学而思四年级春季班牛吃草知识点
第十五讲牛吃草
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定.
解“牛吃草”问题的主要依据：
①草的每天生长量不变；
②每头牛每天的食草量不变；
③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④新生的草量=每天生长量⨯天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为1份；
⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；
⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；
⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；
⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
一、计算草的生长速度与原有草量
新草的生长速度和原草是求后面问题的必备条件，大家一定要熟练掌握.
草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数) 原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数
例：有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，问每天新长多少草，草场原有多少草？
【解析】设1头牛1天的吃草量为1份，那么12头牛吃25天一共吃了12×1×25=300(份)，24头牛吃10天一共吃了24×1×10=240(份)，251015
-=(份)，所以每天生长的草量为
-=天生长的草量为30024060
÷=(份/天)；原有草量为：300−25×4=200(份)．
60154
二、已知牛头数求天数
例：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？
【解析】首先要算出草的生长速度与原有草量，设1头牛1天的吃草量为1份，10头牛吃20天共吃了
⨯=(份)．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050
-= 1020200
⨯=(份)；15头牛吃10天共吃了1510150
(份)草，这50份草是牧场的草201010
-=(天)生长出来的，所以每天生长的草量为50105
÷=(份/天)，那么原有草量为：200520100
-⨯=(份)．
求出这两个条件之后，后面有两种解法，一种是按前面的公式: 吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)，另一种就是将牛分成吃新草的幸福牛和吃原草的倒霉牛，时间由倒霉牛决定.
方法一：每天25头牛吃掉25份，但新长出的草补回来5份，每天实际上只减少25−5=20(份)，因此天数为：100÷(25−5)=5(天)
方法二：供25头牛吃，每天新长出5份草，因此有5头幸福牛去吃每天生长的草，那么剩下25−5=20(头)倒霉牛，现在计算一下倒霉牛吃完原草的天数即可，需要100205
÷=(天)，即它可供25头牛吃5天．
三、已知天数求牛头数
例：一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?
【解析】首先要算出草的生长速度与原有草量，设1头牛1天的吃草量为1份，58头牛吃7天共吃了
587406⨯= (份)；
50头牛吃9天共吃了509450⨯=(份)，每天新生长的草量为：(450406)(97)22-÷-=(份/天)，原有草量为：450229252-⨯=(份).
求出这两个条件之后，后面有两种解法，
方法一：先根据原草、新草生长速度、天数计算出总实际吃的总草量，再算牛头数。
即6天的总草量为：252+22×6=384(份)，牛头数为：384÷6÷1=64(头).
方法二：每天新长出22份草，因此有22头幸福牛去吃每天生长的草，倒霉牛需要在6天吃完252份原草，头数为252÷6÷1=42(头)，最后把二者相加即可，22+42=64(头).
四、多种动物吃草
解决这种问题关键在于找到各类动物吃草量之间的关系，然后转化为同一种动物求解，若题目已知了各类动物吃草量之间的关系，可以直接转化，若题目没有已知，那么要列出关于动物食草量的等式，在同等天数下比较其倍数关系.
例：一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？
【解析】设1头牛1天的吃草量为1份，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天．那么每天生长的草量为()()16202012201210⨯-⨯÷-=(份/天)，原有草量为：16×20−10×20=120 (份)．10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要120158÷=(天)可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天．
五、多块草地牛吃草
当草场面积不同时，可以将不同面积统一转化为同样面积的牧场来解决.
例：一个农夫有面积为3公顷、1公顷的牧场，两块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快，如果农夫将30头牛赶到3公顷的牧场，牛12天吃完了草；如果农夫将20头牛赶到1公顷的牧场，牛4天吃完了草，问几头牛10天可以吃完1公顷牧场的草？
【解析】设1头牛1天的吃草量为1份，30头牛12天吃完3公顷的牧场，可转化为10头牛12天吃完1公顷的牧场，那么在1公顷的牧场每天生长的草量为()()10122041245⨯-⨯÷-=(份/天)，原有草量为：10×12−5×12=60 (份)，要在10天内吃完，需要60÷10+5=11(头).
六、变形牛吃草
变形的牛吃草问题实际上都是消长问题，关键是要找出对应的“原草”以及“新草生长速度”。
例：一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【解析】在这道题中，船里的水相当于“牧场上的草”，在淘水前已经进的水就相当于“原草”，人淘水相当于“牛吃草”，淘水过程中匀速进入的水相当于“匀速生长的新草”.
设1人1小时淘出的水量是1份，进水速度是(58103)(83)2⨯-⨯÷-=(份/小时)，原有水量582824⨯-⨯=(份)，要求2小时淘完，要安排242214÷+=(人)淘水。
四年级下册奥数——牛吃草问题
第7讲牛吃草问题知识点、重点、难点一群牛在草地上吃草，开始草地有一定数量的草，并且每天草地又会长出新的草.利用条件，我们可以求出牛的数量或者可以吃的天数.这类问题我们称为牛吃草问题.牛吃草问题的基本步骤：（1）将每天每头牛的吃草量设为1份；（2）比较已知条件中的牛的吃草总量，算出草每天的生长量；（3）计算草地原有草的总量；（4）根据所问问题求解.例题精讲例1一块草地有草180份，每天长5份.如果每头牛每天吃1份草，那么：（1）要使草永远吃不完，那么最多放养___________头牛；（2）6头牛，可以吃_____________天；（3）10头牛，可以吃____________天；（4）________头牛，可以吃18天；（5）________头牛，可以吃15天.例2有一片牧场，草每天都在均匀生长.如果在牧场上放养18头牛，那么10天就把草吃完了；如果放养24头牛，那么7天就把草吃完了.请问：（1）要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？（2）如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？例3进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀减少.现在开始在这片牧场上放羊，如果放38只羊，需要25天把草吃完;如果放30只羊，需要30天把草吃完.请问：（1）放养多少只羊，12天才能把草吃完？（2）如果放20只羊，这片牧场可以吃多少天？例4有一片墓场，草每天的生长速度相同.若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完（4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量）.那么17头牛和20只羊多少天可将草吃完？例5一片草地，草每天都在均匀生长.有15头牛吃草，8天可以把草全部吃完.如果起初这15头牛吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完.如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，则总共需要多少天可以把草吃完？假定草生长的速度不变，每头牛每天吃的草量相同.精选习题1.有一片牧场，草每天都在均匀生长.如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完；如果只放养21头牛，那么8天就把草吃完.那么要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？2.有一片牧场，草每天都在均匀生长.如果放养8头牛，那么8天就把草吃完了；如果放养10头牛，那么6天就把草吃完.如果放养14头牛，多少天就可以把草吃完？3.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少.经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天.那么，如果没有放养牛，牧场上的草全部枯萎需要多少天？。
牛吃草公式及倍数知识
典型牛吃草问题(de)条件是假设草(de)生长速度固定不变,不同头数(de)牛吃光同一片草地所需(de)天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天.由于吃(de)天数不同,草又是天天在生长(de),所以草(de)存量随牛吃(de)天数不断地变化.解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是：设定一头牛一天吃草量为“1”公式1.草(de)生长速度＝（对应(de)牛头数吃(de)较多天数－相应(de)牛头数吃(de)较少天数）÷（吃(de)较多天数－吃(de)较少天数）；公式2.原有草量＝牛头数吃(de)天数－草(de)生长速度吃(de)天数；`公式3.吃(de)天数＝原有草量÷（牛头数－草(de)生长速度）；公式4.牛头数＝原有草量÷吃(de)天数＋草(de)生长速度.这四个公式是解决消长问题(de)基础.由于牛在吃草(de)过程中,草是不断生长(de),所以解决消长问题(de)重点是要想办法从变化中找到不变量.牧场上原有(de)草是不变(de),新长(de)草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出(de)草量应该是不变(de).正是由于这个不变量,才能够导出上面(de)四个基本公式.牛吃草问题经常给出不同头数(de)牛吃同一片次(de)草,这块地既有原有(de)草,又有每天新长出(de)草.由于吃草(de)牛头数不同,求若干头牛吃(de)这片地(de)草可以吃多少天.解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草(de)数量,再求出草地里原有草(de)数量,进而解答题总所求(de)问题.这类问题(de)基本数量关系是：1.（牛(de)头数吃草较多(de)天数-牛头数吃草较少(de)天数）÷（吃(de)较多(de)天数-吃(de)较少(de)天数）=草地每天新长草(de)量.2.牛(de)头数吃草天数-每天新长量吃草天数=草地原有(de)草.解多块草地(de)方法多块草地(de)“牛吃草”问题,一般情况下找多块草地(de)最小公倍数,这样可以减少运算难度,但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些.任意两个奇数(de)平方差是8(de)倍数证明：设任意奇数2n+1,2m+1,(m,n∈N)(2m+1)^2-(2n+1)^2=(2m+1+2n+1)(2m-2n)=4(m+n+1)(m-n)当m,n都是奇数或都是偶数时,m-n是偶数,被2整除当m,n一奇一偶时,m+n+1是偶数,被2整除所以（m+n+1)(m-n）是2(de)倍数则4(m+n+1)(m-n）一定是8(de)倍数2(de)倍数尾数是偶数3(de)倍数数字和为3倍数4(de)倍数末两位是4(de)倍数5(de)倍数尾数是0或者56(de)倍数满足2,37(de)倍数若一个整数(de)个位数字截去,再从余下(de)数中,减去个位数(de)2倍,如果差是7(de)倍数,则原数能被7整除8(de)倍数末三位是8(de)倍数9(de)倍数数字和等于911(de)倍数奇数位数字和与偶数位数字和(de)差为11倍数（1）1与0(de)特性：1是任何整数(de)约数,即对于任何整数a,总有1|a.0是任何非零整数(de)倍数,a≠0,a为整数,则a|0.（2）若一个整数(de)末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除.（3）若一个整数(de)数字和能被3整除,则这个整数能被3整除.(4) 若一个整数(de)末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除.（5）若一个整数(de)末位是0或5,则这个数能被5整除.（6）若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除.（7）若一个整数(de)个位数字截去,再从余下(de)数中,减去个位数(de)2倍,如果差是7(de)倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7(de)倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」(de)过程,直到能清楚判断为止.例如,判断133是否7(de)倍数(de)过程如下：13－32＝7,所以133是7(de)倍数；又例如判断6是否7(de)倍数(de)过程如下：613－92＝595 , 59－52＝49,所以6是7(de)倍数,余类推.（8）若一个整数(de)未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除.（9）若一个整数(de)数字和能被9整除,则这个整数能被9整除.（10）若一个整数(de)末位是0,则这个数能被10整除.（11）若一个整数(de)奇位数字之和与偶位数字之和(de)差能被11整除,则这个数能被11整除.11(de)倍数检验法也可用上述检查7(de)「割尾法」处理过程唯一不同(de)是：倍数不是2而是1（12）若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除.（13）若一个整数(de)个位数字截去,再从余下(de)数中,加上个位数(de)4倍,如果差是13(de)倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13(de)倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」(de)过程,直到能清楚判断为止.（14）若一个整数(de)个位数字截去,再从余下(de)数中,减去个位数(de)5倍,如果差是17(de)倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17(de)倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」(de)过程,直到能清楚判断为止.（15）若一个整数(de)个位数字截去,再从余下(de)数中,加上个位数(de)2倍,如果差是19(de)倍数,则原数能被19整除.如果差太大或心算不易看出是否19(de)倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」(de)过程,直到能清楚判断为止.（16）若一个整数(de)末三位与3倍(de)前面(de)隔出数(de)差能被17整除,则这个数能被17整除.（17）若一个整数(de)末三位与7倍(de)前面(de)隔出数(de)差能被19整除,则这个数能被19整除.（18）若一个整数(de)末四位与前面5倍(de)隔出数(de)差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。
学而思四年级春季班牛吃草知识点
第十五讲牛吃草英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定.解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为1份；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．一、计算草的生长速度与原有草量新草的生长速度和原草是求后面问题的必备条件，大家一定要熟练掌握.草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数) 原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数例：有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，问每天新长多少草，草场原有多少草？【解析】设1头牛1天的吃草量为1份，那么12头牛吃25天一共吃了12×1×25=300(份)，24头牛吃10天一共吃了24×1×10=240(份)，251015-=(份)，所以每天生长的草量为-=天生长的草量为30024060÷=(份/天)；原有草量为：300−25×4=200(份)．60154二、已知牛头数求天数例：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】首先要算出草的生长速度与原有草量，设1头牛1天的吃草量为1份，10头牛吃20天共吃了⨯=(份)．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-= 1020200⨯=(份)；15头牛吃10天共吃了1510150(份)草，这50份草是牧场的草201010-=(天)生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=(份/天)，那么原有草量为：200520100-⨯=(份)．求出这两个条件之后，后面有两种解法，一种是按前面的公式: 吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)，另一种就是将牛分成吃新草的幸福牛和吃原草的倒霉牛，时间由倒霉牛决定.方法一：每天25头牛吃掉25份，但新长出的草补回来5份，每天实际上只减少25−5=20(份)，因此天数为：100÷(25−5)=5(天)方法二：供25头牛吃，每天新长出5份草，因此有5头幸福牛去吃每天生长的草，那么剩下25−5=20(头)倒霉牛，现在计算一下倒霉牛吃完原草的天数即可，需要100205÷=(天)，即它可供25头牛吃5天．三、已知天数求牛头数例：一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?【解析】首先要算出草的生长速度与原有草量，设1头牛1天的吃草量为1份，58头牛吃7天共吃了587406⨯= (份)；50头牛吃9天共吃了509450⨯=(份)，每天新生长的草量为：(450406)(97)22-÷-=(份/天)，原有草量为：450229252-⨯=(份).求出这两个条件之后，后面有两种解法，方法一：先根据原草、新草生长速度、天数计算出总实际吃的总草量，再算牛头数。
奥数牛吃草知识点总结
奥数牛吃草知识点总结一、牛吃草问题的基本概念。
1. 定义。
- 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题。
它描述的是在一片草地上，牛不断吃草，草又不断生长（或者草不断枯萎，是类似的情况但生长率为负）的动态过程，要根据给定的牛的数量、吃草天数等条件求出草地原有的草量、草的生长速度或者可供一定数量的牛吃的天数等问题。
2. 核心要素。
- 原有草量：草地一开始所拥有的草的总量。
- 草的生长速度：单位时间内草生长（或枯萎）的量。
- 牛的吃草速度：每头牛单位时间内吃草的量（通常假设每头牛每天吃草量为1份，方便计算）。
二、基本公式。
1. 草生长时的公式。
- 设原有草量为y，草的生长速度为x，牛的头数为n，吃的天数为t。
- 则y=(n - x)t。
这里n - x表示实际上每天净消耗原有草量的速度，因为牛在吃草的同时草也在生长，n头牛每天吃草n份，草每天生长x份，所以净消耗原有草量的速度就是n - x份/天。
2. 草枯萎时的公式。
- 如果草是不断枯萎的，设草的枯萎速度为x（此时x为正数，表示草量减少的速度）。
- 则y=(n + x)t。
这里n+x表示每天消耗原有草量的速度，因为牛吃草和草枯萎都在减少草量，n头牛每天吃草n份，草每天枯萎x份，所以总共消耗原有草量的速度就是n + x份/天。
三、解题步骤。
1. 求草的生长速度（或枯萎速度）和原有草量。
- 一般给出两种不同牛的数量和它们吃草的天数的情况。
- 例如：有一片草地，可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。
设每头牛每天吃草量为1份。
- 根据公式y=(n - x)t列出方程组：- 对于10头牛吃20天的情况，y=(10 - x)×20。
- 对于15头牛吃10天的情况，y=(15 - x)×10。
- 然后将两个方程联立求解：- 由(10 - x)×20=(15 - x)×10，展开得到200 - 20x = 150 - 10x。
- 移项可得-20x+10x = 150 - 200，即-10x=-50，解得x = 5份/天。
学而思思维训练教程之牛吃草问题
牛吃草问题1 有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？2.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。
经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。
那么，可供11头牛吃几天？3.有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。
如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？4.有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。
现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？5.一块草地，每天生长的速度相同。
现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。
如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？6.有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。
问：第三块草地可供50头牛吃几周？7.有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。
草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。
问：第三块草地可供多少头牛吃80天？8.有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。
30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。
问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？9.一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。
如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天。
这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？10.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。
若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。
问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？11.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。
四年级下第10讲 牛吃草问题
四春第10讲牛吃草问题一、知识要点牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰（1）草的生长速度= （对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
二、例题精选【例1】一牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。
那么，可供21头牛吃几周？【巩固1】牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？【例2】一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长。
这片牧场可供15头牛吃10天，或供25头牛吃5天。
现有一群牛20天才将草吃光，请问这群牛有多少头？【巩固2】有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。
如果需要6天割完，需要派多少人去割草？【例3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。
照此计算，可供多少头牛吃10天？【巩固3】由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？【例4】有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天．假设草的每天生长速度不变．现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，问原来有羊多少只？【巩固4】有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。
2021小学数学牛吃草问题经典例题及解题思路和方法
2021小学数学牛吃草问题经典例题及解题思路和方法牛吃草问题是小学数学阶段重点、难点之一牛吃草含义:“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。
这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
基本公式，(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决牛顿问题的基础。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
例1: 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。
问多少头牛5天可以把草吃完？解: 分析草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量由此可知（20——10）天内草的生长量为1×10×20——1×15×10＝50因此，草每天的生长量为50÷（20——10）＝5（2）求原有草量原有草量＝10天内总草量——10内生长量＝1×15×10——5×10＝100（3）求5天内草总量5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125（4）求多少头牛5天吃完草因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
牛吃草问题的解题口诀及详细解题思路
牛吃草问题的解题口诀及详细解题思路【口诀】：每牛每天的吃草量假设是份数1，A头B天的吃草量算出是几？M头N天的吃草量又是几？大的减去小的，除以二者对应的天数的差值，结果就是草的生长速率。
原有的草量依此反推。
公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；用一些草除以剩余的牛的数量，得出所需的天数。
牛吃草问题的例题解析整个牧场上的草长得又密又快。
27头牛6天可以吃草；23头牛可以在9天内吃掉这些草。
问21多少天才能把草吃完。
每牛每天的吃草量假设是1，则27头牛6天的吃草量是27X6=162，23头牛9天的吃草量是23X9=207；大的减去小的，207-162=45；二者对应的天数的差值，是9-6=3（天）结果就是草的生长速率。
所以草的生长速率是45/3=15（牛/天）；原有的草量依此反推。
公式就是A头B天的吃草量减去B天乘以草的生长速率。
所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。
将未知吃草量的牛分为两个部分：一小部分先吃新草，个数就是草的比率；这就是说将要求的21头牛分为两部分，一部分15头牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，所以所求的天数为：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）随着天气越来越冷，牧场上的草每天都在以固定的速度减少。
经过计算，牧场上的草可以喂20头牛5天，或者喂16头牛6天。
那么，11头牛能吃多少天呢？解答：设一头牛一天吃的草量为一份。
牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20+4）×5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。
总结:试着从变化中找出不变的量。
牧场上原来的草是不变的，新长出的草是变化的，但是因为它是匀速生长的，所以每天新长出的草量也是不变的。
正确计算草原上的原草和每天生长的新草，就能解决问题。
学而思-第7讲-牛吃草问题
【例4】小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第 【例5】画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分 一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米， 钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果 小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次 小方用4次恰好把桶装满 第 个桶 水缸有3米 么小方要多少次 开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间． 个 场 9点 分就没有 排队 求第 个观众到达的时间 才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不 变）
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两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯 【拓展2】 级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？ 100秒 女孩走 300秒 问 该扶梯共有多少级梯级
【例3】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀， 如果同时打开进水阀及一个排水阀，则 30 分钟能把水池的水 排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则 10 分钟把水池 的水排完．问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要 多少分钟才能排完水池的水？
现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要 45 天吃完， 【妖题】 于是马、羊吃需要 60 天吃完，于是牛、羊吃需要 90 天吃完， 牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃， 需多少时间？
胖纸老师总结 原有草量和生长速度是关键
要看清数学模型,而不是题目本身 看清 学 , 本身
数学方法便于理解,便于拓展,方程是在理解的基础上 懒得去想
胖纸叨叨
牛吃草问题（小升初应用题重点考查内容）
牛吃草问题 常用到四个基本公式 解决消长问题的基础
牛吃草(消长问题)开放分类：数学、题型牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式解决消长问题的基础︰（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度（1）草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数）核心公式：草场草量＝（牛数－每天长草量）×天数由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变，一般用来列方程每头牛每天吃草量不变，一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x”牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。
由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
典型牛吃草问题的条件:假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求:若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
“牛吃草”问题简析华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员姚璐【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃n天根据核心公式：()()()1020151025x x x n-⨯=-⨯=-⨯()()102015105x x x-⨯=-⨯⇒=，代入5n=【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20B.25C.30D.35【答案】C【解析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，根据核心公式：()()()102015104x x n x-⨯=-⨯=-⨯()()102015105x x x-⨯=-⨯⇒=，代入30n=【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？A.50B.46C.38D.35【答案】D【解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供x 头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为y ， 24天内吃尽40公亩牧场的草，需要n 头牛根据核心公式： ()()3322335423183654y x y x x=-⨯⇒=-⨯=- ()()28172884172835184y x y x x =-⨯⇒=-⨯=-136********y x x y x y ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎩，因此()409202435n n ⨯=-⨯⇒=，【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。