关于复数的一个充要条件及其应用

综合 ①, ②,命题得证.
这个性质用于解决复数或三角中的问题时 , 解
法简便奏效.
例 1 (1990 年全国高考题) 已知 sinα+ sinβ=
1 4
,cosα+ cosβ=
1 3
,求 tg (α+β) 的值.
解 设 z1 = cosα + isinα, z2 = cosβ + isinβ, 则
|
z3|
=
1
,
z
2 2
=
z1 z3 和
z2 +
z3 i =
i ,求这三个复数.
解 ∵ z2 + z3 i = i ,| z1| = | z2| = | z3| = 1 ,
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2002 年第 8 期 数 学 通 讯
41
两道不等式题的统一推广
徐 昊 指导教师 宋 庆
(南昌大学附中高二 (1) 班 ,江西 南昌 330029)
本短文旨在建立以下
命题 已知 x , y ∈R + ,且 xy = 1.
若 λ>
1
,
则 1
1 +λx
+
1
1 +λy
≥λ2+
1;
若
0
<λ<
1 ,则1
1 +λx
+
1
1 +λy
≤λ2+
1.
证
1
1 +λx
+
1 1 +λy
=
2 +λ( x + y) (1 +λx) (1 +λy)
=
2 +λ( x + λ2 + 1 +λ( x
y) +
y)
=1-
λ2
λ2 - 1 + 1 +λ( x
+
y)
.
λ> 1
时
,
1
1 +λx
+
1 1 +λy
+
0.
08
%)
480
-
1]
= 61414. 5
(万元) ≈6 (万元) .
对于一个收入较高的人 , 一天只要抽掉一包单
价 25 元的“小熊猫”香烟 (情况往往不止如此) , 一月
就抽掉 750 元. 40 年下来 ,将抽去
a″480
=
750 0. 08 %
[
(
1
+ 0. 08 %) 480 - 1 ] = 438675 (元) ≈43 (万元) . 竟然高 达 40 多万 !
3 2
+
1 2
i , z3 =
1 2
-
3 2
i
.
例 3 (1995 年上海高考题) 已知| z1| = | z2| =
(万元) . 即便是一个收入较低的人 , 一天只抽掉一包单
价 3. 5 元的“石林”香烟 , 40 年下来也是一笔不小的
数目 : a′480
=
3. 5 ×30 0. 08 %
[
(1
习 ,分学科安排了带头人 , 组织实施研究性学习 , 教 师和同学认真探讨和实践 , 使研究性学习逐步落到 了实处. 高三 200201 班的赵德恩 、王传伟两位同学 把司空见惯的抽烟行为 、银行存款与数学知识结合
起来 ,建立了一个简单的数学模型 ,由此发现了惊人 的抽烟消费. 这是数学应用的一个简单例子 ,对学生 来说 ,这就是探索和研究 ,就是创新 ! 发现总属于善 于观察 、分析的有心之人 !
42
数 学 通 讯 2002 年第 8 期
抽烟中的数学
赵德恩 王传伟 指导教师 张国坤 李 晶
(曲靖一中 200201 班 ,云南 655000)
人们通常认为 , 抽烟有害健康. 换个角度想 , 一 个终生抽烟的人 , 要抽掉多少金钱呢 ? 按常规进行 思考 ,一个一般收入的人 ,如果每天抽一包单价 7 元 人民币的“红塔山”香烟 , 每月按 30 天计 , 则每月抽 去 210 元 ,每年抽去 210 ×12 = 2520 元 (除去闰年多 出的一个月) ,再乘以他一生的烟龄即可算出他一生 抽烟抽去了多少钱.
|
z1 +
z2|
=
5 12
|
zk|
( k = 1 ,2) ,
∴ ( z1 + z2) 2 =
5 12
2
z1 z2 ,
z1
z2
=
144 25
1 3
+
1 4
i
2
,
故
z1 z2
=
7 25
+
24 25
i
.
又 z1 z2 = cos(α+β) + isin (α+β) ,
所以
tg (α+β)
=
24 7
.
例 2 三个复数 z1 , z2 , z3 满足| z1| = | z2| =
(收稿日期 :2001 - 12 - 26)
1且
z1 + z2 =
1 2
+
3 2
i
,求
z1 和
z2 的值.
解 ∵| z1| = | z2| = | z1 + z2| = 1 ,
∴ z1·z2 = ( z1 + z2) 2 = -
1 2
+
3 2
i
,
∴ z1 和 z2 是 方 程 z2 -
1 2
+
3 2
我们学习数列后 ,从数学的角度思考 , 如果此人 自觉戒烟 ,每月底将花在抽烟上的钱存入银行. 假如 他每月月底存入 a 元 ,按复利 (利滚利) 计算 ,设月利 率为 x ,他在戒烟后的第 n 个月底在银行所拥有的 钱数为 an 元 ,
则 a1 = a , an + 1 = an (1 + x ) + a ( n ∈N+ ) . 下面 构 造 辅 助 性 的 等 比 数 列 求 数 列 { an } 的 通项. 令 an + 1 + t = an (1 + x) + a + t = (1 + x) ( an +
证 ① ∵ ( z1 + z2) 2 =λ2 z1 z2 , ∴ ( z 1 + z 2) 2 =λ2 z 1 z 2 , 两式相乘得 | z1 + z2| 4 =λ4| zk| 4 , ∴| z1 + z2| =λ| zk| (其中 λ∈R + , k = 1 ,2) .
② ∵|
z1|
=|
z2|
b +
a
+
3
a
c +
b
>
3
3
2
2
.
参考文献
[1 ] 安振平. 均值不等式的妙用. 数学通讯 , 2001
(18) .
(收稿日期 :2001 - 10 - 17)
关于复数的一个充要条件及其应用
宁卫钦
(浦北县浦北中学高三 (3) 班 ,广西 535300)
命题 z1 , z2 是两个模相等的非零复数 , 则 ( z1 + z2) 2 =λ2 z1 z2 的充要条件是 | z1 + z2 | = λ| zk | (其中 λ∈R + , k = 1 ,2) .
仅一个人的数目就如此惊人 ,而我国烟民上亿 , 被他们抽掉的钞票显然是一个更惊人的数字 ! 香烟 之有害 ,由此可见一斑.
抽烟的朋友们 ,为了自己的健康 ,为了国家的发 展 ,戒烟吧 !
教师推荐评语 :研究性学习已被正式列入新的 教学大纲和新的课程标准 , 云南曲靖一中作为省级 重点中学 , 于 2001 年 9 月开始起动实施研究性学
代入数据 ,即可求值.
对本文开头的那个人 , a = 210 元 , 取烟龄 m =
40 年 , 取 月 利 率 x = 0. 08 % , 则 a12 ×40 = a480 =
210 0. 08 %
[
(1
+
0.
08
%)
480
-
1] =
…= 122829 (元) ≈13
∴| z2 + z3 i| = | z2| = | z3 i| , ∴ ( z2 + z3 i) 2 = z2 z3 i = - 1.
由
z2 + z3 i = i , 得
z2 = -
3 2
+
1 2
i,
或
z2 z3 i = - 1 ,
z3 =
1 2
-
3 2
i
,
z2 =
3 2
+
1 2
i, 代入
z
2 2
=
z1 z3 求得
z1 = 1.
z3 =
1 2
+
3 2
i.
故
z1 = 1 , z2 =
3 2
+
1 2
i , z3 =
1 2
+
3 2
i
,
或 z1 = 1 , z2 = -
t) ,则可求出
t=
a x
,
∴ an +
a x
=
a1 +
a x