人教版【高中数学】选修2-1第二章双曲线-双曲线的标准方程讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意 （1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去 掉。
（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。
（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。
(4)如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。
(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
(6)设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。
知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a by a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a b x a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条 坐标轴上。
焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到 焦点在y 轴上的方程。
(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。
2.求双曲线标准方程的方法 (1)定义法若由题设条件能判断出动点的轨违是双曲线,可根据双曲线的定义确定其方程,这样可 以减少计算量。
(2)待定系数法①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上,还是两个坐标轴都有可能。
②设方程：根据上述判断设方程为12222=-b y a x 或12222=-bx a y 。
③寻找关系：根据已知条件列出关于c b a ,,的方程组。
④得方程：解方程组代入所设方程即为所求。
(3)特别提醒与椭圆情况类似,方程()0122<=+mn ny mx 表示的曲线为双曲线,它包含焦点在x 轴上或在y 轴上两种情形。
若将方程变形为11122=+n y m x ,则当0>m ，0<n 时,方程为11122=--ny m x ，它表示焦点在x 轴上的双曲线,此时nb m a 1,1-==；当0,0><n m 时,方程为11122=--mx n y ,它表示焦点在y 轴上的双曲线,此时mb n a 1,1-==。
因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法。
曲型例题分析题型1 双曲线的定义及应用【例1】 双曲线11442522=-y x 上一点P 到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是 （ ）A.P 到左焦点的距离为8B.P 到左焦点的距离为15C.P 到左焦点的距离不确定D.这样的P 点不存在答案A 和C 易判断是错误的,对B 而言,若151=PF ,52=PF ,则2021=+PF PF , 面2621=F F ,即有262121=<+F F PF PF ,这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛 盾,可见这样的点P 不存在,因此选D 。
错因分析 （1）易产生如下错解:设双曲线的左、右焦点分别为1F 、2F ,由定义1021±=-PF PF .因为52=PF ,所以151021=+=PF PF ,故选B 。
错解的原因在于忽视了双曲线定义中的限制条件,即除了考虑c a a PF PF <=-221,还要考虑2121F F PF PF ≥+这一条件；（2）对双曲线定义的理解并掌握需全面,有些表面上似乎是“微小的”,但在具体问题中可能就是关键。
【变式训练1】双曲线116922=-y x 上一点P 到左焦点1F 的距离101=PF ,求P 点到右焦点2F 的距离2PF 。
答案 点P 在双曲线上,由题意可得6221==-a PF PF 。
6102=-∴PF ,解之得42=PF 或162=PF ,故所求的2PF 的长为4或16。
【例2】双曲线14491622=-y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线上,且6421=⋅PF PF ,求21PF F∆的面积。
解析 知道21PF PF ⋅的值,若用2121sin 21PF F PF PF S ∠⋅⋅=∆来求,只需出21PF F ∠的大小。
答案 双曲线的方程可化为116922=-y x ,则5,4,3===c b a ，由双曲线的定义知：621=-PF PF ,又10221==c F F ,所以在21PF F∆中,由余弦定理,得： 212212221212cos PF PF F F PF PF PF F ⋅++=∠()212122122122PF PF PF PF F F PF PF ⋅⋅+--=3,211281*********π=∠∴=+-=PF F 。
316sin 21212121=∠=∴∆PF F PF PF S PF F 。
规律总结 （1）利用双曲线的定义和解三角形知识来解。
在其过程中并没有单独解出1PF 和2PF ,而是将21PF PF ⋅看成一个整体，这有利于优化计算，这一一点值得同学们体会;（2）一般地,对于双面线12222=-by a x ,若1F ，2F 是其两个焦点，θ=∠21PF F ，队则三角形21PF F 的面积为2cot2θb ,利用这个结论可以很方便地解决一些问题。
【变式训练2】（1）双曲线()0,012222>>=-b a by a x ,过焦点1F 的直线与该双曲线的同一支交于A 、B 两点,且m AB =，另一焦点为2F ,则2ABF ∆的周长为 （ ） A. a 4 B.m a -4 C.m a 24+ D.m a 24-（2）设1F 与2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且满足︒=∠9021PF F ,则21PF F ∆的面积是 （ ）A.1B.25C.2D.5 答案 (1)如右图所示,由双曲线的定义知:a AF AF 212=-，a BF BF 212=-所以m a AB a BF AF a BF AF +=+=++=-4441122，从而2ABF ∆的周长为m a 24+,故 选C 。
(2)由例2的结论可知21PF F ∆的面积是1,选A 。
题型2判断曲线类型【例3】（1）已知方程12322=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线,求k 的取值范围； （2）研究方程12322=-+-ky k x 表示何种曲线。
答案（1）方程12322=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，⎩⎨⎧>-<-∴,02,03k k {2<∴k 。
（2）当⎩⎨⎧<-<-∴,02,03k k 即32<<k 时,方程无解,12322=-+-k y k x 不表示任何曲线； 当⎩⎨⎧<->-∴,02,03k k ,即3>k 时,12322=-+-k y k x 表示点在算x 轴上的双曲线；当⎩⎨⎧>-<-∴,02,03k k 即2<k 时,12322=-+-k y k x 表示焦点y 轴上的双曲线； 当023>->-k k ,k 不存在； 当032>->-k k ,k 不存在；当k k -=-23，即25=k 时，2123-=-=-k k ，12322=-+-k y k x 不表示任何曲线。
规律总结 方程122=+n y m x 或122=-n y m x 不能易认为它们分别表示椭圆或双曲线,因 为这里m 、n 的符号及大小关系都不确定。
正确判断应是(仅针对122=+ny m x 作回答) 当0>>n m (或0>>m n )时,其表示焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆； 当0>=n m 时,其表示圆；当n m >>0时（或0>>m n ）,其表示焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线； 当0,0<<n m 时,其不表示任何曲线。
【变式训练3】已知曲线()1,011:2222±≠≠=-+t t t y t x C 。
1)求t 为何值时,曲线C 分别为椭圆、双曲线； (2)求证;不论t 为何值,曲线C 有相同的焦点。
答案（1）当1>t 时,01,022>->t t ,曲线C 为椭圆；当1<t 时,01,022>->t t ,曲线C 为双曲线。
(2)当1>t 时,曲线C 是椭圆,且122->t t ,因而()1122222=--=-=t t b a c ，∴焦点为()0,11-F 、()0,12F 。
当1<t 时,双曲线C 的方程为112222=--t y t x 。
()1122222=-+=+=t t b a c ， ∴焦点为()0,11-F 、()0,12F 。
综上所述,无论t 为何值,曲线C 有相同的焦点。
题型3 定义法求双曲线的标准方程【例4】 平面ABC ∆的两个顶点A 、B 分别为椭圆5522=+y x 的焦点,且三内角A 、B 、C 满足与2cos 212sinCA B =-，试求顶点C 的轨迹方程。
解析 将三角等式化简并利用正弦定理将其转化为边的关系是解决问题的关键。
答案 把椭圆方程化成标准形式1522=+y x ，4,1,522222=-=∴==∴b a c b a 。
则()0,2-A 、()0,2B ，2cos 212sin,4CA B AB =-=，2cos 2sin 2sin 2sin 2C C C A B =-∴，C A B sin 21sin sin =-。
由正弦定理得221==-AB CB CA 。
这表明动点C 到两定点A 、B 的距离之差为定值,所以动点轨迹是双曲线的右支,且其 方程为标准方程。
设双曲线方程为()0,012222>>=-n m ny m x 。
1,22=∴=m m ,半焦距3,2222=-=∴=m c n c 。
高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程(共17张PPT)
例2 已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，PF1 2 PF2 ,
则cosF1PF2 ________
变1：已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，F1PF2 60,
则△F1PF2的面积为_________.
变2：已知F1、F2为双曲线C：x2 y2 2的左、右焦点，点P在C上，PF1 • PF2 0,
F1(c,0), F2 (c,0)
F1(0, c), F2 (0,c)
c2 a2 b2
练习：
1.若a＝2，一个焦点为(4，0)，则该双曲线的标准方程为________.
2.双曲线 x2 y2 1的焦距为10，则m _________. 9m
3.已知椭圆
x2 a2
y2 4
1与双曲线
x2 9
2.3.1双曲线及其标准方程
悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线. 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.
虽然我们有缘，能够生在同一个平面. 然而我们又无缘，漫漫长路无交点.
为何看不见，等式成立要条件. 难道正如书上说的，无限接近不能达到.
为何看不见，明月也有阴晴圆缺. 此时古难全，但愿千里共婵娟.
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a
②如图(B)， |MF1| -|MF2|=-2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面两条合起来叫Βιβλιοθήκη 双曲线双曲线的定义把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于
y2 3
1有相同的焦点，则
a
数学：2.3《双曲线及其标准方程》课件(新人教版B选修2-1)
方程
x y − 2 =1 2 a b
2
2
y x − a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
c = a +b
2 2 2
F ( 0, ±c )
谁正谁对应 a
例１、求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线的焦点为F 5,0)和 (1)已知双曲线的焦点为F1(-5,0)和F2(5,0), 已知双曲线的焦点为 双曲线上的点Ｐ 双曲线上的点Ｐ到F1与F2的距离之差的绝对值 6,求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程。 变题） 为6,求双曲线的标准方程。(变题） (2)已知双曲线的焦点为F (0， 6)和 (2)已知双曲线的焦点为F1(0，-6)和 已知双曲线的焦点为 且经过点（ F2(0,6), 且经过点（2，-5）。
定义：平面内与两定点F 定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数2a 点的轨迹叫做双曲线。 等于常数2a (0 < 2a < F1F2 ) 点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点， 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫 做双曲线的焦距。 做双曲线的焦距。
M
F1
F2
0
F1
x P
| （x + c) + y − （x − c) + y |= 2a
2 2 2 2
对比两个方程可发现，仅互换了x, y y2 x2 ∴ 2 − 2 = 1 ( a > 0, b > 0) a b 表示焦点在y轴上的双曲线。
定义 图象
MF1 − MF2 = 2a， < 2a < F1F2 ) (0
在两组同心圆的交点中描出“ 在两组同心圆的交点中描出“与Ｆ２，F1两点的距离 的差等于8”的交点 的交点。 的差等于 的交点。
人教A版高中数学选修2-1课件双曲线及其标准方程
5.化简
y
M 代数式化简得：
F1 O F2
x (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
可令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即:
x2 a2
y2 b2
（ 1 a
0, b
0)
其中c2=a2+b2
此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
y
16 9
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
焦点 a.b.c的关
系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 a2 b2 1(a b 0) y2 x2 a2 b2 M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关 系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
则出现什么情况？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于 常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
人教A版高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程课件
第十四页，编辑于星期日：六点 十五分。
例3 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距
离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、 B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
第十八页，编辑于星期日：六点 十五分。
学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义
及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根 据例 3 这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个 相当不错的思考方向.即把不熟悉的问题往 熟悉的方向转化,定义模型是最原始,也是最 容易想到的地方.
听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测
点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试
确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为
340m/s,相关各点均在同一平面上)
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
P y C
只要能把巨响点满足的两个曲线 A o B x
设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
由双曲线定义知
P
点在以
A、B
为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
人教B版高中数学选修2-1课件双曲线及其标准方程.pptx
则在哪一个轴上
2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系?
例1．由方程说出 a2,b2, c2 ，焦点位置
1. x2 y2 1 2. x2 y2 1
42
24
x2 (3).
y2
1
22
练习1．
4.5y2 4x2 20
晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由已知可得 PA PB 340 2 680 800
所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
a 2 b2
16 20
y2 x2 1
16 20
（3）已知双曲线经过点P(4,2)和 Q(2 6,2 2) ， 求双曲线的标准方程
解 : 设双曲线的标准方程为 : x2 y2 1(mn 0) mn
16
m
24
m
4 n 8 n
1 1
1 m
1 8
1 n
1 4
x2 y2 1
84
例2 已知双曲线 x2 y2 1
36 45
（1）求此双曲线的左、右焦点F1，F2的坐标 （2）如果此双曲线上一点P与焦点F1的距离
等于16，求点P与焦点F2的距离。
解：F1（-9，0），F2（9，0） |PF2|=4，或|PF2|=28
拉链画双曲线
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
高中数学人教A版选修21课件2.3.1双曲线及其标准方程(系列二)
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是 两；条若射2a线>|F1F2| 则 动 点 的 轨 迹 是 ．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是 ．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲 线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所 以有
人教版 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线及其标准方程》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学双曲线1 .第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.双曲线第二定义：平面内到一定点F 与定直线l ，(F 不在l 上)的距离之比为e ，当e ＞1时动点轨迹叫双曲线.①若|MF 1|-|MF 2|=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线;②若|MF 1|-|MF 2|=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线;③若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线; ④若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.深化升华 当题目中出现双曲线上的点到焦点的距离，常用椭圆的第二定义转化为点到准线的距离来研究.①定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为双曲线；另一方面，双曲线上点有定义中条件的性质.②两个定义的综合运用是解决有些双曲线问题的捷径.2．双曲线的方程（1）双曲线的标准方程（a>b>0）①焦点在x 轴上：2222by a x -=1（a>0,b>0）; ②焦点在y 轴上：2222bx a y -=1（a>0,b>0）. 由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，其步骤是：定型，定量 .涉及几个独立的参变量，那么需要列出与参数变量个数相同的独立等式转化为解方程组来解决.当焦点位置不确定时，方程可以有两种形式，应防止遗漏.（2）中心在（x 0,y 0）的双曲线方程①焦点在直线y=y 0上：220220)()(b y y a x x ---=1; ②焦点在直线x=x 0上：220220)()(bx x a y y ---=1. （3）双曲线的参数方程x=⎩⎨⎧==ααtan ,sec b y a x (α为参数). 方法点拨 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上.注意区分和椭圆相似相近的地方，两种曲线有许多共同点，但是也有许多不同点要注意比较两种曲线的定义.问题·探究问题1 学习双曲线的许多问题都要化做标准方程，在学习标准方程时要注意些什么？探究:（1）把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来.如果双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么这个位置是标准位置.若使方程的右边为1，则左边两项中含x 2的项为正且分母为a 2，含y 2的项为负且分母为b 2，所以方程为2222b y a x -=1. （2）“定量”和“定位”.要求出双曲线的标准方程，就要求出a 2，b 2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a 2，b 2的方程组，解得a 2，b 2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程.因此“定量”是指a,b,c 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a 2,b 2在方程中的位置.问题 2 有些天体运动的轨迹是圆，有些天体运动的轨迹是椭圆，天体运动的轨迹有没有可能是双曲线？运动的轨迹是有什么决定的？探究:物理学中，每一个公式都有其各自的物理涵义.这就是数学和物理的区别.至于列F=ma 解出一个椭圆，不难.但要有微积分的知识，尤其是微分方程.可以简单讲讲过程，其实都是数学的问题：1.建坐标系，分别在三个方向(就是x,y,z)列出万有引力公式（要知道速度是位移的导数，加速度是速度的导数，这就得到三个微分方程）2.化简，得到轨道是一个平面.再变换几下，分别得到能量守恒与动量守恒.3.转换成极坐标系，再解方程，得到ρ=ep （1-ecosθ）（就是解析几何中那个圆锥曲线的统一表达式）,天体运行的轨道可以是椭圆、抛物线或双曲线（取决于初始能量和初始动量）. 有些知识对我们来说还是很陌生的，但是在以后的更深层次的学习中会逐步学习到. 典题·热题例1 讨论ky k x -+-92522=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 思路分析：由于k≠9，k≠25，则k 的取值范围为k<9，9<k<25，k<25，分别进行讨论． 解：（1）当k<9时，25-k>0,9-k>0，所给方程表示椭圆，此时a 2=25-k,b 2=9-k,c 2=a 2-b 2=16,这些椭圆有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（2）当9<k<25时，25-k>0,9-k<0，所给方程表示双曲线，此时，a 2=25-k ，b 2=k-9,c 2=a 2+b 2=16，这些双曲线也有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（3）k<25,k=9,k=25时，所给方程没有轨迹．深化升华 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．例2 在周长为48的直角三角形MPN 中，∠MPN=90°，tanPMN=43，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．思路分析：首先应建立适当的坐标系．由于M,N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a ，|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN 的边长是关键．解：∵△MPN 的周长为48，且tanPMN=43, ∴设|PN|=3k ，|PM|=4k ，则|MN|=5k ．由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系.设所求双曲线方程为2222by a x +=1（a>0,b>0）． 由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a 2=4．由|MN|=20，得2c=20,c=10．由b 2=c 2-a 2=96，得所求双曲线方程为96422y x -=1． 方法归纳 坐标系的选取不同，则曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．例3 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0)、A 1（1,0）的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，讨论点P 的轨迹．思路分析：本题的关键在于讨论a ．因|AA 1|=2，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：a=0,a ∈（0,2）,a=2,a>2．解：|AA 1|=2．(1)当a=0时，轨迹是线段AA 1的垂直平分线，即y 轴，方程为x=0．(2)当0<a<2时，轨迹是以A 、A 1为焦点的双曲线，其方程为4142222a y a x --=1. (3)当a=2时，轨迹是两条射线y=0（x≥1）或y=0（x≤-1）．(4)当a>2时无轨迹．误区警示 (1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．例4 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东6千米处，C 在B 正北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．思路分析：点P 到B 、C 距离相等，因此点P 在线段BC 的垂直平分线上．又|PB|-|PA|=4，因此P 在以B 、A 为焦点的双曲线的右支上．由交轨法可求点P 的坐标，进而求炮击的方位角．解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B （-3,0）、A （3,0）、C （-5,32）.因为|PB|=|PC|，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上．因为k BC =3-,BC 中点D （-4，3），所以直线PD ：313=-y （x+4） ①又|PB|-|PA|=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．设P （x,y ），则双曲线方程为5422y x -=1（x≥0） ② 联立①②式，得x=8,y=35,所以P （8,35）．因此k PA =33835=-． 故炮击的方位角为北偏东30°.方法归纳 空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定．这是解析几何的一个重要应用．。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的标准方程》梳理探究
数学人教B 选修2-1第二章2.3.1 双曲线的标准方程1．理解双曲线的定义．2．掌握双曲线的标准方程的定义．1．双曲线的定义平面内与两个______F 1，F 2的______________等于常数(________________)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__________，两焦点的距离叫做双曲线的__________．在双曲线的定义中，(1)当常数等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线(包括端点)． (2)当常数大于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．(3)当常数等于零时，动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．(4)当定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话，点的轨迹就成为双曲线的一支． 【做一做1】已知定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( )A ．||PF 1|－|PF 2||＝5B ．||PF 1|－|PF 2||＝6C ．||PF 1|－|PF 2||＝7D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±6(1)由求双曲线的标准方程的过程可知：只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，才得到双曲线的标准方程．反之亦成立．(2)在双曲线的标准方程中，若x 2的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2的系数为正，则焦点在y 轴上．【做一做2－1】双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3【做一做2－2】若双曲线的焦点在x 轴上，且经过(2,0)，(4,3)两点，则双曲线的标准方程为__________．1．椭圆与双曲线的区别剖析：(1)待定系数法．即先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a ，b 的值，即“先定型，再定量”，若两种类型都有可能，则应进行分类讨论．(2)定义法．题型一 双曲线的定义及应用【例1】如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．分析：可利用双曲线的定义来求解．反思：遇到动点到两定点的距离之差的问题时，应联想到能否用双曲线的定义来解，并要注意x 的范围．题型二 求双曲线的标准方程【例2】已知双曲线焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程．分析：可根据已知条件，设出双曲线方程，再把点的坐标代入即可．反思：双曲线的标准方程有两种形式，即x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，方程x 2m＋y2n＝1表示双曲线的充要条件是m ·n ＜0. 题型三 与双曲线有关的轨迹问题【例3】在△MNG 中，已知NG ＝4，当动点M 满足条件sin G －sin N ＝12sin M 时，求动点M 的轨迹方程．分析：条件给的是角的关系，可用正弦定理，化角的关系为边的关系，再考虑用定义求轨迹方程．反思：求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，动点M 的轨迹是双曲线的一支且去掉一个点，这种情况一般在求得方程的后面应给以说明，并把说明的内容加上括号．题型四 易错题型【例4】已知双曲线4x 2－9y 2＋36＝0，求它的焦点坐标．错解：将双曲线方程化为标准方程－x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝13，∴双曲线的焦点坐标为(－13，0)，(13，0)．错因分析：这种解法是错误的．原因在于：双曲线的焦点在x 轴或y 轴上，不是以分母的大小确定的，而是按二次项系数的符号确定的．反思：判断时，需将原方程化为标准形式，即方程右边是1，方程左边是“x 2”和“y 2”项的差，若“y 2”的系数为正，则焦点在y 轴上；若“x 2”的系数为正，则焦点在x 轴上．1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足||PF 1－||PF 2＝10，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线2．双曲线x 2m 2＋16－y 29－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．10D ．与m 有关3．双曲线x 225－y 2144＝1上一点P 到右焦点的距离是5，则下列结论正确的是( )A ．P 到左焦点的距离是8B ．P 到左焦点的距离是15C ．P 到左焦点的距离不确定D ．这样的点P 不存在4．已知方程x 2k －3＋y 22－k＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是__________．5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，c ＝5，焦点在x 轴上； (2)a ＝b ，经过点(3，－1)． 答案： 基础知识·梳理1．定点 距离的差的绝对值 小于|F 1F 2|且不等于零 焦点 焦距【做一做1】A 因为|F 1F 2|＝6，所以与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值应小于6，故选A.2．x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2＋b 2 c 2＝a 2＋b 2【做一做2－1】D 由已知有c 2＝a 2＋b 2＝12，得c ＝23，故双曲线的焦距为4 3.【做一做2－2】x 24－y 23＝1 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知a＝2，则x 24－y 2b 2＝1，将点(4,3)代入得164－9b 2＝1，解得b 2＝3，故双曲线的标准方程为x 24－y 23＝1.典型例题·领悟【例1】解：∵圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. ∵圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有||MF 1＝R ＋1，||MF 2＝R ＋4，∴||MF 2－||MF 1＝3.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴动圆圆心M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 【例2】解：设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5分别代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.【例3】解：以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵sin G －sin N ＝12sin M ，∴由正弦定理得：||MN －||MG ＝12×4＝2.∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N ，G为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵2c ＝4,2a ＝2，∴c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3.∴动点M 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)．【例4】正解：将双曲线方程化为标准方程y 24－x 29＝1，可知焦点在y 轴上，∴a ＝2，b＝3，∴c 2＝a 2＋b 2＝13，∴c ＝13.∴双曲线的焦点坐标为F 1(0，－13)，F 2(0，13)． 随堂练习·巩固1．D 由双曲线的定义可得，∵F 1，F 2是两定点，||F 1F 2＝10，∴满足条件||PF 1－||PF 2＝10的点P 的轨迹为一条射线．2．C 由题意可知a 2＝m 2＋16，b 2＝9－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋16＋9－m 2＝25，所以c ＝5，所以2c ＝10.3．D 选项A 和选项C 易判断是错误的，对选项B 而言，若||PF 1＝15，||PF 2＝5，则||PF 1＋||PF 2＝20，而||F 1F 2＝26，即有||PF 1＋||PF 2＜||F 1F 2＝26，这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾，即这样的点P 不存在．4．k ＜2 因为方程x 2k －3＋y 22－k ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3<0，2－k >0，所以k＜2.5．分析：灵活应用双曲线方程，要注意讨论焦点的位置，不要漏解．解：(1)因为a ＝4，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，又因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)当焦点在x 轴上时，可设双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，将点(3，－1)代入得，32－(－1)2＝a 2，所以a 2＝b 2＝8.因此，所求的双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.当焦点在y 轴上时，可设双曲线方程为y 2－x 2＝a 2，将点(3，－1)代入得(－1)2－32＝a 2，则a 2＝－8不符合实际，所以焦点不可能在y 轴上．综上，所求的双曲线的标准方程为x 28－y 28＝1.。
高中数学人教版A选修2-1教学课件：《双曲线及其标准方程》
首先出示例1由学生分析，在赞赏学生之余， 请同学们对照课本，完善步骤，掌握运用待定 系数法求双曲线标准方程的方法，此时我再抛 一题“双曲线标准方程的确立，由什么决定？” 带着这一问题，我出示以下抢答竞赛题，激发 学生兴趣.
（2)以法答题
抢答1、求平面内到定点F1（-5，0）F2（5，0） 的距离之差的绝对值等于8的曲线方程.
动点P的轨迹中，为双曲线的是（ ）
|| PF1 | | PF2 || 5 D、 || PF1 | | PF2 || 4 C、 A、 || PF1 | | PF2 || 3 B、 | PF1 |2 | PF2 |2 4
尝试分析：
1、轨迹是什么； 2、如何求轨迹方程。
针对例2，我给出以下变式：
变式一、“两地距离800m”改为“两地距离 1000m”；
变式二、“两地距离800m”改为“两地距离 600m”；
变式三、将“在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚 2s” 改为“在AB两地听到炮弹爆炸声的时间
差为2s”.
通过变式让学生理解双曲线定义中绝对值及a＜c 的限制的重要性，及其标准方程》
说课教案
《双曲线及其标准方程》说课教案
各位老师： 你们好！今天我说课的内容是人教A版选修2-1第二章 第二节双曲线的第一课时——“双曲线及其标准方程” ， 本节课我将分以下七部分完成：
一、教材分析 二、教具：双曲线形成演示板 三、教法分析 四、学法指导 五、教学程序 六、小结（由学生自己完成） 七、作业与探究
3.重点、难点
重点：双曲线的定义及标准方程的求解. 难点：双曲线标准方程的推导； 利用待定系数法求双曲线的标准方程.
处理方法：采用让学生动手操作、尝试探究等方法 来 突出重点，突破 难点.
高中数学人教A版选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程第一课时教学课件 (共18张PPT)
解：双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
的时候，给自己一个微笑，那是一份洒脱；吃亏的时候，给自己一个微笑，那是一份淡然；失败的时候，给自己一个微笑，那是一份自信；被误解的时候，给自己一个微 的时候，给自己一个微笑，那是一份达观；痛苦的时候，给自己一个微笑，那是一份解脱……真正的勇者，不是没有眼泪的人，而是含着眼泪微笑奔跑
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2-b2
F（±c，0） F（0，±c）
c2=a2+b2
练一练2
1焦点在x轴上,且a 4, b 3 的椭圆的标准方程为
x2 y2 1 __1__6 ____9 ______,
焦点坐标为__(___7_,_0_) _
.
(2)焦 点 在 x轴 上 ,且 a4， b3 的 双 曲 线 标 准 方 程 为
每次却总是不自觉的想起那个给与温暖的人；每每又总是在微笑沉醉时看到了现实，想到了伤痛，然后，冷的感觉再也暖和不起来了，如此反复，心，终于累了，现实就 又最终醒来，我正在行走，却找不到方向。 有些人，注定是等待别人的，有些人，注定是被人等的。一件事，再美好，你做不到，也要放弃；一个人，再留恋，不属于你 生命都免不了缺憾，最真的幸福，莫过于一杯水、一块面包、一张床，还有一双无论风雨，都和你十指相扣的手。 有些伤痕，划在手上，愈合后就成了往事；有些伤痕，
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双曲线与椭圆对照表
定义
方 程
椭圆
双曲线
| | |MF1|+|MF2|=2a >|F1F2|