高考解析几何中的最值问题
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
分析：考虑几何特征：
利用定义、性质转化，
运用图形性质直接求解。
yP Q x
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
四、本专题总圆结锥:曲线的最值问题
求解析几何中最值问题的基本方法：
1.解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值 问题时要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、 繁杂的问题化归为动态的形的问题，使问题解决.
2.由题中条件通过设参数建立目标函数，再利用函数法、 不等式法、导数法等方法求目标函数的最值.
＝x20＋4－2 x02＋2（4－ x02 x02）＋4＝x220＋x802＋4 (0＜x20≤4). ∵x220＋x802≥4(0＜x20≤4)，当且仅当 x20＝4 时等号成立， ∴|AB|2≥8.
∴线段 AB 长度的最小值为 2 2.
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
圆锥曲线的最值问题
（2）代数法：
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首 先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值 常用方法有配方法、判别式法、不等式法及导数法等．
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛 物线上的一个动点，又知点Q(2,1), 则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为___.
解：设点P到准线x=-1的距离为d.
过点Q做准线x=-1的垂线，垂足为M.
y d
P
由抛物线定义得:∣PF∣=d.
M ∴ ∣PF∣+ ∣PQ∣= d+ ∣PQ∣
Q x
F
≥∣QM∣=3
X=-1
∴ ∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为 3
例3. 已知点B在椭圆圆锥x曲2＋线2的y2＝最4值上问，题O为原点.
点A在直线y＝2上，且OA⊥OB，
求线段AB长度的最小值.
解：设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，又∵x20＋2y20＝4，
∵ OA⊥OB，∴ O→A·O→B＝0，即 tx0＋2y0＝0 得 t＝－2xy00. ∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝(x0＋2xy00)2＋(y0－2)2
解：设直线AB的方程为：y=kx+1,
y
2x2
kx y2
1
得 2，
k2 2
x2 2kx 1 0，
SVABF2
1 2
|
F1F2
|gxA
xB
2
2
k k2
2 1 2
2
2
1 k2 1
1 k2 1
2 2 1 2.当且仅当 k 2 1 1 ，
2
k2 1
即k 0时，SVABF2有最大值为 2.
例2.已知F1、F2是圆双锥曲曲线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____.y A
P
F1
F2 x
例2.已知F1、F2是圆双锥曲曲线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____.y 分析：
（1）由双曲线的定义得到：
∣P F1 ∣- ∣P F2 ∣= 2a =4
转化
F1
A P
F2 x
（2）线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____. y
求线段AB长度的最小值.
圆锥曲线的最值问题 例3. 已知点B在椭圆x2＋2y2＝4上，O为原点.
点A在直线 y＝2上，且OA⊥OB， 求线段AB长度的最小值. 分析: （1）引入参数：设点A、B的坐标,
（2）由题中的条件找到参数之间的关系,
（3）建立起关于AB长度的目标函数，
（4）再求这个目标函数的最值。
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
分析： （1）引入参数：设直线AB的方程，
（2）建立目标函数：求出面积的函数，
（3）转化为求函数的最大值。
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
解： 由双曲线的定义得到：
∣P F1 ∣- ∣P F2 ∣= 2a =4
∴ ∣P F1 ∣+ ∣PA∣
F1
=4 +∣P F2 ∣+ ∣PA∣
≥4 +∣AF2 ∣
= 4 +5 = 9
A P
F2 x
圆锥曲线的最值问题 例3. 已知点B在椭圆x2＋2y2＝4上，O为原点.
点A在直线 y＝2上，且OA⊥OB，
圆锥曲线的最值问题
解析几何中的最值问题
强哥高中数学工作室
2020年5月5日
圆锥曲线的最值问题
一、高考地位:
解析几何中的最值问题几乎是高考的 必考点，可以在选择题或填空题中进行考 查，在解答题中也是考查的重点。
圆锥曲线的最值问题
二、解析几何中最值问题的解法:
（1）几何法：
若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义， 则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
解析几何中的定点、定值与最值问题解法揭秘
定值 问题 ，通过特殊探索法不但能够确定出定点、定 值 ，还可 以为我们提供解题 的线索．
例 １ 已知抛物线 ｙ＝ｐ （ ＞ ）问 ： ． ￣Ｚｘｐ Ｏ ， 在轴 的正半 轴
上是否存在一点 。 使得过 Ｍ点 的抛 物线 的任 意一 条 弦 Ｐ 都有 Ｐ０ ２ （ １尸 Ｄ为坐标原点 ）请说明理 由． ＝ ？
题 ．从 而找到解决 问题 的突破 Ｅ． ，有许 多定 点 、 １ 另外
直线 Ａ Ｐ的方程 为 ， ｊ （＋）令 ｘ ２ ／ ， ｙ ， ＝ ｘ ２， ＝ 、 ２ 则 ＝
高中 ２１ ０ ２年第 ’嬲
数攀有数
，
ｘｏ ｚ ＋ ５
即 Ｅ２ （
，
・
．
．
蔚 ・ ＝华 （
， ） ， 。 （ ） 一 ・。 ｙ ） ２ （ 。２ ＝
１ １
明若满 足题设条 件 的点 存在 ， 其坐标 只能是 （ ，
参数表示 ， 然后计算出所需结果与该参数无关 ： 也可 将变动元 素置于特殊状态下 探求 出定点 、定值 ，然 后给 以证 明． 注意的是 ，解 析几何 中的定 点 、定 值得
值问题与一般几何证明不同 ．它 的结论中没有确定 的
二
分析 ： 这是一道 与探索性相结合的定点 问题 ． 过 通 阅读题意我们发现几个关 键词 ：正半轴 ” “ “ ，任意一 条 弦” 抛物线 ｙ＝ｐ （＞ ） ， ＝Ｚｘ ｐ ０ 的开 口向右 ， 先假设 满足 题 设 条件的点 存在 ， 并求 出 的坐标 ， 然后证 明过 点的任意一条直 弦 ＰＰ 都有 ／ＰＯ ２ 也就是先 证 ｌ２ － ，Ｐ＝＂ Ｉ Ｔ，
ｘ ＃－
０ ， ＰＰ是过点 （ ０ 的任意一条弦 ， ）设 Ｉ ２ ２ ） ｐ， 其斜率为 ｋ ， 则 Ｐ 的 方 程 为 ｙ ｋ（ 一 ） 代 入 ＝ ｐ ＝ ， ｚ 得 Ｊ 一 】 ｝
解析几何中最值问题的求法
＝Ｔ ｔ ＿Ａ － Ｘ ３ ＋ Ｘ ２ ｃ ｓ０ 了 ） 当 ０ － Ｉ 即（－ ） ２ ／ 一 一 ／ 。 ／ ２ ／ ｏ （＋， ｆ － ｘ ｙ ＼ １ 、
，
解 ：设 与直 线 ３－ ３ １ ＝ ｘ ２， ６ Ｏ斜 率 相 同 且 与 椭 圆 ７Ｚ４ ： ８ ＿ ｘ＋ ￣ ２
三 、 用 不 等 式 。 其 是 均 值 不 等 式 求最 值 利 尤
Ｊ ￣ＡＡＭＢ的 面 积 的 最 小值 是 ０ － ￣ ４
。
≥ ， 当ｘ０ ｌ ＝ ， Ｐ 普。 ｏ・ ＝ 时，ＡＪ 即Ｊ Ｊ 一 ． ． Ｐ Ａ
所 以 距 点 Ａ 最 近 的 点 Ｐ的 坐 标 为 （ ， ）即最 短 距 离 为 。 ００，
二、 利用 三 角 函数 ， 其 是 正 、 弦 函数 的 有 界 性 。 最 值 尤 余 求
相切的直线ｚ 的方程为３－ｙ￡ ， ｘ２ ： 则由｛ ＋ｏ ７ ｘ
得 ｌ ６＋ ｘ
ｊ ２ ｔ 一 ｙ＋ ＝Ｕ
例３ 知椭圆ｃ 筝＋ １ 曰 椭圆中 已 ： 孚＝ ， 是过 Ａ 心的 任意弦， ｆ
是 线 段 Ａ 的 垂 直 平 分 线 ． 是 与椭 圆 的 交 点 ．求 △ＡＭＢ 的 面 积 的最 小 值 解 ： 设 线 段 ＡＢ所 在 直 线 的 斜 率 存 在 且 不 为 零 ． Ａ 所 假 设 Ｂ 在 的 直线 方 程 为 ｙ ｋ （ ≠０ ， ｘ ，Ａ ， ＝ｘｋ ） Ａ（ ＾ ） Ｙ
６ ￡ ２＝ ， 缸十２ ８ ０ 由判 别 式 △＝ ６２４ １ （ — ８ ＝ ． ｆ± ， 直线 ３ ｔ ｘ ６ｔ ２ ）０ 得 ＝ ８ 故 － ２ 的方 程 为 ３ 一 忙 ８ ０ 又 － 直 线 ３ － ｙ ６ ０与 直 线 Ｚ３ － ’ ２ ＝。 ， － ｘ ２ 一１ － － ：ｘ ２， 一
高中数学专题---最值或取值范围问题
高中数学专题--- 最值或取值范围问题基本方法：最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数（自变量）的取值范围；②利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围； ④利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围． 最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线2y x =和C ：()2211x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥，作C 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.求ABP ∆面积的最小值.2. 已知椭圆:C 2214y x +=，过点()0,3M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B . 设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=（O 为坐标原点）.求当AB <λ的取值x范围.二、课堂练习1. 已知椭圆C ：2214x y +=，过点()4,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ的取值范围.2. 已知A ，B 为椭圆Γ：22142x y +=的左，右顶点，若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上的任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆22:143x y C +=，过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.x3. 已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点，过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.。
解析几何最值问题常用求解策略
在评 价过 程 中要 重 视 对 数 学 学 习 过 程 的评 价 ．既 要 关 注 学生 知识 与技 能 的理 解 和 掌 握 ，又 要 关 注 他 们 情 感 与 态 度 的 形成 和发 展 ： 要 关 注 学 生 学 习数 学 的结 果 ， 要 关 注他 们 在 既 又 数学 学 习 过程 中 的 变化 和 发 展 。 多 元 性 的 评 价 包 括 参 与 数 学 活 动 的程 度 、 自信 心 、 作 交 流 的 意 识 、 立 思 考 的 习 惯 、 学 合 独 数 思考 发展 水 平 ， 等 。 如 ， 否积 极 主 动 地 参 与 学 习 活 动 ， 等 例 是 是 否有 学 好 数 学 的信 心 ， 否 乐 于 与 他 人 合 作 ， 否 愿 意 与 同伴 是 是 交 流 各 自的想 法 ．是 否 能够 通 过 独 立 思 考 获 得 解 决 问题 的思 路 ， 否 能 找 到 有 效 解 决 问 题 的方 法 ， 否 能 够 使 用 数 学 语 言 是 是 有 条 理 地 表 达 自己 的思 考 过 程 ．是 否 有 反 思 自 己思 考 过 程 的 意识 ， 等 。 等 四 、 展 性 评 价在 数 学教 学 中 的反 思 发 （ ） 展 性 评 价 不 应 是 无 原 则 的表 扬 ． 应 是 师 生 在 民 一 发 而 主 气 氛 中 的沟 通 。 些 教 师 经 常 引用 一 理 学 上 的 “ 森 塔 尔 效 应 ” 说 明赞 ｔ Ｌ ， 罗 来 扬 在 教 育 中 的重 要 性 ，坚 持 认 为 在评 价 时 只 能 表 扬 ．不 能 批 评 ， 能尽量发现“ 只 闪光 点 ” 不 能 指 出 缺 点 与 不 足 。 这 些 无 原 ， 则 的评 价 可 能 会 导 致 学 生 出现 基 础 知 识 不 牢 固 、 念 不 清 晰 、 概 努 力 方 向 不 明 确 等 问题 ， 可 能 使 学 生 是 非 不 分 、 恶 不 明 。 也 善 评 价 没 有 起 到 激 励 与 促 进 学 生 发 展 的作 用 ，相 反 却 阻 碍 了学 生 的 发 展 ， 价 活 动 的信 度 与 效 度 更 无 从 谈 起 。 展 性 评 价 注 评 发 重 评 价 过 程 中 被 评 价 者 对 评 价 信 息 的建 构 ，鼓 励 被 评 价 者 参 与 评 价 。 倡 自我 评 价 与 他 人 评 价 相结 合 ， 在 客 观 上 隐 含 了 提 这 评 价 双 方 平 等 交 流 的 基 本 要 求 。评 价 者 与 被 评 价 者 在 民 主 的 气 氛 中沟 通思 想 、 成共 识 ． 展 性 评 价 中 师生 双方 的 参 与 和 达 发 互 动 过 程 实 质 上 就 是 人 际 沟 通 的 过程 。 （ ） 展 性 评 价 不 应 是 多 种 评 价 方 式 、 价 主 体 的 简单 二 发 评 相加 。 评 价 的多 元 性 是 发 展 性 评 价 的一 个 整 体 特 征 ，它 不 意 味 着 每 一 个 具 体 评 价 活 动 都 要 使 用 所 有 的方 法 、调 动 所 有 的主 体。 而且 ， 价 的 多 元 方 法 与 多元 主体 的使 用 都 应 当 以保 障评 评 价 结 果 的 信 度 和 效 度 为 前 提 ， 价 者 对 评 价 目的 的理 解 、 评 评 对 价 标 准 的 把 握 、 评 价 方 法 的 熟 悉 程 度 等 ， 会 影 响 到 评 价 的 对 都
沪教版高中数学高二下册 -12 本章小结：解析几何中的最值问题 教案
解析几何中的最值问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命制新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.学习目标：1.能够根据变化中的几何量的关系建立目标函数，求出最值；2.能够熟练应用圆锥的定义和几何性质，运用几何法求出最值；学习重点与难点：1.根据关系建立目标函数或不等式；2.根据问题的几何意义，应用数形结合的思想解决问题一、基础训练：1. 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．2. 已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的动点，12,F F 是焦点，则12||||PF PF ⋅的取值范围是 ．3. 若C (－3，0)，D (3，0)，M 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则1|MC |＋1|MD |的最小值为________．4. 已知点A (–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 ．5. 已知(,)P x y 是椭圆221169x y +=的点，则x y +的最大值是 ．二、合作探究：例1 已知点(4,0),(0,4)A B ,动点(,)P x y 在线段AB 上，求：（1）x y +的最小值；（2）22x y +的最小值；（3的最小值；的最小值．例2 已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)． （1）若3m =，求PA 的最大值与最小值； （2）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围．例3 已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,上顶点为B , 若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26−．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）设T 为直线3−=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且01=⋅PQ TF ，求||||1PQ TF 的最小值．三、课堂练习： 1、设连接双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(b>0，a>0)的四个顶点的四边形面积为S 1，连接四个焦点的四边形面积为S 2，则S 1S 2的最大值是 ．2、设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是 ．3、如果y x ,满足,369422=+y x 则1232−−y x 的最大值为 ．四、归纳小结：。
浅谈如何有效地解决解析几何中的最值问题
由双 曲线的第二定义 知
：， 。
Ｉｌ ｄ １ Ｉ Ｎｌ ＝ ， ￣
所以Ｉ ４ Ｉ ＝Ｉ ＋ ＝Ｉ ＋Ｉ Ｉ Ｐ Ｉ Ｐ Ｉ Ｐ Ｉ ｄ Ｐ Ｉ ． Ｍ Ｆ Ｍ Ｍ
ｙ
Ｃ：｛ ２
【 ＝３ｉ ｙ ｓｎ０
（ 为参数） ０ ．
（ ） Ｃ，Ｃ 的方 程为普通 方程 ，并说 明它们 分别表 示什 １化
么 曲线 ；
、
半 ＝， ｝ ｝则ｙ ， 直 径ｒ１设 ｊ 当 ，
线 Ｙ＝ 与圆 ｃ相切 时 ，卫 取最值 ．
所 以
Байду номын сангаас０
（ ） Ｃ 上的点 Ｐ对应 的参数为 ￡ ，Ｑ为 Ｃ 上 的动点 ， ２若 ＝ ２
（ ） —Ｙ： ２设 ｍ，
均为参数 方程 ，两 问相 互关联 ，可 以化 参数方程 为熟 悉的普通
方 程 ，于是 问题 获 得 如 下 解 法 ．
则 ， —ｍ与圆 Ｃ相切 时 ， — ， ＝ Ｙ有最值 ，
所 以
、２ ／
解 （ Ｃ （ ４＋ 一） １Ｃ 昔 ・ ：１ － ） （ ３＝，ｚ ）： ＋ ： 手 １
分 析 ： 本 题 与 例 ３有 类 似 之 处 ， 利 用 定 义 及 几 何 特 征 可 买
现 问题 的转 化 ．
故 （＋刚， 手ｉ） 一 ４ ２ ｓ ． ２ｃ ｎ
Ｃ 为 直 线 一２ ， ｙ一７＝０ ， 到 Ｇ 的距 离 ｄ＝Ｔ － ・ Ｖ３
解 由 曲音一 ＝知 ＝，＝ ：双 线 手 １ １ｂ９ ６ ２，
所 以 ｃ ＝２ ， ５ ） ５ ，０ ，
解析几何中最值问题的常用解法
又Ｐ （，２ ，由直线 两点方 程得 ： ３ ）
， ．
Ｙ一２
一
一
３
‘。． ｘ ２ ｏ一 ２
０—３
设， Ｐ ０交 于 点 （ｔ ），代入上 式 得 轴 ，Ｏ
一
解： （ ）过点Ｐ Ⅳ Ｉ 作Ｐ 垂直直线ｙ一 ＝ 三于点Ｎ。依题意得
玉兰
Ｘ ｏ一３
２ｘ ０—２
最值 时 ，一 定要 关注 等号 成立 的 条件及 等 号是 否 能够取 得 ，而利
用均 值 不等 式求 最值 ，ｌ 必须 关 注三 个条 件 “ 正、 二定 、三 相 轴 所成 夹 ，角 ０ 作为 一个 参变 量 ，此 时可 考虑 用 曲线 的参 数方 贝 ０ 一 应
等 ” ，所 谓 一正 ， 即正值 ，这 是运 用 此方 法 的前提 条件 ，在 解题 程 来表 达流动 点 。
出章节 专 门讲授 ，可是 它却 与 中学数 学 中众 多 的知识 和方 法 紧密
解：１ ．解 （）己 １ 知双曲线实半轴。 ４ ，虚半轴６ ２ ； － √ ，半 ＝
相 关 。譬如 ： 二次 函数 、不 等式 、 函数 的有 界性 等有 关知 识和 方 ｚ 法 的利 用 。所 以 ，这类 最大 值和 最 小值 问题 就在 高考 数学 的考 查 轴６ 中 占有 了 比较重 要 的地位 。再有 ，最 大值 和最 小 值 问题 的另一 个 显 著特 点 是它广 泛 的应 用性 和实 用性 。很 多 实 际问题 的解 决可 以 归 结 为一个 数学 上 的最大 值 或最 小值 问题 的求 解 。所 以这 类实 际 问题 的求解 ，将 有利 于 学生 把实 际 问题抽 象成 数 学 问题 的训练 ， ＝ ， ．所求 的椭 圆方 程为 ２ ・ ． Ｘ
高考数学《与解三角形有关的最值问题》
高考数学 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围． 解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB， 所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， 所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA， 可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1， 所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
解析几何三角形面积最值问题-解析版
解析几何三角形面积最值问题未命名一、解答题1．（2019·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三开学考试（文））已知(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率2,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF,O 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ,Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求直线l 的方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =-或22y x =--【解析】试题分析：（1）由离心率与斜率可求得a,b,c.(2) 设:2l y kx =-，与椭圆组方程组，由弦长公式，点到距离公式，求得三角形面积． 试题解析：(1)设(),0F c，由条件知，2c c =⇒=又22c a b a =⇒==， 故椭圆E 的方程为22182x y +=；(2)当l x ⊥轴时，不合题意，故可设:2l y kx =-，()22222,1416801,82y kx k x kx x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩， ()221164104k k ∆=->⇒>， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，121222168,1414k x x x x k k +==++，241PQ k ==+又点O 到直线l 的距离d =∴△OPQ 的面积12OPQS PQ d ∆==，t =，则0t >， ∴2OPQ S t t∆==≤+，当且仅当2t t t =⇒=k =时等号成立，满足0∆>，∴当k =±时，△OPQ 的面积取得最大值2，此时直线l 的方程为2y x =-或2y x =-. 【点睛】弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y ，所以12AB x =-或12AB y =-2．（2020·江苏高二单元测试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）由离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为222,ce a b c a==+,列方程组求得,a b 的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）点()4,M t ，直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t xt x t +++-=，利用韦达定理解出P 点坐标，同理可求得Q 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为t 的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可. 【详解】（Ⅰ）由题设知，2,2a c ab ==又222a b c =+，解得2,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由于对称性，可令点()4,M t ，其中0t >.将直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t xt x t +++-=，由22410827A P t x x t -⋅=+，2A x =-得2225427Pt x t -=+，则21827P t y t =+. 再将直线BM 的方程()22t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得()2222344120t xt x t +---=，由224123B Q t x x t -⋅=+，2B x =得22263Q t x t-=+，则263Q t y t -=+. 故四边形APBQ 的面积为122P Q P Q S AB y y y y =⋅-=-= 221862273t t t t ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t t t tt t t t ++===+++++++.由于296t tλ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥，从而，有48612S λλ=≤+. 当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6.注:本题也可先证明”动直线PQ 恒过椭圆的右焦点()0,1F ”,再将直线PQ 的方程1x ty =+ (这里t R ∈)代入椭圆方程22143x y +=,整理得()2234690t y ty ++-=,然后给出面积表达式2P Q S y y =-==令211m t =+≥,则S =当且仅当6λ=即3t =时, max 6S =. 3．（2020·宁夏银川一中高二期中（理））已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点⎭.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）直线l ：x ky n =+与椭圆M 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625. 【分析】（1）首先根据题意得到2b a =，再根据椭圆经过点⎭，即可得到答案.（2）首先设直线l 的方程为x ky n =+，联立2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到()2224240ky kny n +++-=，根据0CA CB ⋅=得到所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，再计算ABC 面积的最大值即可. 【详解】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -， 则12B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x y b b+=.将⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=， 解得2a =，1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky n =+，联立2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kny n +++-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224kn y y k -+=+，212244n y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=， 将11x ky n =+，22x ky n =+代入上式，并整理得()()()()2212121220k y y k n y y n ++-++-=，则()()()()22222214222044kn k n n n k k +---++-=++， 化简得()()5620n n --=，解得65n =或2n =，因为直线x ky n =+不过点()2,0C ， 所以2n ≠，故65n =.所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121||||2ABC S DC y y =⋅-△16225⎛=⨯-= ⎝=， 设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭，则ABCS=10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增， 当14t=时，1625ABCS ==， 所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于难题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12y y +，12y y ⋅，然后利用0CA CB ⋅=得到直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭为解题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力． 4．（2021·安庆市第十中学高二期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12F F 、分别是椭圆C 的左､右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，求1F AB 的面积的最大值． 【答案】（1）22143x y +=；（2）3．【分析】（1）由题意,列出方程组，求得2,a b ==，即可得到椭圆的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，根据根与系数的关系，求得1212,y y y y +，结合三角形的面积公式，得到1121212F ABSF F y y =⋅-=，利用换元法，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意, 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =．可得222212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,a b ==，故椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++， 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆>，即()22(6)36340,m m m R ++>∈，则112121221234F ABSF F y y y y m =⋅-=-==+，令t =，则1t ≥，则12124113132F ABt St t t ===++．令13()f t t t=+，由函数的性质可知，函数()ft 在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是单调递增函数， 即当1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，因此有4()(1)3f t f ≥=，所以13F AB S ≤△，即当1,0t m ==时，1F ABS最大，故当直线l 的方程为1x =时，1F AB 面积的最大值为3． 【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.5．（2021·全国高二课时练习）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b+= (a >b >0)的离心F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）22y x =±-【解析】试题分析：设出F ，由直线AF c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求.试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF ，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==-解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l 的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t=2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.6．（2020·黑龙江建三江分局第一中学高二期中（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>倍，且经过点).（1）求C 的标准方程；（2）C 的右顶点为A ，过C 右焦点的直线l 与C 交于不同的两点M ，N ，求AMN ∆面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=；（2）2- 【分析】（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出,a b ，即可得到椭圆方程．（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可． 【详解】（1）解：由题意22,211,a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得2a =，b = 所以椭圆的标准方程为22142x y +=．（2）点(2,0)A，右焦点)F，由题意知直线l 的斜率不为0，故设l的方程为x my =+()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程得22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，整理得22(2)20m y ++-=，∴216(1)0m ∆=+>，12y y +=，12222y y m =-+，()()()21212122222222)224281m y y y y y y m m m ⎛⎫∴--=+ ⎪ ⎪+=+=++⎝+⎭16（1222y y m ∴-=+(12122AMNS y y ∆∴=⨯⨯-(22=(()122221=-，当且仅当0m =时等号成立，此时l ：x = 所以AMN 面积的最大值为2- 【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题．7．（2021·浙江高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(Ι) 22163x y +=（Ⅱ）12AB CD ⋅=【分析】(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点()00,P x y ，利用“点差法”即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，进而可得椭圆方程；(2)由CDAB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用ABCD 1S 2AB CD =⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值. 【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 则()22112211x y a b +=，()22222212x y a b+=，（1）－（2）得：()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=，因为12121y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以0012y x =，即()121212y y x x +=+，所以可以解得222a b =，即()2222a a c=-，即222ac =，又因为c =，所以26a =，所以M 的方程为22163x y +=.（Ⅱ）因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，将0x y +=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，所以可得AB =；将y x m =+代入22163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设()33,,C x y ()44,,D x y 则CD =()221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB CD ⋅= . 【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.8．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为()1F，)2F，且经过点)M．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为2的直线与椭圆C 交于,A B 两点，求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）22142x y +=；（2． 【分析】（1）根据椭圆的定义求得a ，由此求得b ，从而求得椭圆C 的标准方程；（2）设出直线AB 的方程2y x m =+，联立直线AB 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，求出弦长AB ，表示出AOB 的面积，利用不等式求出最值即可． 【详解】（1）由椭圆的定义，可知12214a MF MF =+==．解得2a =．又2222b a =-=．所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）设直线l 的方程为2y x m =+， 联立椭圆方程，得2298240x mx m ++-=，2264721440m m ∆=-+>，得m -<<设()11,A x y ，()22,B x y ，1289m x x ∴+=-，212249m x x -=，12AB x x ∴=-=== 点()0,0O 到直线:20l x y m -+=的距离d=11||22AOBS AB d ∴=⋅⋅=⋅△=≤=当2218m m-=即29m=，3m=±时取等；所以AOB．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生逻辑思维能力和计算能力，直线y kx b=+上两点()()1122,,,A x yB x y间的距离公式为：1.12AB x x=-；2.12A yB y=-；3.若AB过焦点，也可以使用焦半径公式．9．（2019·广东中山市·中山纪念中学高三月考（文））已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F1F的直线l与C交于A，B两点，2ABF的周长为()1求椭圆C的方程；()2当2ABF的面积最大时，求l的方程．【答案】(1)2212xy+=；(2)1x=-.【解析】试题分析：()1根据椭圆定义及2ABF∆的周长为得出a=cea=知1c ea==，求出21b=，进而得到椭圆C的方程；()2将三角形分割，以12F F为底，A B、两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，运用基本不等式求得结果解析：（1）由椭圆的定义知4a=，a=由cea=知1c ea==2221b a c =-=所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）由（1）知()()121,0,1,0F F -，122F F = 设()()1122,,,A x y B x y ，:1l x my =-联立1x my =-与2212x y +=得到()222210m y my +--=，12y y -=2ABF S ==当211,0m m +==时，2ABF S ∆，:1l x =-点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程1x my =- 10．（2016·云南昆明市·高三一模（理））已知离心率为√22的椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)经过点A(1,√22). （1）求椭圆E 的方程； （2）若不过点A 的直线l:y =√22x +m 交椭圆E 于B,C 两点，求ΔABC 面积的最大值.【答案】（1）x 22+y 2=1，（2）√22【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为√22，可得c a=√2,可设椭圆方程为x 22n 2+y 2n 2=1，再代入点A 的坐标得代入设出的椭圆的方程，即可得椭圆E 的方程（Ⅱ）先设点B ，C 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，将直线方程与椭圆的方程联立：消去一个元，得到一个一元二次方程.再求解判别式：写出根与系数的关系.计算点A 到直线l 的距离，得到用m 表示ΔABC 的面积，利用基本不等式求出ΔABC 面积的最大值. 试题解析：（Ⅰ）因为ca =√2,所以设a =√2n ，c =n ，则b =n ，椭圆E 的方程为x 22n 2+y 2n 2=1. 代入点A 的坐标得12n 2+12n 2=1，n 2=1，所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.（Ⅱ）设点B ，C 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，由{y =√22x +m x 2+2y 2=2得x 2+2(12x 2+√2mx +m 2)=2，即x 2+√2mx +m 2−1=0， x 1+x 2=−√2m ，x 1⋅x 2=m 2−1 Δ=2m 2−4(m 2−1)>0，m 2<2.|BC|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√32[2m 2−4(m 2−1)] =√32(4−2m 2)，点A 到直线l 的距离d =√32，ΔABC 的面积S =12|BC|⋅d =12√32(4−2m 2)√32=√22√m 2(2−m 2)≤√22⋅m 2+2−m 22=√22，当且仅当m 2=2−m 2，即m 2=1时等号成立.所以当m =±1时，ΔABC 面积的最大值为√22.考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题.【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.。
圆中最值问题的常见解法
分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.