶(三 阶)非零子式，即B中1，2，4 列为B的一个极大线性无关组。 相应地，A的1、2、4列 为A的一个极大无关组
极大线性无关组知识点总结
极大线性无关组知识点总结1. 引言极大线性无关组是线性代数中的重要概念之一，它在矩阵理论、线性方程组求解、向量空间等领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念、性质、求解方法等方面对极大线性无关组进行详细介绍和总结。
2. 基本概念2.1 极大线性无关组的定义极大线性无关组是指一个向量组中的向量集合，满足其中的向量是线性无关的，并且再添加任意一个向量就会导致线性相关。
2.2 线性相关与线性无关线性相关是指向量组中存在不全为零的线性组合等于零向量的情况。
线性无关是指向量组中不存在非零的线性组合等于零向量的情况。
3. 极大线性无关组的性质3.1 极大线性无关组的向量个数极大线性无关组的向量个数等于向量组的秩（矩阵中的列秩或行秩）。
3.2 极大线性无关组的存在性任意一个向量组都存在一个极大线性无关组。
3.3 极大线性无关组的扩充一个线性无关向量组的极大线性无关组可以通过添加新的向量来扩充。
4. 求解极大线性无关组的方法4.1 初等变换法利用矩阵的初等行变换或初等列变换，将向量组转化为行阶梯形矩阵或列阶梯形矩阵，然后选取非零行或非零列对应的向量即可得到极大线性无关组。
4.2 矩阵的秩通过计算矩阵的秩，可以得到向量组的秩，从而确定极大线性无关组的向量个数，再通过初等变换等方法选择对应的向量。
5. 应用领域5.1 线性方程组的求解通过求解线性方程组的极大线性无关组，可以简化线性方程组的求解过程。
5.2 向量空间的基极大线性无关组可以作为向量空间的一组基，用于表示向量空间中的任意向量。
5.3 矩阵的秩矩阵的秩可以通过求解矩阵的极大线性无关组来确定，进而用于计算矩阵的特征值、特征向量等。
6. 总结极大线性无关组是线性代数中的重要概念，它具有一系列的性质和求解方法。
通过对极大线性无关组的研究和应用，可以简化线性方程组的求解过程，确定向量空间的基，计算矩阵的秩等。
在实际应用中，了解和掌握极大线性无关组的相关知识，对于理解和解决与线性代数相关的问题具有重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
向量组的极大无关组的定义
极大无关组的定义
设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果
(1) α1,α2,...αr 线性无关；
(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，
那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。
（1）只含零向量的向量组没有极大无关组。
（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。但是每个向量组的极
大线性无关组都含有相同个数的向量。
(4) 齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。