融入数学史教学的几个教学案例
初中数学教学中如何融入数学史
初中数学教学中如何融入数学史1.章节导入中融入数学史。
在教学中，教师可以以数学史作为新课前的引入材料。
作为辅助教学的材料关键在于是否有必要，决不能牵强附会。
在引入数学史料时，应该做到与教学内容的有机结合，自然地过渡到教学中去。
例如，义务教育课程北师大版教科书八年级上册的《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，飘洋过海流传到了日本等国。
“雉兔同笼”题为：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?旨在暗示我国古代数学的杰出成就，同时激发学生学习的兴趣。
2.抓住数学历史名题，丰富教学内容，展现学习数学的新途径。
对于学生来说，历史上的问题是真实的，因而更为有趣;许多历史名题的提出与解决与大数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被大数学家探索过的问题，或许这个问题曾难住过许多有名的人物，学生会感到一种智力的挑战，也会从学习中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的。
再如：北师大版义务教育课程北师大版教科书八年级上册P176中，希腊数学家丢番图(公元3～4世纪)的墓碑上记载着：“他生命的是幸福的童年;再活了他生命的，两颊长起了细细的胡须;又度过了一生的，他结婚了;再过5年，他有了儿子，感到很幸福;可是儿子只活了他全部年龄的一半;儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。
问他去世时的年龄是多少?”丢番图研究过大量方程，包括多元一、二次方程和多元不定方程，这篇墓志铭实际上是一个方程式，既代表了他的生平，又是对数学家的最好纪念。
假设这位数学家的寿命为x岁，则：5++4=x得x=84，因此，丢番图是33岁结婚，38岁得子，儿子寿命为42岁，在丢番图80岁时去世，他自己终年84岁。
为了纪念丢番图的功绩，后人把仅含加法、乘法或乘方，系数为整数的不定方程，称为丢番图方程。
3.开展有关数学史的课外活动。
对于数学史的教学，除了教师在课堂适当的穿插外，也可让学生在课外自己操作，具体措施如下：(1)在布置作业时，可挑选一些与课题有关的、学生比较感兴趣的资料。
小学数学教学中数学史的融入
小学数学教学中数学史的融入数学作为人类思维的表达，已经存在数千年之久。
但是，这种教学忽视或者忽视重要的历史和背后的原理的“算术”，依然在现代小学的课堂中被大量采用。
对此，我们认为在小学阶段的数学教育中，有必要更深入地引入数学史的相关内容，帮助小学生们理解数学的基础和发展历程，激发他们的学习兴趣，提高他们的思维能力。
一、引言数学是科学的语言，它帮助我们理解世界，解决问题。
而数学史则提供了理解数学语言和方法的背景。
通过理解历史，学生可以更好地理解数学的实质和重要性，从而提高他们的学习兴趣和学习效果。
二、小学数学教学现状当前的小学数学教学往往过分强调数学技能的训练和题海战术，忽视了数学的历史背景和人文价值。
这样的教学方式可能会让学生觉得数学是一门枯燥无味的学科，缺乏对数学的兴趣和热情。
三、数学史融入小学数学教学的意义1.激发学生对数学的兴趣：通过了解数学的历史，学生可以更深入地理解数学的实质和价值，从而激发他们对数学的兴趣。
2.提高学生的学习能力：通过了解数学的发展历程，学生可以更好地理解数学的原理和方法，从而提高他们的学习能力。
3.培养学生的思维能力：数学史不仅仅是关于数字和公式，更是关于思维和解决问题的过程。
通过了解历史，学生可以培养他们的思维能力。
四、如何融入数学史1.课堂引入：在每一节课开始时，可以通过讲述一些与课程内容相关的数学历史来引入课题。
例如，在讲解分数时，可以讲述分数的历史和意义。
2.主题讲解：在讲解每个主题时，可以介绍相关的历史事件和人物。
例如，在讲解几何图形时，可以介绍欧几里得和他的“五项原则”。
3.课外阅读：教师可以推荐一些相关的书籍或网站，让学生自己去了解更多的数学历史。
4.专题讲座：可以定期举办一些专题讲座，专门讲解一些重要的数学历史事件和人物。
五、实例分析假设我们在教授一年级的学生认识钟表。
我们可以在引入钟表的概念时，讲述古代人们如何通过太阳和星星来计时的方法，以及钟表的发明历史。
基于数学史视角的教学设计——以等差数列概念及通项公式为例
ANLI POUXI案例剖析员园苑数学学习与研究2022.12———以等差数列概念及通项公式为例◎陈美贤黄在堂许雅楠闫雪(南宁师范大学,广西南宁530000)【摘要】《普通高中数学课程标准(2017版)》的课程基本理念要求体现数学的文化价值,提出数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,使其逐步形成正确的数学观.因此,将数学史融入数学教学是很有必要的.本文以“等差数列”为例,将数学史与等差数列的概念及通项公式结合起来进行教学,以期向学生展示数学的魅力,从而激发学生的学习兴趣,提高教师的教学效率.【关键词】等差数列;数学史;教学设计数学是一门历史悠久的学科.了解数学史可以激发学生的学习兴趣,使他们热爱数学、理解数学,进而能透彻掌握数学知识,提高学习效率.另外,在教学中融入数学史,学生可以学习数学家们的伟大精神,有利于培养他们的爱国主义精神、理性精神、科学态度等,这对于学生优秀品格的培养有重要意义,数学史的德育价值在这一过程中也得到了很好的体现.本文以人教A版选择性必修第二册中“等差数列”的教学设计为例进行分析.一、教材分析本节课是人教A版选择性必修第二册第四章“数列”第二节“等差数列”第一课时的内容.数列是高中数学的重要内容之一,有着广泛的应用.而等差数列是在学生学习了数列的概念以及给出数列的两种方法———通项公式与递推公式的基础上,对数列知识的进一步延伸,也是等比数列的对比依据.二、学情分析1.学生已具备的认知基础:学生已经学习了数列的概念以及给出数列的两种方法———通项公式和递推公式,经历了归纳推理的过程,初步具备了归纳总结的能力.同时,学生参与课堂的积极性很高,有较强的团队意识,能通过小组合作得出等差数列的通项公式.教师可以根据这一特点,适当设置小组合作,让学生通过自己的努力,得出等差数列的通项公式.2.学生达成教学目标所需要具备的认知基础:学生的严谨性还不够,对于通项公式中n的取值范围会有所忽略,需要教师在授课时加以引导.另外,学生对于推导通项公式所用到的归纳法和累加法理解得不透彻,需要教师详细讲解.基于以上分析,本节课的教学难点是等差数列通项公式的推导过程.三、设计理念本节课遵循“学生为主体,教师为主导”的理念进行教学,注重知识的形成过程,以问题为主导,让学生自己推导出通项公式.另外,本节课注重学生数学素养的形成和发展,也注重在不同环节上提高学生的数学素养.四、育人价值1.数学抽象素养从生活中的三个实例抽象出三个数列,再从这三个数列中抽象出等差数列的概念.在这个过程中,学生需要自己观察并抽象出相应的知识,培养了数学抽象素养.2.逻辑推理素养在推导通项公式的过程中,学生利用通项公式的定义,观察等差数列定义的符号表示,推导出通项公式,从而更好地理解归纳法和累加法,培养了逻辑推理素养.3.数学运算素养在求等差中项、通项公式的过程中,学生一直在进行计算,培养了数学运算素养.4.数学建模素养用数学符号表示数列,得到数列的一般形式,基于对这个一般形式的分析,揭示出数列的序号与项之间的对应关系的本质是函数关系,得到了“数列是一种函数的结论”,培养了数学建模素养.五、教学目标1.理解等差数列的定义,会用定义判断一个数列是否为等差数列,掌握等差数列的通项公式,并能够运用等差数列的通项公式解决实际问题,发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养.2.通过数学史,经历等差数列通项公式的推导过程,体会累加法、归纳法以及从特殊到一般的思想、方程思想,发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.3.通过数学史,体会等差数列在生活中的广泛应用,感受数学的魅力;通过探索等差数列的通项公式,激发学习动机,培养探究能力;通过展示数学家推导等差数列通项公式的方法,感受古人的智慧,增强民族自豪感.六、教学重难点教学重点:等差数列的定义,等差数列的通项公式.教学难点:等差数列的通项公式的推导过程.七、教学过程(一)创设情境,引入新知师:我们上节课学习了数列,那么数列的概念是什么呢?大家一起说.(学生一起回答)师:对,按照一定顺序排列的数叫做数列.我们今天继续来学习数列,接下来让我们看这三个情境.设计意图:复习数列的概念,加深学生对数列概念的理解,同时为分析情境做铺垫.案例剖析ANLI POUXI员园愿数学学习与研究 2022.121.情境一师:我们首先来看第一个情境.这是我们熟悉的日历,大家来看2020年11月星期日的日期分别是几号呢?生:1,8,15,22,29.师:这一组日期构成了数列,这个数列有什么特点呢?2.情境二师:我们再来看第二个情境.我们经常买鞋,大家在买鞋的过程中,有没有注意到鞋的尺码是怎么样的?(学生回答)师:好!按照国家统一规定,成年女鞋的尺码是25,24.5,24,23.5,23……这一组数同样构成了数列,这个数列有什么特点呢?3.情境三师:我们再来看第三个情境.这是北京天坛圜丘坛,它的地面由石板铺成,最中间的是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,…,81,它们同样构成了数列,这个数列又有什么特点呢?师:观察这三组数列,每一个数列各有什么特点呢?它们又有什么共同点呢?给大家三分钟时间,以小组为单位进行讨论.学生对于情境中提出的数列的特点这一问题的回答可能不太一样,但是总体来说,学生可以看出某个数列的数是逐渐减少或逐渐增加的,教师在这一过程中可以引导学生说出后一项与前一项的差为多少,从而归纳出三个数列的共同特点,即后一项与前一项的差是一个常数,进而引出一个特殊的数列———等差数列,这有利于学生自主形成等差数列的概念.设计意图:首先,以学生熟悉的生活中的例子引入新知,这更加贴近学生的生活.同时,对数列实例的分析以及对实例共同特征的归纳,是从直观的一列数过渡到数列的数学定义的关键步骤.与直接给出三个数列让学生来观察每个数列的特点以及共同特点相比,这更能吸引学生的注意力,激发他们的学习兴趣.其次,让学生体会到生活中处处存在数学,感受数学的魅力.最后,通过小组合作,学生各抒己见、积极思考、主动反思,培养了解决问题和语言表达的能力.(二)归纳总结,形成概念1.师:根据刚才的分析,同学们能说出等差数列的定义吗?(预设学生会落下定义中的“从第二项起”)教师进行补充强调.师:这是等差数列定义的语言叙述,大家可以用数学符号来表示吗?学生回答.师:对,符号表示就是a n -a n -1=d (n ∈N ∗,n ≥2).我们今天所学的等差数列是数列的一种.一个数列具有什么样的特性才是等差数列呢?学生回答.设计意图:先让学生对实例进行充分感知,再引导学生给数列下定义.学生通过自己总结等差数列的定义,加深对定义的理解.学生通过用符号来表示等差数列的定义,可以感受数学符号的简洁性,同时也为通项公式的推导打下基础.教师用等差数列的特性来帮助学生认识等差数列,更有利于学生理解等差数列,完成教学目标1.师:其实等差数列是数学史上最早出现并引起人们广泛应用的数列.例如,1858年,苏格兰收藏家收藏的约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着等差数列.我们来看一下,10人分10斗玉米,从第二个人开始,各人所得依次比前一个人少18斗,那么每人所分得的玉米数就构成了等差数列.如果按从大到小的顺序来看,这个数列的公差是-18.再如,在我国出土的春秋至战国时期楚国的铜环权,其重量大致按等差数列配置.又如成书于公元前2世纪的《周髀算经》中将日行轨道按照季节划分为七个同心圆,被称为“七衡图”,每个同心圆的直径组成等差数列.这些都记载着对等差数列的大量研究,那么同学们能举出生活中的等差数列的例子吗?学生举例.设计意图:结合数学史帮助学生认识等差数列,理解等差数列的定义,这不仅可以帮助学生加深对数列知识的理解,而且可以开阔学生的视野.另外,让学生列举出生活中的等差数列的例子,有利于培养学生的观察能力,让学生感受到等差数列的应用价值,明白数学与生活是紧紧联系在一起的,感受数学的魅力,完成教学目标3.2.(1)给出一些数列,让学生判断其是否为等差数列.如果是,写出首项与公差.(具体题目略)(2)说出判断依据,并总结出公差可以为正、负、0,分别对应递增、递减、常数列.设计意图:通过练习总结判断等差数列的依据,对等差数列的定义加以巩固.同时,让学生观察公差的符号,将新知与旧知联系在一起,这有利于丰富学生原有的知识图式,完成教学目标1.3.师:通过上一节课的学习,我们知道数列有通项公式,那么等差数列是否也有通项公式呢?我们再来看三个情境中的数列,它们是否存在通项公式呢?对于首项为a 1,公差为d 的一般数列{a n },a 2,a 3,a 4分别是多少呢?a n 又是多少呢?可以用a 1和d 表示出来吗?接下来给大家五分钟时间,以小组为单位进行讨论.学生总结展示两种方法:(1)方法一(归纳法)a 2-a 1=d ⇒a 2=a 1+d a 3-a 2=d ⇒a 3=a 2+d ⇒a 3=a 1+2d a 4-a 3=d ⇒a 4=a 3+d ⇒a 4=a 1+3d …a n -a n -1=d ⇒a n =a n -1+d ⇒a n =a 1+(n -1)d (n ∈N ∗,n ≥2)(2)方法二(累加法)a 2-a 1=d a 3-a 2=dANLI POUXI案例剖析员园怨数学学习与研究 2022.12a 4-a 3=d …a n -1-a n -2=d a n -a n -1=d两边分别相加得:a n -a 1=(n -1)d ⇒a n =a 1+(n -1)d (n ∈N ∗,n ≥2)学生展示探究过程,教师补充完善.在用归纳法证明时,要强调先看到规律,再得到(n -1)d ;在用累加法证明时,要强调之所以将所有式子相加是因为如果相加,正负可以相互约掉.不管是哪种方法,都要强调n 的取值范围.设计意图:学生通过小组合作,自主探究等差数列的通项公式,体会归纳法、累加法以及从特殊到一般的数学思想方法,培养了数学运算、逻辑推理等核心素养,突破教学难点,完成教学目标2.师:当n =1时,左边=a 1,右边=a 1,左边等于右边,则当n =1时,式子仍然成立,所以我们就得到了等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1)d (n ∈N ∗).教师对公式加以强调:(1)公式中一定是(n -1)d ;(2)等差数列中除首项外的每一项由首项和公差来确定;(3)一共有四个量a n ,a 1,n ,d ,如果知道其中三个量,就可以求出另一个量,即知三求一.4.设置例题:课本P14例1设计意图:通过对公式的强调以及对例题的讲解,加深学生对公式中各个字母以及对整个公式的理解.同时,通过讲解,学生能体会方程思想,培养数学建模等核心素养,完成教学目标2.5.师:其实这个通项公式在《周髀算经》的“七衡图”问题中已经给出:“欲知次衡径,倍而增内衡之径,二之以内增衡径,得三衡径,次衡放(仿)此.”意思就是:将日行的轨迹按季节不同分为七个同心圆,已知内衡的直径为a 1万里,两衡间距为d2万里,那么我们可以得到次衡的直径为a 2=a 1+2·d2=a 1+d ,依次类推,我们也可以知道其他衡的直径分别为:a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d ,…,a 7=a 1+6d.这些式子和刚刚我们列出的式子是一致的,所以古人早就给出了求通项公式的方法.设计意图:这样的题目背景丰富、有趣、画面感强,容易把学生带入其中,有利于激发学生的感性体验与理性体验.通过渗透数学史,学生再一次复习了通项公式的证明方法,加深了对推导过程的印象,理解了归纳法与累加法的含义,获得了“再创造”的机会,有利于突破教学难点.同时,学生可以看到今天的推导方法与我国古人的推导方法大体相同,这既可以让他们感受到古人的智慧,激发学生的爱国热情,又可以增强学生学习数学的信心,完成教学目标3.(三)巩固练习,加深理解1.若等差数列{a n }中,a 3=3,a 6=9,求a 1和d.2.已知等差数列{a n }中,a 4=8,a 9=3,求a 10.3.判断100是不是等差数列2,11,20……中的项.设计意图:练习题的设置由浅入深,符合学生的认知结构,有利于学生掌握知识,完成教学目标1.(四)课堂小结1.这节课我们学习了哪些知识?2.这节课我们经历了哪些过程?(五)布置作业必做题:1.课本P15练习第1—5题;2.观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?选做题:求1+2+3+…+100的和.设计意图:一、必做题中的第2题考查的是学生能否将新旧知识联系在一起;选做题是为下一节学习等差数列的前n 项和作铺垫;二、分层布置作业可以有针对性地提高学生解决问题的能力,对于中等生和优等生来说,可以在学习基础知识的基础上为接下来的知识作准备;对于学困生来说,可以增强他们学习数学的信心.总之,分层布置作业符合学生的个性差异,避免出现两极分化的情况.八、教学反思第一,本节课的难点是等差数列通项公式的推导,教师在教学过程中发现学生的逻辑推导能力不够,对于归纳法和累加法的理解不透彻.教师传授的不仅仅是知识,更重要的是让学生学会方法,因此,教师在教学中应适当调整知识点的分配时间,保证有足够的时间去讲解推导过程,使学生能够更好地理解这两种方法.第二,在设置习题时,教师可以引用数学史上的数列原题作为习题,或将数学史上有关数列的结论改编为习题.第三,教师可以按照函数的思想方法指导学生进行数列的学习,该节课的学习可以沿用前一节一般数列的研究路径,即事实—概念—性质—应用,这一教学方式能帮助学生建立知识体系,有利于学生对一类知识的学习.九、结束语本文两次将数学史融入等差数列的教学,第一次是在学生掌握了等差数列的概念之后,试图让学生明白数学与生活的联系,体会数学的实用价值;第二次是在学生掌握了等差数列的通项公式之后,学生经历等差数列通项公式的推导过程,与古人产生共鸣,调动了学习的积极性.数学史的两次融入都有利于学生加深对知识的理解,从而掌握知识.数学史融入教学可以激发学生的学习兴趣,有利于落实四基,培养四能,提高学生的数学素养,进而提升学生的综合素质.同时,数学史融入教学也可以将学生从课内导向课外,使学生形成对文化的认同感,培养学生的爱国主义精神,将“立德树人”这一根本任务落到实处.【参考文献】[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版)[S ].北京:人民教育出版社,2018.[2]高红磊.将数学史融入高中数列教学的应用研究[D ].杭州师范大学,2018.[3]戴美玲.“等差数列的概念及通项公式”教学设计案例[J ].科学咨询(教育科研),2020(6):212.。
《数学史教案》word版
《数学史教案》word版一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解古代数学的发展历程及其代表性人物和成就；（2）掌握数学的基本概念、原理和方法，提高数学思维能力。
2. 过程与方法：（1）通过探究数学历史，培养学生的自主学习能力和团队合作精神；（2）学会运用数学知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）感受数学的博大精深和魅力，增强对数学的兴趣和信心；（2）培养严谨治学、不断探索的科学研究态度。
二、教学内容1. 第一章：中国古代数学（1）概述中国古代数学的发展历程；（2）介绍《九章算术》和《周髀算经》等古代数学著作；（3）讲解中国古代数学家的成就和贡献。
2. 第二章：古希腊数学（1）概述古希腊数学的发展历程；（2）介绍毕达哥拉斯、欧几里得等古希腊数学家及其主要成就；（3）讲解勾股定理和圆的周长、面积等几何概念。
3. 第三章：阿拉伯数学（1）概述阿拉伯数学的发展历程；（2）介绍阿拉伯数学家花拉子密及其主要成就；（3）讲解阿拉伯数字和代数学的发展。
4. 第四章：欧洲中世纪数学（1）概述欧洲中世纪数学的发展历程；（2）介绍莱昂纳多·斐波那契及其主要成就；（3）讲解斐波那契数列和黄金分割等概念。
5. 第五章：欧洲近代数学（1）概述欧洲近代数学的发展历程；（2）介绍笛卡尔、牛顿等欧洲近代数学家及其主要成就；（3）讲解解析几何和微积分等概念。
三、教学方法1. 采用讲授法、讨论法、探究法等多种教学方法；2. 使用多媒体课件、实物模型等辅助教学；3. 组织学生进行小组合作、研究性学习等活动。
四、教学评价1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；2. 期中考试：考察学生对数学史知识的掌握和理解；3. 期末考试：综合考察学生的数学知识和运用能力。
五、教学资源1. 教材：《数学史教程》等；2. 参考书籍：《数学简史》、《数学发展史》等；3. 网络资源：数学史相关网站、视频等；4. 教具：多媒体课件、实物模型等。
挖知识源流,助文化互融--以基于数学史的“三角形的面积”教学为例
教学月刊·小学版2021/6数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN挖知识源流，助文化互融——以基于数学史的“三角形的面积”教学为例□刘树霞郑玲玲【摘要】基于数学史的数学文化的教学绝非易事。
以“三角形的面积”为例，说明基于数学史的数学文化的教学，应以数学史的梳理为基础，以数学史文化内涵的挖掘和教学应用为重点，以教学目标的达成为指向。
这样才能更好地体现数学史在数学教学中的科学价值、应用价值、审美价值、文化价值。
【关键词】数学史；数学文化；知识源流；文化互融一、引言对数学文化的关注肇始于数学界对数学与文化关系的讨论，数学文化进入数学教育领域引发了“数学文化热”思潮，进而促进了数学学科自身的科学价值与人文价值的融合，对中国数学教育教学改革具有重要的启蒙意义。
[1]目前，很多教师借助基于数学史的数学文化进行教学，以期让学生感受数学的科学价值、应用价值、审美价值和文化价值。
但基于数学史的数学文化的教学绝非易事，因为这不仅要关注数学发展的历史，更要符合学生的认知基础和认知规律[2]，同时教材的内容编排并未重视历史脉络的显性呈现或隐性渗透。
笔者以“三角形的面积”为例，介绍基于数学史的数学文化教学实践。
二、历史材料及其运用三角形的面积计算公式，自古埃及开始经历了漫长的发展和演变过程，表1呈现了不同时空中与三角形面积计算有关的历史素材。
表1历史上三角形的面积计算方法《莱茵德纸草书》《九章算术》用一数乘另一数的一半，但不能确定另一数表示的是边还是高等腰三角形的面积计算方法：半广以乘正从（zòng ）（广：三角形底边长，正从：三角形底边上的高）来源相关史料刘徽《九章算术注》欧几里得《几何原本》海伦—秦九韶公式其他方法术曰：半广以乘正从。
半广知，以盈补虚为直田也。
亦可半正从以乘广。
即利用出入相补（以盈补虚）原理，将三角形转化为长方形进行面积计算，得到三角形的面积公式是半广以乘正从，半正从以乘广第一卷命题37和命题38论证同底等高、等底等高的三角形面积相等。
数学史与初中数学教学课件(共148张PPT)
背景
HPM：Relationship between History and Pedagogy of Mathematics
ICME-2 ： 历史与教学 之关系国际 研究小组 （HPM）
ICME-3 ： HPM 正 式 隶属于国际 市教育委员 会 （ ICMI ）
表示的数 常数项
第一未知数 第二未知数 第三未知数 第四未知数 第五未知数 第六未知数
x2
案例3 用字母表示数
韦达与符号代数
韦达解丢番图问题：已知两数 的和与差，求这两数。
François Viète (1540-1603)
设B为两数之差，D为两数之和，要求 这两个数。设较小数为A，则较大数为 A + B，故两数之和为2A + B。于是2A + B = D，2A = D - B，A = B/2 - D/2。 又设较大数为E，则较小数为E-B，故 两数之和为2E-B。于是， 2E-B = D， 2E = D + B，E =D/2 + B/2。
案例4 平方差公式
《周髀算经》勾股圆方图注
勾实之矩以股弦差为广，股 弦并为袤，而股实方其里。 以差除勾实，得股弦并。以 并除勾实，亦得股弦差。令 并自乘，与勾实为实，倍并 为法，所得亦弦。勾实减并 自乘，如法为股。
ICME-5 ： HPM卫星会 议在澳大利 亚举行
ICME-14 ： HPM 卫 星 会议将在中 国举行
1972
1976
1984
2020
背景
数学史 融入教 材研究
HPM与 教师专 业发展
HPM领域的研究课题
为何与 如何之 探讨
HPM
教学实 践与案 例开发
浅析数学史融入小学数学课堂的有效途径
浅析数学史融入小学数学课堂的有效途径数学史是数学发展的历史，它不仅反映了人类的智慧和创造力，也是培养学生数学文化素养的有效途径之一。
将数学史融入小学数学课堂，可以激发学生学习数学的兴趣，拓宽他们的数学视野，加深对数学概念的理解和记忆，促进其掌握数学方法和技能，提高数学学习的效果。
以下是几种将数学史融入小学数学课堂的有效途径。
一、运用数学故事启发思考教学中可以讲述一些奇妙、有趣的数学故事，如勾股定理的发现、阿基米德的浮体原理、数学家高斯童年的神童故事等。
教师可以将这些故事与具体的数学概念和问题相结合，帮助学生发现数学的奥妙和性质，启发学生思考，提高学生对数学的热爱和兴趣。
二、通过数学史了解数学思想数学史是数学思想的历史。
在小学数学课堂中，可以通过介绍著名数学家的思想、发现和解决问题的方式，帮助学生了解数学的发展历程、数学知识的本质和数学思想的精髓。
如在学习分数的过程中，可以介绍古希腊数学家欧多克索斯解决分数大小比较问题的思想和方法，帮助学生深入理解数学概念的含义和特征。
三、通过数学史认识数学在社会中的作用数学史讲述了数学在社会中的应用和作用，可以帮助学生认识到数学在现代社会中的重要地位。
例如，在学习面积和体积时，可以介绍建筑师，土木工程师和设计师等职业中使用数学的情况，让学生了解到数学知识在现实生活中的广泛应用。
数学有着自己独特的美和魅力，数学史则记录了一系列美妙的数学定理、公式和结论。
在教学中可以引导学生欣赏数学之美，使他们从中寻找自身的兴趣，进而提高学习数学的兴趣和积极性。
例如，在学习三角函数的过程中，可以介绍正弦函数的图形和极值点的规律及其美妙的性质，让学生建立对数学之美的敏锐感知和审美能力。
综上所述，数学史融入小学数学课堂是一种有效的教学方法，可以使学生更好地理解、认识、领悟数学知识和方法。
小学数学教学中数学史的融入
小学数学教学中数学史的融入在小学数学教学中融入数学史，可以带来许多积极的影响。
以下是一些关于如何在小学数学教学中融入数学史的建议：一、选择适合的数学史内容在选择数学史内容时，教师应考虑学生的年龄和认知水平，选择与学生所学数学知识紧密相关的内容。
例如，可以介绍一些著名数学家的故事、数学概念的起源和发展历程、数学在日常生活中的应用等。
这些内容不仅可以丰富课堂教学内容，还可以激发学生的学习兴趣和好奇心。
二、将数学史与课堂教学相结合教师可以根据教学内容的需要，将数学史与课堂教学相结合。
例如，在介绍某个数学概念时，可以讲述该概念的起源和发展历程，让学生了解该概念的来龙去脉。
同时，教师还可以在数学史中挖掘一些有趣的数学问题，组织学生进行探究和解决，从而培养学生的创新思维和解决问题的能力。
三、利用数学史培养学生的数学素养数学史不仅是数学知识的积累，更是一种数学素养的体现。
通过学习数学史，学生可以了解数学的发展历程和思想方法，培养自己的数学思维和解决问题的能力。
因此，教师可以利用数学史培养学生的数学素养，引导他们在学习中注重数学思想的运用和数学方法的掌握。
四、注意数学史融入的方式和方法在融入数学史时，教师应注意方式和方法的选择。
首先，要把握好数学史与教学内容的融合度，避免将数学史作为孤立的内容进行介绍。
其次，要注重数学史的趣味性和启发性，让学生通过学习数学史感受到数学的魅力和价值。
最后，教师还可以通过组织数学史相关的活动，如数学史讲座、数学史知识竞赛等，进一步拓展学生的学习视野和兴趣。
总之，在小学数学教学中融入数学史是一种有益的教学方式。
通过选择适合的数学史内容、将数学史与课堂教学相结合、利用数学史培养学生的数学素养以及注意数学史融入的方式和方法等方面做出努力，教师可以为学生提供更丰富、更有深度的数学教学体验。
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对于“体现数学的文化价值”的几点教学建议
课堂是学生学习数学知识的主要途径，在高中数学中融入数学史的教育体现了课程标准
理念中的”体现数学的文化价值”。以下是我对融入数学史教学的几点建议。
【建议 1】复数概念学习中介绍复数的发展史
复数的学习是数的概念的又一次扩充，由于刚刚接触复数，很多学生感觉不易理解、无
法接受，这时他们往往把原因归咎于自身的智力，甚至对自己的学习能力产生怀疑。如果能
让学生了解他们遇到的困难也正是在 18 世纪困扰着当时的数学界的难题，他们遇到的困惑
也曾经同样困扰着很多伟大的数学家，那么通过还原历史的原貌，就可以使他们更加亲近数
学，增强学习数学的信心。
在复数的教学中，老师可以指导学生利用图书馆、互联网搜集信息，了解数的发展历史，
如：数学史上的三次危机、数的发展、数学家的故事等，在课外查找资料的过程本身就是学
生的一个学习的过程，在课堂教学中可以先让学生用一、两分钟来讲历史上关于复数故事。
下面是具体的设计内容：
1545 年，意大利数学家卡尔丹在所著的《重要的艺术》的第 37 章中，列出并解出了
把 10 分成两部分，使其乘积为 40 的问题，方程是 X (10-X) = 40 ，他求得根为5-
15
和5＋15，然后说，“不管会受到多大的良心责备”，把5-15和5＋ 15相乘得
乘积为25-(-15)，即 40。卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯
定了负数的平方根的用处。数学家为此创造了“虚数”，以符号i表示，并规定21i，－
1 的平方根当然就是i 了。这样一来，负数开平方的难题就迎刃而解。这就是科学的创新
精神。然而，用i表示虚数的单位，却是直到 18 世纪著名的数学家欧拉提出的，这看似简
单的符号却经历了两百多年才出现，这就是数学发展的艰辛历程。“实数”、“虚数”这两个词
是由法国数学家笛卡尔在 1637 年率先提出来的。后人在这两个成果的基础上，把实数和虚
数结合起来，记为a +bi表的形式，称为复数。
在虚数刚进入数的领域时，人们对它的用处一无所知。实际生活中也没有用复数来表示
的量，因而，最初人们对虚数产生怀疑和不接受的态度。18 世纪对于“虚数”的争论让很
多数学家非常困惑，到 19 世纪仍然对此争论不休。对于 1，柯西说：“我们可以毫无遗
憾地完全否定和抛弃一个我们不知道它表示什么，也不知道应该让它表示什么的数”;哈密
尔顿也置疑“在这样一种基础上，哪里有什么科学可言”;大数学家欧拉对于虚数概念也是
不甚了了。在《代数学引论》中，他写道：“因为所有可以想象的数要么大于零，要么小于
零，要么等于零，所以负数的平方根显然是不能包含在这些数之中的 ，因此我们必须说 ,
它们是不可能的数……它们通常被称为想象的数，因为它们只存在于想象之中。有趣的是，
对此抱否定态度的爱因斯坦，却恰恰是他先把复数运用到了物理学领域。
让学生了解这些史实，可以增进他们学习数学的兴趣与信心。
【建议2】古题新用，培养创新意识
对于已经掌握了一定数学知识的学生来说，数学史上的古题仍然能使他们引起兴趣 ,
激发求知欲。古题新用，在挖掘数学史中古题的思想方法的基础上，将之用于新的数学问题
思考中，可以培养学生的创新意识。
【古题】阿拉伯分羊故事：有个牧羊人，在临终前要把他所有的财产——17 只羊，分给
他的三个儿子，要求大儿子得羊总数的一半，二儿子得羊总数的三分之一，小儿子得羊总数
的九分之一，但羊不能杀死或卖掉，三个儿子绞尽脑汁，也想不出分羊的办法，于是他们只
好求助于一位草原上众所周知的智者。智者带来了他自己的一只羊，再让三兄弟重新分，于
是大儿子牵了 18 只羊的一半——九只，二儿子拉了 18 只羊的三分之一——六只，小儿子
领走 18 只羊的九分之一 ——两只，剩下一只归还给聪明人，问题终于解决了。这分羊问
题在实际上能行得通，但不合常理，而在数学上是完全合理的，但这一借一还的巧妙思维，
却给我们解决一些真正的数学问题有很大的启发和帮助作用。
【新用】在求无穷等比数列前 n 项和的教学中，有这样一题，某汽水商店有个规定，3 个
空汽水瓶可以换一瓶汽水喝。有位顾客买了 10 瓶汽水，问题是他最多能喝几瓶汽水？
我们不妨这样想：这位顾客先喝 10 瓶汽水，得到 10 个空汽水瓶，可以再换三瓶汽水
又余一只空瓶，喝完这 3 瓶汽水后，他手上又有 4 只空瓶，可以再换一瓶汽水，余两个空
瓶。于是这个人最多能喝 14 瓶汽水而余两个空瓶，那么 ，余下的两个空瓶不是浪费了吗？
受分羊问题的启发，我们不妨让顾客先借一个空瓶，这样又可以换来一瓶汽水，喝罢再还别
人一只瓶子，如此，就发挥了最大的效益，不浪费一只瓶子，共喝了15 瓶汽水。于是，15
瓶才是正确答案。有人说这一思维问题方式和分羊问题一样，在情理上还讲得过去，但在数
学理论上却是行不通的。而事实上，如果运用无穷等比数列前几项的求和理论，这种思维的
正确性是不难证明的。
我们知道，在无穷等比数列中，当公比 |q| <1 时，这个无穷等比数列
11{}naq
（n=1,2,3…）前 n 项和就为：
111
(1)limlimlim(1)lim111nnnnnnnaqaaSSqqqq
结合汽水问题，有110a,q =
31，于是这一数列为 {10, 10×31,1021()3
……}
所以,某人最多可喝到汽水的瓶数，正是数列各项和 S，从而
S=10+10×31+1021()3+…=limn110[1()]3113nlimn11010[1()]lim151131133nn
因此，最多喝 15 瓶是有理论根据的，理论上也是可以行得通的，这一思维方式不但合情，
而且也合理。
【建议3】极坐标的建立,增加学生的数学应用意识
数学的本意在于描述世界，是人类在认识和改造世界过程中获得进展的一种工具，数学
发展的历史本身就是一部数学应用的历史。数学科学发端的原动力是应用，终极目标也是应
用。在教学过程中强调应用意识，能增强学生对知识的理解。
比如，在学习建立极坐标系时，习惯了直角坐标系的学生表现出较大的不适应性，所以
在教学时不妨引用数学史中笛卡儿的解析几何思想的最初一闪念。据说是在他注视一只苍蝇
在天花板的一角爬行时，想到只要知道苍蝇与相邻两墙的距离之间的关系，就能描述苍蝇爬
行的路线，这个故事让学生意识到数学的直觉来源于实际生活。接下来，我们可以创设问题
环境：一艘军舰行驶在海上，发现敌舰在某个方向，问你如何向炮手下达命令使之迅速瞄准
并开火？问题的实质仍是在一个平面上如何去确定一个点的位置。通常学生想到建立直角坐
标系，然后由横坐标、纵坐标确定目标的方向和距离，提示学生实际操作可能吗？有没有更
好的方法呢？很自然地，学生马上明白，确定一个点的位置有许多方法。这个问题中，只要
知道目标的距离与方向就能解决问题。很自然地引入了极坐标系的概念，使得学生体会到了
直角坐标系与极坐标系的联系与区别，为以后实现直角坐标与极坐标的互相转化埋下伏笔。