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2019-2020学年北京市清华大学附中上地分校八年级(下)期末数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年北京市清华大学附中上地分校八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列计算错误的是()A. 3√3−√3=2√3B. x2·x3=x6C. −2+|−2|=0D. (−3)−2=192.根据函数图像的定义，下列几个图像表示y是x的函数的是()A. B.C. D.3.在四边形ABCD中，AB//CD，要使其是平行四边形，可添加的条件不正确的是()A. BC=ADB. AB=CDC. ∠A=∠CD. AD//BC4.某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下(单位：分)：80，90，75，75，80，80。

关于这组数据，下列表述错误的是()A. 平均数是80B. 方差是5C. 中位数是80D. 极差是155.下列各组线段能构成直角三角形的一组是()A. 30，40，50B. 7，12，13C. 5，9，12D. 不能确定6.如图，直线y=x+b与直线y=kx+4交于点(23,83)，则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是()A. x>23B. x≥23C. x<23D. x≤237.点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是一次函数y=−4x+3图象上的两点，且x1<x2，则y1，y2的大小关系是()A. y1>y2B. y1>y2>0C. y1<y2D. y1=y28.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为AD中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG+FH为()A. 52B. 5√102C. 3√1010D. 3√1059.下列图象中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n为常数，且mn≠0)的图象的可能是()A. B.C. D.10.如图①，在▱ABCD中，∠B=120°，动点P从点B出发，沿B→C→D→A运动至点A停止，如图②是点P运动时，△PAB的面积y(cm2)随点P运动的路程x(cm)变化的关系图象，则图②中H点的横坐标为()A. 12B. 14C. 16D. 8√3二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.函数y=的自变量x的取值范围是______．√x+312.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长等于______．13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE.将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则△DEF的面积为______．14.在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，得到直线的解析式为________________．15.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8，以AB为边向外作正方形ABDE，若此正方形中心为点O，则点C和点O之间的距离为________．16.若直线y=x−b与坐标轴围成面积是8，则b=______．17.已知一组数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是______．18.如图，已知一条直线经过点A(0,2)，点B(1,0)，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，点D，若DB=DC，则直线CD的函数解析式为．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）19.(√3−√2)(√3+√2)+√12+√3√3+(16)−1．四、解答题（本大题共7小题，共41.0分）20.在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，F是DE上一点，若∠B=∠AFE，AB=AF.求证：(1)△ADF≌△DEC．(2)BE=EF．21.若x，y为实数，且y=4√2x−1+3√1−2x+1，求√x−√y的值．2xy22.已知直线y=kx+b经过点A(0,3)和B(1,5)．(1)求这个函数的表达式；(2)当x=−3时，y的值是多少？23.某校在争创“全国文明城市”活动中，组织全体学生参加了“创文”知识竞赛，为了解各年级成绩情况，学校这样做的：【收集数据】从七、八、九三个年级的竞赛成绩中各随机抽取了10名学生成绩如下表：c=______．【得出结论】请你根据以上信息，推断你认为成绩好的年级，并说明理由(至少从两个角度说明)24.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点．DE⊥AB，垂足为E.设AE长为xcm，BD长为ycm(当D与A重合时，y=4；当D 与B重合时y=0)．小云根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小云的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y/cm4 3.5 3.2 2.8 2.1 1.40.70(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3)结合画出的函数图象，解决问题：当DB=AE时，AE的长度约为______cm．x+m的图象交于P(n,−2)．25.如图，函数y=−2x+3与y=−12(1)求出m、n的值；(2)求出△ABP的面积．26.如图1，菱形ABCD中，∠ABC=120°，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，连接CE．(1)证明：△ADP≌△CDP；(2)判断△CEP的形状，并说明理由；(3)如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接写出线段AP与线段CE的数量关系．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A、3√3−√3=2√3，故A正确，B、x2⋅x3=x5，同底数幂相乘，底数不变指数相加，故B错误；C、−2+|−2|=0，−2+2=0，故C正确；D、(−3)−2=1(−3)2=19，故D正确．故选：B．四个选项中分别根据二次根式的加减法求解，同底数幂的乘法法则求解，绝对值的加减法用负整数指数幂的法则求解．本题主要考查了二次根式的加减法，同底数幂的乘法，绝对值的加减法，负整数指数幂，解题的关键是根据它们各自法则认真运算．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断解答．【解答】解：A.对给定的x的值，有两个y值可能与之对应，y不是x的函数．B.对给定的x的值，有两个y值可能与之对应，y不是x的函数．C.对给定的x的值，有唯一确定的y值与之对应，y是x的函数．D.对给定的x的值，可能有两个y值与之对应，y不是x的函数．故选C．3.答案：A解析：【解答】解：∵AB//CD，∴当AB=CD时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；故B正确，当BC//AD时，由两组对边分别平行的四边形为平行四边形可知该条件正确；故D正确；当∠A=∠C时，可求得∠B=∠D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；故当BC=AD时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；故A错误，故选：A．【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．4.答案：B解析：【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+⋯+(x n−x¯)2].也考查了平均数、中位数和极差．先计算公式是：s2=1n把数据由小到大排列为75，75，80，80，80，90，然后根据平均数、中位数和极差的定义得到数据的平均数，中位数和极差，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断．【解答】=80，解：数据由小到大排列为75，75，80，80，80，90，它的平均数为75+75+80+80+80+906数据的中位数为80，极差为为15，[(75−80)2+(75−80)2+(80−80)2+(80−80)2+(80−80)2+(90−80)2]=数据的方差=1625．故选B．5.答案：A解析：【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A.∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B.∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C.∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D.错误；6.答案：A解析：解：关于x的不等式x+b>kx+4的解集是x>23．故选：A．写出直线y=x+b在直线y=kx+4上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．7.答案：A解析：【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数的性质，当k<0时y随x的增大而减小，然后利用已知条件进行判断即可．【解答】解：∵函数y=−4x+3中，由于k=−4<0，∴y随x的增大而减小，∴当x1<x2时，y1>y2．故选A．8.答案：D解析：解：连接EF，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，∵点E为AD中点，∴AE=DE=1，∴BE=√AE2+AB2=√12+32=√10，在△ABE和△DCE中，{AE=DE ∠A=∠D AB=DC ，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴BE=CE=√10，∵△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积，∴12BC×AB=12BE×FG+12CE×FH，即BE(FG+FH)=BC×AB，即√10(FG+FH)=2×3，解得：FG+FH=3√105．故选：D．连接EF，由矩形的性质得出AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理求出BE，由SAS证明△ABE≌△DCE，得出BE=CE=√10，再由△BCE的面积=△BEF的面积+△CEF的面积，即可得出结果．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．9.答案：A解析：【分析】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【解答】解：①当mn>0，m，n同号，同正时y=mx+n过一，二，三象限，同负时过二，三，四象限；②当mn<0时，m，n异号，则y=mx+n过一，三，四象限或一，二，四象限．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及到三角形面积计算、函数等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．图②显示，当BC=4时，y=6√3，即y=12×AB×BCsin60°=12×AB×4×√32=6√3，即可求解．【解答】解：图②显示，当BC=4时，y=6√3，即y=12×AB×BCsin60°=12×AB×4×√32=6√3，解得：AB=6，点H的横坐标为：BC+CD+AD=4+4+6=14，故选B．11.答案：x>−3解析：解：根据题意得，x+3>0，解得x>−3．故答案为：x>−3．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．12.答案：2解析：解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE=12AB=2，故答案为：2．根据直角三角形的性质得到AB=2BC=4，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．13.答案：23解析：解：设CE=x．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD−CE=3−x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52−32=16，∴AF=4，DF=5−4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=(3−x)2+12，解得：x=53，∴DE=3−53=43，∴△DEF的面积=12DE×DF=12×43×1=23；故答案为：23．设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°.由折叠的性质得出BF= BC=5，EF=CE=x，DE=CD−CE=3−x.在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程，即可解决问题．本题考查了折叠的性质、勾股定理、矩形的性质、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．14.答案：y=x+1解析：【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为y=x+1．故答案为y=x+1．15.答案：6√2解析：【分析】本题考查正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．过点O作OM垂直于CA的延长线于点M，作ON垂直于CB于点N，易证四边形MCNO是矩形，利用已知条件再证明△AOM≌△BON，所以OM=ON，AM=BN，得到四边形MCNO 是正方形和CN的长，根据勾股定理即可求出OC的长．【解答】解：过点O作OM垂直于CA的延长线于点M，作ON垂直于CB于点N，连接OA、OB，∴∠OMC=∠ONC=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形MCNO是矩形，∴∠MON=90°，∵点O为正方形ABDE的中心，∴OA=OB，∠AOB=90°，∴∠MON−∠AON=∠AOB−∠AON，∴∠AOM=∠NOB，在△AOM和△BON中，{∠OMA=∠ONB=90∘∠AOM=∠BONOA=OB，∴△AOM≌△BON(AAS)，∴AM=BN，OM=ON，即四边形MCNO是正方形，∵AC=4，BC=8，∴CN=AC+BC2 =6，∴ON=CN=6，由勾股定理得OC=6√2．故答案为6√2．16.答案：±4解析：解：直线y=x−b与x轴的交点为：(b,0)，与y轴的交点为：(0,−b)，∴12×|−b|×|b|=8，解得：b=±4．故答案为：±4．求出直线与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式计算出b的值即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确利用点的坐标表示三角形的面积是关键．17.答案：8解析：解：∵1、3、5、7、9的平均数是(1+3+5+7+9)÷5=5，∴方差=15[(1−5)2+(3−5)2+(5−5)2+(7−5)2+(9−5)2]=8；故答案为：8．先计算出平均数，再根据方差公式计算即可．本题考查方差的定义与意义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x −，则方差S 2=1n [(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+⋯+(x n −x −)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 18.答案：y =−2x −2解析：【分析】此题考查一次函数图像上点的坐标特征和图形的平移.解答此题的关键是首先设出直线AB 的解析式为y =kx +b ，然后代入点A 、点B 的坐标求出k 和b 的值，也即求出直线AB 的解析式；最后根据题意证明△AOB≌△DOC ，进而证得OA =OD ，即能求出点D 的坐标为(0,−2)，即可求出平移以后的直线CD 的函数解析式为：y =−2x −2．【解答】设直线AB 的解析式为y =kx +b ，把A(0,2)、点B(1,0)代入，得 {b =2,k +b =0,解得{k =−2,b =2,故直线AB 的解析式为y =−2x +2；将这直线向左平移与x 轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点C 、点D ，使DB =DC ，∴ DO 垂直平分BC ，∴ OC =OB ，∵ 直线CD 由直线AB 平移而成，∴ CD =AB ，∵AB//CD ，∴∠ DCO =∠ABO ，∴△AOB≌△DOC ，∴OA =OD ，∴ 点D 的坐标为(0,−2)，∵平移后的图形与原图形平行，∴平移以后的函数解析式为：y=−2x−2．故答案为y=−2x−2．19.答案：解：原式=3−2+4+1+6=12解析：本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．先把二次根式进行化简，再根据负整数指数幂和实数混合运算的法则进行计算即可．20.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，AD=BC，AB//CD，∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180°，∠B=∠AFE，∴∠AFD=∠C，∵AB=AF，∴AF=DC，在△ADF和△DEC中{∠ADF=∠DEC∠AFD=∠CAF=DC，∴△ADF≌△DEC(AAS)；(2)证明：∵△ADF≌△DEC，∴AD=DE，DF=EC，又∵AD=BC，∴BC=DE，∴BC−EC=DE−DF，即BE=EF．解析：【分析】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等．(1)根据平行四边形的性质可得DC=AB，AD=BC，AB//CD，然后再证明AF=DC，∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠C，利用AAS可判定△ADF≌△DEC；(2)根据全等三角形的性质得出AD=DE，DF=EC，再证出BC=DE，即可得出结论．21.答案：解：∵x，y是实数，且y=4√2x−1+3√1−2x+1，∴2x−1≥0且1−2x≥0，解得：x=12，∴y=1，√x−√y 2xy =√12−12×12×1=√22−1．解析：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出x，y 的值，题目比较好，难度适中．先根据二次根式有意义的条件求出x和y的值，再把数值代入求出即可．22.答案：解：(1)根据题意得：{b=3k+b=5,∴{k=2b=3,∴y=2x+3；(2)当x=−3时，y=2x+3=2×(−3)+3=−3．解析：此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．(1)将A与B坐标代入直线解析式求出k与b的值，代入即可；(2)把x=−3代入解析式计算即可求出y的值．23.答案：71 80 75解析：解：(1)a=110(60+70+60+100+80+70+80+60+40+90)=71，∵在八年级学生成绩中，80分出现的次数最多，∴b=80，c=70+802=75，故答案依次为：71，80，75．(2)八年级成绩较好，从平均分看，处于七八年级之间，从中位数看，中位数为80优秀说明至少一半同学都在80分以上，优秀率高，从众数看，众数为80说明80分的同学最普遍最多．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．此题考查众数、中位数、平均数的意义，正确理解众数、中位数、平均数的意义是解题的关键．24.答案：(1)2.9；(2)根据已知数据描点连线得：(3)2.3解析：解：(1)根据题意量取数据为2.9故答案为：2.9(2)见答案(3)当DB=AE时，y与x满足y=x，在(2)图中，画y=x图象，测量交点横坐标为2.3．故答案为：2.3(1)按题意，认真测量即可；(2)利用数据描点、连线；(3)当DB=AE时，y=x，画图形测量交点横坐标即可．本题以考查画函数图象为背景，应用了数形结合思想和转化的数学思想．25.答案：解：(1)∵y=−2x+3过P(n,−2)．∴−2=−2n+3，解得：n=52，∴P(52,−2)，∵y=−12x+m的图象过P(52,−2)．∴−2=−12×52+m，解得：m=−34；(2)∵当y=−2x+3中，x=0时，y=3，∴A(0,3)，∵y=−12x−34中，x=0时，y=−34，∴B(0,−34)，∴AB=154，∴△ABP的面积：12×AB×52=12×154×52=7516．解析：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，一次函数的性质，三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．(1)根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把P点坐标代入y=−2x+3可得n的值，进而可得P 点坐标，再把P点坐标代入y=−12x+m可得m的值；(2)首先求出A、B两点坐标，进而可得△ABP的面积．26.答案：解：(1)在菱形ABCD中，AD=CD，∠ADP=∠CDP，在△ABP和△CBP中，{AD=CD∠ADP=∠CDP DP=DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)，(2)由(1)得：△ADP≌△CDP∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD，∴∠CPF=∠CDF∵∠ABC=∠ADC=120°，∴∠CPF=∠EDF=180°−∠ADC=60°，∴△CPE是等边三角形，(3)CE=√2AP，证明如下：如前同理可证：PC=PE，∠EPC=∠CDE，∵在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠EPC=∠CDE=90°，∴△CPE是等腰直角三角形三角形，∴CE=√2PC=√2AP解析：(1)由菱形性质可得AD=CD，∠ADP=∠CDP，即可证明△ABP≌△CBP(SAS)．(2)由△ABP≌△CBP可得PA=PC，∠BAP=∠BCP，再证明∠CPF=∠EDF=180°−∠ADC=60°，即可证明△EPC是等边三角形，(3)同理可证△CPE是等腰直角三角形三角形，即可得CE=√2PC=√2AP；本题是四边形综合题，考查了正方形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

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2019-2020学年北京交大附中八年级(下)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京交大附中八年级（下）期末数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列式子为最简二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．每一条对角线平分一组对角D．对角线互相垂直4．下列各式化简正确的是（）A ．＝4B ．＝C ．＝D ．＝5．一次函数y＝﹣3x+5的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．北京市6月某日10个区县的最高气温如下表：（单位：℃）区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山32323032303229323032最高气温则这10个区县该日最高气温的中位数是（）A．32B．31C．30D．297．如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）9．二次根式中，x的取值范围是．10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+4与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．11．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是cm2．12．一组数据1、3、2、5、x的平均数是3，则方差S2＝．13．写出一个一次函数的解析式，满足以下两个条件：①y随x的增大而增大；②它的图象经过坐标为（0，﹣2）的点，你写出的解析式为．14．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果菱形ABCD的周长是16，那么EF的长是．15．直线y＝﹣2x+a经过（3，y1）和（﹣2，y2），则y1y2．（填写“＞”，“＜”或“＝”）16．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为．三．解答题（共11小题）17．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴＝．在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（）（填推理的依据）．18．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足＝，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a ＝，b＝；第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为．请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：．19．计算：（1）+（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣（π﹣3.14）0；（2）12×÷（15）；（3）（+）2﹣（+）（﹣）．20．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图1，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：21．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，AD⊥CD，点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BC＝2，BE＝6，∠ABE＝30°，求EC的长．22．如图，直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP是△ADC的面积的2倍，求点P的坐标．23．（1）阅读以下内容并回答问题：问题：在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，求平移后直线的解析式．小雯同学在做这类问题时经常困惑和纠结，她做此题的简要过程和反思如下．在课堂交流中，小谢同学听了她的困惑后，给她提出了下面的建议：“你可以找直线上的关键点，比如点A（1，﹣2），先把它按要求平移到相应的对应点A′，再用老师教过的待定系数法求过点A′的新直线的解析式，这样就不用纠结了．”小雯用这个方法进行了尝试，点A（1，﹣2）向上平移3个单位后的对应点A′的坐标为，过点A′的直线的解析式为．（2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看：将直线y＝﹣2x向左平移3个单位，平移后直线的解析式为，另外直接将直线y ＝﹣2x向（“上”或“下”）平移个单位也能得到这条直线．（3）请你继续利用这个方法解决问题：对于平面直角坐标系xOy内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位，再向左平移3个单位，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．求将直线y＝﹣2x进行两次“斜平移”后得到的直线的解析式．24．某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示．t012346810…y024 2.83210.50.25…（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为微克．25．某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：A B C D E F G H女生代码实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5 *4247*4752*49一分钟仰卧起坐其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．26．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．①依据题意补全图1；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证明．27．∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C 与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA＝1，OP＝，依题意补全图形；（2）若OP＝，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围．（要写过程）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件对各个选项进行判断即可．【解答】解：被开方数含分母，不是最简二次根式，A不正确；是最简二次根式，B正确；被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，C不正确；被开方数含分母，不是最简二次根式，D不正确；故选：B．2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；故选：C．3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．每一条对角线平分一组对角D．对角线互相垂直【分析】先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．【解答】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．故选：A．4．下列各式化简正确的是（）A．＝4B．＝C．＝D．＝【分析】各式化简得到最简结果，判断即可．【解答】解：A、原式＝＝，不符合题意；B、原式＝＝，不符合题意；C、原式＝×＝，不符合题意；D、原式＝×＝，符合题意．故选：D．5．一次函数y＝﹣3x+5的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】一次项系数﹣3＜0，则图象经过二、四象限；常数项5＞0，则图象还过第一象限．【解答】解：∵﹣3＜0，∴图象经过二、四象限；∵5＞0，∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象还过第一象限．所以一次函数y＝﹣3x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．6．北京市6月某日10个区县的最高气温如下表：（单位：℃）区县大兴通州平谷顺义怀柔门头沟延庆昌平密云房山最高32323032303229323032气温则这10个区县该日最高气温的中位数是（）A．32B．31C．30D．29【分析】根据中位数的求解方法，先排列顺序，再求解．【解答】解：这10个区县该日最高气温分别为：29、30、30、30、32、32、32、32、32、32，则这10个区县该日最高气温的中位数是＝32，故选：A．7．如图，已知直线y＝3x+b与y＝ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据一次函数的图象和性质可得a＞0；b＞0；当x＞﹣2时，直线y＝3x+b在直线y＝ax﹣2的上方，即x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．【解答】解：由图象可知，a＞0，故①正确；b＞0，故②正确；当x＞﹣2是直线y＝3x+b在直线y＝ax﹣2的上方，即x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2，故③正确．故选：D．8．如图，点E为菱形ABCD边上的一个动点，并延A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】分三段来考虑点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大；点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小，据此选择即可．【解答】解：点E沿A→B运动，△ADE的面积逐渐变大，设菱形的变形为a，∠A＝β，∴AE边上的高为AB sinβ＝a•sinβ，∴y＝x•a•sinβ，点E沿B→C移动，△ADE的面积不变；点E沿C→D的路径移动，△ADE的面积逐渐减小．y＝（3a﹣x）•sinβ，故选：D．二．填空题（共8小题）9．二次根式中，x的取值范围是x≥3．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案是：x≥3．10．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+4与x轴的交点坐标为（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，4）．【分析】分别代入x＝0，y＝0求出与之对应的y，x的值，进而可得出直线与两坐标轴的交点坐标．【解答】解：当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2，∴直线y＝﹣2x+4与x轴的交点坐标为（2，0）；当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，∴直线y＝﹣2x+4与y轴的交点坐标为（0，4）．故答案为：（2，0）；（0，4）．11．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是32cm2．【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．【解答】解：∵正方形的一条对角线长为8cm，∴面积是×8×8＝32cm2．故答案为：32．12．一组数据1、3、2、5、x的平均数是3，则方差S2＝2．【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据方差公式进行计算即可．【解答】解：∵数据1、3、2、5、x的平均数是3，∴（1+3+2+5+x）÷5＝3，解得x＝4，∴方差S2＝[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]＝2；故答案为：2．13．写出一个一次函数的解析式，满足以下两个条件：①y随x的增大而增大；②它的图象经过坐标为（0，﹣2）的点，你写出的解析式为y＝x﹣2．【分析】由一次函数的增减性可得出k＞0，取k＝1，再根据一次函数图象上点的坐标特征可得出b＝2，此题得解．【解答】解：设该一次函数的解析式为y＝kx+b，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，取k＝1．∵它的图象经过坐标为（0，﹣2）的点，∴﹣2＝b．故答案为：y＝x﹣214．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果菱形ABCD的周长是16，那么EF的长是2．【分析】根据菱形的性质以及中位线的性质即可求出答案．【解答】解：在菱形ABCD中，周长为16，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF＝BC＝2，故答案为：215．直线y＝﹣2x+a经过（3，y1）和（﹣2，y2），则y1＜y2．（填写“＞”，“＜”或“＝”）【分析】运用函数的增减性比较大小．【解答】解：∵直线y＝﹣2x+a中，k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，∵3＞﹣2，∴y1＜y2．故答案为＜．16．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为．【分析】利用折叠的性质和勾股定理可知．【解答】解：由勾股定理得，MN＝5，设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，根据直角三角形的面积公式得，h＝PM•PN÷MN＝，由折叠的性质知，BC＝PM+MN+PN＝12，∴矩形的面积＝AB•BC＝．三．解答题（共11小题）17．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE．在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可．【解答】解：（1）四边形ABEF为所求作的菱形．（2）∵AF＝AB，BE＝AB，∴AF＝BE，在▱ABCD中，AD∥BC．即AF∥BE．∴四边形ABEF为平行四边形．∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形．）故答案为：AF，BE，邻边相等的平行四边形是菱形．18．利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹：第一步：（计算）尝试满足＝，使其中a，b都为正整数，你取的正整数a ＝4，b＝2；第二步：（画长为的线段）以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt△OEF，使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF＝90°，则斜边OF的长即为．请在下面的数轴上画图：（第二步不要求尺规作图，不要求写画法）第三步：（画表示的点）在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．【分析】第一步：利用实数的运算可确定a和b的值；第二步：4对应的点为E点，过点E作数轴的垂线，再截取EF＝2，然后连接OF，则OF＝；第三步：如图，在数轴的正半轴上截取OM＝OF即可．【解答】解：第一步：a＝4，b＝2；第二步：如图，OF为所作；第三步：如图，以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．故答案为4，2；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．19．计算：（1）+（﹣）﹣2﹣|﹣2|﹣（π﹣3.14）0；（2）12×÷（15）；（3）（+）2﹣（+）（﹣）．【分析】根据实数的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝2+9﹣（2﹣）﹣1＝2+9﹣2+﹣1＝3+6．（2）原式＝24×＝18÷（15）＝．（3）原式＝2+2+3﹣（2﹣3）＝5+2+1＝6+2．20．下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AD的中点．作法：如图1，①作射线BA；②以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；③连接EC交AD于点M．所以点M就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的性质以及三角形的中位线定理解决问题即可．【解答】解：（1）如图，点M即为所求．（2）理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝CD，∴AE＝AB，∵AM∥BC，∴EM＝CM，∴AM＝BC，∴AM＝AD，∴AM＝MD．21．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，AD⊥CD，点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BC＝2，BE＝6，∠ABE＝30°，求EC的长．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出四边形ABCD 是矩形，再根据矩形的性质得出即可；（2）过E作EF⊥BC，交CB的延长线于F，设FB＝x，EF＝3x，根据勾股定理求出x，求出EF和CF，根据勾股定理求出EC即可．【解答】（1）证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD；（2）解：过E作EF⊥BC，交CB的延长线于F，则∠F＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠F＝∠ABC，∴AB∥EF，∴∠ABE＝∠FEB，∵∠ABE＝30°，∴tan∠ABE＝，∴tan∠FEB＝＝，设FB＝x，EF＝3x，∵BE＝6，由勾股定理得：（x）2+（3x）2＝62，解得：x＝（负数舍去），即BF＝3，EF＝3，∵BC＝2，∴FC＝2+3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EC＝＝2．22．如图，直线l1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP是△ADC的面积的2倍，求点P的坐标．【分析】（1）已知l1的解析式，令y＝0求出x的值即可；（2）设l2的解析式为y＝kx+b，由图联立方程组求出k，b的值；（3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC；（4）△ADP与△ADC底边都是AD，根据△ADP的面积是△ADC面积的2倍，可得点P 的坐标．【解答】解：（1）由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，y＝﹣，代入表达式y＝kx+b得，解得，∴直线l2的解析表达式为y＝x﹣6；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），∵AD＝3，∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；（4）∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP的面积是△ADC面积的2倍，∴△ADC高就是点C到直线AD的距离的2倍，即C纵坐标的绝对值＝6，则P到AD距离＝6，∴点P纵坐标是±6，∵y＝1.5x﹣6，y＝6，∴1.5x﹣6＝6，解得x＝8，∴P1（8，6）．∵y＝1.5x﹣6，y＝﹣6，∴1.5x﹣6＝﹣6，解得x＝0，∴P2（0，﹣6）综上所述，P点的坐标为（8，6）或（0，﹣6）．23．（1）阅读以下内容并回答问题：问题：在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，求平移后直线的解析式．小雯同学在做这类问题时经常困惑和纠结，她做此题的简要过程和反思如下．在课堂交流中，小谢同学听了她的困惑后，给她提出了下面的建议：“你可以找直线上的关键点，比如点A（1，﹣2），先把它按要求平移到相应的对应点A′，再用老师教过的待定系数法求过点A′的新直线的解析式，这样就不用纠结了．”小雯用这个方法进行了尝试，点A（1，﹣2）向上平移3个单位后的对应点A′的坐标为（1，1），过点A′的直线的解析式为y＝﹣2x＝3．（2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看：将直线y＝﹣2x向左平移3个单位，平移后直线的解析式为y＝﹣2x﹣6，另外直接将直线y＝﹣2x向下（“上”或“下”）平移6个单位也能得到这条直线．（3）请你继续利用这个方法解决问题：对于平面直角坐标系xOy内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位，再向左平移3个单位，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．求将直线y＝﹣2x进行两次“斜平移”后得到的直线的解析式．【分析】（1）由平移的性质可求点A'坐标，利用待定系数法可求解；（2）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，可求O（0，0）向左平移3个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式．（3）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，找到点A（1，﹣2）进行两次“斜平移”后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式．【解答】解：（1）点A（1，﹣2）向上平移3个单位后的点A′的坐标为（1，1），设平移后的直线解析式为y＝﹣2x+b，代入得1＝﹣2×1+b，则b＝3，所以过点A′的直线的解析式为y＝﹣2x+3；故答案为：（1，1），y＝﹣2x＝3；（2）可设新直线解析式为y＝﹣2x+m，∵原直线y＝﹣2x经过点O（0，0），∴点O向左平移3个单位后点O'（﹣3，0），代入新直线解析式得：0＝6x+m，∴m＝﹣6∴平移后直线的解析式为：y＝﹣2x﹣6，由（1）可知，另外直接将直线y＝﹣2x向下平移6个单位也能得到直线y＝﹣2x﹣6；故答案为：y＝﹣2x﹣6，下，6；（3）直线上的点A（1，﹣2），进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为（﹣2，1），进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为（﹣5，4），设两次斜平移后的直线的解析式为y＝﹣2x+n，代入（﹣5，4）得，4＝﹣2×（﹣5）+n，则n＝﹣6，所以，两次斜平移后的直线的解析式为y＝﹣2x﹣6，24．某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，如表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示．t012346810…y024 2.83210.50.25…（1）在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象；（2）结合函数图象，解决下列问题：①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为 1.41微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为 4.25微克．【分析】（1）利用描点法画图；（2）①第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量由图象可得，答案不唯一；根据含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，看图象得边界点的t值，相减可得结论；②两次含药量相加即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）①由函数图象得：某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为1.41微克；当y＝0.5时，t＝或8，8﹣＝7.75，∴则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约7.75小时；故答案为：1.41，7.75；②第一次服药8小时后2小时，即10小时含药量为0.25微克，第二次服药2小时含药量为4微克，所以第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为：4+0.25＝4.25微克；故答案为：4.25．25．某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为9；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代A B C D E F G H码实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5 *4247*4752*49一分钟仰卧起坐其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；（2）①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②根据题意和表格中的数据可以解答本题．【解答】解：（1）①m＝30﹣2﹣10﹣6﹣2﹣1＝9，故答案为：9；②由条形统计图可得，一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，故答案为：45；（2）①∵实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，∴实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组优秀的有4人，∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×＝65，答：全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；②同意，理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．26．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．①依据题意补全图1；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证明．【分析】（1）①按照题中叙述画出图形即可；②如图2，连接AE，AM．由题意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋转可知△DPE≌△BPN，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的四边形是矩形进行判断即可；（2）当BN＝时，一定有EM＝EA．先证明四边形FMDE是矩形再证明FE垂直平分AM，从而可得出结论．。

2020-2021学年北京市清华附中朝阳学校八年级(下)期末数学模拟练习试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市清华附中朝阳学校八年级(下)期末数学模拟练习试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市清华附中朝阳学校八年级（下）期末数学模拟练习试卷1.化简二次根式√(−3)2×6得()A. −3√6B. 3√6C. 18D. 62.要使二次根式√5x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A. x=35B. x≠35C. x≥35D. x≤353.已知：√20n是整数，则满足条件的最小正整数n的值是()A. 0B. 1C. 2D. 54.如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠ACB=30°，AB=4，则△ADE的周长为()A. 12B. 16C. 20D. 245.如图，在四边形ABCD中，AD//BC；AB=AD=DC=1，BD⊥CD，则四边形ABCD的面积为()A. √33B. 3√32C. 3√34D. √36.如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF//AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ.当AF=AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是()A. EFB. DEC. PHD. PE7.把三边分别BC=3，AC=4，AB=5的三角形沿最长边AB翻折成△ABC′，则CC′的长为()A. 125B. 512C. 245D. 5248.如图，平行四边形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O.点E是CD的中点，BD=6，则△DOE的周长为()A. 6B. 7C. 8D. 109.若关于x的一元一次不等式组{23x>x−14x+1≥a恰有3个整数解，且一次函数y=(a−2)x+a+1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是()A. −2B. −1C. 0D. 110.将直线l：y=2x+3，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线l1，则平移后得到直线l1的解析式为()A. y=2x+4B. y=2x−4C. y=2x−8D. y=2x+811.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高．下列结论①CD2=AD⋅BD；②AC2=AD⋅AB；③BC2=AB⋅BD；④BD2=AC⋅BC，不正确的是______．12.某批篮球的质量检验结果如下：抽取的篮球数n10020040060080010001200优等品的频数m931923805617529411128优等品的频率mn0.9300.9600.9500.9350.9400.9410.940从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是______.(精确到0.01) 13.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为(1,2)，点E的坐标为(−12,1)，则点P的坐标为______．14.如图，在平面直角坐标系中，过点P(m,0)作x轴的垂线，分别交抛物线y=12x2+2与直线y=−12x于A、B，以线段AB为对角线作正方形ACBD，则正方形ACBD的面积的最小值为______．15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=13BD，连接DM、DN、MN.若AB=6，则DN=______．16.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB⊥BC；②AC⊥BD；③AB//CD；④AO=OC.其中正确的结论有______ ．17.如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB=12，BE=13，则△BCG的面积为______ ．18.计算：(1)√279+23√36−10√0.04；(2)(√3−2)2+√12+6√1．319.如图所示：三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB=5km，BC=12km，AC=13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价2600万元/km，求修这条公路的最低造价是多少？20.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．(1)求证：四边形BFEG是矩形；(2)求四边形EFBG的周长；(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？21.某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示．(1)求出下列成绩统计分析表中a，b的值：组别平均分中位数方差合格率优秀率甲组 6.8a 3.7690%30%乙组b7.5 1.9680%20%(2)小英同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小英是甲、乙哪个组的学生；(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．22.某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．23.如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A(−2,3)，B(4,0)，交y轴于点C；(1)求直线AB的关系式；(2)求△OBC的面积；(3)作等腰直角三角形PBC，使PC=BC，求出点P的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：原式=√(−3)2×√6=|−3|√6=3√6，故选：B．先将积的二次根式转化为二次根式的积，再进行化简．正确运用二次根式乘法法则是解答问题的关键．2.【答案】C【解析】解：由题意得：5x−3≥0，，解得：x≥35故选：C．根据二次根式有意义的条件可得5x−3≥0，再解不等式即可．此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．3.【答案】D【解析】解：∵√20n=2√5n是整数，∴最小正整数n的值是：5．故选：D．首先化简二次根式进而得出n的最小值．此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．4.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD//BC．∴∠DAC=∠ACB=30°．∵将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，∴AC垂直平分DE．∴AE=AD，∠ACD=90°．∴∠D=90°−∠DAC=60°．∴等腰△ADE为等边三角形．∴AD=AE=DE=2CD=8．∴△ADE的周长为8×3=24．故选：D．由于△AEC是由△ACD沿AC翻折得到，可得AC垂直平分DE，所以AE=AD；∠ACB= 30°，AD//BC，可得∠DAC=∠ACB=30°，∠D=60°，从而△ADE为等边三角形，利用CD=AB=4，可得DE=8，结论可求．本题主要考查了图形的折叠问题，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的周长．利用折叠中，对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：如图，过点D作DE//AB交BC于点E，∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，BE=AD，∵AB=AD=DC=1，∴DE=AB=DC=1，BE=AD=1，∴DE=BE=CD=1，∴∠CBD=∠BDE，∠C=∠CED，∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠CBD+∠C=∠BDE+∠CDE=90°，∴∠C=∠CDE，∴CE=BE=1，∴BC=2，∴BD=√BC2−CD2=√22−12=√3，∴S△BCD=12BD⋅CD=12×√3×1=√32，∵CE=BE=1，∴S△BDE=12S△BCD=12×√32=√34，∵S△ABD=S△BDE=√34，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=√34+√32=3√34．故选：C．过点D作DE//AB交BC于点E，先证明四边形ABED是平行四边形，得出DE=BE= CD=1，进而得出∠CBD=∠BDE，∠C=∠CED，再由BD⊥CD，利用直角三角形性质得出∠C=∠CDE，即可求出BC=2，运用勾股定理求得BD，即可求得S△BCD，再利用平行四边形对角线和三角形中线性质即可求得答案．本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积，平行四边形的判定与性质等，添加辅助线构造平行四边形是解题关键．6.【答案】B【解析】解：过点P作PM⊥EF于点M，如图：∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，AD//BC，∠C=90°，∵EF//AB，∴EF//DC，∴∠EDC=∠DEF，∵PH⊥DE，PM⊥EF，∴∠PMQ=∠EHQ=90°，又∵∠PQM=∠EQH，∴∠QPM=∠DEF=∠EDC，在△PMQ和△DCE中，{∠MPQ=∠EDC PM=CD∠PMQ=∠C，∴△PMQ≌△DCE(ASA)，∴PQ=DE，∴阴影部分的面积=S△PDE−S△QED=12×DE×PH−12DE×QH=12DE2，∴故选：B．过点P作PM⊥EF于点M，由“ASA”可证△PMQ≌△DCE，可得PQ=DE，由面积关系可求解．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵BC=3，AC=4，AB=5∴△ABC是直角三角形∴CC´的长等于△ABC斜边上的高的2倍设斜边上的高长是h根据△ABC的面积=12BC⋅AC=12AB⋅ℎ，解得ℎ=125∴CC´的长为245．故选：C．根据勾股定理求得△ABC是直角三角形，再根据面积公式不难求得CC´的长．把求线段的长的问题转化为求直角三角形的高的问题，是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵▱ABCD的周长为20，∴2(BC+CD)=20，则BC+CD=10．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=6，∴OD=OB=12BD=3．∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=12CD，∴OE=12BC，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=12BD+12(BC+CD)=5+3=8，即△DOE 的周长为8．故选：C ．根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB =OD ，又因为E 点是CD 的中点，可得OE 是△BCD 的中位线，可得OE =12BC ，所以易求△DOE 的周长．本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．9.【答案】C【解析】解：由不等式组{23x >x −14x +1≥a ，得a−14≤x <3， ∵关于x 的一元一次不等式组{23x >x −14x +1≥a 恰有3个整数解， ∴−1<a−14≤0，解得−3<a ≤1，∵一次函数y =(a −2)x +a +1不经过第三象限，∴a −2<0且a +1≥0，∴−1≤a <2，又∵−3<a ≤1，∴−1≤a ≤1，∴整数a 的值是−1，0，1，∴所有满足条件的整数a 的值之和是：−1+0+1=0，故选：C ．根据关于x 的一元一次不等式组{23x >x −14x +1≥a恰有3个整数解，可以求得a 的取值范围，再根据一次函数y =(a −2)x +a +1不经过第三象限，可以得到a 的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最后a 的取值范围，从而可以写出满足条件的a 的整数值，然后相加即可．本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a 的取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．10.【答案】C【解析】解：将直线l：y=2x+3，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线l1，则平移后得到直线l1的解析式为y=2(x−4)+3−3，即y=2x−8．故选：C．根据上加下减，左加右减的法则可得出平移后的函数解析式．本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．11.【答案】④【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∴CD2=AD⋅BD，①正确；AC2=AD⋅AB，②正确；BC2=AB⋅BD，③正确；BD2=AC⋅BC不一定成立，④不正确；故答案为：④．根据射影定理列出算式，判断即可．本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．12.【答案】0.94【解析】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.94．故答案为0.94．由表中数据可判断频率在0.94左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.94．本题考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．13.【答案】(−1,0)【解析】解：∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点B的坐标为(1,2)，,1)，点E的坐标为(−12∴EF=1，CO=2，FO=12，∵EF//CO，∴△PEF∽△PCO，∴PFPO =EFCO，则PFPF+12=12，解得：PF=12，故PO=12+12=1，则点P的坐标为(−1,0)．故答案为：(−1,0)．直接利用矩形的性质结合相似三角形的性质得出此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出相似三角形是解题关键．14.【答案】225128【解析】解：由题可知，A(m,12m2+2)，B(m,−12m)∴AB=12m2+12m+2=12(m+12)2+158，当m=−12时，AB min=158，∴S min=12⋅AB⋅CD=12×158×158=225128，故答案为225128．根据点P(m,0)得到点A，B的坐标，求得线段AB的长度，当线段AB最短时，正方形面积最小求解即可．本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的最小值是解答本题的关键15.【答案】3【解析】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=12CB，MN//BC，又CD=13BD，∴MN=CD，又MN//BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=12AB=3，∴DN=3，故答案为：3．连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=12CB，MN//BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=12AB=3，等量代换即可．本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．16.【答案】②③④【解析】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴直线l垂直平分BD，∴AB=AD，CD=CB，∵AB=CD，∴AB=BC=CD=BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB//CD，OA=OC，所以②③④正确．故答案为②③④．根据轴对称的性质得到直线l垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得AB=AD，CD=CB，由于AB=CD，则AB=BC=CD=BC，于是可判断四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质对4个结论进行判断．本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．也考查了菱形的判定与性质．17.【答案】30【解析】解：延长GB交CD于点H，∵正方形ABCD，∴BA=AC，∠BCH=∠BAE=90°，∵正方形BEFG，∴∠EBG=90°，BE=BG，∴∠ABE+∠GBC=180°，∵∠HBC+∠GBC=180°，∴∠ABE=∠CBH，在△ABE与△CBH中，{∠ABE=∠CBH AB=BC∠EAB=∠HCB，∴△ABE≌△CBH(ASA)，∴BH=BE，S△ABE=S△CBH，∴BE=BG，∴BH=BG，∴S△BCG=S△CBH=S△ABE，在Rt△ABE中，AE=√BE2−AB2=√132−122=5，∵S△ABE=12⋅AB⋅AE=12×12×5=30，∴S△BCG=30，故答案为：30．延长GB交CD于点H，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答．此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的性质解答．18.【答案】解：(1)原式=√259+23×6−10×0.2=53+4−2=113；(2)原式=3−4√3+4+2√3+2√3=7．【解析】(1)先把各二次根式化简，然后进行有理数的混合运算；(2)先利用完全平分公式计算，然后化简二次根式后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和完全平方公式是解决问题的关键．19.【答案】解：∵BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°，当BD⊥AC时BD最短，造价最低，∵S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BD，∴BD=AB⋅BCAC =6013，∴6013×2600=12000(万元)，答：最低造价为12000万元．【解析】本题考查了勾股定理的逆定理、垂线段最短、三角形的面积等知识点，解题的关键是知道当什么时候距离最短．首先得出BC2+AB2=122+52=169，AC2=132=169，然后利用勾股定理的逆定理得到∠ABC=90°，根据垂线段最短得出当BD⊥AC时BD最短，造价最低，然后利用面积相等求得BD的长，最终求得最低造价．20.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B=90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF//GB，EG//BF．∵∠B=90°，∴四边形BFEG是矩形；(2)∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB=40÷4=10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF=EF，∴四边形EFBG的周长C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm．(3)若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，∵AF=EF，AB=10cm，∴当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形．【解析】(1)由正方形的性质可得出AB⊥BC、∠B=90°，根据EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一条直线的两直线互相平行”，即可得出EF//GB、EG//BF，再结合∠B= 90°，即可证出四边形BFEG是矩形；(2)由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出△AEF为等腰直角三角形，进而可得出AF=EF，再根据矩形的周长公式即可求出结论；(3)由正方形的判定可知：若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，结合AF=EF、AB=10cm，即可得出结论．本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的判定、等腰直角三角形的性质以及矩形的周长，解题的关键是：(1)根据平行线的判定定理找出EF//GB、EG//BF；(2)根据正方形的性质找出AF=EF；(3)熟练掌握正方形的判定定理．21.【答案】解：(1)由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10，∴其中位数a=6，=7.2；乙组学生成绩的平均分b=5×2+6×1+7×2+8×3+9×210(2)∵甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而小英的成绩位于小组中上游，∴小英属于甲组学生；(3)①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高；②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．【解析】本题主要考查折线统计图、平均数、中位数及方差，熟练掌握平均数、中位数及方差的定义是解题的关键．(1)由折线图中数据，根据中位数和平均数的定义求解可得；(2)根据中位数的意义求解可得；(3)可从平均数和方差两方面阐述即可．22.【答案】解：(1)由题意可得：银卡消费：y=10x+150，普通消费：y=20x；(2)判断得图象对应的函数表达式如下：由题意可得：当10x+150=20x，解得：x=15，则y=300，故B(15,300)，y=10x+150中，x=0时，y=150，故A(0,150)，令y=10x+150=600，解得：x=45，此时y=600，故C(45,600)；(3)由A，B，C的坐标可得：当0<x<15时，普通消费更划算；当x=15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15<x<45时，银卡消费更划算；当x=45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x>45时，金卡消费更划算．【解析】此题主要考查了一次函数的应用，根据数形结合得出自变量的取值范围是解题关键．(1)根据银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元，以及游泳馆普通票价20元/张，设游泳x次时，分别得出所需总费用为y元与x的关系式即可；(2)利用函数交点坐标的求法分别得出即可；(3)利用(2)的点的坐标以及结合函数图象得出答案．23.【答案】解：(1)设直线AB解析式为y=kx+b，∵直线AB经过点A(−2,3)，B(4,0)，∴{3=−2k+b0=4k+b，∴{k=−1 2b=2，∴直线AB的解析式：y=−12x+2；(2)∵直线AB交y轴于点C，∴点C(0,2)，∴OC=2，∵B(4,0)，∴OB=4，∴S△OBC=12×2×4=4；(3)如图，当点P在直线AB下方时，过点P作PE⊥y轴于E，∴∠PEC=∠PCB=90°，∴∠PCE+∠BCO=90°=∠PCE+∠CPE，∴∠CPE=∠BCO，又∵PC=BC，∠BOC=∠PEC=90°，∴△PCE≌△CBO(AAS)，∴BO=CE=4，OC=PE=2，∴OE=2，∴点P(−2,−2)，当点P在直线AB上方时，同理可得：OC=P′E′=2，E′C=OB=4，∴OE′=6，∴点P′(2,6)，综上所述：点P(2,6)或(−2,−2)．【解析】(1)由待定系数法可求解析式；(2)由三角形的面积公式可求解；(3)分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．。

北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)

北京市清华大学附属中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题(解析版)

初二第一学期期中试卷数学一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.在下列图形中是轴对称图形是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，B.是轴对称图形，故本选项符合题意，C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意，D.是不轴对称图形，故本选项不符合题意.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.2.下列计算正确的是（）A a+ a= a B. (ab) = ab C. a• a= a D. a÷a= a【答案】C【解析】【分析】根据整式的四则运算和积的乘方对选项进行分析即可得到答案.【详解】A. a与a不是同类项，无法合并，故A错误；B. (ab) = a2b，故B错误；C. a• a= a，故C正确；D. a÷a= a8，故D错误；故选择C.【点睛】本题考查同底数幂的混合运算和积的乘方，解题的关键是掌握同底数幂的混合运算和积的乘方运算.3.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD【答案】D【解析】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．故选D．4.若2x + m 与x + 2 的乘积中不含的x 的一次项，则m 的值为（）A. －4B. 4C. －2D. 2【答案】A【解析】【分析】先将(2x + m) (x + 2)根据多项式乘多项式展开，找出所有含x的一次项，合并系数，使含x的一次项的系数为0，即可求出m的值．【详解】解：，∵乘积中不含x的一次项，∴，∴．故答案选：A．【点睛】本题考查多项式乘多项式的运算，属于基础题．理解不含某一项就是指含有这项的系数为0，注意合并同类项求解．5.如图，已知 AB⊥BC 于 B，CD⊥BC 于 C，BC=12，AB=5，且 E 为 BC 上一点，∠AED=90°，AE=DE，则 BE=（）A. 13B. 8C. 7D. 5【答案】C【解析】【分析】先根据题意证明△ABE≌△ECD，再根据全等三角形的性质得到CE值，即可求出BE．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠B=90°=∠C∴∠A+∠AEB=90°∵∠AED=90°∴∠DEC+∠AEB=90°∴∠A=∠DEC在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE=AB=5．∴BE=BC-CE=12-5=7．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和性质，解题关键在于掌握判定定理.6.如图，在△ABC中，∠C = 90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP,交CB于点D，若CD = 4，AB = 15．则△ABD的面积是【】A. 15B. 30C. 45D. 60【答案】B【解析】【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30，故选B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7.等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°【答案】B【解析】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．考点：等腰三角形的性质．8.如图的方格纸中每一个小方格都是边长为 1 的正方形，A、B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点 C，使△ABC 为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A. 8 个B. 9 个C. 10 个D. 11 个【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理计算出AB=，然后分类讨论确定C点位置．【详解】AB==，以B为顶点，BC=BA，这样的C点有3个；以A为顶点，AC=AB，这样的C点有6个；以C为顶点，CA=CB，这样的点不存在，所以使△ABC的等腰三角形，这样的格点C的个数有9个.故选B.【点睛】本题考查等腰三角形的判定和勾股定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和勾股定理的应用.二、填空题（共8题，每小题3分，共24分）9.等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．【答案】17【解析】试题分析：因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去．∴等腰三角形的周长为17．10.如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，∠C=65°，则∠BAD 度数为___________.【答案】25°【解析】【分析】先由等腰三角形的性质得到∠C=∠B=65°,再结合题意和三角形的内角和定理得到∠BAD=25°. 【详解】∵AB ＝AC ，∠C=65°，∴∠C=∠B=65°,∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°,根据三角形内角和定理可知∠BAD=180°-90°-65°=25°，故答案为25°. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键.11.计算：20192018014()1)4⨯-⨯=_________. 【答案】4【解析】【分析】 先根据零指数幂化简并变形得到2018201814()144⨯-⨯⨯，再进行乘法计算即可得到答案.【详解】20192018014()1)4⨯-⨯ =2018201814()144⨯-⨯⨯ =4【点睛】本题考查有理数的乘法、零指数幂和整数指数幂，解题的关键是有理数的乘法、零指数幂和整数指数幂.12.如图，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE=CD ，若BD=3，则DE= ．【答案】3【解析】试题分析：△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，可得∠DCB=60°，BD ⊥AC ，所以∠DBC=30°，因为CE=CD ，所以∠CDE=∠E=30°，故∠DBC=∠E ，DE=BD=3．考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定；三角形的外角13.若(x －2)(x +3)= x + ax －6 ，则a =________【答案】1【解析】【分析】先根据多项式乘以多项式的方法计算(x－2)(x +3)，得到x+x－6，再结合题意即可得到答案.【详解】因为(x－2)(x +3)= x+ 3x -2x－6= x+x－6，且(x－2)(x +3)= x+ ax－6 ，所以a =1.【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的方法.14.已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB 边上的一点，过 D 作 DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.【答案】20【解析】【分析】由AB=AC，∠BAC=40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角形内角计算即可得到答案.【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C B==70°；因为DF⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.15.在△ABC中，已知AB=5，BC=6，∠B=30°，那么S△ABC为_________．【答案】7.5【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AD，根据三角形的面积公式计算．【详解】过点A作AD⊥BC于D，如图，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD=AB=，∴S△ABC=×BC×AD=××6=7.5.【点睛】本题考查直角三角形的性质、三角形的面积公式，掌握在直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半是解题的关键．16.如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE⊥AC点E，过点P 作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____．【答案】5【解析】【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度．【详解】∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案为5．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．三、解答题（共7小题，共52分）17.如图，B、C、E、F 在同一直线上，AB∥CD，BF=CE，∠A=∠D. 求证：△ABE≌△DCF【答案】证明见解析【解析】【分析】由AB∥CD得到∠B=∠C，由BF=CE得到BE=CF，根据全等三角形的判定（AAS）即可得到答案.【详解】因为AB∥CD，所以∠B=∠C；又因为BF=CE，则BE=CF，在△ABE和△DCF中，∵，∴△ABE≌△DCF（AAS）.【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质.18.计算下列各题：（1）(x－3y)(－6x)；（2） (x－1)(x + 2)；【答案】（1）－6x2+18 xy；（2）x2+ x－2【解析】【分析】（1）先进行多项式乘以多项式运算，再合并同类项，即可得到答案；（2）先进行多项式乘以多项式运算得到x2+2 x－x－2，再合并同类项，即可得到答案.【详解】（1）(x－3y)(－6x)=－6x2+18 xy；（2）(x－1)(x + 2)=x2+2 x－x－2= x2+ x－2【点睛】本题考查多项式乘以多项式和合并同类项，解题的关键是掌握多项式乘以多项式和合并同类项法则.19.如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A（﹣1，2），B（﹣4，1），C（﹣2，﹣2）．（1）请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．（2）分别写出点A1、B1、C1的坐标．（3）求△A1B1C1的面积．【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）A1的坐标为（1，2）、B1的坐标（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为.【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）由（1）中所作图形可得答案；（3）利用割补法求解可得．【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）由图知，A1的坐标为（1，2）、B1的坐标为（4，1）、C1的坐标为（2，﹣2）；（3）△A1B1C1的面积为3×4﹣×1×4﹣×1×3﹣×2×3＝.【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．20.如图1，在△ABC中，AB=AC， D为直线BC上一动点（不与B，C重合），在AD的右侧作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，求证:△BAD ≌△CAE；（2）当点D运动到何处时，AC⊥DE，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE，理由见解析【解析】分析】（1）根据SAS即可证明；（2）当点D运动到BC中点时，AC⊥DE，由AB=AC知∠1=∠2，结合∠1=∠3，得出∠2=∠3．根据AE=AD，即可得.【详解】（1）∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE．又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD ≌△CAE（SAS）．（2）当D运动到BC中点时，AC⊥DE ．∵D 是BC 中点，AB=AC ，∴∠1=∠2．∵△BAD ≌△CAE ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∵AD=AE ，∴AC ⊥DE ．∴当D 运动到BC 中点时，AC ⊥DE ．【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．21.先化简再求值：(x + 2 y )+(x + 2 y )(x －2 y )+ 2 y ，其中 x =－1，y = 2 ；【答案】；2【解析】【分析】先由完全平方公式、平方差公式得到x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y，再合并同类项得到2x 2+ 4x y + 2 y ，将x =－1，y = 2代入即可得到答案.【详解】(x + 2 y)+(x + 2 y)(x －2 y)+ 2 y=x 2+ 4x y+4y 2+x 2-4 y 2+ 2 y= 2x 2+ 4x y + 2 y=2（x 2+ 2x y + y ）=2（x+y ）2则x =－1，y = 2代入得到=2.【点睛】本题考查代数式、完全平方公式、平方差公式和合并同类项，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和合并同类项的计算.22.规定两数a ，b 之间的一种运算，记作(a ，b)：如果，那么(a ，b)=c ．例如：因为23=8，所以(2，8)=3．(1)根据上述规定，填空：（3，9）=_____，（5，125）=_____，（，）=_____，（-2，-32）=_____．(2)令，()46b =，，()430c =，，试说明下列等式成立的理由：. 【答案】（1）2，3，4，5（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据规定的运算法则计算即可；（2）令，()46b =，，()430c =，，根据规定的运算法则及同底数幂乘法的运算法则即可证明a+b=c ，即可得结论. 【详解】（1）∵32=9，53=125，(-)4=，(-2)5=-32， ∴（3，9）=2，（5，125）=3，（，）=4，（-2，-32）=5. 故答案为2；3；4；5(2)令，()46b =，，()430c =，，则，，， ∵5630⨯=， ∴444a b c ⨯=， ∴， ∴， ∴.【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是理解（a ，b ）=c ，a c =b ，即b 是a 的c 次方，按此规律进行计算即可．23.如图，△ABC 中，AB=AC ，射线AP 在△ABC 的外侧，点B 关于AP 的对称点为D ，连接CD 交射线AP 于点E ，连接BE. (1)根据题意补全图形； (2)求证：CD=EB+EC ； (3)求证：∠ABE=∠ACE.【答案】(1)补图见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据点B 、D 关于AP 对称得AP 垂直平分BD ，故ED=EB ，从而得证；（3）连接AD ，由线段垂直平分线的性质得AD=AB ，ED=EB ，可证∠1=∠ABE ；由AB=AC 得AD=AC,所以∠1=∠ACE,从而得证. 【详解】(1)如图；(2)∵点B、D关于AP对称∴ AP垂直平分BD∴ ED=EB∴ CD=CE+ED=CE+EB；(3)连接AD∵ AP垂直平分BD∴ AD=AB=AC∴∠1=∠ACE ∠1+∠EDB=∠ABE +∠EBD∵ ED=EB∴∠EDB =∠EBD∴∠1=∠ABE∴∠ABE=∠ACE .【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键.附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24.已知x += 4 ，则x +=___________.【答案】14【解析】【分析】由x += 4得到（x +）2= 16，计算可得x+2+=16，则可得答案为14.【详解】因为x += 4，所以（x +）2= 16，即x+2+=16，则x +=14.【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的运用.25.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=12，则HE等于__________.【答案】12【解析】【分析】先根据三角形中位线定理求出AC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】∵D、F是BC、AB的中点，∴AC=2FD=2×12=24，∵E是AC的中点，AH⊥BC于点H，∴EH=AC=12．【点睛】本题考查三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是掌握三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.26.如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________.【答案】60°或105°【解析】【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算.【详解】△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD=DE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠DEC=75°，∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，②当DE=CE时,∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠CDE=30°，∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°.③当EC=CD时，∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120°∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意. 综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°. 故答案为60°或105°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.27.对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，我们把|x1－x2|+|y1－y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d(P1,P2)．(1) 令P0(2,－3)，O为坐标原点，则d(O,P0)＝；(2)已知O为坐标原点，动点P(x,y)满足d(O,P)＝1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形.【答案】(1)5;(2)如图所示.【解析】【分析】（1）、根据直角距离的计算公式进行计算得出答案；（2）、根据题意得出|x|+|y|=1，从而得出图形.【详解】（1）、根据题意得：d（O，P0）=|2﹣0|+|﹣3﹣0|=2+3=5；（2）、由题意，得|x|+|y|=1，所有符合条件的点P组成的图形如图所示；【点睛】本题考查绝对值、作图，解题的关键是读懂题意，掌握新的定义运算规则.28.在△ABC 中，AB =BC =AC，∠A =∠B =∠C = 60°．点D、E 分别是边AC、AB 上的点（不与A、B、C 重合），点P 是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若点P 在边BC 上运动（不与点B 和点C 重合），如图⑴所示，则∠1+∠2 =．（用α 的代数式表示）（2）若点P 在△ABC 的外部，如图⑵所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）如图（1）60︒+α ；（2）∠2=60︒+∠1-α；理由见解析.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α=∠1-∠2+60°.【详解】（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，∴∠1+∠2=∠A+α，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠1+∠2=60°+α．故答案是：60°+α；（2）∠2=60︒+∠1-α，证明：如图（2），∵∠1 是△POD 的外角，∴∠1=α+∠POD，∵∠POD=∠AOE，∴∠1=α+∠AOE，∴∠AOE=∠1-α，∵∠2 是△AOE 的外角，∴∠2=∠A +∠AOE，∴∠2=60︒+∠1-α；【点睛】本题考查三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．：。

北京清华附中八年级下期末考试数学试卷及答案.doc

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清华附中2012-2013学年初二第二学期期末试卷数学（清华附中初11级） 2013．7一、选择题：（每题3分，共24分）1． ）A B ． C D ．272．下面计算正确的是（ ）A ．3=B 3=C 235= D 2=-3．一个矩形的两条对角线的夹角为60°，且对角线的长度为8cm ，则较短边的长度为（ ）A ．8cmB ． 6cmC ．4cmD ． 2cm 4．下列图形中是中心对称图形，但不是．．轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x+= B ．20ax bx c ++= C ．223253x x x --= D ．(1)(2)1x x -+=6．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形7．关于x 的方程240x x a -+=有两实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≤B ．4a <C ．4a >D ．4a ≥8．Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =90°，∠MDN 绕点D 旋转， DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点，下列结论 ： ①()BE CF +=；② 14AEFABCS S ≤；③S 四边形AEDF =AD ·EF ；④ AD ≥EF ；⑤ AD 与EF 可能互相平分，其中正确结论的个数是 （ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：（每题3分，共24分） 9中x 的取值范围是 ． 10．＝ ．11．关于x 的方程220x mx m -+=的一个根为1，则m 的值为 ． 12．若关于x 的方程290x kx ++=有两个相等的实数根，则k = __________． 13．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD ，若∠A =110°，∠D =40°，则∠α的度数是 。

北京清华附中2018-2019学年八年级下学期数学期末考试试卷

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北京清华附中2018-2019学年八年级下学期数学期末考试试卷一、选择题（共8题；共16分）1.与是同类二次根式的是（）A. B. C. D.2.下面计算正确的是（）A. B. C. D.3.一个矩形的两条对角线的夹角为60°，且对角线的长度为8cm，则较短边的长度为（）A. B. C. D.4.下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.下列方程中是关于的一元二次方程的是（）A. B. C. D.6.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 梯形7.关于的方程有两实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论①(BE+CF)= BC，② ，③ AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共13题；共16分）9.二次根式中，x的取值范围是________．10.化简：________．11.关于x的方程的一个根为1，则m的值为________．12.若方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，则k=________．13.如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是________．14.如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标为________．15.如图，正方形中，点在边上，，把线段绕点旋转，使点落在直线上的点，则两点间的距离为________．16.如图，在直角坐标系中，正方形、的顶点均在直线上，顶点在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为________，点的坐标为________．17.若为三角形三边，化简________．18.如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是________19.设，若，则________．20.关于的方程有两个整数根，则整数________．21.如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．设中点为，中点为，，连接，当________ 时，长度最大，最大值为________．三、综合题（共9题；共58分）22.解方程：.23.计算：24.已知：，求得值．25.求证：取任何实数时，关于的方程总有实数根．26.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC∶BD＝2∶3.（1）求AC的长；（2）求△AOD的面积．27.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，恰好用完，试求的长，使矩形花园的面积为．28.5个同样大小的正方形纸片摆放成“十”字型，按图1所示的方法分割后可拼接成一个新的正方形．按照此种做法解决下列问题：（1）5个同样大小的矩形纸片摆放成图2形式，请将其分割并拼接成一个平行四边形．要求：在图2中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如图3，在面积为1的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连结得到一个新的平四边形．则平行四边形的面积为________(在图3中画图说明)．29.如图，四边形ABCD是正方形，是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，连接EN/CM．（1）证明：；（2）当点在何处时，的值最小，并说明理由；（3）当的最小值为时，则正方形的边长为________．30.已知，矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．（1）如图1，连接，求证：四边形为菱形；（2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止．在运动过程中，①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，则________．②若点的运动路程分别为（单位: ），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，则与满足的数量关系式为________．答案解析部分一、选择题1.【答案】D【解析】【解答】= ，=2，不符合定义，故与不是同类二次根式；= ，不符合定义，故与不是同类二次根式；= ，不符合定义，故与不是同类二次根式；，符合定义，故与是同类二次根式；故答案为：D.【分析】化成最简二次根式后含有相同的因式的二次根式即是同类二次根式，根据定义依次化简即可判断.2.【答案】B【解析】【解答】解：A.3+ 不是同类项无法进行运算，故A选项不符合题意；B. ＝3，故B选项符合题意；C. ，故C选项不符合题意；D．，故D选项不符合题意；故答案为：B．【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．3.【答案】C【解析】【解答】如图，由题意知：∠AOB= 60°，AC=BD=8cm，∵四边形ABCD是矩形，∴AO= AC= BD=OB=4cm，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4cm，故答案为：C.【分析】根据矩形的性质得到△AOB是等边三角形，即可得到答案.4.【答案】D【解析】【解答】A、是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故答案为：D.【分析】将一个图形沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身完全重合，这样的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案. 5.【答案】D【解析】【解答】A、等式左边不是整式，故不是一元二次方程；B、中a=0时不是一元二次方程，故不符合题意；C、整理后的方程是2x+5=0，不符合定义故不是一元二次方程；D、整理后的方程是，符合定义是一元二次方程，故答案为：D.【分析】只含有一个未知数，并且未知数的项的最高次数是2，且等号两边都是整式的方程是一元二次方程，根据定义依次判断即可得到答案.6.【答案】B【解析】【解答】解：如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边），∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故选：B．【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．7.【答案】A【解析】【解答】∵方程有两实数根，∴∆ ，即16-4a ，∴，故答案为：A.【分析】根据方程有实数根列不等式即可求出答案.8.【答案】C【解析】【解答】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF= BE+ AE=AB．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB= BC．∴(BE+CF)= BC．∴结论①符合题意．设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b．∴．∴．∴结论②符合题意．如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴结论④不符合题意．∵△EDA≌△FDC，∴．∴结论③不符合题意．又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分．∴结论⑤符合题意．综上所述，结论①②⑤符合题意．故答案为：C．【分析】根据ASA可证△EDA≌△FDC，可得AE=CF，从而可得BE+CF= BE+ AE=AB，在Rt△ABC中AB=AC，可得AB= BC，据此判断①；设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= a－b．利用三角形的面积公式求出S△AEF-S△ABC=，根据偶次幂的非负性判断②即可；如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．根据矩形与等腰直角三角形的性质可得EO≥EI=FH=GD，OF≥GH=AG，从而可得EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD，据此判断④即可；由△EDA≌△FDC，可得，据此判断③；当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分，据此判断⑤即可.二、填空题9.【答案】x≥3【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案是：x≥3．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．10.【答案】【解析】【解答】，故答案为：.【分析】被开方数因式分解后将能开方的数开方即可化简二次根式.11.【答案】1【解析】【解答】把x=1代入方程得：1-2m+m=0，解得m=1.【分析】把x=1代入方程中，可得关于m的一元一次方程，解出m的值即可.12.【答案】±6【解析】【解答】解：∵方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，∴△=0，即k2﹣4•1•9=0，解得k=±6．故答案为±6．【分析】根据根判别式△=b2﹣4ac的意义得到△=0，即k2﹣4×1×9=0，然后解方程即可．13.【答案】50°【解析】【解答】解：由旋转的性质知：∠A＝∠C＝110°，∠D＝∠B＝40°；根据三角形内角和定理知：∠AOB＝180°﹣110°﹣40°＝30°；已知旋转角∠DOB＝80°，则∠α＝∠DOB﹣∠AOB＝50°．故答案为：50°．【分析】利用旋转的性质和三角形的内角和定理，可求解。

北京清华附中2018-2019学年八年级下期末考试数学试卷(pdf版,答案)

北京清华附中2018-2019学年八年级下期末考试数学试卷(pdf版,答案)

匀速运动一周，即点 P 自 A→F→B→A 停止，点 Q 自 C→D→E→C 停止．在运
动过程中，
①已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，当
A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，则 t＝
时针旋转 90°后得到△AO′B′，则点 B′的坐标为
．
15．如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 DC 边上，DE＝2，EC＝1，把线段 AE 绕点 A
旋转，使点 E 落在直．线．BC 上的 F 点，则 F、C 两点间的距离为
．
第 13 题图
第 14 题图
2 / 17
第 15 题图
16．如图，在直角坐标系中，正方形 A1B1C1O、
17．解方程： x2 4x 5 0
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18．计算： 1 8 6 1 ( 12 1)0
2 1
2
19．已知：a = 3 1，求 a2 2a 2013 的值．
3 / 17
20．求证：a 取任何实数时，关于 x 的方程 ax2 1 3a x 2a 1 0 总有实数根．
．
12．若关于 x 的方程 x2 kx 9 0 有两个相等的实数根，则 k __________．
13．如图，△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=40°，则
∠α的度数是
。
14．如图，直线 y 4 x 4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把△AOB 绕点 A 顺 3
．
6 / 17
25．已知，矩形 ABCD 中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC 的垂直平分 EF 线分别交 AD、

2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级下学期期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年八年级第二学期期中数学试卷、选择题（共8小题）.1 .下列图形，①角；②两相交直线；③圆；④平行四边形，其中一定是轴对称图形的有3.要使寸IX 有意义，则（两弧交点的连线交 AC 于点D,交AB 于点E,连接BD ，若Z A = 40°，则Z DBC =（）A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°5.疫情无情，人有情爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班同学积极 参加献爱心活动，该班 50名学生的捐款统计情况如表：BC 的长为（A.四个B.三个C.两个D. 一个2. 2019年被称为中国的5G 元年，如果运用5G 技术下载一个4.8M 的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字 0.000096用科学记数法表示应为（ A . 0.96 X 10 4B. 9.6X 10 3C. 9.6X 10 5D. 96X 10 6C. x> - 44.如图，在△ ABC 中，AB = AC,分别以点A 、点B 为圆心，以大于 长为半径画弧,金额/元 5 10 30 人数61714则他们捐款金额的平均数和中位数分别是（A. 39, 10B. 39, 306.如图，在△ ABC 中，D 是BC 上一点，已知 50 100 85)C. 30.4, 30D. 30.4, 10AB = 15, AD = 12, AC = 13, CD = 5,则7.设计一个摸球游戏，先在一个不透明的小盒子中放入 一个球，是白球的概率为 上，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（游戏用球 除颜色外均相同）（二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）5个白球，如果希望从中任意摸出D. 208.在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线交 AD 于点E 连接 CE,若平行四边形ABCD 的周长为30,则^ CDE 的周长为（C. 15D. 109 .等腰三角形一个角等于 100° , 则它的一个底角是且到原点的距离是,Z BAC = Z ADC = 60° ,若 CD = 4,贝U BD =AC= 10, BD = 6, AD = a,那么a 的取值范围是14. 清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为 600元，出发时又增加了 5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了 10元车费，若设实10.若点P （a, - 3）在第四象限,C= 90° 0,那么a 的取值范围是利润15000元，则销售时(去掉损坏的番茄)售价应至少定为 元/千克.16. 如图，在？ABCD 中，AB = 10 , AD = 6, AC ± BC .贝U BD =三、解答题(共7小题，共52分)17. 如图，D^ ABC 中 BC 边上一点，AB = CB, AC = AD, / BAD = 21。

2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级(下)期末数学试卷答案解析

2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷一.选择题（本大题共24分，每小题3分）1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x2+＝2B．x2﹣xy＝2C．x2﹣2x﹣3＝0D．2（x﹣1）＝x 2．（3分）将抛物线y＝x2向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2 3．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝02时，原方程变形正确的是（）A．（x+1）2＝6B．（x﹣2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x+2）2＝9 4．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）5．（3分）某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P＝100﹣2x．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．（x﹣30）（100﹣2x）＝200B．x（100﹣2x）＝200C．（30﹣x）（100﹣2x）＝200D．（x﹣30）（2x﹣100）＝2006．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 7．（3分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等实数根，则m可以取以下哪个数值（）A．3B．2C．1D．08．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2B．x＞2C．x＜﹣1D．x＜﹣1或x＞2二.填空题（本大题共16分，每小题2分）9．（2分）已知抛物线y＝x2+x+m与y轴的交点在原点下方，则整数m的值可以是．（写出一个符合条件的值即可）10．（2分）若关于的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝．11．（2分）二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，4），则代数式a+b的值为．12．（2分）关于x的一元二次方程（m+3）x2+x+m2﹣9＝0有一根为0，则m＝．13．（2分）抛物线y＝x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是．14．（2分）已知m是方程x2﹣4x﹣3＝0的一个实数根，则m2﹣4m+2023的值是．15．（2分）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是．16．（2分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：x﹣113y2﹣22点P（﹣2，m），Q（x1，m）是抛物线上不同的两点，则x1＝．三.解答题（本题共60分，第17题12分，第18-20题每题5分，第21-23题每题6分，第17．（12分）用适当的方法解方程：（1）（x﹣1）2＝9；（2）x2+2x﹣4＝0；（3）（x﹣4）2+x（x﹣4）＝0；（4）2x2﹣3x+1＝0．18．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），求该抛物线的解析式．19．（5分）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计），若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长．20．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）这个二次函数的解析式是；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为．21．（6分）排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m02461112竖直高度y/m 2.38 2.62 2.7 2.62 1.72 1.42①根据上述数据，求抛物线解析式；②判断该运动员第一次发球能否过网（填“能”或“不能”）．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x （单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02（x﹣5）2+2.88，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．22．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，3），B（2，3），C（﹣1，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，部分图象如图所示，则：（1）该抛物线的对称轴为直线；（2）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为；（3）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为；（4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是．23．（6分）已知关于x的一元二次方程mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的正整数根时，求m的值．24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx+m+4（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），且AB＝4，①求抛物线的解析式；②已知点P坐标为（3，4），点Q在抛物线的对称轴上，将抛物线y＝mx2+2mx+m+4在第二象限内的部分记为图象G，如果直线PQ与图象G只有一个公共点，请结合图象，直接写出点Q的纵坐标t的取值范围是．25．（8分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G．（1）如图1，求证：AF＝BG；（2）如图2，若F为BG中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明；（3）若AD＝13，BF＝5，直接写出线段DF的长是．四、附加题（本题共20分，第26～29题每题3分，第30题8分）26．（3分）在平面直角坐标系中，已知点P（m，n），m，n满足（m2+n2+1）（m2+n2+3）＝15，则OP的长为．27．（3分）关于x的方程x2+2x﹣c＝0无实数根，则二次函数y＝x2+2x﹣c的图象的顶点在第象限．28．（3分）已知抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，则a＝．29．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正确的是（填序号）．30．（8分）对于线段AB外一点M，给出如下定义：若点M满足|MA2﹣MB2|＝AB2，则称M 为线段AB的垂点，特别地，对于垂点M，若MA＝AB或MB＝AB时，称M为线段AB 的等垂点，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1），B（1，1）．（1）如图1，在点C（0，4），D（1，2），E（3，﹣2），F（﹣1，﹣1）中，线段AB的垂点是；（2）已知点P（t，1），Q（t+2，0）．①如图2，当t＝0时，若直线y＝﹣x+b上存在线段PQ的等垂点，求b的值；②如图3，若△ABC边上（包含顶点）存在线段PQ的垂点，直接写出t的取值范围是．2022-2023学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共24分，每小题3分）1．【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．【解答】解：A．方程x2+＝2是分式方程，选项A不符合题意；B．方程x2﹣xy＝2是二元二次方程，选项B不符合题意；C．方程x2﹣2x﹣3＝0是一元二次方程，选项C符合题意；D．方程2（x﹣1）＝x是一元一次方程，选项D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．2．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式为y＝x2﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．3．【分析】利用配方法解方程即可．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝02，即x2﹣2x﹣5＝0，移项得：x2﹣2x＝5，配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6，故选：C．【点评】本题考查配方法解一元二次方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．4．【分析】由抛物线的性质，求解即可．【解答】解：y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），故选：B．【点评】此题考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的有关性质．5．【分析】一天的利润＝（售价﹣进价）×销售量，把相关数值代入即可．【解答】解：∵每件商品的利润为（x﹣30）元，可售出（100﹣2x）件，∴根据每天的利润为200元可列的方程为（x﹣30）（100﹣2x）＝200，故选：A．【点评】考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．6．【分析】先求出二次函数y＝2（x﹣2）2+1的图象的对称轴，然后判断出A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）在抛物线上的位置，再求解．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣2）2+1，中a＝2＞0∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣＝2，∵B（3，y2），C（4，y3）中横坐标均大于2，∴它们在对称轴的右侧y3＞y2．A（﹣3，y1）中横坐标小于2，∵它在对称轴的左侧，它关于x＝2的对称点为2×2﹣（﹣3）＝7，A点的对称点是D（7，y1）7＞4＞3，∵a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴y1＞y3＞y2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是找到A点的对称点；掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象性质．7．【分析】方程有两个不相等的实数根，则有Δ＝b2﹣4ac＞0，据此即可得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围．【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×m＝4﹣4m，∴要使方程有两不相等实数根，则有4﹣4m＞0，∴m＜1；∴m可以取0，故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的相关知识，解题的关键是明确一元二次方程的根与判别式之间的关系．8．【分析】根据抛物线与x轴的交点和图象，可以写出当y＜0时，x的取值范围．【解答】解：由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜2，故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二.填空题（本大题共16分，每小题2分）9．【分析】根据抛物线与y轴的交点在原点下方可知：m＜0，由此填写即可．【解答】解：∵物线与y轴的交点在原点下方，∴m＜0，∴m的值可以是：﹣2（答案不唯一）．故答案为：﹣2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握知识点是解决本题的关键．10．【分析】根据根的判别式列得方程，解方程即可．【解答】解：∵关于的一元二次方程x2﹣6x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0，即36﹣4k＝0，解得：k＝9，故答案为：9．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，结合已知条件列得关于k的方程是解题的关键．11．【分析】代入点的坐标以后即可得出结论．【解答】解：代入点（1，4）得4＝a+b﹣3，解得：a+b＝7故答案为：7．【点评】本题考查图象与点的关联，能够熟练把点代入解析式是解题关键．12．【分析】将x＝0代入（m+3）x2+x+m2﹣9＝0中求得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定符合题意的m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+3）x2+x+m2﹣9＝0有一根为0，∴m2﹣9＝0，m+3≠0，解得：m＝3，故答案为：3．【点评】本题考查一元二次方程的解及其定义，特别注意二次项系数不能为0．13．【分析】先设出抛物线与x轴的交点，再根据根与系数的关系求出x1+x2及x1•x2的值，再由完全平方公式求解即可．【解答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），∵x1+x2＝﹣4，x1•x2＝3，∴|x1﹣x2|＝＝＝2，∴抛物线y＝x2+4x+3在x轴上截得的线段的长度是2．故答案为：2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，能由根与系数的关系得到x1+x2及x1•x2的值是解答此题的关键．14．【分析】把x＝m代入已知方程可以求得m2﹣4m＝3，所以将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣4x﹣3＝0的一个根，∴m2﹣4m﹣3＝0，解得，m2﹣4m＝3，∴m2﹣4m+2023＝2023+3＝2026，故答案是：2026．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．15．【分析】方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得：x＝2或x＝4，若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去；若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为2+4+4＝10，故答案为：10．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．【分析】根据表格中的点的坐标特点先确定对称轴，由抛物线的对称性即可求解；【解答】解：观察表格中的x、y的值，可知（﹣1，2）、（3，2）是对称点，∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1，∵点P（﹣2，m），Q（x1，m）是抛物线上不同的两点，∴＝1，∴x1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征、二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的对称轴．三.解答题（本题共60分，第17题12分，第18-20题每题5分，第21-23题每题6分，第17．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（3）利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（4）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，∴x1＝4，x2＝﹣2；（2）∵x2+2x﹣4＝0，∴x2+2x＝4，则x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，∴x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（3）∵（x﹣4）2+x（x﹣4）＝0，∴（x﹣4）（2x﹣4）＝0，∴x﹣4＝0或2x﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝2；（4）∵2x2﹣3x+1＝0，∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，则x﹣1＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，根据题目的特点选择适当的解法，熟练地掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．18．【分析】将（﹣1，5），（1，3）代入y＝2x2+bx+c求得b，c的值，得到此函数的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝2x2﹣x+2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，得到两个关于b、c的方程是解题的关键，也是本题的难点．19．【分析】设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．【解答】解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（42﹣3x）米，依题意，得（42﹣3x）x＝144．解得x1＝6，x2＝8．由于x2＝8＞7，所以不合题意，舍去．所以x＝6符合题意．答：生态园垂直于墙的边长为6米．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．20．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），则可设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把点（0，﹣3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x＝﹣4、﹣2时的函数值即可写出y的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣4，把点（0，﹣3）代入y＝a（x+1）2﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4，即y＝x2+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣4时，y＝（﹣4+1）2﹣4＝5，当x＝﹣0时，y＝﹣3，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围是﹣4＜y＜5．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．21．【分析】（1）①由表格中数据得出顶点坐标，设出函数解析式的顶点式，再把（0，2.48）代入解析式求出a即可•；②当x＝9时求出y的值与2.24比较即可；（2）令y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.88中的y＝0，解方程求出x的值与18比较即可．【解答】解：（1）①由表中数据可得顶点（4，2.7），设y＝a（x﹣4）2+2.7（a＜0），把（0，2.38）代入得16a+2.7＝2.38，解得：a＝﹣0.02，∴所求函数关系为y＝﹣0.02（x﹣4）2+2.7；②能．当x＝9时，y＝﹣0.02（9﹣4）2+2.7＝2.3＞2.24，∴该运动员第一次发球能过网，故答案为：能；（2）判断：没有出界．第二次发球：y＝﹣0.02（x﹣5）2+2.88，令y＝0，则﹣0.02（x﹣4）2+2.88＝0，，解得x1＝﹣87（舍），x2＝17，∵x2＝17＜18，∴该运动员此次发球没有出界．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．22．【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，3），B（2，3），可以求得该抛物线的对称轴；（2）根据（1）中的结果和二次函数具有对称性，可以求得抛物线与x轴的另一个交点，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；（3）根据抛物线与直线y＝mx+n的交点，可以写出一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解；（4）根据（2）中求出的抛物线与x轴的交点和经过点A（0，3），可以求得该抛物线的解析式，然后化为顶点式，即可得到该抛物线的最大值，从而可以写出一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0无实数根，此时k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，3），B（2，3），∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故答案为：x＝1；（2）由（1）知：该抛物线的对称轴为直线x＝1，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点C（﹣1，0），∴该抛物线过点（3，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，故答案为：x1＝﹣1，x2＝3；（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，3），C（﹣1，0），直线y＝mx+n（m ≠0）经过点B，C，∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝2，x2＝﹣1，故答案为：x1＝2，x2＝﹣1；（4）设该抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵该抛物线经过点A（0，3），∴3＝a（0+1）（0﹣3），解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线的最大值为4，∵一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞4，故答案为：k＞4【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m+2）2≥0，进而可证出方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法，可求出方程的两个实数根，结合m为整数且原方程有两个互不相等的正整数根，即可得出m的值．【解答】（1）证明：Δ＝（2﹣3m）2﹣4×m×（2m﹣4）＝4﹣12m+9m2﹣8m2+16m＝m2+4m+4＝（m+2）2，∵（m+2）2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵mx2+（2﹣3m）x+（2m﹣4）＝0，∴[mx+（2﹣m）]（x﹣2）＝0，∴x1＝，x2＝2．∵m为整数，且原方程有两个互不相等的正整数根，∴m＝﹣1．答：m的值为﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法，求出方程的两个实数根．24．【分析】（1）将y＝mx2+2mx+m+4配方即可；（2）①由抛物线的对称轴为x＝﹣1，且AB＝4（点A在点B的左侧）可得A（﹣3，0），B（1，0），代入抛物线即可；②分过点P的直线与x轴平行、过点P的直线过（0，3）、过点P的直线过（﹣3，0）三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）y＝mx2+2mx+m+4，＝m（x2+2x+1）+4，＝m（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），（2）①∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且AB＝4（点A在点B的左侧），∴A（﹣3，0），B（1，0），将B（1，0）代入y＝mx2+2mx+m+4得：m+2m+m+4＝0，∴m＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，②图象G对应的部分抛物线如图所示：Ⅰ．当过点P的直线与x轴平行时，直线PQ与图象G只有1个交点，此时t＝4，Ⅱ．当过点P的直线过（0，3）时，直线PQ与图象G只有1个交点，设直线PQ的表达式为：y＝kx+3，将（3，4）代入得：3k+3＝4，∴k＝，∴y＝x+3，当x＝﹣1时，t＝，Ⅲ．当过点P的直线过（﹣3，0）时，直线PQ与图象G的交点在x轴上，此时直线PQ的表达式为：y＝x+2，当x＝﹣1时，t＝，综上：t＝4或．【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．25．【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABF≌△BCG（ASA），即可解决问题；（2）如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，根据正方形的性质利用勾股定理解答即可；（3）结合（2）的方法根据正方形的性质利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFB＝∠BGC＝90°，∴∠ABF＝∠BCG＝90°﹣∠CBG，∴△ABF≌△BCG（ASA），∴AF＝BG；（2）解：AD＝DF，理由如下：如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∴四边形AHFN是矩形，∴AH＝FN，AN＝HF，∵F为BG中点，∴BF＝GF，∵AF⊥BG，CG⊥BG，∴FM∥CG，∴BM＝CM，∴FM＝CG，由（1）知：△ABF≌△BCG，∴BF＝CG，∴BF＝CG＝FG，设BF＝CG＝FG＝，∴FM＝CG＝，∴BM＝＝＝，∴AB＝AD＝BC＝2BM＝5，＝AB•FH＝AF•BF，∵AF＝BG＝2，S△ABF∴5FH＝2×，∴FH＝2，∴AN＝FH＝2，∴DN＝AD﹣AN＝5﹣2＝3，∵AH＝＝＝4，∴FN＝AH＝4，∴DF＝＝＝5，∴AD＝DF；（3）解：线段DF的长是．理由如下：如图3，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，∵AF⊥BE，AB＝AD＝13，BF＝5，∴AF＝＝12，∴13FH＝12×5，∴FH＝，∴AN＝FH＝，∴DN＝AD﹣AN＝13﹣＝，∵AH＝＝＝，∴FN＝AH＝，∴DF＝＝＝＝，∴线段DF的长是．故答案为：．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．四、附加题（本题共20分，第26～29题每题3分，第30题8分）26．【分析】OP2＝m2+n2，设t＝m2+n2，则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即m2+n2的值即可．【解答】解：设t＝m2+n2，则由原方程，得（t+1）（t+3）＝15，整理，得t2+4t﹣12＝0，即（t+6）（t﹣2）＝0，解得t＝﹣6（舍去）或t＝2．∵P（m，n），∴OP2＝m2+n2＝2，∴OP＝（负值不合题意，舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．27．【分析】首先确定抛物线与x轴没有交点，再利用抛物线开口方向以及对称轴位置得出顶点的位置．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x﹣c＝0无实数根，∴b2﹣4ac＝4+4c＜0，故二次函数y＝x2+2x﹣c的图象与x轴没有交点，∵二次函数y＝x2+2x﹣c的图象开口向上，对称轴为：直线x＝﹣＝﹣1，∴抛物线顶点在第二象限．故答案为：二．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关性质得出顶点位置是解题关键．28．【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x轴上与y轴上两种情况进行讨论．【解答】解：当抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在x轴上时，Δ＝0，即Δ＝[a（a+2）]2﹣4×9＝0，解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣；当抛物线y＝x2﹣a（a+2）x+9的顶点在y轴上时，x＝﹣＝＝0，解得a＝0或a＝﹣2．故答案为：﹣1+或﹣1﹣或0或﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．29．【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，逐项进行判断即可．【解答】解：由于抛物线的开口向下，因此a＜0，由于抛物线的对称轴是直线x＝1＞0，所以a、b异号，而a＜0，所以b＞0，由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，因此①不正确；由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b﹣a＞c，因此②正确；由抛物线的对称性以及图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；因为对称轴为x＝﹣＝1，即2a+b＝0，而当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，所以3a+c＜0，即3a＜﹣c，因此④不正确；由于抛物线的顶点坐标为（1，a+b+c），即x＝1时，y的值最大，即a+b+c最大，当x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c＜a+b+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），因此⑤正确；综上所述，正确的结论有：②③⑤，故答案为：②③⑤．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．30．【分析】（1）根据新定义“线段AB的垂点”，即可判断得出答案；（2）①当t＝0时，点P（0，1），Q（2，0），则线段PQ的等垂点为M（m，﹣m+b），过点M作MG⊥y轴于点G，过点M′作M′H⊥y轴于点H，可证得△PMG≌△QPO（AAS），进而可得M（1，3）或（﹣1，﹣1），代入M（m，﹣m+b），即可求得b的值；②根据新定义“线段AB的垂点”，线段PQ的垂点一定在直线y＝2x+b′上，分别求得t的最小值和最大值即可得出答案．【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（1，1），∴AB2＝4，∵|CA2﹣CB2|＝|（﹣1﹣0）2+（1﹣4）2﹣[（1﹣0）2+（1﹣4）2]|＝0，∴|CA2﹣CB2|≠AB2，∴点C不是线段AB的垂点；∵|DA2﹣DB2|＝|（1+1）2+（2﹣1）2﹣[（1﹣1）2+（2﹣1）2]|＝4，∴|DA2﹣DB2|＝AB2，∴点D是线段AB的垂点；∵|EA2﹣EB2|＝|（3+1）2+（﹣2﹣1）2﹣[（3﹣1）2+（﹣2﹣1）2]＝12，∴|EA2﹣EB2|≠AB2，∴点E不是线段AB的垂点；∵|FA2﹣FB2|＝|（﹣1+1）2+（﹣1﹣1）2﹣[（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2]＝4，∴|FA2﹣FB2|＝AB2，∴点F是线段AB的垂点；综上所述，点D、F是线段AB的垂点；故答案为：D（1，2），F（﹣1，﹣1）；（2）①当t＝0时，点P（0，1），Q（2，0），设点M是直线y＝﹣x+b上存在的线段PQ的等垂点，则M（m，﹣m+b），过点M作MG⊥y轴于点G，过点M′作M′H⊥y轴于点H，∴MP＝PQ，MP⊥PQ，∴∠PGM＝∠QOP＝90°，∴∠MPG+∠PMG＝90°，∠QPO+∠MPG＝90°，∴∠PMG＝∠QPO，∴△PMG≌△QPO（AAS），∴MG＝OP＝1，PG＝OQ＝2，∴OG＝OP+PG＝1+2＝3，∴M（1，3），∴，解得：；同理可得：M′（﹣1，﹣1），∴，解得：；∴b的值为或﹣；②∵P（t，1），Q（t+2，0）．∴线段PQ的垂点一定在直线y＝2x+b′上，把C（0，4）代入y＝2x+b′，得b′＝4，当Q（t+2，0）在直线y＝2x+4上时，0＝2（t+2）+4，解得：t＝﹣4，把B（1，1）代入y＝2x+b′，得b′＝﹣1，当P（t，1）在直线y＝2x﹣1上时，1＝2t﹣1，解得：t＝1，∴t的取值范围是﹣4≤t＜1；故答案为：﹣4≤t＜1．【点评】本题综合性比较强，考查了学生对平面直角坐标系和点的坐标的理解，要掌握正方形的性质，学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题。

2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级(上)期中数学试卷解析版

2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）在下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a2＝a6B．（ab5）2＝ab10C．a4•a3＝a7D．a10÷a2＝a53．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD4．（3分）若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，则m的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．25．（3分）如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（）A．13B．8C．6D．56．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．607．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°8．（3分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（）A．8个B．9个C．10个D．11个二、填空题（共8题，每小题3分，共24分9．（3分）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠C＝65°，则∠BAD的度数为．11．（3分）计算＝．12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，若BD＝3，则DE＝．13．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，则a＝．14．（3分）已知，如图AB＝AC，∠BAC＝40°，D为AB边上的一点，过D作DF⊥AB，交AC于E，交BC延长线于点F，则∠F＝°．15．（3分）已知，如图，AB＝BC＝6，∠A＝15°，则△ABC的面积为．16．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为4，过AB边上一点P作PN⊥AC于点N，Q为BC延长线上一点，取CQ＝P A，连接PQ交AC于M，则MN的长为．三、解答题（共7小题，共52分）17．（5分）如图，B、C、E、F同一直线上，AB∥CD，BF＝CE，∠A＝∠D．求证：△ABE≌△DCF18．（12分）计算下列各题（1）（x﹣3y）（﹣6x）；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2；（3）（x﹣1）（x+2）；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）19．（5分）已知△ABC，A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）请在同一平面直角坐标系中画出△A1B1C1关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，C2的坐标；（3）直接写出△ABC边上一点M（x，y），经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标．20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作△ADE，AE ＝AD，∠DAE＝90°，连接CE．（1）如图1，若点D在段BC上．求证：∠B＝∠ACE；（2）若BC＝5，CE＝2，直按写出CD的长度．21．（8分）（1）先化简再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）+2y2，其中x＝﹣1，y＝2；（2）已知a2+b2＝3，a﹣b＝1，求①ab；②a+b的值．22．（8分）如果5a＝b，那么称a为b的幂指数，记为a＝λ（b）（1）因为52＝25，所以λ（25）＝2，根据上述规定：λ（5）＝；（2）已知幂指数有如下运算性质：若m，n为正数，则λ（mn）＝λ（m）+λ（n），λ（）＝λ（m）﹣λ（n）．根据以上运算性质：＝（x为正数）．若λ（2）≈0.4，则λ（4）≈，λ（10）≈，λ（）≈；（答案精确到小数点后一位）（3）已知λ（3）＝a，λ（0.14）＝b，λ（）＝c，试用等式表示a，b，c之间的数量关系，并说明理由．23．（8分）在等边△ABC的外侧作直线AP，∠CAP＝α，点C关于AP的对称点为D，连接CD、BD、AD．（1）如图1，若α＝70°，直接写出∠BDC的度数；（2）如图2，若0＜α＜60°，过点D作DE⊥BD交直线AP于点E，①依题意补全图形；②直接写出∠ADB的度数（用含α的代数式表示）；③求证：AE＝BD．二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24．（3分）已知x+＝4，则x2+的值是．25．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为．26．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．27．（4分）如图1，在平面直角坐标系中，我们把d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝AC+BC定义为A（x1，y1）和B （x2，y2）两点之间的非常距离，在图2，图3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．如图2，d（D，E）＝d（D，F）＝3，d（E，F）＝4，我们把到M、N两点非常距离相等的所有点组成的图形叫做M，N两点间的“非常垂直平分线“．如图3，d（M，N）＝，并在图3中画出M、N两点间的“非常垂直平分线”．28．（6分）如图，在等边△ABC中，AB＝8，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），PD⊥AB于D，PE⊥AC 于E，对于△ABC所在平面内一点M，K M＝，我们把K M称为点M的“特征值”．（1）若BP＝CP，则点P的特征值k p＝；（2）若BP＝3CP，则点A的特征值k A＝；（3）试确定点Q的位置，使得当点P运动时，总有点Q的特征值k Q为定值，直接写出这个定值，并证明．2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：B．2．【解答】解：a4与a2不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；（ab5）2＝a2b10，故选项B不合题意；a4•a3＝a7，正确，故选项C符合题意；a10÷a2＝a8，故选项D不合题意．故选：C．3．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．4．【解答】解：（2x+m）（x+2）＝2x2+4x+mx+2m＝2x2+（4+m）x+2m，∵若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，∴4+m＝0，解得：m＝﹣4，故选：A．5．【解答】解：在△ABE和△ECD中∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE＝AB＝5．∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．故选：B．6．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝5，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝45，故选：C．7．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°；②底角是80°．所以底角是50°或80°．故选：C．8．【解答】解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有10个．故选：C．二、填空题（共8题，每小题3分，共24分9．【解答】解：分两种情况：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：17．10．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝65°，∴∠BAD＝25°．故答案为：25°11．【解答】解：原式＝（﹣4×）2018×4×1＝4，故答案为412．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E．∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，∴∠CDE+∠E＝60°．∴∠CDE＝∠E＝30°，∴∠DBE＝∠DEB＝30°，∴DE＝BD＝3．故答案为3．13．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6，∵（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，∴a＝1，故答案为：1．14．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝90°，∴∠B+∠BAG＝90°，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝∠BAG，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴∠BAG＝∠BAC，∴∠F＝∠BAC＝20°，故答案为：2015．【解答】解：∵AB＝BC＝6，∠A＝15°，∴∠ACB＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝30°，过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，∴∠D＝90°，∴CD＝BC＝3，∴△ABC的面积为AB•CD＝×6×3＝9，故答案为：9．16．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFM＝∠QCM，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PN⊥AC，∴AN＝NF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFM和△QCM中，，∴△PFM≌△QCM（AAS），∴FM＝CM，∵AN＝NF，∴NF+FM＝AN+CM，∴AN+CM＝MN＝AC，∵AC＝4，∴MN＝2．故答案为：2．三、解答题（共7小题，共52分）17．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵BF＝CE（已知），∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF．在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）．18．【解答】解：（1）（x﹣3y）（﹣6x）＝﹣6x2+18xy；（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2＝3x2﹣4y；（3）（x﹣1）（x+2）＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2；（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）＝[x+（y﹣3）][x﹣（y﹣3）]＝x2﹣（y﹣3）2＝x2﹣y2﹣9+6y．19．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2，C2的坐标分别为（6，﹣1）和（5，﹣2）；（3）点M（x，y）关于x轴对称的点M1的坐标为（x，﹣y），点M1关于直线m对称的点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．∴经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．20．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE＝2，∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3．21．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+2y2＝2x2+4xy+2y2，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2﹣8+8＝2；（2）①∵a2+b2＝3，a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，即3﹣2ab＝1，解得：ab＝1；②∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，∴a+b＝±．22．【解答】解：（1）因为5a＝b，所以λ（5）＝a．故答案为a．（2）因为λ（mn）＝λ（m）+λ（n），所以＝＝2．∵λ（2）≈0.4，∴λ（4）＝λ（2）+λ（2）≈0.4，λ（10）＝λ（2）+λ（5）≈0.4+1＝1.4，λ（）＝λ（8）﹣λ（25）＝3λ（2）﹣2λ（5）≈3×0.4﹣2＝﹣0.8，故答案为2，0.4，1.4，﹣0.8；（3）λ（0.14）＝λ（14）﹣λ（100）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（10）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（2）﹣2＝λ（7）﹣λ（2）﹣2＝b，λ（）＝λ（63）﹣λ（2）＝λ（7）+λ（9）﹣λ（2）＝λ（7）+2λ（3）﹣λ（2）＝c，∴c＝b+2+2a．23．【解答】解：（1）∵点C关于AP对称点为D，∴AD＝AC，∠CAP＝∠DAP＝70°，∴∠ACD＝∠ADC＝20°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°，∴∠ADB＝10°，∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝30°．答：∠BDC的度数为30°．（2）①如图即为补全的图形．②如图，同（1）∠CAP＝∠DAP＝α，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+2α，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝60°﹣α．答：∠ADB的度数为60°﹣α．③∵AD＝AC＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣（60°﹣α）＝α，∴∠CBD＝∠DAE＝α，∵DE⊥BD，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∵点C关于AP对称点为D，∴CD⊥AP，∴∠CDE+∠AED＝90°，∴∠BDC＝∠AED，∴△BDC≌△AED（AAS）∴BD＝AE．二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24．【解答】解：x2+＝＝16﹣2＝14．故答案为：14．25．【解答】解：如图，连接P A．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝3，∵S△ABC＝•BC•AD＝12，∴AD＝4，∵EF垂直平分AB，∴PB＝P A，∴PB+PD＝P A+PD，∵P A+PD≥AD，∴P A+PD≥4，∴P A+PD的最小值为4，∴△PBD的最小值为4+3＝7，故答案为7．26．【解答】解：△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD＝DE时，∵∠CDE＝30°，∴∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝105°，②当DE＝CE时，∵∠CDE＝30°，∴∠DCE＝∠CDE＝30°，∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝60°．③当EC＝CD时，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意．综上，△ADC可以是等腰三角形，此时∠ADC的度数为60°或105°．故答案为60°或105°．27．【解答】解：由题意：d（M，N）＝4+2＝6，满足条件的点组成的图形如图所示：故答案为6．28．【解答】解：（1）如图1中，连接P A．∵AB＝AC，BP＝PC，∴∠P AB＝∠P AC，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴PD＝PE，∴K P＝＝1，故答案为1．（2）如图2中，设AB＝BC＝AC＝4a，则PB＝3a，PC＝a．∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴∠PEC＝∠PDB＝90°，∵∠B＝∠C＝60°，∴∠DPB＝∠CPE＝30°，∴BD＝PB＝1.5a，EC＝Pc＝0.5a，∴AD＝2.5a，A＝3.5a∴K A＝＝＝．故答案为．（3）如图3中，作AQ⊥BC于Q，连接P A，DQ，QE，取P A的中点Q，连接OD，OQ，OE．∵∠ADP＝∠AQP＝∠AEP＝90°，AO＝OP，∴OD＝OA＝OP＝OQ＝OE，∴A，D，P，Q，E五点共圆，∵AB＝AC，AQ⊥BC，∴∠QAB＝∠QAC，∴＝，∴DQ＝QE，∴K Q＝＝1＝定值，∴点Q即为所求，K Q＝1．。

2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级(下)期中数学试卷

2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）下列图形，①角；②两相交直线；③圆；④平行四边形，其中一定是轴对称图形的有( ) A ．四个B ．三个C ．两个D ．一个2．（3分）2019年被称为中国的5G 元年，如果运用5G 技术下载一个4.8M 的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为( ) A ．40.9610-⨯B ．39.610-⨯C ．59.610-⨯D ．69610-⨯3．（3分）要使4x +有意义，则( ) A ．4x <-B ．4x -C ．4x -D ．4x >-4．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则(DBC ∠=)A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒5．（3分）疫情无情，人有情爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班同学积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表： 金额/元 5 10 30 50 100 人数6171485则他们捐款金额的平均数和中位数分别是( ) A ．39，10B ．39，30C ．30.4，30D ．30.4，106．（3分）如图，在ABC ∆中，D 是BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC的长为()A．14B．13C．12D．97．（3分）设计一个摸球游戏，先在一个不透明的小盒子中放入5个白球，如果希望从中任意摸出一个球，是白球的概率为14，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（游戏用球除颜色外均相同）()A．5B．10C．15D．208．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E连接CE，若平行四边形ABCD的周长为30，则CDE∆的周长为()A．25B．20C．15D．10二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）9．（3分）等腰三角形一个角等于100︒，则它的一个底角是︒．10．（3分）若点(,3)P a-在第四象限，且到原点的距离是5，则a=．11．（3分）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，60BAC ADC∠=∠=︒，若4CD=，则BD=．12．（3分）如果分式32a--的值大于0，那么a的取值范围是．13．（3分）在平行四边形ABCD中，10AC=，6BD=，AD a=，那么a的取值范围是．14．（3分）清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学一共有x 人，则可列分式方程 ．15．（3分）大成蔬菜公司以2.1元/千克的成本价购进10000kg 番茄，公司想知道番茄的损坏率，从所有随机抽取若干进行统计，部分结果如表： 番茄总质量()m kg 100 200 300 400 500 10000 损坏番茄质量()m kg 10.60 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10 番茄损坏的频率0.1060.0970.1020.0980.0990.101估计这批番茄损坏的概率为 （精确到0.1)，据此，若公司希望这批番茄能获得利润15000元，则销售时（去掉损坏的番茄）售价应至少定为 元/千克．16．（3分）如图，在ABCD 中，10AB =，6AD =，AC BC ⊥．则BD = ．三、解答题（共7小题，共52分）17．如图，D 为ABC ∆中BC 边上一点，AB CB =，AC AD =，21BAD ∠=︒，求C ∠的度数．18．计算：（101112|13(2013)()2---+；（2）4545832． 19．先化简，再求值：21(1)121aa a a -÷+++，其中31a =-． 20．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是AB 上一点，G 是CD 上一点，满足AF CG =． （1）求证：ADF CBG ∆≅∆；（2）分别延长BG、AD交于点E，若45∠=︒，求BGC∠的度数．C∠=︒，60E21．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：甲乙射击成绩统计表平均数中位数方差命中10环的次数甲70乙7.5 5.41甲乙射击成绩折线图（1）请补全上述图表（请直接在统计表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，则胜出，理由是；（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？说明理由．22．如图1，在ABC⊥于N，点M是线段ANAB=，6BC=，AN BC=，8∆中，AB AC上一动点，点D与点M在直线AC两侧，AD AB⊥，AD BC=，=，点E在AC边上，CE AM连接MD，BE，BM．（1）依题意，补全图形；（2）求证：MD BE=；（3）请在图2中画出图形，确定点M的位置，使得BM BE++有最小值，并直接写出BM BE 的最小值为．23．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：2322(12)+=+，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：2223221212(2)(12)+=+⨯⨯+=+．请你仿照小明的方法解决下列问题：（1）2743(3)a b -=-，则a = ，b = ； （2）已知x 是232-的算术平方根，求2442020x x +-的值； （3）当12x 时，化简2121x x x x +-+--= ． 四、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 24．（3分）若关于x 的方程1101ax x +-=-的解为正数，则a 的取值范围是 ． 25．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则ACB DCE ∠-∠= ︒（点A 、B 、C 、D 、E 是网格线交点）．26．（3分）如图四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，2AD =，5CD =，则BD 的长为 ．27．（3分）已知6x y +=，3xy =-且x y >x yy x--= ．28．（3分）在四边形ABCD中，90∠=∠=︒．A C（1）如图1，若1AB=，3CD=，求BC的长；AD=，2（2）如图2，若BC CD∠；=，连接AC，求证：AC平分DAB（3）如图3，在（2）的条件下，若3AD=，直接写出AC的长度为．AB=，52019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）下列图形，①角；②两相交直线；③圆；④平行四边形，其中一定是轴对称图形的有( ) A ．四个B ．三个C ．两个D ．一个【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：一定是轴对称图形的有：①角；②两相交直线；③圆； 故选：B ．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合．常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆．2．（3分）2019年被称为中国的5G 元年，如果运用5G 技术下载一个4.8M 的短视频，大约只需要0.000096秒，将数字0.000096用科学记数法表示应为( ) A ．40.9610-⨯B ．39.610-⨯C ．59.610-⨯D ．69610-⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：50.0000969.610-=⨯， 故选：C ．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -⨯，其中1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3( ) A ．4x <-B ．4x -C ．4x -D ．4x >-【分析】根据二次根式有意义的条件可得40x +，再解即可． 【解答】解：由题意得：40x +， 解得：4x -， 故选：C ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．4．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若40A ∠=︒，则(DBC ∠=)A ．40︒B ．30︒C ．20︒D ．10︒【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【解答】解：AB AC =，40A ∠=︒，1(18040)702ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒，AD BD =，40ABD A ∴∠=∠=︒，30DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒，故选：B ．【点评】本题考查基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．5．（3分）疫情无情，人有情爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班同学积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如表： 金额/元 5 10 30 50 100 人数6171485则他们捐款金额的平均数和中位数分别是( )A ．39，10B ．39，30C ．30.4，30D ．30.4，10【分析】根据表格中的数据，可以求得这组数据的中位数和平均数，本题得以解决． 【解答】解：1(56101730145081005)30.450x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 中位数是：30， 故选：C ．【点评】本题考查中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数和加权平均数．6．（3分）如图，在ABC ∆中，D 是BC 上一点，已知15AB =，12AD =，13AC =，5CD =，则BC 的长为( )A ．14B ．13C ．12D ．9【分析】在ADC ∆中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出ADC ∆为直角三角形，可得出AD 与BC 垂直，在直角三角形ABD 中，由勾股定理求出BD ，再根据线段的和差关系即可求解． 【解答】解：12AD =，13AC =，5CD =，2169AC ∴=，2214425169AD CD +=+=，即222AD CD AC +=，ADC ∴∆为直角三角形，且90ADC ∠=︒， 90ADB ∴∠=︒， 15AB =，12AD =，222215129BD AB AD ∴=--=， 9514BC BD CD ∴=+=+=．故选：A ．【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．7．（3分）设计一个摸球游戏，先在一个不透明的小盒子中放入5个白球，如果希望从中任意摸出一个球，是白球的概率为14，那么应该向盒子中再放入多少个其他颜色的球（游戏用球除颜色外均相同）( ) A ．5B ．10C ．15D ．20【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，解答即可．【解答】解：设应该向盒子中再放入x 个其他颜色的球，由题意得： 5154x =+， 解得：15x =，经检验15x =是原方程的解，∴应该向盒子中再放入15个其他颜色的球．故选：C ．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n=． 8．（3分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E 连接CE ，若平行四边形ABCD 的周长为30，则CDE ∆的周长为( )A ．25B ．20C ．15D ．10【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE CE =，又15AB BC AD CD +=+=，继而可得CDE ∆的周长等于AD CD +．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，AD BC =，平行四边形ABCD 的周长为30， 15AD CD ∴+=， OE AC ⊥， AE CE ∴=，CDE ∴∆的周长为：15CD CE DE CD CE AE AD CD ++=++=+=．故选：C ．【点评】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）9．（3分）等腰三角形一个角等于100︒，则它的一个底角是 40 ︒．【分析】由条件可知该角只能为顶角，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求得底角．【解答】解：该角为100︒，∴这个角只能是等腰三角形的顶角， ∴该等腰三角形的顶角为100︒， ∴底角为180100402︒-︒=︒， 故答案为：40．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 10．（3分）若点(,3)P a -在第四象限，且到原点的距离是5，则a = 4 ．【分析】由勾股定理列出方程22235a +=，根据第四象限内点的坐标特征求出a 的值． 【解答】解：点(,3)P a -到原点的距离是5， 22235a ∴+=． 4a ∴=±．点(,3)P a -在第四象限， 4a ∴=．故答案为：4．【点评】本题考查了勾股定理，两点间距离公式的运用，第四象限内点的坐标特征，熟练解方程是解题的关键．11．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，60BAC ADC ∠=∠=︒，若4CD =，则BD = 8 ．【分析】根据90C ∠=︒，60BAC ADC ∠=∠=︒，可以得到B ∠、DAC ∠和DAB ∠的度数，然后即可得到AD BD =，再根据4CD =，DAC ∠和C ∠的度数，即可得到AD 的长，从而可以得到BD 的长．【解答】解：90C ∠=︒，60BAC ADC ∠=∠=︒， 30B ∴∠=︒，30DAC ∠=︒， 30DAB ADC B ∴∠=∠-∠=︒，DAB B ∴∠=∠， AD BD ∴=，又4CD =，30CAD ∠=︒，90C ∠=︒， 8AD ∴=， 8BD ∴=，故答案为：8．【点评】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质、含30度角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．（3分）如果分式32a --的值大于0，那么a 的取值范围是 2a < ． 【分析】根据题意列出不等式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：20a -<， 2a ∴<，故答案为：2a <．【点评】本题考查分式，解题的关键是正确列出不等式解出a 的范围，本题属于基础题型． 13．（3分）在平行四边形ABCD 中，10AC =，6BD =，AD a =，那么a 的取值范围是 28a << ．【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得5AO =，3DO =，再根据三角形的三边关系可得5353AD -<<+，再解即可．【解答】解：设平行四边形ABCD 对角线相交于点O ， 四边形ABCD 是平行四边形，10AC =，6BD =， 152AO AC ∴==，132DO BD ==， 5353AD ∴-<<+，解得：28AD<<，即28a<<．故答案为：28a<<．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．注意平行四边形的对角线互相平分．14．（3分）清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学一共有x人，则可列分式方程600600105x x-=-．【分析】根据人均费用=总租金÷人数结合增加5名同学后人均车费少了10元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：600600105x x-=-．故答案为：600600105x x-=-．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．15．（3分）大成蔬菜公司以2.1元/千克的成本价购进10000kg番茄，公司想知道番茄的损坏率，从所有随机抽取若干进行统计，部分结果如表：番茄总质量()m kg10020030040050010000损坏番茄质量()m kg10.6019.4230.6339.2449.54101.10番茄损坏的频率0.1060.0970.1020.0980.0990.101估计这批番茄损坏的概率为0.1（精确到0.1)，据此，若公司希望这批番茄能获得利润15000元，则销售时（去掉损坏的番茄）售价应至少定为元/千克．【分析】根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计番茄的损坏概率为0.1；根据概率计算出完好番茄的质量为100000.99000⨯=千克，设每千克番茄的销售价为x元，然后根据“售价=进价+利润”列方程解答．【解答】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，番茄损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以这批番茄损坏的概率为0.1；根据估计的概率可以知道，在10000千克番茄中完好番茄的质量为100000.99000⨯=千克，设每千克番茄的销售价为x元，则应有9000 2.11000015000x=⨯+，解得：4x=，答：出售番茄时每千克大约定价为4元可获利润15000元．故答案为：0.1，4．【点评】本题考查了利用频率估计概率：用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比，得到售价的等量关系是解决第二问的关键．16．（3分）如图，在ABCD中，10⊥．则BD=413．AD=，AC BCAB=，6【分析】由BC AC==，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，⊥，10BC ADAB=，6然后由勾股定理求得OB的长即可．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，=，6=，OA OC∴==，OB ODBC AD⊥，AC BC228∴=-=，AC AB BC∴=，OC422213∴=+=，OB OC BC∴==BD OB2413故答案为：413【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题（共7小题，共52分）17．如图，D 为ABC ∆中BC 边上一点，AB CB =，AC AD =，21BAD ∠=︒，求C ∠的度数．【分析】设C α∠=，根据AB CB =，AC AD =，即可得出BAC C α∠=∠=，ADC C α∠=∠=，再根据三角形内角和定理，即可得到C ∠的度数． 【解答】解：设C α∠=， AB CB =，AC AD =，BAC C α∴∠=∠=，ADC C α∠=∠=，又21BAD ∠=︒， 21CAD α∴∠=-︒，ACD ∆中，180DAC ADC C ∠+∠+∠=︒， 21180ααα∴-︒++=︒， 67α∴=︒， 67C ∴∠=︒．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往要用到三角形内角和定理等隐含条件． 18．计算：（101112|13(2013)()2---+；（2）4545832．【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简进而合并得出答案． 【解答】解：（1）原式233112=-+ 33=（2）原式45352242=+-+7522=+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．19．先化简，再求值：21(1)121aa a a-÷+++，其中31a=-．【分析】先根据分式的混合运算化简后，再代入求值即可．【解答】解：原式211(1)1a aa a+-+=+1a=+，把31a=-代入13a+=．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．20．如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，G是CD上一点，满足AF CG=．（1）求证：ADF CBG∆≅∆；（2）分别延长BG、AD交于点E，若45E∠=︒，60C∠=︒，求BGC∠的度数．【分析】（1）由SAS证明ADF CBG∆≅∆即可；（2）由平行线的性质得出45CBG E∠=∠=︒，再由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，A C∴∠=∠，AD CB=，//AD BC，在ADF∆和CBG∆中，AD CBA CAF CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF CBG SAS∴∆≅∆；（2）解：//AD BC，45CBG E∴∠=∠=︒，60C∠=︒，180180604575BGC C CBG∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：甲乙射击成绩统计表平均数中位数方差命中10环的次数甲770乙7.5 5.41甲乙射击成绩折线图（1）请补全上述图表（请直接在统计表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，则胜出，理由是；（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？说明理由．【分析】（1）分别利用中位数以及方差和平均数求法得出即可；（2）根据（1）计算出的甲乙两人的方差，比较大小即可做出判断；（3）希望乙胜出，修改规则，使乙获胜的概率大于甲即可．【解答】解：（1）根据折线统计图得：乙的射击成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，则平均数为：1(24687789910)710+++++++++=（环)，甲的射击成绩为9，6，7，6，5，7，7，？，8，9，平均数为7环，则甲第八环成绩为70(967657789)6-++++++++=（环)，所以甲的10次成绩为：9，6，7，6，5，7，7，6，8，9，把这些数从小到大排列为5，6，6，6，7，7，7，8，9，9，则中位数是：7772+=（环)， 甲的方差为：222221[2(97)3(67)3(77)(57)(87)] 1.610⨯-+⨯-+⨯-+-+-=； 补统计表如下：平均数 中位数 方差 命中10环的次数甲 7 7 1.6 0 乙77.55.41补全折线统计图如下：故答案为：7，1.6，7；（2）由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，故甲胜出； 故答案为：甲，由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定；（3）如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环(10环）次数多者胜出．因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，有可能乙的射击成绩越来越好．【点评】此题考查了折线统计图，中位数，方差，平均数，以及统计表，弄清题意是解本题的关键．22．如图1，在ABC ∆中，AB AC =，8AB =，6BC =，AN BC ⊥于N ，点M 是线段AN 上一动点，点D 与点M 在直线AC 两侧，AD AB ⊥，AD BC =，点E 在AC 边上，CE AM =，连接MD ，BE ，BM ． （1）依题意，补全图形；（2）求证：MD BE=；（3）请在图2中画出图形，确定点M的位置，使得BM BE++有最小值，并直接写出BM BE 的最小值为10．【分析】（1）根据题意作出图形即可求解；（2）根据SAS可证AMD CEB∆≅∆，再根据全等三角形的性质即可求解；（3）由题意BM BE BM DM+的值最小，最小值+=+，推出B，M，D共线时，BE BM为BD的长．【解答】（1）解：如图1所示：（2）证明：如图1中，AN BC=，⊥，AB AC∴∠=∠．BAM CAM⊥，AD AB∴∠+∠=︒．MAD BAM90∴∠+∠=︒MAD CAM90∴∠+∠=︒．C CAM90∴∠=∠，MAD C又AM CE=，=，AD BC∴∆≅∆，AMD CEB SAS()∴=．MD BE（3）点M 的位置如图2，8AB =，6BC =， 6AD BC ∴==，22228610BD AB AD ∴=++=，MD BE =，BM BE BM DM ∴+=+，B ∴，M ，D 共线时，BE BM +的值最小，最小值为BD 的长， BM BE ∴+的最小值为10．故答案为10．【点评】主要考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．23．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：2322(12)+，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：222321212(2)(12)++⨯=．请你仿照小明的方法解决下列问题：（1）273(3)a -=-，则a = 2 ，b = ； （2）已知x 23-的算术平方根，求2442020x x +-的值； （3）当12x 2121x x x x +--- ．【分析】（1）利用完全平方公式得到222732223(3)(23)-=-⨯=，从而得到a 、b 的值；（2）根据算术平方根的定义得到x=，利用题中的方法化简得到x=，再利用代数式变形得到2442x x+=，然后利用整体代入的方法计算2442020x x+-的值；（3）利用完全平方公式得到原式=，化简得到原式1|1|=+，然后根据x的范围去绝对值后合并即可．故答案为2，1；2．【解答】解：（1）2227222(2-=-⨯=-，2a∴=，1b=；（2）根据题意得x=，21x∴+=2(21)3x∴+=，2442x x∴+=，24420202220202018x x∴+-==-=-；（3）原式=1|1|=+，12x，∴原式11=+-2=．故答案为2，1；2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．四、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）24．（3分）若关于x的方程1101axx+-=-的解为正数，则a的取值范围是1a<且1a≠-．【分析】先求得方程的解，再解0x>，求出a的取值范围．【解答】解：解方程1101axx+-=-，得21xa=-，关于x的方程1101axx+-=-的解为正数，x ∴>，即21a>-，当10x-=时，1x=，代入得：1a=-．此为增根，1a∴≠-，解得：1a<且1a≠-．故答案为：1a<且1a≠-．【点评】本题主要考查了解分式方程及解不等式，难度适中．25．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则ACB DCE∠-∠=45︒（点A、B、C、D、E是网格线交点）．【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得90CGA∠=︒，从而知CGA∆是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：ACB DCE CAG∠-∠=∠，即可得解．【解答】解：如图，连接CG、AG，由勾股定理得：2222125AG CG==+=，2221310AC=+=，222AG CG AC∴+=，90CGA∴∠=︒，CAG∴∆是等腰直角三角形，45CAG∴∠=︒，//AF AB，CAF BCA∴∠=∠，在AFG∆和CDE∆中，90AF CD AFG CDE FG DE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AFG CDE SAS ∴∆≅∆，FAG DCE ∴∠=∠，45ACB DCE CAF FAG CAG ∴∠-∠=∠-∠=∠=︒．故答案为：45．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（3分）如图四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，2AD =，5CD =，则BD的长为 213 ．【分析】延长BA 、CD 交于E ，求出E ∠，求出DE 、CE 长，在Rt CBE ∆中，求出BC ，在Rt CBD ∆中，根据勾股定理求出BD 即可．【解答】解：延长BA 、CD 交于E ，90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，180906030E ∴∠=︒-︒-︒=︒，24DE AD ∴==，549CE CD DE ∴=+=+=，tan CE ABC BC ∠=， 9tan 60BC∴︒=，33BC ∴=．在Rt BCD ∆中，由勾股定理得：2222(33)5213BD BC CD =+=+=．故答案为：213．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中．27．（3分）已知6x y +=，3xy =-且x y >x y y x --= 4 ． 【分析】根据有理数的加法法则、乘法法则得到0x >，0y <，根据完全平方公式求出x y -，根据二次根式的加法法则化简，代入计算即可．【解答】解：6x y +=，3xy =-，x y >，0x ∴>，0y <，2()443x y x y xy ∴-+-=x y y x--xy xy --=+ y x xy xy -=- 433=4=，故答案为：4．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．28．（3分）在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．（1）如图1，若1AB =，3AD =，2CD =，求BC 的长；（2）如图2，若BC CD =，连接AC ，求证：AC 平分DAB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，若3AB =，5AD =，直接写出AC 的长度为 42 ．【分析】（1）根据勾股定理求出BD ，再求出BC 即可；（2）连接AC ，过点C 作CF AD ⊥于F ，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于E ，可得出四边形AECF 是矩形，然后证明()CFD CEB AAS ∆≅∆，求出CF CE =，则四边形AECF 是正方形，根据正方形的性质可得结论；（3）根据全等三角形的性质和正方形的性质求出1BE =，可得正方形AECF 的边长为4，然后根据勾股定理可求出AC 的长度．【解答】解：（1）90A C ∠=∠=︒，1AB =，3AD =，2CD =，22221(3)2BD AB AD ∴=+=+=，22222(2)2BC BD CD ∴=-=-=；（2）连接AC ，过点C 作CF AD ⊥于F ，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于E ，则90CFA FAE AEC ∠=∠=∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，90FCE ∴∠=︒，90DCB ∠=︒，DCF BCE ∴∠=∠，又90CFD CEB ∠=∠=︒，CD CB =，()CFD CEB AAS ∴∆≅∆，CF CE ∴=，∴四边形AECF 是正方形， AC 是对角线，AC ∴平分DAB ∠；（3）由（2）可知，CFD CEB ∆≅∆，DF BE ∴=，四边形AECF 是正方形，3AB =，5AD =，AE AF ∴=，即AB BE AD DF +=-，35BE BE ∴+=-，1BE ∴=，4AE ∴=，AC ∴==故答案为：【点评】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定与性质是解题的关键．。

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