理科数学2010-2019高考真题分类训练30专题十 计数原理第三十讲 排列与组合—附解析答案
2019年高考数学真题分类汇编专题13：排列组合与概率统计(基础题含解析)
2019年高考数学真题分类汇编专题13：排列组合与概率统计（基础题）一、单选题1.（2019•浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时（）A. D（X）增大B. D（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大2.（2019•全国Ⅲ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A. B. C. D.3.（2019•全国Ⅲ）(1+2x2)(1+x)2的展开式中x3的系数为（）A. 12B. 16C. 20D. 244.（2019•卷Ⅱ）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。
若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A. B. C. D.5.（2019•卷Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差6.（2019•卷Ⅰ）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，……，1000。
从这些新生中用系统抽样方法等距抽取1000名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生7.（2019•卷Ⅰ）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--"，下图就是一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A. B. C. D.二、填空题8.（2019•江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.9.（2019•江苏）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.10.（2019•卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.11.（2019•卷Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题10 立体几何
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题10立体几何1.(2019·浙江·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3)是( )A.158B.162C.182D.324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+62×3+4+62×3×6=162.2.(2019·全国1·理T12)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为( ) A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π【答案】D【解析】设PA=PB=PC=2x. ∵E,F 分别为PA,AB 的中点, ∴EF ∥PB,且EF=12PB=x.∵△ABC 为边长为2的等边三角形, ∴CF=√3.又∠CEF=90°,∴CE=√3-x 2,AE=12PA=x. 在△AEC 中,由余弦定理可知cos ∠EAC=x 2+4-(3-x 2)2×2·x .作PD ⊥AC 于点D,∵PA=PC,∴D 为AC 的中点,cos ∠EAC=AD PA =12x . ∴x 2+4-3+x 24x=12x. ∴2x 2+1=2.∴x 2=12,即x=√22. ∴PA=PB=PC=√2. 又AB=BC=AC=2, ∴PA ⊥PB ⊥PC. ∴2R=√2+2+2=√6. ∴R=√62. ∴V=43πR 3=43π×6√68=√6π.故选D.3.(2019·全国2·理T7文T7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.4.(2019·全国3·理T8文T8)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN 是相交直线B.BM ≠EN,且直线BM,EN 是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN 是异面直线D.BM ≠EN,且直线BM,EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图,连接BD,BE.在△BDE 中,N 为BD 的中点,M 为DE 的中点, ∴BM,EN 是相交直线,排除选项C 、D. 作EO ⊥CD 于点O,连接ON. 作MF ⊥OD 于点F,连接BF.∵平面CDE ⊥平面ABCD,平面CDE ∩平面ABCD=CD,EO ⊥ CD,EO ⊂平面CDE,∴EO ⊥平面ABCD. 同理,MF ⊥平面ABCD.∴△MFB 与△EON 均为直角三角形. 设正方形ABCD 的边长为2,易知 EO=√3,ON=1,MF=√32,BF=√22+94=52, 则EN=√3+1=2,BM=√34+254=√7,∴BM ≠EN.故选B.5.(2019·浙江·T8)设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P-AC-B 的平面角为γ,则( ) A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β 【答案】B【解析】如图G 为AC 中点,点V 在底面ABC 上的投影为点O,则点P 在底面ABC 上的投影点D 在线段AO 上,过点D 作DE 垂直AE,易得PE ∥VG,过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F,过点D 作DH ∥AC,交BG 于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cos α=PFPB=EG PB=DH PB<BDPB=cos β,所以α>β,因为tan γ=PDED>PDBD=tan β,所以γ>β.故选B.6.(2018·全国3·理T10文T12)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A.12√3 B.18√3C.24√3D.54√3【答案】B【解析】由△ABC 为等边三角形且面积为9√3,设△ABC 边长为a,则S=12a ·√32a=9√3.∴a=6,则△ABC 的外接圆半径r=√32×23a=2√3<4. 设球的半径为R,如图,OO 1=√R 2-r 2=√42-(2√3)2=2.当D 在O 的正上方时,V D-ABC =1S △ABC ·(R+|OO 1|)=1×9√3×6=18√3,最大.故选B.7.(2018·全国1·理T7文T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A.2√17 B.2√5 C.3 D.2【答案】B【解析】如图所示,易知N 为CD⏜的中点,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M 到N 的路程中最短路径为MN.在Rt△MCN中,MN=√MC2+NC2=2√5.8.(2018·全国3·理T3文T3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应为A中图形.9.(2018·北京·理T5文T6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由该四棱锥的三视图,得其直观图如图.由正视图和侧视图都是等腰直角三角形,知PD⊥平面ABCD,所以侧面PAD和PDC都是直角三角形.由俯视图为直角梯形,易知DC⊥平面PAD.又AB∥DC,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,所以侧面PAB也是直角三角形.易知PC=2√2,BC=√5,PB=3,从而△PBC不是直角三角形.故选C.10.(2018·上海·T15)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图.若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】设正六棱柱为ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以侧面AA1B1B,AA1F1F为底面矩形的阳马有E-AA 1B 1B,E 1-AA 1B 1B,D-AA 1B 1B,D 1-AA 1B 1B,C-AA 1F 1F,C 1-AA 1F 1F,D-AA 1F 1F,D 1-AA 1F 1F,共8个,以对角面AA 1C 1C,AA 1E 1E 为底面矩形的阳马有F-AA 1C 1C,F 1-AA 1C 1C,D-AA 1C 1C,D 1-AA 1C 1C,B-AA 1E 1E,B 1-AA 1E 1E,D-AA 1E 1E,D 1-AA 1E 1E,共8个,所以共有8+8=16(个),故选D.11.(2018·全国1·文T10)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( ) A.8 B.6√2 C.8√2 D.8√3【答案】C【解析】在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB ⊥平面BCC 1B 1,连接BC 1,则∠AC 1B 为AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角,∠AC 1B=30°,所以在Rt △ABC 1中,BC 1=AB tan∠AC 1B =2√3,又BC=2,所以在Rt △BCC 1中,CC 1=√(2√3)2-22=2√2, 所以该长方体体积V=BC ×CC 1×AB=8√2.12.(2018·全国2·理T9)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=√3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B.√56C.√55D.√22【答案】C【解析】以DA,DC,DD 1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图, 则D 1(0,0,√3),A(1,0,0),D(0,0,0),B 1(1,1,√3).∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3),DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3).设异面直线AD 1与DB 1所成的角为θ. ∴cos θ=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|2×√5|=√55.∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为√55.13.(2018·全国2·文T9)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CC 1的中点,则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.√22 B.√32C.√52D.√72【答案】C【解析】如图,因为AB∥CD,所以AE与CD所成的角为∠EAB. 在Rt△ABE中,设AB=2,则BE=√5,则tan∠EAB=BEAB =√52,所以异面直线AE与CD所成角的正切值为√52.14.(2018·全国1·文T5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )A.12√2πB.12πC.8√2πD.10π【答案】B【解析】过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=2√2,r=√2,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.15.(2018·浙江·T3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.16.(2017·全国2·理T4文T6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π【答案】B【解析】由三视图知,该几何体是一个圆柱截去一部分所得,如图所示.其体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×12=63π.17.(2017·全国1·理T7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S 梯=(2+4)×2÷2=6,所以这些梯形的面积之和为12.18.(2017·全国2·理T10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.√32 B.√155C.√105D.√33【答案】C【解析】方法一:把三棱柱ABC-A 1B 1C 1补成四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,如图, 连接C 1D,BD,则AB 1与BC 1所成的角为∠BC 1D. 由题意可知BC 1=√2,BD=√22+12-2×2×1×cos60°=√3,C 1D=AB 1=√5.可知B C 12+BD 2=C 1D 2,所以cos ∠BC 1D=√2√5=√105,故选C.方法二:以B 1为坐标原点,B 1C 1所在的直线为x 轴,垂直于B 1C 1的直线为y 轴,BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 由已知条件知B 1(0,0,0),B(0,0,1),C 1(1,0,0),A(-1,√3,1),则BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3,-1).所以cos<AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×√2=√105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√105.19.(2017·北京·理T7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3√2B.2√3C.2√2D.2【答案】B【解析】由题意可知,直观图为四棱锥A-BCDE(如图所示),最长的棱为正方体的体对角线AE=√22+22+22=2√3.故选B.20.(2017·全国3·理T8文T9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( ) A .π B.3π4C.π2D.π4【答案】B【解析】由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC=1,AB=12,底面圆的半径r=BC=√32,所以圆柱的体积是V=πr 2h=π×(√32)2×1=3π4,故选B.21.(2017·全国1·文T6)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )【答案】A【解析】易知选项B 中,AB ∥MQ,且MQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;选项C 中,AB ∥MQ,且MQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ;选项D 中,AB ∥NQ,且NQ ⊂平面MNQ,AB ⊄平面MNQ,则AB ∥平面MNQ,故排除选项B,C,D;故选A.4.(2016·浙江·理T2文T2)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( ) A.m ∥l B.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 【答案】C【解析】对于选项A,∵α∩β=l ,∴l ⊂α,∵m ∥α,∴m 与l 可能平行,也可能异面,故选项A 不正确; 对于选项B,D,∵α⊥β,m ∥α,n ⊥β,∴m 与n 可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D 不正确. 对于选项C,∵α∩β=l ,∴l ⊂β. ∵n ⊥β,∴n ⊥l.故选C.22.(2016·天津·文T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )【答案】B【解析】由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示.易知其左视图为B 项中图.故选B.23.(2016·全国3·理T10文T11)在封闭的直三棱柱ABC-A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC,AB=6,BC=8,AA 1=3,则V 的最大值是( ) A.4π B.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】先计算球与直三棱柱三个侧面相切的球的半径,再和与直三棱柱两底面相切的球的半径相比较,半径较小的球即为所求.设球的半径为R,∵AB ⊥BC,AB=6,BC=8,∴AC=10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时,有12(6+8+10)×R=12×6×8,此时R=2;当球与直三棱柱两底面相切时,有2R=3,此时R=32.所以在封闭的直三棱柱中,球的最大半径只能为32,故最大体积V=4π(3)3=9π.24.(2016·全国1·文T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB. πC.8πD.4π【答案】A【解析】设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故2r=2则r=√3.所以该球的表面积为4π×(√3)2=12π,故选A.25.(2016·全国1·理T11文T11)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A.√32B.√22C.√33D.13【答案】A【解析】∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成的角的正弦值为√32.26.(2016·全国1·理T6文T7)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则78×4π3×R 3=28π3,解得R=2,故其表面积为78×4πR 2+34×πR 2=14π+3π=17π. 27.(2016·全国2·理T6文T7)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A.20πB.24πC.28πD.32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为S=π×(42)2+4π×4+12×4π×√(2√3)2+22=28π,故选C.28.(2016·全国3·理T9文T10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( ) A.18+36√5 B.54+18√5 C.90D.81【答案】B【解析】由题意知该几何体为四棱柱,且四棱柱的底面是边长为3的正方形,侧棱长为3√5,所以所求表面积为(3×3+3×6+3×3√5)×2=54+18√5,故选B.29.(2016·山东·理T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( ) A.1+2πB.1+√2πC.1+√2πD.1+√2π【答案】C【解析】由三视图可知,上面是半径为√22的半球,体积为V 1=12×43π×(√22)3=√2π6,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V 2=13×1×1=13,故选C.30.(2016·北京·理T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D.1【答案】A【解析】由三视图可得,三棱锥的直观图如图,则该三棱锥的体积V=13×12×1×1×1=16,故选A.31.(2015·全国1·理T6文T6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛 【答案】B【解析】设底面圆弧半径为R,∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π. ∴体积V=14×13π×(16π)2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛). 32.(2015·全国2·理T6文T6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15【答案】D【解析】由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.33.(2015·重庆·理T5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.13+π B.23+π C.13+2πD.23+2π【答案】A【解析】由题中三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V 1=13×12×2×1×1=13;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V 2=π·12·2·12=π,所以该几何体的体积V=V 1+V 2=13+π.34.(2015·浙江·理T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( ) A.8 cm 3 B.12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3【答案】C【解析】由题中三视图知该几何体是一个正方体与正四棱锥的组合体,其中正方体与正四棱锥的底面边长为2 cm,正四棱锥的高为2 cm,则该几何体的体积V=2×2×2+13×2×2×2=323(cm 3),故选C.35.(2015·山东·理T7)在梯形ABCD 中,∠ABC=π2,AD ∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D.2π【答案】C【解析】由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥,如图所示. V 圆柱=π×12×2=2π,V 圆锥=13×π×12×1=π3. ∴V 几何体=V 圆柱-V 圆锥=2π-π3=5π3.36.(2015·湖南·文T10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.827πC.24(√2-1)3πD.8(√2-1)3π【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=√l 2-r 2=2√2.故该圆锥的体积V=π3×12×2√2=2√2π3.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH 的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN 中,由O 1G ∥ON可得,O 1GON=SO 1SO ,即√22x 1=√2-2√2,解得x=2√23.所以正方体的体积为V 1=(2√23)3=16√227.所以该工件的利用率为V1V =16√22722π3=89π.故选A.37.(2015·全国1·理T11文T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.4D.8【答案】B【解析】由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表=2r ×2r+2×12πr 2+πr ×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π, 解得r=2.38.(2015·北京·理T5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( ) A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5【答案】C【解析】作出三棱锥的直观图如图,在△ABC 中,作AB 边上的高CD,连接SD.在三棱锥S-ABC 中,SC ⊥底面ABC,SC=1,底面三角形ABC 是等腰三角形,AC=BC=√5,AB 边上的高CD=2,AD=BD=1,斜高SD=√5.所以S 表=S △ABC +S △SAC +S △SBC +S △SAB =12×2×2+12×1×√5+12×1×√5+12×2×√5=2+2√5. 39.(2015·陕西·理T5文T5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S 1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S 2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S 1+2S 2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.40.(2015·浙江·理T8)如图,已知△ABC,D 是AB 的中点,沿直线CD 将△ACD 翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B 的平面角为α,则( ) A.∠A'DB ≤α B.∠A'DB ≥α C.∠A'CB ≤α D.∠A'CB ≥α【答案】B【解析】设∠ADC=θ,设AB=2,则由题意AD=BD=1. 在空间图形中,设A'B=t.在△A'BD 中, cos ∠A'DB=A 'D 2+DB 2-AB 22A 'D×DB =12+12-t 22×1×1=2-t 22. 在空间图形中,过A'作A'N ⊥DC,过B 作BM ⊥DC,垂足分别为N,M.过N 作NP MB,连接A'P,所以NP ⊥DC. 则∠A'NP 就是二面角A'-CD-B 的平面角, 所以∠A'NP=α.在Rt △A'ND 中,DN=A'Dcos ∠A'DC=cos θ,A'N=A'Dsin ∠A'DC=sin θ. 同理,BM=PN=sin θ,DM=cos θ.故BP=MN=2cos θ. 显然BP ⊥面A'NP,故BP ⊥A'P.在Rt △A'BP 中,A'P 2=A'B 2-BP 2=t 2-(2cos θ)2=t 2-4cos 2θ.在△A'NP 中,cos α=cos ∠A'NP=A 'N 2+NP 2-A 'P 22A 'N×NP=sin 2θ+sin 2θ-(t 2-4cos 2θ)=2+2cos 2θ-t 22=2-t 22+cos 2θ2=12cos ∠A'DB+cos 2θ2. 因为1sin 2θ≥1,cos 2θsin 2θ≥0,所以cos α≥cos∠A'DB (当θ=π2时取等号),因为α,∠A'DB ∈[0,π],而y=cos x 在[0,π]上为递减函数,所以α≤∠A'DB.故选B.41.(2015·全国2·理T9文T10)已知A,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为 ( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】因为∠AOB=90°,所以S △AOB =12R 2. 因为V O-ABC =V C-AOB ,而△AOB 面积为定值,所以三棱锥底面OAB 上的高最大时,其体积最大.因为高最大为半径R,所以V C-AOB =13×12R 2×R=36,解得R=6,故S 球=4πR 2=144π.42.(2015·安徽·理T5)已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若α,β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D.若m,n不平行．．．垂直于同一平面．．．,则m与n不可能【答案】D【解析】A选项α,β可能相交;B选项m,n可能相交,也可能异面;C选项若α与β相交,则在α内平行于它们交线的直线一定平行于β;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知D选项正确.43.(2015·浙江·文T4)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.( )A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m【答案】A【解析】若l⊥β,又l⊂α,由面面垂直的判定定理,得α⊥β,故选项A正确;选项B,l⊥m或l∥m或l与m 相交或异面都有可能;选项C,α∥β或α与β相交都有可能;选项D,l∥m或l与m异面都有可能.44.(2015·广东·文T6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交【答案】D【解析】l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.45.(2014·浙江·理T3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2【答案】D【解析】由题干中的三视图可得原几何体如图所示.故该几何体的表面积S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2××3×4=138(cm2).故选D.46.(2014·陕西·文T5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π【答案】C【解析】依题意,知所得几何体是一个圆柱,且其底面半径为1,母线长也为1,因此其侧面积为2π×1×1=2π,故选C.47.(2014·辽宁·理T4文T4)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α【答案】B【解析】对A:m,n还可能异面、相交,故A不正确.对C:n还可能在平面α内,故C不正确.对D:n还可能在α内,故D不正确.对B:由线面垂直的定义可知正确.48.(2014·广东·理T7)在空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3.若取l4为A1D1,则有l1∥l4;若取l4为DD1,则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.49.(2014·浙江·文T6)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α【答案】C【解析】当m⊥n,n∥α时,可能有m⊥α,但也有可能m∥α或m⊂α,故A选项错误;当m∥β,β⊥α时,可能有m⊥α,但也有可能m∥α或m⊂α,故选项B错误;当m⊥β,n⊥β,n⊥α时,必有α∥β,从而m⊥α,故选项C正确;在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,取m为B1C1,n为CC1,β为平面ABCD,α为平面ADD1A1,这时满足m⊥n,n ⊥β,β⊥α,但m⊥α不成立,故选项D错误.50.(2014·陕西·理T5)已知底面边长为1,侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A.32π3B.4π C.2π D.4π3【答案】D【解析】依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径R,则2R=√12+12+(√2)2=2,解得R=1,所以V=4π3R 3=4π3.51.(2014·大纲全国·理T8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ) A.81π4B.16πC.9πD.27π4【答案】A【解析】由图知,R 2=(4-R)2+2, ∴R 2=16-8R+R 2+2,∴R=94, ∴S 表=4πR 2=4π×8116=814π,选A.52.(2014·湖南·理T7文T8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆的半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B. 53.(2014·全国1·理T12)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6√2B.6C.4√2D.4【答案】B【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G=√(4√2)2+22=6.54.(2014·全国1·文T8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).55.(2014·北京·理T7)在空间直角坐标系O-xyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1, √2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则( )A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1【答案】D【解析】三棱锥的各顶点在xOy 坐标平面上的正投影分别为A 1(2,0,0),B 1(2,2,0),C 1(0,2,0),D 1(1,1,0).显然D 1点为A 1C 1的中点,如图(1),正投影为Rt △A 1B 1C 1,其面积S 1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz 坐标平面上的正投影分别为A 2(0,0,0),B 2(0,2,0),C 2(0,2,0),D 2(0,1,√2).显然B 2,C 2重合,如图(2),正投影为△A 2B 2D 2,其面积S 2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx 坐标平面上的正投影分别为A 3(2,0,0),B 3(2,0,0),C 3(0,0,0),D 3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A 3D 3C 3,其面积S 3=12×2×√2=√2. 综上,S 2=S 3,S 3≠S 1.故选D.56.(2014·大纲全国·理T11)已知二面角α-l-β为60°,AB ⊂α,AB ⊥l,A 为垂足,CD ⊂β,C ∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( ) A.14B.√24C.√34D.12【答案】B【解析】如图,在平面α内过C 作CE ∥AB,则∠ECD 为异面直线AB 与CD 所成的角或其补角,不妨取CE=1,过E 作EO ⊥β于O. 在平面β内过O 作OH ⊥CD 于H, 连EH,则EH ⊥CD.因为AB ∥CE,AB ⊥l,所以CE ⊥l. 又因为EO ⊥平面β,所以CO ⊥l.故∠ECO 为二面角α-l-β的平面角,所以∠ECO=60°. 而∠ACD=135°,CO ⊥l,所以∠OCH=45°.在Rt △ECO 中,CO=CE ·cos ∠ECO=1·cos 60°=12.在Rt △COH 中,CH=CO ·cos ∠OCH=12·sin 45°=√24. 在Rt △ECH 中,cos ∠ECH=CHCE=√241=√24.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为√24.故选B.57.(2014·大纲全国·文T4)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16B.√36C.13D.√33【答案】B【解析】如图所示,取AD 的中点F,连EF,CF,则EF ∥BD,∴异面直线CE 与BD 所成的角即为CE 与EF 所成的角∠CEF.由题知,△ABC,△ADC 为正三角形,设AB=2,则 CE=CF=√3,EF=12BD=1.∴在△CEF 中,由余弦定理, 得cos ∠CEF=CE 2+EF 2-CF 22CE ·EF=√3)22√3)22×√3×1=√36.故选B.58.(2014·全国2·理T6文T6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727 B.59C.1027D.13【答案】C【解析】由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示. 切削掉部分的体积V 1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm 3), 原来毛坯体积V 2=π×32×6=54π(cm 3). 故所求比值为V1V 2=20π54π=1027.59.(2014·全国2·文T7)正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为√3,D 为BC 中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.√32【答案】C【解析】∵D 是等边△ABC 的边BC 的中点,∴AD ⊥BC. 又ABC-A 1B 1C 1为正三棱柱, ∴AD ⊥平面BB 1C 1C. 又四边形BB 1C 1C 为矩形,∴S △DB 1C 1=12S 四边形BB 1C 1C =12×2×√3=√3. 又AD=2×√32=√3,∴V A -B 1DC 1=13S △B 1DC 1·AD=13×√3×√3=1.60.(2013·全国1·理T8文T11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【答案】A【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱= π×22×4=8π,V 长方体=4×2×2=16. 所以所求体积为16+8π.故选A.61.(2013·浙江·文T5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) A.108 cm 3B.100 cm 3C.92 cm 3D.84 cm 3【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥,故几何体的体积是6×3×6-13×12×3×42=100(cm 3).故选B.62.(2013·山东·理T4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为9,底面是边长为√3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】B【解析】如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为√3,可求得棱柱的高为√3.设P 在平面ABC 上射影为O,则可求得AO 长为1,故AP 长为√12+(√3)2=2.故∠PAO=π3,即PA 与平面ABC 所成的角为π3.63.(2013·全国2·理T7文T9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ( )【答案】A【解析】该四面体在空间直角坐标系O-xyz 中的图象如图所示.则它在平面zOx 上的投影,即正视图为.64.(2013·湖南·理T7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A.1 B.√2 C.√2-12 D.√2+12【答案】C【解析】当俯视图是面积为1的正方形时,其正视图的最小面积等于一个面的面积1,最大面积等于对角面的面积√2.故正视图面积S 的取值范围为1≤S≤√2. 因为√2-12<1,故选C.65.(2013·全国1·理T6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3cm 3【答案】A【解析】设球半径为R,由题可知R,R-2,正方体棱长的一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图. BC=2,BA=4,OB=R-2,OA=R, 由R 2=(R-2)2+42,得R=5,所以球的体积为4π3×53=5003π(cm 3),故选A.66.(2013·辽宁·理T10)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上.若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( ) A.3√172 B.2√10C.132D.3√10【答案】C。
2010-2019高考真题分类训练理数专题十一 概率与统计第三十二讲 统计初步答案
专题十一 概率与统计第三十二讲 统计初步答案部分2019年1．A 解析：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变.故选A ．2．0.98 解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：100.97200.98100.990.98102010x ⨯+⨯+⨯==++. 3.解析（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．4． 解析 1111()03333a E X a +=⨯++=， 222111111()1333333a a a D X a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()22222122111232(1)279926a a a a a a ⎛⎫⎡⎤=++-+-=-+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 因为01a <<，所以()D X 先减小后增大.故选D ．5. 解析 一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为1(6788910)86x =+++++=， 所以该组数据的方差为 222222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63s =-+-+-+-+-+-=．2010-2018年1．A 【解析】通解 设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a ．建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A ．优解 因为0.60.372<⨯，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 是错误的．故选A ．2．A 【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A 错误；选A ．3．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件． 4．D 【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D ．5．D 【解析】由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个，D 不正确，故选D ．6．C 【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为11070150(160%)137⨯+⨯-=．7．D 【解析】根据柱形图易得选项A ，B ，C 正确，2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份负相关，选项D 错误．8．C 【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 8=，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差22(21)2264D X DX -==⨯，16=．故选C ．9．C 【解析】由10002540=，可得分段的间隔为25．故选C ． 10．A 【解析】所抽人数为(350020004500)2%200++⨯=，近视人数分别为小学生350010%350⨯=，初中生450030%1350⨯=，高中生200050%1000⨯=，∴抽取的高中生近视人数为10002%20⨯=．选A ．11．D 【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是n N，故123p p p ==，故选D ． 12．C 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C ．13．B 【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=，故分数在60以上的人数为600×0.8=480人．14．B 【解析】由图可知去掉的两个数是87,99，所以8790291294+⨯+⨯+90917x ++=⨯，4x =．22222136[(8791)(9091)2(9191)2(9491)2]77s =-+-⨯+-⨯+-⨯=． 15．A 【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47=462，众数是45，极差为68-12=56.所以选A.16．90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为8989909191905++++=． 17．4【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人. 18．24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm 的频率是(0.025+0.015)×10=0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×60=24．19．1800【解析】分层抽样中各层的抽样比相同，样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件，在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5:3，所以乙设备生产的产品总数为1800件．20．60【解析】应从一年级抽取4604556300?+++名.21．10【解析】设五个班级的数据分别为a b c d e <<<<。
十年高考理科数学真题 专题十 计数原理 三十一 二项式定理及答案
专题十 计数原理第三十一讲 二项式定理2019年1.（2019全国III 理4）（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．242．（2019浙江13）在二项式9)x +的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.3.（2019天津理10）83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为 .2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)252()x x+的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．802．（2017新课标Ⅰ）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．353．（2017新课标Ⅲ）5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80 4．(2016年四川) 设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含4x 的项为A ．－154xB ．154xC ．－204ixD ．204ix5．（2015湖北）已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A ．122B ．112C ．102D ．926．（2015陕西）二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =A ．4B ．5C ．6D ．77．（2015湖南）已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =A B ． C ．6 D ．－68．（2014浙江）在46)1()1(y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为),(n m f ，则(3,0)f +(2,1)f +(1,2)f +(0,3)f =A ．45B ．60C ．120D ． 2109．（2014湖南）51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A ．－20B ．－5C ．5D ．2010．（2013辽宁）使得()3nx n N+⎛∈ ⎝的展开式中含常数项的最小的n 为A ．4B ．5C ．6D ．711．（2013江西）5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为A ．80B ．－80C ．40D ．－40 12．（2012安徽）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 13．（2012天津）在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40 14．（2011福建）5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．10 15．（2011陕西）6(42)xx --（x ∈R ）展开式中的常数项是A ．20-B ．15-C ．15D ．20 二、填空题16．(2018天津)在5(x 的展开式中，2x 的系数为 ．17．(2018浙江)二项式81)2x的展开式的常数项是___________． 18．（2017浙江）已知多项式32(1)(2)x x ++=543212345x a x a x a x a x a +++++，则4a =___，5a =___．19．（2017山东）已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = ． 20．(2016年山东)若25(ax+的展开式中5x 的系数是-80，则实数a =_______．21．(2016年全国I)5(2x 的展开式中，x 3的系数是 ．（用数字填写答案）22．（2015北京）在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）23．（2015新课标2）4()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =______．24．（2014新课标1）8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 ．(用数字填写答案) 25．（2014新课标2）()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =___．(用数字填写答案)26．（2014山东）若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ．27．（2013安徽）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______． 28．（2012广东）261()x x+的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）29．(2012浙江)若将函数5()f x x =表示为2012()(1)(1)f x a a x a x =++++55(1)a x +++L ，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a = ．30．（2011浙江）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a 的值是 ． 31．（2010安徽）6展开式中，3x 的系数等于 ．专题十 计数原理第三十一讲 二项式定理答案部分2019年1. 解析 24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为313441C 12C 112⨯⨯+⨯⨯=．故选A ．2．解析：二项式)9x的展开式的通项为992199C 2C r rrrr r r T x x --+==．由0r =，得常数项是1T =r =1，3，5，7，9时，系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数是5个．3.解析 由题意，可知此二项式的展开式的通项为()8r+1831C28rrrT x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()88848488311C 2C 128rrr r rr rr r x x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以当840r -=，即2r =时，r 1T+为常数项，此时()228423218C 1228T T -⨯+==⋅-=．2010-2019年1．C 【解析】251031552C ()()C 2rrr r r rr T x xx--+==，由1034r -=，得2r =，所以4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．2．C 【解析】621(1)(1)x x ++展开式中含2x 的项为224426621130C x C x x x⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C ．3．C 【解析】5(2)x y -的展开式的通项公式为：515C (2)()r r r r T x y -+=-，当3r =时，5(2)x x y -展开式中33x y 的系数为3235C 2(1)40⨯⨯-=-， 当2r =时，5(2)y x y -展开式中33x y 的系数为2325C 2(1)80⨯⨯-=，所以33x y 的系数为804040-=．选C ．4．A 【解析】通项616(0,1,2,,6)r r r r T C x i r -+==⋅⋅⋅，令2r =，得含4x 的项为2424615C x i x =-，故选A ．5．D 【解析】因为(1)nx +的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以37C C n n =，解得10n =，所以二项式10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=．6．C 【解析】由122(1)(1)1n n n n n n n x x C x C x C x +=+=+++⋅⋅⋅+，知215n C =，∴(1)152n n -=，解得6n =或5n =-(舍去)，故选C ． 7．D 【解析】5215(1)r r rrr T C a x-+=-，令1=r ，可得530a -=6a ⇒=-，故选D ．8．C 【解析】由题意知3064(3,0)C C f =，2164(2,1)C C f =，1264(1,2)C C f =，0364(0,3)C C f =，因此(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)120f f f f +++=．9．A 【解析】由二项展开式的通项可得，第四项32323451()(2)202T C x y x y =-=-，故23x y的系数为－20，选A ． 10．B 【解析】通项52(3)3n r rn rrr n rnnC x C x---=，常数项满足条件52n r =，所以2r =时5n =最小．11．C 【解析】2510515532()()(2)rrrr r r r T C x C x x--+=-=-，令1050r -=，解得2r =，所以常数项为225(2)40C -=．12．D 【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=，第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=．13．D 【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-．14．B 【解析】5(12)x +的展开式中含2x 的系数等于2225(2)40C x x =，系数为40.答案选B ． 15．C 【解析】62(6)1231666(4)(2)222r x r x r r x r xr rx xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．16．52【解析】35521551C (C ()2r r r r rr r T x x --+==-，令3522r -=，得2r =， 所以2x 的系数为22515C ()22-=． 17．7【解析】8843318811C ()C ()22r rrr r rr T xx x --+==，令8403r -=，解得2r =，所以所求常数项为2281C ()72⨯=．18．16,4【解析】将32(1)(2)x x ++变换为32(1)(2)x x ++，则其通项为3232C 1C 2r rr m m mx x --，取0,1r m ==和1,0r m ==可得，0110243232C C 2+C C 241216a =⨯⨯=+=，令0x =，得54a =．19．4【解析】()1C 3C 3rr rr r r n n Τx x +==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．20．2-【解析】因为5102552155()r rrr r rr T C ax C a x ---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-21．10【解析】由5(2x +得5552155C (2)2C r rrr rr r T x x---+==，令532r-=得4r =，此时系数为10．22．40【解析】由通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325C 240=． 23．3【解析】4(1)x +展开式的通项为14C r r r T x +=，由题意可知，1302444444()32a C C C C C ++++=，解得3a =．24．－20【解析】8()x y +中818C r r r r T x y -+=，令7r =，再令6r =，得27x y 的系数为768820C C -=-．25．12【解析】二项展开式的通项公式为10110r r rr T C x a -+=，当107r -=时，3r =， 337410T C a x =，则331015C a =，故12a =．26．2【解析】266123166()()r r r r r r rr b T C ax C a b x x---+==，令1230r -=，得3r =，故333620C a b =，∴221,22ab a b ab =+=≥，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等号成立．27．21【解析】通项217,34348)(338388388=⇒==⇒=-⇒==--a a C r r x a C xa x C rr r r r r r 所以21．28．20【解析】261()x x+的展开式中第1k +项为2(6)123166(0,1,2,,6)k k k k kk T C x x C x k ---+===K 令12333k k -=⇔=得：3x 的系数为3620C =．29．10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++L 两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．法三：55()(11)f x x x ==-++，则3235(1)10a C =-=。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(11)排列组合、二项式定(理科)及答案
专题十一 排列组合、二项式定理1.【2018高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =．2.【2018高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 3.【2018高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【2018高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ） A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ， 所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2018高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2018高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指kn C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别. 7.【2018高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r rr n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2018高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2018高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2018高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()rr r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2018高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2018高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2018高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2018高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr rr x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.【2018高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2018高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题十一概率与统计第三十二讲统计初步答案
专题十一 概率与统计第三十二讲 统计初步答案部分2019年1．A 解析：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变.故选A ．2．0.98 解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：100.97200.98100.990.98102010x ⨯+⨯+⨯==++. 3.解析（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．4． 解析 1111()03333a E X a +=⨯++=， 222111111()1333333a a a D X a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()22222122111232(1)279926a a a a a a ⎛⎫⎡⎤=++-+-=-+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 因为01a <<，所以()D X 先减小后增大.故选D ．5. 解析 一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为1(6788910)86x =+++++=， 所以该组数据的方差为 222222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63s =-+-+-+-+-+-=．2010-2018年1．A 【解析】通解 设建设前经济收入为a ，则建设后经济收入为2a ，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a ，其他收入为0.04a ，养殖收入为0.3a ．建设后种植收入为0.74a ，其他收入为0.1a ，养殖收入为0.6a ，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a ，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A ．优解 因为0.60.372<⨯，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A 是错误的．故选A ．2．A 【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A 错误；选A ．3．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件． 4．D 【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D ．5．D 【解析】由图可知0℃在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都约为10℃，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份不是5个，D 不正确，故选D ．6．C 【解析】由扇形统计图可得，该校女教师人数为11070150(160%)137⨯+⨯-=．7．D 【解析】根据柱形图易得选项A ，B ，C 正确，2006年以我国二氧化碳年排放量与年份负相关，选项D 错误．8．C 【解析】设样本数据1x ，2x ，，10x 8=，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，，1021x -的方差22(21)2264D X DX -==⨯，16=．故选C ．9．C 【解析】由10002540=，可得分段的间隔为25．故选C ． 10．A 【解析】所抽人数为(350020004500)2%200++⨯=，近视人数分别为小学生350010%350⨯=，初中生450030%1350⨯=，高中生200050%1000⨯=，∴抽取的高中生近视人数为10002%20⨯=．选A ．11．D 【解析】根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是n N，故123p p p ==，故选D ． 12．C 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C ．13．B 【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=，故分数在60以上的人数为600×0.8=480人．14．B 【解析】由图可知去掉的两个数是87,99，所以8790291294+⨯+⨯+90917x ++=⨯，4x =．22222136[(8791)(9091)2(9191)2(9491)2]77s =-+-⨯+-⨯+-⨯=． 15．A 【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47=462，众数是45，极差为68-12=56.所以选A.16．90【解析】由茎叶图可得分数的平均数为8989909191905++++=． 17．4【解析】由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435720=⨯人. 18．24【解析】由频率分布直方图可得树木底部周长小于100cm 的频率是(0.025+0.015)×10=0.4，又样本容量是60，所以频数是0.4×60=24．19．1800【解析】分层抽样中各层的抽样比相同，样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件，在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为53，所以乙设备生产的产品总数为1800件．20．60【解析】应从一年级抽取4604556300?+++名.21．10【解析】设五个班级的数据分别为a b c d e <<<<。
高考数学专题复习十-10.1计数原理、排列与组合-模拟练习题(附答案)
专题十计数原理10.1计数原理、排列与组合基础篇考点计数原理、排列与组合考向一两个计数原理的应用1.(2023届河南洛阳模拟,1)一个电路中含有(1)(2)两个零件,零件(1)含有A,B两个元件,零件(2)含有C,D,E三个元件,每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作,则该电路能正常工作的线路条数为()A.9B.8C.6D.5答案C2.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,2)若3个班级分别从6个风景点中选择一处游览,则不同选法有() A.A63种 B.C63种 C.36种 D.63种答案D3.(2021江西宜春月考,8)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443等.那么在四位数中,回文数共有()A.81个B.90个C.100个D.900个答案B4.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B5.(2022福建泉州科技中学月考,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为()A.180B.240C.420D.480答案C6.(2023届甘肃张掖重点校检测四,16)如图,节日花坛中有5个区域,现有4种不同颜色的花卉可供选择,要求相同颜色的花不能相邻栽种,则符合条件的种植方案有种.答案72考向二排列与组合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种C.60种D.30种答案C2.(2021全国乙,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有() A.60种 B.120种C.240种D.480种答案C3.(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有() A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案B4.(2022新疆莎车一中期中,7)7个人排成一排准备照一张合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有() A.480种 B.720种 C.960种 D.1200种答案C5.(2022西安二模,5)现有语文、数学、英语、物理各1本书,把这4本书分别放入3个不同的抽屉里,要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里,则放法种数为() A.18 B.24 C.30 D.36答案C6.(2023届哈尔滨质检,5)小张接到5项工作,要在周一、周二、周三、周四这4天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有() A.180种 B.480种 C.90种 D.120种答案A7.(2022陕西交大附中模拟,7)将4个9和2个6随机排成一行,则2个6不相邻的排法有()A.240种B.120种C.20种D.10种答案D8.(2020课标Ⅱ,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.答案369.(2021云南顶级名校检测,15)某班6名同学去A,B,C,D四个城市参加社会调查,要求将这6名同学分成四组,每组去一个城市,其中两组各有两名同学,另外两组各有1名同学,则不同的分配方案的种数是.(用数字作答)答案1080综合篇考法一排列问题的解题方法1.(2022哈尔滨六中期中,8)用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数,其中奇数不相邻且1、2必须相邻,则满足要求的六位数共有() A.72个 B.96个 C.120个 D.288个答案A2.(2021四川顶级名校检测,7)成都七中举行的秋季运动会中,有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛,现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1跑道,乙不在2跑道的不同安排方法有() A.12种 B.14种 C.16种 D.18种答案B3.(2023届四川南江中学阶段测试,9)4张卡片的正、反面分别写有数字1,2;1,3;4,5;6,7.将这4张卡片排成一排,可构成不同的四位数的个数为()A.288B.336C.368D.412答案B4.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12605.(2022四川诊断性测试,16)电影院一排有八个座位,甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影,他们要求坐在同一排,则恰有两个连续的空座位的情况有种.答案7206.(2022江西智学联盟联考一,15)某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动,主持人事先将10条不同的灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中,猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜(无论猜中与否,选中的灯笼都被拿掉),则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序种数为.(用数字作答)答案25200考法二分组、分配问题的求解策略1.(2023届安徽蚌埠第一次质检,8)为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神,加强义务教育教师队伍管理,推动义务教育优质均衡发展,安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革,支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年,每所学校至少安排1人,则不同安排方案的总数为()A.2640B.1440C.2160D.1560答案D2.(2022吉林东北师大附中模拟,4)某中学响应国家双减政策,开设了乒乓球,羽毛球,书法,小提琴四门选修课程,要求每位同学每学年至多选2门,初一到初三三学年将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式有()A.60种B.78种C.54种D.84种答案C3.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,5)某市因新冠疫情封闭管理期间,为了更好地保障社区居民的日常生活,选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务,每人只能去一个地方,每地至少派一人,则不同的选派方案共有() A.540种 B.180种 C.360种 D.630种答案A4.(2023届安徽江淮十校联考,14)安徽省地形具有平原、台地(岗地)、丘陵、山地等类型,其中丘陵地区占了很大比重,因此山地较多,著名的山也有很多.某校开设了研学旅行课程,该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点,每座山至少有一个班级选择,则恰好有2个班级选择黄山的方案有种.答案2105.(2022成都模拟,15)将甲、乙、丙、丁四人安排到A,B,C三所学校工作,每校至少安排一人,每人只能到一所学校,甲不能到A学校工作,则不同的安排方法共有种.答案24。
理科数学2010-2019高考真题分类训练40专题十四 数系的扩充与复数的引入第四十讲 复数的计算—附解析答案
C． 1 3 i 26
D． 1 3 i 26
62．(2018 天津)i 是虚数单位，复数 6 7i
．
1 2i
63．(2018 上海)已知复数 z 满足 (1 i)z 1 7i （ i 是虚数单位），则| z | =
．
64．(2018 江苏)若复数 z 满足 i z 1 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ．
A． 2, 4
B． 2, 4
C． 4, 2 D． 4, 2
37．（2013 江西）已知集合 M 1, 2, zi ，i 为虚数单位， N 3, 4 ， M N {4}，则
复数 z =
A． 2i
B．2i
C． 4i
D．4i
38．（2013 湖北）在复平面内，复数 z 2i （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 1i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8． （2019 江苏 2）已知复数 (a 2i)(1 i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 .
2010-2018 年
一、选择题
1．(2018 北京)在复平面内，复数 1 的共轭复数对应的点位于 1i
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
B．（3,1） C． (1,3）
D．（3，1）
44．（2012 广东）设 i 为虚数单位，则复数 5 6i = i
A． 6 5i
B． 6 5i
C． 6 5i
D． 6 5i
45．（2012 辽宁）复数 2-i = 2+i
A． 3 4 i 55
B． 3 + 4 i C．1 4 i D．1+ 3 i
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专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A．112 B．114 C．115 D．118 2．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 3．（2017山东）从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
A．518 B．49 C．59 D．79 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9 5．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A．24 B．48 C．60 D．72 6．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A．18 B．38 C．58 D．78 8．（2014广东）设集合12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iAxxxxxxi，那么集合A中 满足条件“1234513xxxxx”的元素个数为 A．60 B．90 C．120 D．130 9．（2014安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有 A．24对 B．30对 C．48对 D．60对 10．（2014福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由ba11的展开式abba1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，面“ab”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是 A．555432111cbaaaaa B．554325111cbbbbba C．554325111cbbbbba D．543255111cccccba 11．（2013山东）用0，1，„，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A．243 B．252 C．261 D．279 12．（2012新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 13．（2012浙江）若从1，2，3，„，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 14．（2012山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种数是 A．232 B．252 C．472 D．484 15．（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂 一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 ABCDE
F A．288种 B．264种 C．240种 D．168种 16．（2010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 17．（2010广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒 18．（2010湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A．152 B．126 C．90 D．54 二、填空题 19．(2018全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___种．（用数字填写答案） 20．(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．(用数字作答) 21．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 22．（2017天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答） 23．（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 24（2014浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）． 25．（2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_______种． 26．（2014广东）从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．
27．（2014江西）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________． 28．（2013北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 ． 29．（2012湖北）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，„，99．3位回文数有90个：101，111，121，„，191，202，„，999．则 （Ⅰ）4位回文数有 个； （Ⅱ）21()nnN位回文数有 个．
30．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当4n时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：
由此推断，当6n时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有 种，（结果用数值表示） 31．（2013新课标2）从n个正整数1，2，„，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数 之和等于5的概率为114，则n=________． 32．（2013浙江）将FEDCBA,,,,,六个字母排成一排，且BA,均在C的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）． 33．（2010浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）． 专题十 计数原理 第三十讲 排列与组合 答案部分
1．C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有210C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的
有3对，所以所求概率21031C15P，故选C． 2．D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343CA36种． 故选D． 3．C【解析】不放回的抽取2次有1198CC9872，如图 21，3，4，5，6，7，8，92，3，4，5，6，7，8，9
1
可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有11542CC=40，所求概率为405728． 4．B【解析】由题意可知EF有6种走法，FG有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318 种走法，故选B． 5．D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有13A 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有44A种方法，所以其中奇数的个数为1434AA72，故选D． 6．B【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A个；若万位上排5，则有343A个.所以共有342A343524120A个，选B．
7．D【解析】4422728P． 8．D【解析】易知12345||||||||||xxxxx1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：