高考解析几何中的最值问题
解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘
定值 问题 ，通过特殊探索法不但能够确定出定点、定 值 ，还可 以为我们提供解题 的线索．
例 １ 已知抛物线 ｙ＝ｐ （ ＞ ）问 ： ． ￣Ｚｘｐ Ｏ ， 在轴 的正半 轴
上是否存在一点 。 使得过 Ｍ点 的抛 物线 的任 意一 条 弦 Ｐ 都有 Ｐ０ ２ （ １尸 Ｄ为坐标原点 ）请说明理 由． ＝ ？
题 ．从 而找到解决 问题 的突破 Ｅ． ，有许 多定 点 、 １ 另外
直线 Ａ Ｐ的方程 为 ， ｊ （＋）令 ｘ ２ ／ ， ｙ ， ＝ ｘ ２， ＝ 、 ２ 则 ＝
高中 ２１ ０ ２年第 ’嬲
数攀有数
，
ｘｏ ｚ ＋ ５
即 Ｅ２ （
，
・
．
．
蔚 ・ ＝华 （
， ） ， 。 （ ） 一 ・。 ｙ ） ２ （ 。２ ＝
１ １
明若满 足题设条 件 的点 存在 ， 其坐标 只能是 （ ，
参数表示 ， 然后计算出所需结果与该参数无关 ： 也可 将变动元 素置于特殊状态下 探求 出定点 、定值 ，然 后给 以证 明． 注意的是 ，解 析几何 中的定 点 、定 值得
值问题与一般几何证明不同 ．它 的结论中没有确定 的
二
分析 ： 这是一道 与探索性相结合的定点 问题 ． 过 通 阅读题意我们发现几个关 键词 ：正半轴 ” “ “ ，任意一 条 弦” 抛物线 ｙ＝ｐ （＞ ） ， ＝Ｚｘ ｐ ０ 的开 口向右 ， 先假设 满足 题 设 条件的点 存在 ， 并求 出 的坐标 ， 然后证 明过 点的任意一条直 弦 ＰＰ 都有 ／ＰＯ ２ 也就是先 证 ｌ２ － ，Ｐ＝＂ Ｉ Ｔ，
ｘ ＃－
０ ， ＰＰ是过点 （ ０ 的任意一条弦 ， ）设 Ｉ ２ ２ ） ｐ， 其斜率为 ｋ ， 则 Ｐ 的 方 程 为 ｙ ｋ（ 一 ） 代 入 ＝ ｐ ＝ ， ｚ 得 Ｊ 一 】 ｝
解析几何中最值问题的求法
＝Ｔ ｔ ＿Ａ － Ｘ ３ ＋ Ｘ ２ ｃ ｓ０ 了 ） 当 ０ － Ｉ 即（－ ） ２ ／ 一 一 ／ 。 ／ ２ ／ ｏ （＋， ｆ － ｘ ｙ ＼ １ 、
，
解 ：设 与直 线 ３－ ３ １ ＝ ｘ ２， ６ Ｏ斜 率 相 同 且 与 椭 圆 ７Ｚ４ ： ８ ＿ ｘ＋ ￣ ２
三 、 用 不 等 式 。 其 是 均 值 不 等 式 求最 值 利 尤
Ｊ ￣ＡＡＭＢ的 面 积 的 最 小值 是 ０ － ￣ ４
。
≥ ， 当ｘ０ ｌ ＝ ， Ｐ 普。 ｏ・ ＝ 时，ＡＪ 即Ｊ Ｊ 一 ． ． Ｐ Ａ
所 以 距 点 Ａ 最 近 的 点 Ｐ的 坐 标 为 （ ， ）即最 短 距 离 为 。 ００，
二、 利用 三 角 函数 ， 其 是 正 、 弦 函数 的 有 界 性 。 最 值 尤 余 求
相切的直线ｚ 的方程为３－ｙ￡ ， ｘ２ ： 则由｛ ＋ｏ ７ ｘ
得 ｌ ６＋ ｘ
ｊ ２ ｔ 一 ｙ＋ ＝Ｕ
例３ 知椭圆ｃ 筝＋ １ 曰 椭圆中 已 ： 孚＝ ， 是过 Ａ 心的 任意弦， ｆ
是 线 段 Ａ 的 垂 直 平 分 线 ． 是 与椭 圆 的 交 点 ．求 △ＡＭＢ 的 面 积 的最 小 值 解 ： 设 线 段 ＡＢ所 在 直 线 的 斜 率 存 在 且 不 为 零 ． Ａ 所 假 设 Ｂ 在 的 直线 方 程 为 ｙ ｋ （ ≠０ ， ｘ ，Ａ ， ＝ｘｋ ） Ａ（ ＾ ） Ｙ
６ ￡ ２＝ ， 缸十２ ８ ０ 由判 别 式 △＝ ６２４ １ （ — ８ ＝ ． ｆ± ， 直线 ３ ｔ ｘ ６ｔ ２ ）０ 得 ＝ ８ 故 － ２ 的方 程 为 ３ 一 忙 ８ ０ 又 － 直 线 ３ － ｙ ６ ０与 直 线 Ｚ３ － ’ ２ ＝。 ， － ｘ ２ 一１ － － ：ｘ ２， 一
高中数学专题---最值或取值范围问题
高中数学专题--- 最值或取值范围问题基本方法：最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数（自变量）的取值范围；②利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围； ④利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围． 最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线2y x =和C ：()2211x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥，作C 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.求ABP ∆面积的最小值.2. 已知椭圆:C 2214y x +=，过点()0,3M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B . 设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点）.求当AB <λ的取值x范围.二、课堂练习1. 已知椭圆C ：2214x y +=，过点()4,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ的取值范围.2. 已知A ，B 为椭圆Γ：22142x y +=的左，右顶点，若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上的任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆22:143x y C +=，过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.x3. 已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点，过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.。
解析几何最值问题常用求解策略
在评 价过 程 中要 重 视 对 数 学 学 习 过 程 的评 价 ．既 要 关 注 学生 知识 与技 能 的理 解 和 掌 握 ，又 要 关 注 他 们 情 感 与 态 度 的 形成 和发 展 ： 要 关 注 学 生 学 习数 学 的结 果 ， 要 关 注他 们 在 既 又 数学 学 习 过程 中 的 变化 和 发 展 。 多 元 性 的 评 价 包 括 参 与 数 学 活 动 的程 度 、 自信 心 、 作 交 流 的 意 识 、 立 思 考 的 习 惯 、 学 合 独 数 思考 发展 水 平 ， 等 。 如 ， 否积 极 主 动 地 参 与 学 习 活 动 ， 等 例 是 是 否有 学 好 数 学 的信 心 ， 否 乐 于 与 他 人 合 作 ， 否 愿 意 与 同伴 是 是 交 流 各 自的想 法 ．是 否 能够 通 过 独 立 思 考 获 得 解 决 问题 的思 路 ， 否 能 找 到 有 效 解 决 问 题 的方 法 ， 否 能 够 使 用 数 学 语 言 是 是 有 条 理 地 表 达 自己 的思 考 过 程 ．是 否 有 反 思 自 己思 考 过 程 的 意识 ， 等 。 等 四 、 展 性 评 价在 数 学教 学 中 的反 思 发 （ ） 展 性 评 价 不 应 是 无 原 则 的表 扬 ． 应 是 师 生 在 民 一 发 而 主 气 氛 中 的沟 通 。 些 教 师 经 常 引用 一 理 学 上 的 “ 森 塔 尔 效 应 ” 说 明赞 ｔ Ｌ ， 罗 来 扬 在 教 育 中 的重 要 性 ，坚 持 认 为 在评 价 时 只 能 表 扬 ．不 能 批 评 ， 能尽量发现“ 只 闪光 点 ” 不 能 指 出 缺 点 与 不 足 。 这 些 无 原 ， 则 的评 价 可 能 会 导 致 学 生 出现 基 础 知 识 不 牢 固 、 念 不 清 晰 、 概 努 力 方 向 不 明 确 等 问题 ， 可 能 使 学 生 是 非 不 分 、 恶 不 明 。 也 善 评 价 没 有 起 到 激 励 与 促 进 学 生 发 展 的作 用 ，相 反 却 阻 碍 了学 生 的 发 展 ， 价 活 动 的信 度 与 效 度 更 无 从 谈 起 。 展 性 评 价 注 评 发 重 评 价 过 程 中 被 评 价 者 对 评 价 信 息 的建 构 ，鼓 励 被 评 价 者 参 与 评 价 。 倡 自我 评 价 与 他 人 评 价 相结 合 ， 在 客 观 上 隐 含 了 提 这 评 价 双 方 平 等 交 流 的 基 本 要 求 。评 价 者 与 被 评 价 者 在 民 主 的 气 氛 中沟 通思 想 、 成共 识 ． 展 性 评 价 中 师生 双方 的 参 与 和 达 发 互 动 过 程 实 质 上 就 是 人 际 沟 通 的 过程 。 （ ） 展 性 评 价 不 应 是 多 种 评 价 方 式 、 价 主 体 的 简单 二 发 评 相加 。 评 价 的多 元 性 是 发 展 性 评 价 的一 个 整 体 特 征 ，它 不 意 味 着 每 一 个 具 体 评 价 活 动 都 要 使 用 所 有 的方 法 、调 动 所 有 的主 体。 而且 ， 价 的 多 元 方 法 与 多元 主体 的使 用 都 应 当 以保 障评 评 价 结 果 的 信 度 和 效 度 为 前 提 ， 价 者 对 评 价 目的 的理 解 、 评 评 对 价 标 准 的 把 握 、 评 价 方 法 的 熟 悉 程 度 等 ， 会 影 响 到 评 价 的 对 都
沪教版高中数学高二下册 -12 本章小结：解析几何中的最值问题 教案
解析几何中的最值问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.学习目标：1.能够根据变化中的几何量的关系建立目标函数，求出最值；2.能够熟练应用圆锥的定义和几何性质，运用几何法求出最值；学习重点与难点：1.根据关系建立目标函数或不等式；2.根据问题的几何意义，应用数形结合的思想解决问题一、基础训练：1. 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．2. 已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的动点，12,F F 是焦点，则12||||PF PF ⋅的取值范围是 ．3. 若C (－3，0)，D (3，0)，M 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则1|MC |＋1|MD |的最小值为________．4. 已知点A (–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 ．5. 已知(,)P x y 是椭圆221169x y +=的点，则x y +的最大值是 ．二、合作探究：例1 已知点(4,0),(0,4)A B ,动点(,)P x y 在线段AB 上，求：（1）x y +的最小值；（2）22x y +的最小值；（3的最小值；的最小值．例2 已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)． （1）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （2）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．例3 已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,上顶点为B , 若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26−．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设T 为直线3−=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且01=⋅PQ TF ，求||||1PQ TF 的最小值．三、课堂练习： 1、设连接双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(b>0，a>0)的四个顶点的四边形面积为S 1，连接四个焦点的四边形面积为S 2，则S 1S 2的最大值是 ．2、设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是 ．3、如果y x ,满足,369422=+y x 则1232−−y x 的最大值为 ．四、归纳小结：。
浅谈如何有效地解决解析几何中的最值问题
由双 曲线的第二定义 知
：， 。
Ｉｌ ｄ １ Ｉ Ｎｌ ＝ ， ￣
所以Ｉ ４ Ｉ ＝Ｉ ＋ ＝Ｉ ＋Ｉ Ｉ Ｐ Ｉ Ｐ Ｉ Ｐ Ｉ ｄ Ｐ Ｉ ． Ｍ Ｆ Ｍ Ｍ
ｙ
Ｃ：｛ ２
【 ＝３ｉ ｙ ｓｎ０
（ 为参数） ０ ．
（ ） Ｃ，Ｃ 的方 程为普通 方程 ，并说 明它们 分别表 示什 １化
么 曲线 ；
、
半 ＝， ｝ ｝则ｙ ， 直 径ｒ１设 ｊ 当 ，
线 Ｙ＝ 与圆 ｃ相切 时 ，卫 取最值 ．
所 以
Байду номын сангаас０
（ ） Ｃ 上的点 Ｐ对应 的参数为 ￡ ，Ｑ为 Ｃ 上 的动点 ， ２若 ＝ ２
（ ） —Ｙ： ２设 ｍ，
均为参数 方程 ，两 问相 互关联 ，可 以化 参数方程 为熟 悉的普通
方 程 ，于是 问题 获 得 如 下 解 法 ．
则 ， —ｍ与圆 Ｃ相切 时 ， — ， ＝ Ｙ有最值 ，
所 以
、２ ／
解 （ Ｃ （ ４＋ 一） １Ｃ 昔 ・ ：１ － ） （ ３＝，ｚ ）： ＋ ： 手 １
分 析 ： 本 题 与 例 ３有 类 似 之 处 ， 利 用 定 义 及 几 何 特 征 可 买
现 问题 的转 化 ．
故 （＋刚， 手ｉ） 一 ４ ２ ｓ ． ２ｃ ｎ
Ｃ 为 直 线 一２ ， ｙ一７＝０ ， 到 Ｇ 的距 离 ｄ＝Ｔ － ・ Ｖ３
解 由 曲音一 ＝知 ＝，＝ ：双 线 手 １ １ｂ９ ６ ２，
所 以 ｃ ＝２ ， ５ ） ５ ，０ ，
解析几何中最值问题的常用解法
又Ｐ （，２ ，由直线 两点方 程得 ： ３ ）
， ．
Ｙ一２
一
一
３
‘。． ｘ ２ ｏ一 ２
０—３
设， Ｐ ０交 于 点 （ｔ ），代入上 式 得 轴 ，Ｏ
一
解： （ ）过点Ｐ Ⅳ Ｉ 作Ｐ 垂直直线ｙ一 ＝ 三于点Ｎ。依题意得
玉兰
Ｘ ｏ一３
２ｘ ０—２
最值 时 ，一 定要 关注 等号 成立 的 条件及 等 号是 否 能够取 得 ，而利
用均 值 不等 式求 最值 ，ｌ 必须 关 注三 个条 件 “ 正、 二定 、三 相 轴 所成 夹 ，角 ０ 作为 一个 参变 量 ，此 时可 考虑 用 曲线 的参 数方 贝 ０ 一 应
等 ” ，所 谓 一正 ， 即正值 ，这 是运 用 此方 法 的前提 条件 ，在 解题 程 来表 达流动 点 。
出章节 专 门讲授 ，可是 它却 与 中学数 学 中众 多 的知识 和方 法 紧密
解：１ ．解 （）己 １ 知双曲线实半轴。 ４ ，虚半轴６ ２ ； － √ ，半 ＝
相 关 。譬如 ： 二次 函数 、不 等式 、 函数 的有 界性 等有 关知 识和 方 ｚ 法 的利 用 。所 以 ，这类 最大 值和 最 小值 问题 就在 高考 数学 的考 查 轴６ 中 占有 了 比较重 要 的地位 。再有 ，最 大值 和最 小 值 问题 的另一 个 显 著特 点 是它广 泛 的应 用性 和实 用性 。很 多 实 际问题 的解 决可 以 归 结 为一个 数学 上 的最大 值 或最 小值 问题 的求 解 。所 以这 类实 际 问题 的求解 ，将 有利 于 学生 把实 际 问题抽 象成 数 学 问题 的训练 ， ＝ ， ．所求 的椭 圆方 程为 ２ ・ ． Ｘ
高考数学《与解三角形有关的最值问题》
高考数学 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围． 解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB， 所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， 所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA， 可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1， 所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
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F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
分析：考虑几何特征：
利用定义、性质转化，
运用图形性质直接求解。
yP Q x
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
四、本专题总圆结锥:曲线的最值问题
求解析几何中最值问题的基本方法：
1.解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值 问题时要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、 繁杂的问题化归为动态的形的问题，使问题解决.
2.由题中条件通过设参数建立目标函数，再利用函数法、 不等式法、导数法等方法求目标函数的最值.
＝x20＋4－2 x02＋2（4－ x02 x02）＋4＝x220＋x802＋4 (0＜x20≤4). ∵x220＋x802≥4(0＜x20≤4)，当且仅当 x20＝4 时等号成立， ∴|AB|2≥8.
∴线段 AB 长度的最小值为 2 2.
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
圆锥曲线的最值问题
（2）代数法：
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首 先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值 常用方法有配方法、判别式法、不等式法及导数法等．
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛 物线上的一个动点，又知点Q(2,1), 则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为___.
解：设点P到准线x=-1的距离为d.
过点Q做准线x=-1的垂线，垂足为M.
y d
P
由抛物线定义得:∣PF∣=d.
M ∴ ∣PF∣+ ∣PQ∣= d+ ∣PQ∣
Q x
F
≥∣QM∣=3
X=-1
∴ ∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为 3
例3. 已知点B在椭圆圆锥x曲2＋线2的y2＝最4值上问，题O为原点.
点A在直线y＝2上，且OA⊥OB，
求线段AB长度的最小值.
解：设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，又∵x20＋2y20＝4，
∵ OA⊥OB，∴ O→A·O→B＝0，即 tx0＋2y0＝0 得 t＝－2xy00. ∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝(x0＋2xy00)2＋(y0－2)2
解：设直线AB的方程为：y=kx+1,
y
2x2
kx y2
1
得 2，
k2 2
x2 2kx 1 0，
SVABF2
1 2
|
F1F2
|gxA
xB
2
2
k k2
2 1 2
2
2
1 k2 1
1 k2 1
2 2 1 2.当且仅当 k 2 1 1 ，
2
k2 1
即k 0时，SVABF2有最大值为 2.
例2.已知F1、F2是圆双锥曲曲线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____.y A
P
F1
F2 x
例2.已知F1、F2是圆双锥曲曲线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____.y 分析：
（1）由双曲线的定义得到：
∣P F1 ∣- ∣P F2 ∣= 2a =4
转化
F1
A P
F2 x
（2）线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____. y
求线段AB长度的最小值.
圆锥曲线的最值问题 例3. 已知点B在椭圆x2＋2y2＝4上，O为原点.
点A在直线 y＝2上，且OA⊥OB， 求线段AB长度的最小值. 分析: （1）引入参数：设点A、B的坐标,
（2）由题中的条件找到参数之间的关系,
（3）建立起关于AB长度的目标函数，
（4）再求这个目标函数的最值。
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
分析： （1）引入参数：设直线AB的方程，
（2）建立目标函数：求出面积的函数，
（3）转化为求函数的最大值。
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
解： 由双曲线的定义得到：
∣P F1 ∣- ∣P F2 ∣= 2a =4
∴ ∣P F1 ∣+ ∣PA∣
F1
=4 +∣P F2 ∣+ ∣PA∣
≥4 +∣AF2 ∣
= 4 +5 = 9
A P
F2 x
圆锥曲线的最值问题 例3. 已知点B在椭圆x2＋2y2＝4上，O为原点.
点A在直线 y＝2上，且OA⊥OB，
圆锥曲线的最值问题
解析几何中的最值问题
强哥高中数学工作室
2020年5月5日
圆锥曲线的最值问题
一、高考地位:
解析几何中的最值问题几乎是高考的 必考点，可以在选择题或填空题中进行考 查，在解答题中也是考查的重点。
圆锥曲线的最值问题
二、解析几何中最值问题的解法:
（1）几何法：
若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义， 则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．