第十五章运筹学课件层次分析法
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层次分析法
《运筹学》
例1
大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择” 时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。 就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的， 例如： ①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适 合发挥自己的专长）； ②工作收入较好（待遇好）； ③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④单位名声好（声誉等）； ⑤工作环境好（人际关系和谐等） ⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
2010年6月
管理工程学院
《运筹学》
w1 考察完全一致的情况 w 1 W ( 1) w1 , w2 ,wn 可作为一个排序向量 w2 w A 成对比较 1 令aij wi / w j 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n wn 的正互反阵A称一致阵。 w1
它是用一定标度把人的主观判断进行客观量化，是将决策有关的元素分解 成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的分析方法。
2010年6月
管理工程学院
《运筹学》
层次分析法的特点： 在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基 础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则
1 A (aij ) nn , aij 0, a ji aij
C2 C3 C4 C5
C3
C4 C5
1/ 2 4 3 3 1 2 1 7 5 5 A 1/ 4 1/ 7 1 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 5 2 1 1 3 1 1 1/ 3 1/ 5 要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
层次分析法
4.层次总排序 为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合权重 和它们与上层元素的相互影响，需要利用该层所有层次单 排序的结果，计算出该层元素的组合权重，这个过程称为 层次总排序。 层次总排序这一步，需要从上到下逐层排序进行，最 终计算结果得到最低层次元素，即要决策方案优先次序的 相对权重。 一般来说，对于最高层之下的第二层次单排序即为总 排序。假设上一层所有元素A1，A2 ，…Ak的层次单排序已 完成，得到的权重为a1, a2,…ak,与Ai(1≤i≤k)对应的本层次元 素为B1,B2,…Bm单排序结果为
五、应用实例
某工厂有一笔企业留成利润，要由厂领导和职代会 决定如何利用，可供选择的方案有：发奖金、扩建福利设 施、引用新设备，为进一步促进企业发展，如何合理利用 这笔利润？ 第一步 对于这个问题采用层次分析法进行分析，所 有措施的目的都是为了更好地调动职工生产积极性，提高 企业技术水平和改善职工生活，当然最终目的是为了促进 企业的发展，因此，建立的递阶层次结构如图所示。
5.进行一致性检验。
七、应用层次分析法的注意事项 如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素 间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导 致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则： 1.分解简化问题时把握主要因素，不漏不多； 2.注意相比较元素之间强度关系，相差太悬殊的要 素不能在同一层次比较。
A
A , A ,, A 1 2 n
w1 / w1 A2 w2 / w1 A An wn / w1
A 1
则
w1 / w2 w1 / wn w2 / w2 w2 / wn wn / w2 wn / wn
A 称为判断矩阵。若取重量向量 W (w1, w2 ,, wn )T ，则有 AW n W 于是 W 是判断矩阵 A 的特征向量， n是 A 的一个特征值。
层次分析法
三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而 Santy 等人提 出：一致矩阵法 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时採用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
为一致阵时有： 此时存在唯一的非 （由一致阵性质 1：Rark(4)=1， 有唯一非 O 最大特征根且 ）
②当主观判断矩阵 不是一致矩阵时，此时一般有： 此时，应有：
（Th2）
即：
所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，
即：
显然：
（1）
当 时，有： ， 为完全一致性
（2）
值越大，主观判断矩阵 的完全一致性越差，即： 偏离 越远(用特征向量作为权向量
问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 （即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回 答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵 的最大特征根 时， 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 的特征根 和特征向量 连续逼近一致阵 的特征根 和特征向量 时，即： 由 得到： 即： 是否在理论上有依据。 3．一般情况下，主观判断矩阵 在逼近于一致阵 的过程中，用与 接近的 来代替 ，即有 ，这种近似的替 代一致性矩阵 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断 指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要 两两比较构造 主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。 以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材 P325，定理 1、定理 2）。第 3 个问题：Satty 给出一致性指标（TH1,TH2 介绍如下：） 附： Th1：（教材 P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵 （ 的所有元素为正数） （1） 的最大特征根是正单根 ； （2） 对应正特征向量 （ 的所有分量为正数） （3） 其中： 为半径向量， 是对应 的归一化特征向量 证明：（3）可以通过将 化为标准形证明
为一致阵时有： 此时存在唯一的非 （由一致阵性质 1：Rark(4)=1， 有唯一非 O 最大特征根且 ）
②当主观判断矩阵 不是一致矩阵时，此时一般有： 此时，应有：
（Th2）
即：
所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标，
即：
显然：
（1）
当 时，有： ， 为完全一致性
（2）
值越大，主观判断矩阵 的完全一致性越差，即： 偏离 越远(用特征向量作为权向量
问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 （即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回 答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互反矩阵 的最大特征根 时， 是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 的特征根 和特征向量 连续逼近一致阵 的特征根 和特征向量 时，即： 由 得到： 即： 是否在理论上有依据。 3．一般情况下，主观判断矩阵 在逼近于一致阵 的过程中，用与 接近的 来代替 ，即有 ，这种近似的替 代一致性矩阵 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断 指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要 两两比较构造 主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题的内容。 以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材 P325，定理 1、定理 2）。第 3 个问题：Satty 给出一致性指标（TH1,TH2 介绍如下：） 附： Th1：（教材 P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵 （ 的所有元素为正数） （1） 的最大特征根是正单根 ； （2） 对应正特征向量 （ 的所有分量为正数） （3） 其中： 为半径向量， 是对应 的归一化特征向量 证明：（3）可以通过将 化为标准形证明
层次分析法
3.3 层次分析法（AHP 算法） 3.3.1 层次分析法的原理层次分析法（The Analytic Hierarchy Process, AHP ）是美国著名运筹学家T.L.Satty 于20世纪70年代初提出的，Weber 等提出利用AHP 算法进行供应商评估和选择。
AHP 算法是一种定性与定量相结合的决策分析方法。
它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。
应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素(如图3-1)，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。
目标层准则层方案层图3-1 层次分析法的结构层次分析法的基本原理是依据具有递阶结构的目标、子目标(准则)、约束条件、部门等来评价方案，采用两两比较的方法确定判断矩阵，然后把判断矩阵的最大特征值相对应的特征向量分量作为相应的系数，最后综合给出各方案的权重(优先程度)。
3.3.2 AHP 算法的步骤AHP 算法的基本过程，大体可以分为如下六个基本步骤：(如图3-2)(1)明确问题。
即弄清问题的范围，所包含的因素，各因素之间的关系等，以便尽量掌握充分的信息。
(2)建立层次结构。
在这一个步骤中，要求将问题所含的因素进行分组，把每一组作为一个层次，按照最高层(目标层)、若干中间层(准则层)以及最低层(方案层)的形式排列起来。
如果某一个元素与下一层的所有元素均有联系，则称这个元素与下一层次存在有完全层次的关系；如果某一个元素只与下一层的部分元素有联系，则称这个元素与下一层次存在有不完全层次关系。
层次之间可以建立子层次，子层次从属于主层次中的某一个元素，它的元素与下一层的元素有联系，但不形成独立层次。
(3)构造判断矩阵。
这一个步骤是层次分析法的一个关键步骤。
判断矩阵表示针对上一层次中的某元素而言，评定该层次中各有关元素相对重要性的状况。
设有n个指标，{12,,,,,nA A A}，ij a表示i A相对于j A的重要程度判断值。
运筹学课件 13.5层次分析法
有 P1 、 2 、 3 三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费 P P
用、居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较哪三个候选 地点。首先，你会确定这些准则在你心目中各占多大比重，如
运筹学教程
果你经济宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色，而平素简朴
或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年则会对居住、饮 食等条件给予较大关注。其次，你会就每一准则将三个地点
Saaty教授等国外学者和国内许多学者一起讨论了AHP的理论
和应用问题。目前，AHP应用在能源政策分析、产业结构研 究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价、以及发展 目标分析的许多都取得了令人满意的成果。
运筹学教程
AHP是一种将定性分析与定量分析相结合的系统分析方
法。在进行系统分析时，经常会碰到这样的一类问题：有 些问题难以甚至根本不可能建立数学模型进行定量分析； 也可能由于时间紧，对有些问题还来不及进行过细的定量 分析，只需作出初步的选择和大致的判定就行了。例如选
采用1～9的比例表度的依据是：①心理学的实验表明，大多 数人对不同事物在相同属性上的差别的分辨能力在5～9，采 用1～9的标度反映了大多数人的判断能力；②大量的社会调 查表明，1～9的比例标度早已被人们所熟悉和采用；③科学 考察和实践表明，1～9的比例标度已完全能区分引起人们感
觉差别的事物的各种属性。
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选择旅游地
景 色 费 用 居 住
饮 食
旅 途
C1
C1 1 C2 2 A C 3 1 / 4 C 4 1 / 3 C5 1 / 3
C2
1/ 2 1 1/ 7 1/5 1/5
C3
4 7 1 2 3
C4
3 5 1/ 2 1 1
层次分析法
采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。 采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子 x i 的影响大小之比， 和 x j ，以 a ij 表示 x i 和 x j 对目标 Z 的影响大小之比，全部比较结果用矩阵
1 A = ( a ij ) n× n 表示，称 A 为成对比较阵。 a ji = a 表示， 成对比较阵 ij
0.587 0.324 = w 0.089
结果:w=(0.587,0.324,0.089)T, 结果
(2)特征值法 特征值法 求出矩阵A的最大特征值所对应的向量并进行归一化 求出矩阵 的最大特征值所对应的向量并进行归一化 即可作为权向量
5. 求各方案的综合得分 计算准则层中各因素在目标层中所占的比重
标度 1 3 5 7 9 2 ， 4 ， 6， 8 倒数 含义 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素很重要 表示两个因素相比， 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素绝对重要 上述两相邻判断的中值 因素i 则因素j 因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断 比较的判断a aji=1/aij
是可以接受的。否则要重新构造成对比较矩阵A 是可以接受的。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 重新构造成对比较矩阵 加以调整。 加以调整。
“选择旅游地”中 选择旅游地” 选择旅游地 准则层对目标的一 致性检验 最大特征根λ=5.0721
准则层对目标的成对比较阵 准则层对目标的成对比较阵
1 2 A = 1/ 4 1/ 3 1/ 3 1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1 3 5 1 / 3 1 1
层次分析法
2.简洁实用的决策方法
这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结 合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受，且能把多目标、多准则又难 以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关 系后，最后进行简单的数学运算。计算简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。
2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服
在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世 界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑 的决策方式的方法，因此必然带有较多的定性色彩。
3.指标过多时，数据统计量大，且权重难以确定
谢谢观看
计算步骤
ห้องสมุดไป่ตู้
计算步骤
1.建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层， 绘出层次结构图。最高层是指决策的目的、要解决的问题。最低层是指决策时的备选方案。中间层是指考虑的因 素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
2.构造判断(成对比较)矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出 一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同 的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评 定等级。为要素与要素重要性比较结果，表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的 矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质：
这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结 合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受，且能把多目标、多准则又难 以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关 系后，最后进行简单的数学运算。计算简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。
2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服
在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世 界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑 的决策方式的方法，因此必然带有较多的定性色彩。
3.指标过多时，数据统计量大，且权重难以确定
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计算步骤
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计算步骤
1.建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层， 绘出层次结构图。最高层是指决策的目的、要解决的问题。最低层是指决策时的备选方案。中间层是指考虑的因 素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
2.构造判断(成对比较)矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出 一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同 的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评 定等级。为要素与要素重要性比较结果，表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的 矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质：
AHP(层次分析法)基础教程ppt课件
w1
w2
健业 标 子目况 康 平 务
状水
w3
写 平作
水
w4
w5
口政
平策
才水
w6
工 风作
作
方案层
甲
乙
整理ppt
丙
42
2 求出目标层的权数估计
3 用和积法计算其最大特征向量
判 阵断
矩
B p1 p2 p3 p4 p5 p6
p1 1 1 1 4 1 1/2
p2 1 1 2 4 1 1/2
p3 1 1/2 1 5 3 1/2
整理ppt
4
层次分析法（AHP）特点：
✓ 分析思路清楚，可将系统分析人 员的思维过程系统化、数学化和模 型化； ✓分析时需要的定量数据不多，但 要求对问题所包含的因素及其关系 具体而明确；
整理ppt
5
层次分析法（AHP）特点：
✓ 这种方法适用于多准则、多目标 的复杂问题的决策分析，广泛用于 地区经济发展方案比较、科学技术 成果评比、资源规划和分析以及企 业人员素质测评。
p3 0.16 0.09 0.15 0.25 0.42 0.13 1.20
p4 0.04 0.04 0.03 0.05 0.05 0.09 0.30
p5 0.16 0.17 0.05 0.15 0.14 0.26 0.93 p6 0.32 0.34 0.30 0.15 0.14 0.26 1.51
整理ppt
p1 1 1 1 4 1 1/2 p2 1 1 2 4 1 1/2 p3 1 1/2 1 5 3 1/2 p4 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 p5 1 1 1/3 3 1 1 p6 2 2 2 3 1 1
6.25 5.75 6.53 20 7.33 3.83
层次分析法
构造比较矩阵(判断矩阵) 2 构造比较矩阵(判断矩阵)
设某层有 n个因素，要比较它们对上一层某一准则（或目标） 的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。 （即把 n 个因素对上层某一目标的影响程度排序） 上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。 1~9尺度。 1~9尺度 用
k =1
（2）求根法（几何平均法）：将比较矩阵的各列（或行） 向量求几何平均后归一化，可近似作为权重
（3）特征根法 设想把 一块石头打碎分成 n 小块 c1 , c2 ,L , cn ， 各块的重量分别为 w , w ,L, w
1 2 n
记 ci , c j 的相对重量为 aij = 于是可得到比较矩阵
例3 择业问题 3
面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以 去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房 条件等因素择业。
例4 科研课题的选择问题
由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依 据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素 进行选题。
分析例１ 分析例１的基本思路：
层次分析法
Analytic Hierarchy Process AHP
层次分析法的思想和原理
层次分析法（ Process） 层次分析法（Analytic Hierarchy Process） 是美国著 名运筹学家T·L·Satty等人在20世纪70 年代提出的一种 定性与定量分析相结合的多准则决策方法。它是将半 。它是将半 定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种 方法，使人们的思维过程层次化。通过逐层比较多种 关联因素来为分析、决策、预测和控制事物的发展提 供定量依据，它特别适用于那些难于完全用定量进行 分析的复杂问题，为解决这类问题提供一种简便实用 的方法。在计算、制定计划、资源分配、排序、政策 分析、军事管理、冲突求解及决策预报等领域都有广 泛的应用。
层次分析法(AHP)
将问题所包含的因素划分为不同层次，如目标 层、准则层和方案层等等，用框图形式说明各层次 的递阶结构与因素的从属关系。某个层次包含的因 素一般以9 个以下因素为宜。
（3）构造判断矩阵
判断矩阵元素的值反映了评估人员对各因素相 对重要性（或优劣）的经验认识，一般采用经典1-9 及其倒数的标度法。如下表所示。
图2 AHP层次结构示意图
表1 1-9 标度及其含义
（4）层次单排序及其一致性检验。
A.层次单排序就是求某一层次上各指标对其上层指标 相对重要性的权重。一般计算方法采用方根法, 设判断 矩体阵计为算B步=骤[b如ij],下阶:数为n,bij为矩阵中第i行第j列元素, 具
选择1-9比率标度法是基于下述的一些事实和科学依据
类似的，当RI<0.10时，认为层次总排序结果具有满
意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。
案例：用方根法判断矩阵的最大特征根及其对应 的特征向量
1 5 3
1
5 1 1
3
1
3 3
1
（1）计算判断矩阵每一行元素的乘积
M1
1
1 5
1 3
1 15
0.067
n
Wj 0.405 2.466 1 3.871
j 1
W1
W1
n
Wj
0.405 0.105 3.871
j 1
W2
W2
n
Wj
2.466 0.637 3.871
j 1
W3
W3
n
Wj
1 0.258 3.871
j 1
正规化
（3）构造判断矩阵
判断矩阵元素的值反映了评估人员对各因素相 对重要性（或优劣）的经验认识，一般采用经典1-9 及其倒数的标度法。如下表所示。
图2 AHP层次结构示意图
表1 1-9 标度及其含义
（4）层次单排序及其一致性检验。
A.层次单排序就是求某一层次上各指标对其上层指标 相对重要性的权重。一般计算方法采用方根法, 设判断 矩体阵计为算B步=骤[b如ij],下阶:数为n,bij为矩阵中第i行第j列元素, 具
选择1-9比率标度法是基于下述的一些事实和科学依据
类似的，当RI<0.10时，认为层次总排序结果具有满
意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。
案例：用方根法判断矩阵的最大特征根及其对应 的特征向量
1 5 3
1
5 1 1
3
1
3 3
1
（1）计算判断矩阵每一行元素的乘积
M1
1
1 5
1 3
1 15
0.067
n
Wj 0.405 2.466 1 3.871
j 1
W1
W1
n
Wj
0.405 0.105 3.871
j 1
W2
W2
n
Wj
2.466 0.637 3.871
j 1
W3
W3
n
Wj
1 0.258 3.871
j 1
正规化