中考数学复习指导：例析追击和相遇问题的解题方法
第三讲：追击及相遇问题
经典例题及追击相遇问题（看情况是否具体）一、相遇和追击问题的实质研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。
二、解相遇和追击问题的关键画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系：0t t t B A ±=（2）位移关系：0A B x x x =±（3）速度关系：两者速度相等。
它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
三、追击、相遇问题的分析方法:A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程;B. 找出两个物体在运动时间上的关系C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系D. 联立方程求解.说明:追击问题中常用的临界条件:⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离;⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上.四、典型例题分析：(一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v 1< v 2）：v 1< v 2时，两者距离变大；v 1= v 2时， 两者距离最大；v 1>v 2时，两者距离变小，相遇时满足x 1= x 2+Δx ，全程只相遇(即追上)一次。
【例1】一小汽车从静止开始以3m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 法一 根据匀变速运动规律求解法二 利用相对运动求解法三 极值法法四 图象法(二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1< x 2+Δx ，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x 1=x 2+Δx ，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。
四种数学方法分析追及和相遇问题
四种数学方法分析追及和相遇问题例1 在水平道路上有两辆汽车A 和B 相距x ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同，如图1所示．要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0满足什么条件．图1解析 解法一：解方程法A 、B 两车的运动过程如图所示．对A 车，有x A ＝v 0t －12×2at 2，v A ＝v 0－2at 对B 车，有x B ＝12at 2，v B ＝at . 两车恰好不相撞的条件是：当x ＝x A －x B 时，v A ＝v B ，联立以上各式解得v 0＝6ax ，故要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤6ax . 解法二：判别式法设A 车经过时间t 恰好追上B 车，两车的位移关系为x A ＝x ＋x B ，即v 0t －12×2at 2＝x ＋12at 2，整理得3at 2－2v 0t ＋2x ＝0，这是一个关于时间t 的一元二次方程，当判别式Δ＝(－2v 0)2－4·3a ·2x ≤0时，t 无实数解或只有一个解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A 车的初速度v 0应满足的条件是v 0≤6ax .解法三：图象法先作出A 、B 两车的v －t 图象，如图所示．设经过时间t 两车刚好不相撞，则：对A 车，有v A ＝v ＝v 0－2at ；对B 车，有v B ＝v ＝at ，解得t ＝v 03a. 两车相遇时的位移差等于x ，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知x ＝12v 0t ＝v 026a，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0≤6ax.解法四：相对运动法以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a′＝－2a－a＝－3a，A车追上B车且刚好不相撞的条件是v t＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式得－v02＝2×(－3a)x，所以v0＝6ax，即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax.答案v0≤6ax。
追及和相遇问题解题技巧
追及和相遇问题解题技巧1.追及相遇问题中的一个条件和两个关系(1)一个条件：即两者速度相等，往往是物体能追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。
2．追及相遇问题的两种典型情况(1)速度小者追速度大者这一时刻一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。
试求：自(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？(1)追上前汽车和自行车相距最远的条件是什么？提示：汽车和自行车速度相等。
(2)追上时汽车和自行车的位移关系是什么？提示：位移相等。
尝试解答(1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s(1)解法一：(物理分析法)如图甲所示，汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，汽车和自行车间的距离为Δx，则有v自＝at1所以t1＝v自a＝2 sΔx＝v自t1－12at21＝6 m。
解法二：(相对运动法)以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s末速度v t＝v汽车－v自＝0加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2所以汽车和自行车相距最远时经历的时间为t1＝v t－v0a′＝2 s最大距离Δx＝v2t－v202a′＝－6 m负号表示汽车在后。
注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。
解法三：(极值法)设汽车在追上自行车之前经过时间t1汽车和自行车相距为Δx，则Δx＝v自t1－12at21代入已知数据得Δx＝6t1－3 2t21由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。
所以经过t1＝2 s后，汽车和自行车相距最远，为Δx＝6 m。
中考数学复习指导：例析追击和相遇问题的解题方法
例析追击和相遇问题的解题方法一、追击类问题例1 甲乙两人同时去B 地，甲骑自行车，乙骑摩托车中途摩托车出现故障改步行，下图是他们的路程随时间变化的图线。
(1)求出甲乙两人路程与时间的关系函数；(2)甲到达终点用了多长时间?(3)两人何时相距最远，最远距离是多少?解析 (1)对于第一问，欲求甲乙的路程 - 时间关系函数，利用图中给出的数据即可求出。
设甲路程随时间变化的关系式为1y k x =，由于甲图过点（1.5，15），解出10k =，代回上式可得甲的路程 - 时间关系函数为110y x =。
从图中可以看出乙的曲线呈现分段变化，设第一段时乙的关系函数为22y k x =，则当[0,1.5]x ∈时，将已知点（1.5，30）代入，得到乙的关系函数为220y x =。
在第二段中，当[1.5,7.5]x ∈时，设其关系函数表达式为33y k x b =+，将点（1.5,，30）、（7.5，60）代入得到表达式3522.5y x =+，综上可知乙的路程 - 时间关系函数为20 1.5522.5 1.57.5x x x x ≤≤⎧⎨+<≤⎩， 0， 。
(2)已知甲的路程 - 时间关系函数，将60y =代入，即可求出对应的时间6x =。
(3)从路程 - 时间关系图的几何意义出发，甲乙两人的距离即是两图线之间的纵向距离，观察图形，两人距离最值可能出现在 1.5x =及6x =处，代入计算可知，当 1.5x =时，两人距离最远，最远为15km 。
点拨 对于一次函数的追击类问题，只要围绕图形结合题设便可迅速求解。
值得注意的是必须看清图形坐标轴信息，理清图形语言的几何意义，为解题提供捷径。
二、相遇类问题例2 甲乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地后停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地。
设小明与甲地的距离为1y ，小亮与甲地的距离为2y ，小明小亮之间的距离为s ，小明行走时间为x ，12y y 、与x 之间的函数图象如图1，s 与x 之间的部分图形如图2。
中考数学：例析追击和相遇问题的解题方法
例析追击和相遇问题的解题方法一、追击类问题例1甲乙两人同时去B 地，甲骑自行车，乙骑摩托车中途摩托车出现故障改步行，下图是他们的路程随时间变化的图线。
(1)求出甲乙两人路程与时间的关系函数；(2)甲到达终点用了多长时间?(3)两人何时相距最远，最远距离是多少?解析(1)对于第一问，欲求甲乙的路程-时间关系函数，利用图中给出的数据即可求出。
设甲路程随时间变化的关系式为1y k x =，由于甲图过点（1.5，15），解出10k =，代回上式可得甲的路程-时间关系函数为110y x =。
从图中可以看出乙的曲线呈现分段变化，设第一段时乙的关系函数为22y k x =，则当[0,1.5]x ∈时，将已知点（1.5，30）代入，得到乙的关系函数为220y x =。
在第二段中，当[1.5,7.5]x ∈时，设其关系函数表达式为33y k x b =+，将点（1.5,，30）、（7.5，60）代入得到表达式3522.5y x =+，综上可知乙的路程-时间关系函数为20 1.5522.5 1.57.5x x x x ≤≤⎧⎨+<≤⎩， 0， 。
(2)已知甲的路程-时间关系函数，将60y =代入，即可求出对应的时间6x =。
(3)从路程-时间关系图的几何意义出发，甲乙两人的距离即是两图线之间的纵向距离，观察图形，两人距离最值可能出现在 1.5x =及6x =处，代入计算可知，当 1.5x =时，两人距离最远，最远为15km 。
点拨对于一次函数的追击类问题，只要围绕图形结合题设便可迅速求解。
值得注意的是必须看清图形坐标轴信息，理清图形语言的几何意义，为解题提供捷径。
二、相遇类问题例2甲乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地后停留一段时间，原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地。
设小明与甲地的距离为1y ，小亮与甲地的距离为2y ，小明小亮之间的距离为s ，小明行走时间为x ，12y y 、与x 之间的函数图象如图1，s 与x 之间的部分图形如图2。
追及问题公式和相遇问题公式
追及问题公式和相遇问题公式
追击问题：路程=速度差×追击时间；相遇问题：路程=速度和×相遇时间。
相遇问题的关系式是：速度和×相遇时间=路程；路程÷速度和=相遇时间；路程÷相遇时间=速度和。
解题技巧
解答这类问题，要弄清题意，按照题意画出线段图，分析各数量之间的关系，选择解答方法。
相遇问题除了要弄清路程，速度与相遇时间外，在审题时还要注意一些重要的问题：是否是同时出发，如果题目中有谁先出发，就把先行的路程去掉，找到同时行的路程。
驶的方向，是相向，同向还是背向.不同的方向解题方法就不一样。
是否相遇.有的题目行驶的物体并没有相遇，要把相距的路程去掉;有的题目是两者错过，要把多行的路程加上，得到同时行驶的路程。
追及与相遇问题知识详解及典型例题
追及与相遇问题知识详解及典型例题（精品）知识要点追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系，所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律。
追及、相遇问题常常涉及到临界问题，分析临界状态，找出临界条件是解决这类问题的关键。
速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件。
在两物体沿同一直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。
因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出。
解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。
1. 追及追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。
如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。
若二者相遇时（追上了），追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值。
再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上。
“追上”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲=v乙；二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件：两物体速度相等，即v甲＞v乙，此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲＞v乙，则能追上去，若v甲＜v乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种相类似。
追击相遇问题专题讲解
追击与相遇专题讲解1.速度小者追速度大者：匀速追匀减速2.速度大者追速度小者：次相遇，说明: ①表中的Δx 是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移； ②x 0是开始追及以前两物体之间的距离； ③t 2-t 0=t 0-t 1;④v 1是前面物体的速度，v 2是后面物体的速度.考点1 追击问题1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。
甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。
若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。
若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间后两者速度相等，则两者之间的距离 （填最大或最小）。
2、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：⑴ 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度 ，即v v 乙甲。
⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。
⑶ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。
判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。
①当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。
②当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，此情况还存在乙再次追上甲。
③当甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。
解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。
追击问题分析方法：⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。
两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。
⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。
⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t 图象的应用。
【例1】物体A 、B 同时从同一地点，沿同一方向运动，A 以10m/s 的速度匀速前进，B 以2m/s 2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A 、B 再次相遇前两物体间的最大距离．【解析一】 物理分析法A 做 υA ＝10 m/s 的匀速直线运动，B 做初速度为零、加速度a ＝2 m/s 2的匀加速直线运动．根据题意，开始一小段时间内，A 的速度大于B 的速度，它们间的距离逐渐变大，当B 的速度加速到大于A 的速度后，它们间的距离又逐渐变小；A 、B 间距离有最大值的临界条件是υA ＝υB ． ① 设两物体经历时间t 相距最远，则υA ＝at ② 把已知数据代入①②两式联立得t ＝5 s 在时间t 内，A 、B 两物体前进的距离分别为 s A ＝υA t ＝10×5 m＝50 ms B ＝12at 2＝12×2×52m ＝25 mA 、B 再次相遇前两物体间的最大距离为 Δs m ＝s A －s B ＝50 m －25 m ＝25 m 【解析二】 相对运动法因为本题求解的是A 、B 间的最大距离，所以可利用相对运动求解．选B 为参考系，则A 相对B 的初速度、末速度、加速度分别是υ0＝10 m/s 、υt ＝υA －υB ＝0、a ＝－2 m/s 2． 根据υt 2－υ0＝2as ．有0－102＝2×(-2)×s AB 解得Ａ、B 间的最大距离为s AB ＝25 m ． 【解析三】 极值法物体A 、B 的位移随时间变化规律分别是s A ＝10t ，s B ＝12at 2＝12×2×t 2 ＝t 5.则A 、B 间的距离Δs ＝10t －t 2，可见，Δs 有最大值，且最大值为Δs m ＝4×(－1)×0－1024×(－1) m ＝25 m【解析四】 图象法根据题意作出A 、B 两物体的υ-t 图象，如图1-5-1所示．由图可知，A 、B 再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υA＝υB ，得t 1＝5 s ．A 、B 间距离的最大值数值上等于ΔO υA P 的面积，即Δs m ＝12×5×10 m＝25 m ．【答案】25 m【实战演练1】（2011·新课标全国卷）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对题目图形的理解，务必做到间变化的关系式为 y = k1 x ，由于甲图过点（1.5，15） ，解出 k = 10 ，代 回上式可得甲的路程 - 时间关系函数为 y1 = 10 x 。 从图中可以看出乙的曲线呈现分段变化， 设第一段时乙的关系函数为 y2 = k2 x ，则当 x ∈ [0,1.5] 时，将已知点（1.5，30）代入，得 到乙的关系函数为 y2 = 20 x 。在第二段中，当 x ∈ [1.5, 7.5] 时，设其关系函数表达式为
例析追击和相遇问题的解题方法
一、追击类问题 例 1 甲乙两人同时去 B 地，甲骑自行车，乙骑摩托车中途摩托车出现故障改步行，下 图是他们的路程随时间变化的图线。(1)求出甲乙两人路程与时间的关系函数；(2)甲到达终 点用了多长时间?(3)两人何时相距最远，最远距离是多少?
解析
(1)对于第一问，欲求甲乙的路程 - 时间关系函数，利用图中给出的数据即可求
y3 = k3 x + b ，将点（1.5,，30） 、 （7.5，60）代入得到表达式 y3 = 5 x + 22.5 ，综上可知乙
的路程 - 时间关系函数为
0 ≤ x ≤ 1.5 20 x， 。(2)已知甲的路程 - 时间关系函数， 5 x + 22.5， 1.5 < x ≤ 7.5
将 y = 60 代入，即可求出对应的时间 x = 6 。(3)从路程 - 时间关系图的几何意义出发，甲 乙两人的距离即是两图线之间的纵向距离，观察图形，两人距离最值可能出现在 x = 1.5 及
小亮之间的距离为 s ，小明行走时间为 x ， y1、y2 与 x 之间的函数图象如图 1， s 与 x 之间 的部分图形如图 2。(1)求小亮从乙到甲的 y2 与 x 之间的函数关系；(2)求小亮由甲返回到与 小明相遇的 s 与 x 的函数关系；(3)补全图 2 的信息，并求出 a 值。
解析
图 1 是小明与小亮的路程 - 时间图象，结合题目背景可知， AB 段是小亮从乙
a = 2000 /(200 + 50) = 8 。 GF 段： ：当 x = 10 时，小亮到达甲地，此后 14 分钟，小亮停
留在甲地，此时，两人之间的距离 s 满足关系： s = 500 + 50 x(10 ≤ x ≤ 24) 。 FM 段：此 时，小亮出发往乙地，直至与小明相遇，两人之间的距离。满足关系式 s = −150 x + 4800 ， 最终状态两人相遇即 s = 0 ，此段的时间 x ∈ [24,32] 。 MC 段：此时两人已经相遇，且同 时步行至乙地，故两人之间的距离 s 始终为 0。至此，对两人的运动过程的分析全部完成， 将对应的关系式与区间段代入图形即可得到对应的图 2。 点拨 遇到复杂类型的相遇追击问题，切忌慌乱，此时可以多读题目，将题目背景与图 形进行反复关联对照。同时，将已知的信息尽可能多的标注在图形上，从而提高审题效率。 一次函数类的相遇与追击问题常常与学生的生活实际相联系， 有条件时我们不妨安排学 生进行模拟实验，在生动趣味的实验过程中深化学生理解。在教学过程中，尽可能追求学生
x = 6 处，代入计算可知，当 x = 1.5 时，两人距离最远，最远为15km 。
点拨 对于一次函数的追击类问题， 只要围绕图形结合题设便可迅速求解。 值得注意的 是必须看清图形坐标轴信息，理清图形语言的几何意义，为解题提供捷径。 二、相遇类问题 例 2 甲乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小 亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地，小亮到达甲地后停留一段时间，原路原速返回，追 上小明后两人一起步行到乙地。设小明与甲地的距离为 y1 ，小亮与甲地的距离为 y2 ，小明
地到甲地的过程，设其关系式为 y2 = kx + b ，将已知点代人可得 k = −200 、b = 2000 ，得 到其关系式为 y2 = −200 x + 2000 。 (2) BE 段 为 小 亮 在 甲 地 停 留 的 过 程 ， ED 段 则 是 小 亮 与 小 明 相 遇 的 过 程 ， 设
yDE = kx + b ， 已知小亮 的骑行 速度，结 合已知 点 E (24， 0) ，可得 DE 段 的关 系式 为 y DE = 200 x − 4800 ，同时可以得到 yOC = 50 x 。此时，小亮与小明相遇的 s 与 x 的关系即
是 OC 与 DE 之间的纵坐标之差， s = 50 x − 200( x − 24) = −150 x + 4800 。 (3) 首 先 ， a 值 表 示 两 人 第 一 次 相 遇 时 间 ， 已 知 两 地 距 离 与 两 人 速 度 ，