多属性决策问题概述

第十章 多属性决策问题(Multi-attribute Decision-making

Problem)

即: 有限方案多目标决策问题

要紧参考文献: 68， 112， 152

§10.1概述

MA MC MO

一、决策矩阵(属性矩阵、属性值表) 方案集 X = {x x x m 12,,, }

方案 x i 的属性向量 Y i = {y i 1,…,y in } 当目标函数为f j 时, y ij = f j (x i ) 各方的属性值可列成表(或称为决策矩阵):

y 1 …

y j …

y n

x 1

y 11

… y j 1

…

y n 1

………………

x i y

i1…y ij…y in

………………

x m y

m1…y mj…y mn

例: 学校扩建

例：

表10.1 研究生院试评估的部分原始数据

二、数据预处理

数据的预处理(又称规范化)要紧有如下三种作用。

首先，属性值有多种类型。有些指标的属性值越大越好，如科研成果数、科研经费等是效益型；有些指标的值越小越好，称作成本型。另有一些指标的属性值既非效益型又非成本型。例如研究生院的生师比，一个指导教师指导4至6名研究生既可保证

教师满工作量，也能使导师有充分的科研时刻和对研究生的指导时刻，生师比值过高，学生的培养质量难以保证；比值过低；教师的工作量不饱满。这几类属性放在同一表中不便于直接从数值大小来推断方案的优劣，因此需要对属性表中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越优的值在变换后的属性表中的值越大。

其次是非量纲化。多目标评估的困难之一是指标间不可公度，即在属性值表中的每一列数具有不同的单位(量纲)。即使对同一属性，采纳不同的计量单位，表中的数值也就不

同。在用各种多目标评估方法进行评价时，需要排除量纲的选用对评估结果的阻碍，这确实是非量纲化，亦即设法消去(而不是简单删去)量纲，仅用数值的大小来反映属性值的优劣。

第三是归一化。原属性值表中不同指标的属性值的数值大小差不专门大，如总经费即

使以万元为单位，其数量级往往在千(103)、万(104)间，而生均在学期间发表的论文、专著的数量、生均获奖成果的数量级在个位(100)或小数(101 )之间，为了直观，更为了便于

采纳各种多目标评估方法进行比较，需要把属性值表中的数值归一化，即把表中数均变换到［0，1］区间上。

此外，还可在数据预处理时用非线性变换或其他方法来解决

或部分解决目标间的不完全补偿性。

常用的数据预处理方法有下列几种。

(1)线性变换

效益型属性：z

ij = y

ij

/y

j

max (10-1)

变换后的属性值最差不为0，最佳为1

成本型属性z

ij = 1 - y

ij

/y

j

max (10-2)

变换后的属性值最佳不为1，最差为0

或z

ij ’ = y

j

min/ y

ij

(10-2’)

变换后的属性值最差不为0，最佳为1, 且是非线性变换

表10.2 表10.1经线性变换后的属性值

(2) 标准0-1变换

效益型：z

ij =

y y

y y

ij j

j j

-

-

min

max min

(10.3)

成本型: z

ij =

y y

y y

j ij

j j

max

max min

-

-

(10.4)

特点：每一属性，最佳值为1，最差值为0，而且变换后的差值是线性的.

表10.3 表10.1经标准0-1变换后的属性值

(3) 最优值为给定区间时的变换

设给定的最优属性区间为 [y j 0, y j *]

1- (y j 0 - y ij )/(y j 0 - y j ’) 若y ij ＜y j 0

z ij = 1 若y j 0≤y ij ≤y j * (10.5)

1 - (y ij -y j *)/ (y j ”-y j *) 若y ij ＞y j * 其中, y j ’为无法容忍下限, y j ”为无法容忍上限。 表10.4 表10.1之属性2的数据处理

(4)向量规范化 z y y ij ij

ij i m

==∑21

(10.6)

特点：规范化后，各方案的同一属性值的平方和为1；不管成本型或效益型，从属性值的大小上无法分辨。常用于计算各方案与某种虚拟方案(如理想点或负理想点)的欧氏距离的场合。 表中最右一列是属性2经式(10.5)变换后的值再向量规范化的结果.

表10.5 表10.1经向量规范化后的属性值

(5)

原始数据的统计处理

z ij =

y y y

y ij j j

j

--_

max _

(1.00 - M) + M (10.7)

其中, y j _

= 11

m y ij

i m

=∑ 是各方案属性j 的均值, m 为方案数, M 的取

值可在0.5-0.75之间.

式(10.7)能够有多种变形, 例如:

z ij ' = 01

075.()/._

y y ij j j -+σ (10.7’) 其中σj 为属性j 的均方差,当高端均方差大于2.5σj 时变换后的值均为1.00.这种变换的结果与专家打分的结果比较吻合.