第二章补充习题参考答案

第二章补充习题参考答案

１．求微商

（１） x x x x e x xe x e x xe ++=ln ln ]'ln [；

（２）x e x x e x x e x x e x x x x cos cos sin (2

1

sin (cos 21]'sin (cos 21[=+-++=+）））

； （３）2

2222222222csc cot cos 2csc 2sin sin 2cos cos sin sin cos 2'sin cos x x x x x x x x x x x x x x x --=?-?-=???

? ??； （４）2

211

arctan 2]')[(arctan x x x +?=；

（５）2

222

111221]'1['11

x x x x x x x

x -+=---=--=???

? ??-+； （６）111111

]'1

[arcsin 222--=???

?

?-???

? ??-=

x x x x x

； (7),)

1)(1(1

]1111[21'1),1ln()1[ln(21ln ,11x x x x u u x x u x x u +--=++--=+--=+-=

2

121

11)1)(1(11111'11arctan

x

x x x x x

x

x x --=+-???? ??+--?+-+=???? ??+-∴； （８）

7

2

331

24275

3

32

247

533

1237

533

124)1()1()2(7

15)1()1()2(32)

1()1()2(4]')1()1()2[(---++--+++-++=-++x x x x x x x x x x x x x x ；

或用对数求导法．

?????

?--+++-++=--+++=-++++=-++=)1(715)1(3224)1()1()2(',)1(715)1(3224'1)

1ln(7

5

)1ln(31)2ln(4ln ,)1()1()2(32275

33124322327

533

124

x x x x x x x x y x x x x x y y x x x y x x x y

（９）[]

=?-?-?-=-=????????-=??????θθθθθθθθθθ2222

3

33sec )tan 6(tan 3121

tan 31'tan 31arccos 'cos cos 3cos 4arccos 'cos 3cos arccos ； （１０）x

x x ln 1

)]'[ln(ln =

； (11)ctgx x

ctg x x x x x x ctgx x -=--=

--=-2

sin cos cos 1sin )]'ln(sin )cos 1[ln()]'[ln(csc ；

（１２）x x

x x x x

x x x x sec cos 1]sin 1cos sin 1cos [21'))sin 1ln()sin 1(ln(21'sin 1sin 1ln ==-++=??????--+=??????-+； （１３）]cot sec tan 2[}sin ln exp{tan }]'sin ln [exp{tan 22

2x x x x x x x +??+=+；

（１４）x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 233233232

53cot cos cot cos 3sin cos cot csc cos cot sin cot cos 3sin cos ]cot cos cos [tan cos sin ++--=++--=-=??

?

???-’’

（１５）x

a x x a x a a

a x x x a a a x 2

222

22221arccos -=

??

?

??-???

? ??-+-=

?????

?

--’； （１６）x x x x x x x x -+=?+?+-+--=??????++-11212

12

121121'21arcsin 2122

； （１７）x x x x

x x x x x arctan 12211arctan )]'1ln(21arctan [2

22=+?-++=+-； (18)

2

222222

222222

222222222)1(12221'

)ln )(ln(22'ln 22a x a x x a x x a a x x a x a a x x a a x x a a x x a a x x +=++?++?++++=??????-++++=????????++++

２．求高阶微商：

（１）m

b ax y )(+=，求n n dx

y

d （m 是自然数）．

??

?>≤++--=+-=+=+=---m n m n b ax a n m m m y

b ax a m m y b ax m a y b ax y n m n n m m m ，

　0,)()1()1(,,)()1(",)(',)()

(221

（２）x

xe y =，求n n dx

y

d ．

).()

(,),2("),1(',n x x e n y

x x e y x x e y x xe y +=+=+==

（３）),(),(,x g v x u v u y n m ===?求",'y y ．

??????+=???

???+=+=--)()(')()(')()('''''11x g x ng x x m x g x v nv u mu v u v v nu u v mu y n m n m n m n m ???； =??????+-+-++=??????-+-+??????+=??????++??????+=??????+=uv v mnu v v n n u u m m v nv u

m u v u v nv v nv u m u u m u v u v nv u m u v u v nv u m u v u v nv u m u v u v nv u m u v u y n

m

n m n m n m n m n m ''2')1(')1(""'"'"''''''']'[}'''{"2

22222222

（４）2

2

2

)()(c b y a x =-+-，求22dx

y

d ．

,,0)

(2)(2b

y a x dx dy dx dy b y a x ---==-+- 3

23

222

2

22)()()()()(1)()()(b y c b y b y a x b y a x b y a

x b y b y dx dy

a x

b y b y a x dx d dx dy dx d dx

y d --=--+--=???

? ??---?--+--=-?

----=????

??---=??? ??=３．λ为何值时，x e y λ=满足方程0'"=++qy py y ，其中p ，q 是常数．

x x x e y e y e y λλλλλ2",',===，代入方程，并整理，得,02=++q p λλ 故当λ满足一元二次方程02=++q p λλ时，即可．

４．设1

21

24

4

3

2--+=

x x x y ，用什么方法求微商最简便，试求之．

用对数求导法最简便．取对数，有)1ln(2

1

)2ln(41)12ln(31ln 42----+=x x x y ，

求导，得,1

2)2(41)12(34'143

2

----+=x x x x x y y 故 ??

?

???----+--+=

12)2(41)12(34121

2'43244

3

2x x x x x x x x y ． ５．设

b ax x dx dy +=32，b ax x z ++=22，求dz

dy

． 由b ax x z ++=22

得a x dx dz 22+=，所以a

x b

ax x dx dz dx dy dz dy 22//32++==． ６．设1,22=+=v u ue x u ，求dx

dv

． 由于

,),1(v u du dv u e du dx u -=+=所以)

1(//+-==u ve u du dx du dv dx dv u ． ７．求)()(x G y F =确定的)(x f y =的

dx

dy

． 方程两边对x 求导，得)('')('x G y y F =．所以

)

(')(''y F x G y dx dy ==． ８．如果)(x f y =解成反函数为)(y g x =，问)('x f 和)('y g 有何关系？

)('1

1)('y g dy

dx dx dy x f ===

． ９．物体转动的角速度dt d φω=，角加速度dt d ωε=，求证εφ

ω2)

(2=d d ．

εω

ω

ωφωφω22//)()(2

2=?

==dt d dt

d dt

d d d ．

１０．设质点作直线运动的方程为s ＝s(t)，v 为速度，a 为加速度，试证ds

dv v

a =． ds

dv

v dt ds ds dv dt dv a dt ds v ?=?===

,． １１．设kT

e

kT A 254

)(1ε

θθ

=-，（k A ,,ε都是常数），求dT d θ．

方程变形，得 kT Ae kT 254)1()(ε

θθ-=，两边微分，

dT e kT A d Ae

dT kT k d kT kT

kT

22

253

542)1()(54)(ε

ε

εθθθθ?---=+．

解得kT kT

Ae kT e kT A kT k dT

d 2542253)(2)1()(54ε

ε

εθθθ+?-+-=． １２．在低温气体吸附理论中，用到下列函数20ln

V

A

B P P -=，V 是在压力P 时被吸收的气体体积，A ，B 为常数．试问若将lnP 对2

1

V 作图．所得曲线上各点切线的斜率怎样计算？ 函数可变形为20ln ln V A B P P -

+=，作变量替换 2

1

,ln V

x P y ==，则函数化为 Ax B P y -+=0ln ，故所作曲线的斜率为A -．

１３．溶液自深为１８cm 、顶为１２cm 的锥形漏斗中流入一直径为１０cm 的

圆柱形容器中，当漏斗中溶液深为１２cm 时，其水面下落的速率为１cm ／min ，问圆柱形容器中水平面的上升速率为何？

设时刻t 时，锥形容器的水深为h ，圆柱形容器的水深为H ，则锥形容器中减少的水的体积就是圆柱形容器中应有的体积，故有

H h h 22

2533118631?=??

?

??-??πππ．两边对t 求导， dt

dH

dt

dh

h ?

=?-

ππ2592，把1,12-==dt dh h （因为高度下降），解得64.02516≈=dt dH 故圆柱形容器水面上升的速率为0.64cm ／min ．

１４．求例１３（第５５页）中滑块的加速度． 由该例可知，滑块的速度为 t

r l t r t r v ωωωωω2

2

2

2sin 22sin sin --

-=

所以该滑块的加速度是 ==

dt

dv

a （略） １５．求下列函数的极值点及极值．

（１）x e x y -=2；

函数在R 上连续，且x e x x y --=)2('，驻点为,0=x 2．因为当2,20,0><<

而2=x 是函数的极大值点，对应的极大值为24-e ． （２）||x y =

0=x 是函数的极小值点，极小值为０．

１６．在计算化学平衡常数时，要用到函数2

3)

1(x x y -=

．试作此函数在－２＜x ＜１上的

图形．解略

１７．设有一质点在坐标原点附近振动（例如弹簧上的质点），已知其振动方程（质点所在的位置坐标和时间t 的关系）为t a x 2sin =，试研究此运动在何处速度的绝对值最大，何处最小？在何处加速度的绝对值最大，何处最小？

质点振动速度，t a dt dx v 2cos 2==振动加速度t a dt

dv a 2sin 4-==， 在x ＝０处，质点运动速度的绝对值最大，加速度的绝对值最小；

在a x ±=处，质点运动的速度的绝对值最小，而加速度的绝对值最大．

１８．子弹在空中飞行，其弹道方程为800

)1(2

2x m mx y +-=，这里原点取为子弹

出膛之点，其中m 为弹道曲线在原点处的切线的斜率． （１）若要子弹击中同一水平面上最远距离的目标；

（２）若要子弹击中300米远处一直立墙壁上的最大高度， 问m 之值各为多少？

（１）令y ＝０，解得x ＝０（舍去），1

8002+=m m

x ，

由0)1()1(800)1(1600)1(8002222222=+-=+-+=m m m m m dm dx ，解得m ＝１，m ＝－１（舍） 故m ＝１时，子弹射得最远，最远距离为４００米．

（２）x ＝３００时，)1(89003002+-=m m y ，令04

900

300=-=m dm dy ，解得34=m ，从而，当34

=m 时，可击中３００米远处墙壁的最大高度，此时的最大

高度为８７．５米．

１９．求范德华位能函数117d

d V λ

μ+-=（μλ,是常数）的最小值（d 是二原子间

的距离）． 据0117'128=-=d d V λμ，解得4711μ

λ=d ，故V 的最小值为

4

74

7

min 117114]117[117??

? ??-=?+-??? ??=λμμλμλμλμV ．

２０．一人在船中距海岸最近点B 为L 公里，设此人划船的速度为α公里／小时，步行的速度为β公里／小时．如果此人想以最少时间到达距最近点为d 公里的岸C 上，那么应当在何处登岸？ BC=d ，AB=L ，设BM=x ，则

x d MC L x AM -=+=,22， 故此人从A 到C 共耗时β

α

x

d L x t -+

+=

2

2，

令

0122=-+=β

αL x x dx dt ，解得 当βα<时，2

2

α

βα-=

L x ，故此种情况下，在距B 点

2

2

α

βα-L 公里的地方登

岸耗时最少；当βα≥时，可直接对着目标划船

过去．

２１．求内接于椭圆122

22=+b

y a x 的最大矩形面

积．

设椭圆的参数方程为t b y t a x sin cos ==，，则椭圆的面积为t ab t t ab S 2sin 2sin cos 4==，)2

0(π

<

显然当4

π

=

t 时，内接的矩形面积最大，最大面积为2ab ．

２２．边长为2.4米的正方形金属板受热膨胀，得到边长为2.5米的正方形板． （１）计算膨胀面积的精确值；

（２）用微分近似计算所膨胀的面积．

边长为x 的正方形的面积2x S =，1.0,4.20=?=x x （１）膨胀面积的精确值

49.04.25.2)(222

020=-=-?+=?x x x S （米２）

； （２）膨胀面积的近似值

48.01.04.2220=??=?=≈?x x dS S （米２

）

． ２３．用正切电流计测定电流强度时，若指针的角度为?，则可按公式?tan K i = （K 为常数）计算电流强度i ．试证：如果读角度?的绝对误差相同，那么?接

近４５度时，i 的相对误差较小．

由?δ?

?????δ2sin 2

||2sin 2tan sec *2=?==≈?=K d K i di i i i ，显见 45=?时，

i 的相对误差最小．

２４．某工厂成批加工半径为1000毫米，中心角为 55的

圆扇形产品，并先后对中心角的误差要求（半径的误差忽

略）提出两种方案：一种方案要求扇形角的绝对误差不超过0.5度；另一种方案要求扇形角所对的弦长的绝对误差不超过１毫米．试问哪一种方案对加工的要求高？

容易求出弦长与中心角的函数关系为2

sin 2000?

=L ．

|||2

cos 1000|||??

?=≈?dL L ．把 5.055=?=??，代入，

计算得74.7≈?L 毫米，这远远大于１毫米，所以，第二种方案要求较高． ２５．利用微分证明下列结果： （１）当 |x| 很小时，有x x ≈sin ；

选函数x x f sin )(=，x x f cos )('=取x x x =?=,00，则由公式

x x f x f x x f ?+≈?+)(')()(000，有

x x x =??+≈0cos 0sin sin ．

（２）当a 与b 很接近时，有)(2

1

b a ab +≈

（假定a ＞０，b ＞０）． 设b ＝a ＋h ，因为a 与b 很接近，故｜h ｜很小，选函数x

x f x x f 21)(',)(==，

当x 的绝对值很小时，有x f f x x f 2

1

1)1(')1(1)1(+=+≈+=+， 所以)(2

1

)(21211)(b a a b a h a a h a h a a ab +=-+=?+≈+=+=．