全等三角形-斜边直角边判定

解：BD=CD 因为∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ ADB和Rt△ADC中, AB=AC AD=AD 所以Rt△ ADB ≌Rt△ADC (HL)
所以BD=CD
例2.已知:如图,AB＝CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别 为E,F,DE＝BF. 求证:(1)AE＝CF;(2)AB∥CD.
证明： (1)∵DE⊥AC,BF⊥AC

C
BC= BC
B′
∴Rt△ABC ≌ Rt△ ABC (HL)
A′
C′
想一想
你能够用几种方法说明两个直 仅有一般三角形识别全等的方法:SAS、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊 的识别方法——“HL”.
判断下列命题的真假，并说明理由
练习:
1． 如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB， DF⊥AC， E、F为垂足，DE＝DF，求证： △BED≌△CFD．
证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足
∴∠BED=∠CFD=90°
∴ △BED和△CFD都是直角三角形 在Rt△BED与Rt△CFD中, ∵ DE＝DF BD＝CD ∴ △BED≌△CFD(H.L)
C
D
2． 如图，已知∠1＝∠2， AO＝BO，求证： △AOP≌△BOP
证明:在△AOP与△BOP中， ∵ AO＝BO， ∠1＝∠2， （第 2 题） OP＝OP， ∴ △AOP≌△BOP（S.A.S.）．
习题 1． 如图，已知AB＝DC， AC＝DB，求证： △ABC≌△DCB
证明:在△ABC和△DCB中， ∵ AB＝DC， AC＝DB（已知）， 又BC＝CB（公共边）， ∴ △ABC≌△DCB（SSS）．
则△ABC与 △DEF 全等 （填“全等”或 “不全等”）
根据 ASA （用简写法）
（2）若 ∠ A= ∠ D，BC=EF，
A C
F E D
则 △ABC与 △DEF 全等 （填“全等” 或“不全等”）根据 AAS （用 B 简写法） （3）若AB=DE，BC=EF，
则 △ABC与△ DEF 全等 （填“全等”或 SAS “不全等”）根据 （用简写法） （4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则 △ABC与△DEF 全等 （填“全等”或 SSS “不全等”）根据 （用简写法）
你能解释其中的道理吗？
一位战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的 方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好 落在碉堡的底部.然后，他转过一个角度，保持刚 才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点 上.接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距 离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
A 1 2 B D 解：在△ADB与△ADC中，有 ∠1=∠2， C
2.如图，AC＝AD， ∠C＝∠D＝90°，求证： BC＝BD
证明:∵ ∠C＝∠D＝90°
∴ △ABC与△ABD都是直角三角形
在Rt△ABC与Rt△ABD中
∵AB=AB（公共边）
AC=AD
（第 2 题）
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（H．L．）
∴BC=BD(全等三角形对应边相等）
3. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆 上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩 离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
（第 1 题）
3． 要使下列各对三角形全等，还需要增加什 么条件？ （1） ∠A＝∠D， ∠B＝∠F； （2） ∠A＝∠D， AB＝DE．
（1）AB＝DF（ASA）
或AC＝DE（AAS）
或BC＝FD（AAS）
（2）AC＝DF（SAS）
或∠B＝∠E（ASA）
或∠C＝∠F（AAS）
（第 3 题）
4． 如图，已知AB＝AC， BD＝CE，求证： △ABD≌△ACE．
第12章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
回 1、判定两个三角形全等方法， SSS，SAS， ASA，AAS。 顾 2、如图,Rt △ ABC中，直角边 BC 、 AC ，斜 与 边 AB 。 A A 思 E F 考 B B C C
3、如图，AB ⊥ BE于B，DE
⊥
BE于E，
D
（1）若 ∠ A= ∠ D，AB=DE，
想一想
对于一般的三角形“S.S.A”可不可 以证明三角形全等?AAA？ A
不可以.AAA也不可以.
B
D
C
但直角三角形作为特殊的三角形, 会不会有自身独特的判定方法呢 ?
动动手 做一做 画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一 直角边CA=8cm,斜边AB=10cm.
B
10cm
A
8cm
C
B
10cm 10cm
AD=AD,
∠ADB=∠ADC=90°. ∴△ADB≌△ADC (ASA) . ∴DB=DC (全等三角形对应边相等).
家庭作业： P79 习题 6 P97 8、9
例4 如图19．2．18，已知AC＝BD， ∠C＝∠D＝90°， 求证Rt△ABC≌Rt△BAD．
证明∵ ∠C＝∠D＝90°， 图 19.2.18 ∴ △ABC与△BAD都是直角三角形． 在Rt△ABC与Rt△BAD中， ∵ AB＝BA， AC＝BD， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L．）.
B′
A
8cm
C
A′
8cm
C′
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. 此定理只对直角三角形适用，其他三角形不能 用。
斜边、直角边公理 (HL)推理格式
∵∠C=∠C′=90°
B
∴在Rt△ABC和Rt△ABC中 A AB= AB
6． 如图，DE⊥AB， DF⊥AC， AE＝AF，你 能找出一对全等的三角形吗？
（第 6 题）
△ADE≌△ADF（H.L.）
判定直角三角形全等的5种 方法：
SAS，ASA，AAS，SSS， HL
《课课练》P48-P49 第4课时斜边直角边
全做
∴ △ABF和△CDE都是直角三角形 C D 在Rt△ABF和Rt△CDE中 F AB=CD E DE=BF B A ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (2)∵Rt△ABC≌Rt△BAD ∴AF=CE ∴∠C＝∠A ∴AF-EF=CE-EF ∴AE=CF ∴AB∥CD.
例3.在等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，直线DE 经过点C，AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为D，E， 求证：AD=CE A ∵AD⊥DE 证明： 2 B ∴∠D=90° ∵∠ACB+∠1=∠D+∠2 1 而∠ACB=90° D C E ∴∠1=∠2 在Rt△ADC和Rt△BCE中
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 一条直角边及一个锐角对应相等的两个直角三角 形全等 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角 三角形全等 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的 两个直角三角形全等
下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事： 在一次战役中， 我军阵地与敌 军碉堡隔河相 望.为了炸掉这 个碉堡，需要 知道碉堡与我 军阵地的距离. 在不能过河测 量又没有任何 测量工具的情 况下，如何估 测这个距离呢？
∠1=∠2 ∴ Rt△ADC≌Rt△BCE ∠D=∠E=90° ∴AD=CE AC=BC
例4.已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别 是高, 且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A 证明：∵AP、DQ分别是高 ∴ △ABP和△DEQ都是直角三角形 ∵AB=DE,AP=DQ B P C ∴ △ABP≌△DEQ D ∴∠B=∠E 在△ABC和△DEF中 ∠BAC=∠EDF AB=DE F E Q ∠B=∠E ∴△ABC≌△DEF
证明
∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 在△ABD与△ACE中， （第 4 题） ∵ AB＝AC， ∠B＝∠C， BD＝CE， ∴ △ABD≌△ACE（S.A.S.）．
5． 如图，已知AB与CD相交于O，∠A＝∠D， CO＝BO，求证： △AOC≌△DOB．
证明：∵ AB与CD相交于O ∴∠AOC＝∠DOB 在△AOC和△DOB中， ∵ ∠AOC＝∠DOB ∠A＝∠D CO＝BO ∴ △AOC≌△DOB（A.A.S.）． （第 5 题）
巩固练习
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BF=DE
B
A
F E
C
D
变式训练1
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF 求证：BD平分EF
B
A
F E G
C
D
变式训练2
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
想想：BD平分EF吗?
B
E A F G