解不等式中的数学思想方法

解不等式中的数学思想方法一．解不等式中的简易逻辑思想 例1 已知)0(012:2|311:|22>≤-+-≤--m m x x q x p ，；¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.[分析] 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，否则连读题审题都感困难.[解答] 由，2|311|≤--x 得102≤≤-x ， 由)0(01222>≤-+-m m x x ，得)0(11>+≤≤-m m x m ，∴¬p 即2-<x ，或10>x ，而¬q 即m x -<1，或m x +>1)0(>m ； 由¬p 是¬q 的必要不充分条件，知¬q ⇒¬p ，设A=}102|{>-<x x x ，或，B=)}0(11|{>+>-<m m x m x x ，或，则有A B ≠⊂，故⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-，，，010111m m m 且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，解得30≤<m ，此即为“¬p 是¬q 的必要不充分条件”时实数m 的取值范围.二、解不等式中的换元思想例2．解不等式11111261x x x +-≤≤+。

分析：若试图将不等式化为基本形式求解，须先去分母，有011116111112x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪+-≤+⎨⎪⎪+-≥+⎪⎩ 或 011111211116x x x x x x x ⎧⎪<⎪⎪+-≤+⎨⎪⎪+-≥+⎪⎩至此，解题难以为继。

若令1x t +=，则x=t 2-1. ∵x>-1, 且x ≠0, ∴t>0且t ≠1,∴不等式化为()()21110,11261t t t t t -≤≤>≠-， 即()()1110,11216t t t t ≤≤>≠+， ∴6≤t(t+1)≤12(t>0). 解得2≤t ≤3，从而213x ≤+≤,即4≤x+1≤9。

∴不等式的解集是[3，8]。

三、解不等式中的数形结合思想例3．设a<0为常数，解不等式22a ax x a -+>。

分析：不等式化为22a ax a x ->-。

作函数()2f x a ax =-和g(x)=a-2x 的图象，如图1。

由22a ax a x -=-，解得x=34a. ∴两个函数图象的交点为3,42a a P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由图1知，当x>34a时，函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象的上方。

∴不等式的解集是(34a,+∞).注：无论解什么样的题，都既要掌握基本的解题方法，又要以灵活为主。

会做，还要讲求做题效率。

分析 由于左、右两边有相同的地方，因此可以换元，使不等式的结构变为简单形式．距为a 的平行直线系)，在同一坐标系内作出两函数的图象，如图1．因为y1＞y2，所以(1)当0＜a ＜1时，0＜t ≤1， 即0＜ax ≤1，所以x ∈[0，+∞)．综上所述当a ∈(0，1)时，解集为[0，+∞)，当a ∈(1，评述 在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰．四、解不等式中的函数方程思想例4 求a ，b 的值，使得关于x 的不等式a 2x +bx+2a -1≤0的解集分别是： (1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．分析 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．解(1) 由题意可知，a ＞0且-1，2是方程a 2x +bx+2a -1≤0的根，所以(3)由题意知，2是方程a 2x +bx+2a -1=0的根，所以 4a+2b+a 2-1=0． ①又{2}是不等式a 2x +bx+2a -1≤0的解集，所以(4)由题意知，a=0．b ＜0，且-1是方程bx+2a -1=0的根，即-b+2a -1=0，所以a=0，b=-1．五、解不等式中的分类类讨论思想解不等式2221011xx x x -+>++分析 这是一个分式型无理不等式，需要将其转化为有理不等式来求解． 解 (分类讨论)(1)当x=0时，原不等式显然成立． (2)当x ≠0时，评述：本题类比万能公式采用三角代换更加简单。

分析：由x R ∈及2211x x +-的特征联想到万能公式ααα2cos tan 1tan 122=+-于是可构造三角函数，令x=tan α)22(παπ＜＜-求解。

解：令x=tan α)22(παπ＜＜-则由已知得01tan tan 11tan tan 22＞+-++αααα，从 而1sin 2101sin sin 22＜＜＞ααα-⇒--∴26παπ＜＜-∴tan α＞33-,∴x ＞33-。

六、解不等式中的构造思想例6、解不等式05110)1(833x ＞x x x --+++分析；本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较烦。

但注意到)12(5)12(110)1(833+++=+++x x x x 且题中出现 x x 53+ , 启示我们构造函数f(x)=x 3+5x 去投石问路。

解：将原不等式化为x ＞x x x 5)12(5)12(33++++，令f(x)=x 3+5x ，则不等式变为)()12(x ＞f x f +，∵f(x)=x 3+5x 在R 上为增函数∴原不等式等价于＞x x 12+，解之得：－1＜x ＜2或x ＜－2。

七、解不等式中的转化化归思想例7 对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p-3恒成立，试求x 的取值范围.分析:我们习惯上把x 当作自变量，构造函数y ＝x 2＋(p-4)x ＋3-p,于是问题转化为：当p ∈[0,4]时，y ＞0恒成立，求x 的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的.如果把p 看作自变量，x 视为参数，构造函数y ＝(x-1)p ＋(x 2-4x ＋3)，则y 是p 的一次函数，就非常简单.即令f(p)＝(x-1)p ＋(x 2-4x ＋3).函数f(p)的图象是一条线段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x 的取值范围是(-∞,-1)∪(3,＋∞).本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的. 八、解不等式中的整体思想例8、已知f(x)=ax 2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的范围。

解：令f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=(m+4n)a-(m+n)c, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒=+=+ n m n m n m 3835194∴f(3)= )1(35)2(38f f -,又-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5，∴-1≤f(3)≤20。

评述：题中f(1)=a-c,f(2)=4a-c, 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。

九、解不等式中的变量分离思想例9设对所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．分析认真观察不等式的结构，易知要解决的问题是对所有的x，x2(t-2)-2(t+1)x+2(t+1)＜0①不符合题意，所以t≠2．因此对任意实数x，不等式①恒成立的充左边等号当x=0时成立．于是得ymin=-1，故t＜-1 (以下略)．不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式、无理不等式化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．。