2非线性方程的迭代法

求根 第2章 非线性方程 非线性方程求根
石家庄经济学院信息工程学院 马丽 malimail@
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§2. 1 方程求根与 二分法 2.1 方程求根与二分法
一、引言
考虑单变量非线性方程 f ( x) = 0 的求根问题， 其中 x ∈ R, f ( x) ∈ C[a, b].
k 0 1 2 3 ‫׃‬ xk x0 x1 x2 x3 ‫׃‬ 迭代法(1) 迭代法(2) 迭代法(3) 迭代法(4) 2 3 9 87 ‫׃‬ 2 1.5 2 1.5 ‫׃‬ 2 1.75 1.73475 1.732631 ‫׃‬ 2 1.75 1.732143 1.732051 ‫׃‬
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定义2 设迭代过程 xk +1 = ϕ( xk )收敛于 x*, 误差 ek = xk − x*,
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推论 如果迭代函数ϕ ( x) ∈ C1[a, b] , 并且 (1) ∀x ∈ [a, b], 都有ϕ ( x) ∈ [a, b], (2) ∃0 ≤ L < 1, 使得∀x ∈ [a, b], 都有 | ϕ ′( x) |≤ L < 1; 那么 1) 方程f ( x) = 0在[a, b]上有唯一的根x*, 2) 对任意初值x0 ∈ [a, b], 迭代序列(2.2)均收敛于x*,
+ ⋯ + xk +1 − xk ≤ ( Lp −1 + Lp − 2 ⋯ + L + 1) xk +1 − xk 1 ≤ xk +1 − xk 1− L Lk ≤ x1 − x0 1− L L越小越好，L称为渐进收敛因子。
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迭代法的突出优点是算法的逻辑结构简单,且在计算 时,中间结果若有扰动,仍不会影响计算结果。 其计算步骤为: (1)确定方程f(x)=0的等价形式x=g(x),为确保迭代过程 的收敛,要求g(x)满足李普希茨条件(或｜g′(x)｜≤q＜1); (2)选取初始值x0,按公式 x k+1=g(xk), k=0,1,2,… 进行迭代; (3)若｜x k+1-xk｜＜ε,则停止计算,x≈x k+1。
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计 算 框 图
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例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − − 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203
ek +1 若 lim p = C , C 是不为零的常数 , 则= 1时迭代法为线性收敛； 当 p > 1时为超线性收敛； 当 p = 2时为平方收敛 .
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定理4 如果迭代函数ϕ ( x)在x = ϕ ( x )的根x * 邻近具有p阶 连续导数, 并且
即
x∗ = ϕ ( x∗ ) y∗ = ϕ ( y∗ )
于是,由李普希茨条件得
∗ x = y 若 也是方程的根,即
x∗ − y∗ = ϕ ( x∗ ) − ϕ ( y ∗ ) = ϕ ′(ξ ) x∗ − y∗
≤ L x∗ − y ∗
∗ ∗ x = y 因为L＜1,所以上式矛盾,故必有
亦即方程在(a,b)内有唯一的根。
一、不动点迭代
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ( x). f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称 x * 为函数 ϕ ( x )的一个 不动点 .
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ).
如此反复，构造迭代公 式 xk +1 = ϕ( xk ), k = 0,1,2,⋯ . 称ϕ( x )为迭代函数 .
Lk 3) | xk − x* |≤ | x1 − x0 |, 1− L 1 4) | xk − x* |≤ | xk +1 − xk | . 1− L
3 例：在 [1,2]内考查： 1 ）xk +1 = 3 xk + 1; 2 ）xk +1 = xk − 1.
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�
证明： 由已知条件知,x*为方程的根,
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二、二分法简述 设f (a ) ⋅ f (b) < 0, 取x0 = (a + b) / 2. 假如f ( x0 )是f ( x)的零点， 那么输出x0 , 停止. 假若不然， 若f (a )与f ( x0 )同号，则a1 = x0 , b1 = b; 否则a1 = a, b1 = x0 .
⋯⋯ 故[a, b] ⊃ [a1, b1 ] ⊃ ⋯ ⊃ [ak , bk ] ⊃ ⋯,
1 2 x 3 （ 3 ）xk +1 = xk − ( xk − 3)，ϕ′( x) = 1 − ，ϕ′( x*) = 1 − ≈ 0.134; 4 2 2 1 3 1 3 ′ （ 4 ）xk +1 = ( xk + )，ϕ ( x) = (1 − 2 )，ϕ′( x*) = 0. 2 xk 2 x
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例1 求方程x − e − x = 0的有根区间. x
f(x)的符号
−1 −
0 −
1 +
2 +
方程根的数值计算大致可分三个步骤进行: (1) 判定根的存在性。 (2)确定根的分布范围,即将每一个根用区间隔离开来。 (3)根的精确化,即根据根的初始近似值按某种方法逐步 精确化,直至满足预先要求的精度为止。
二分法优、缺点； 用途。
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2 迭代法 §2. 2.2
迭代法的基本思想: 首先将方程f（x）=0改写成某种等价形式,由等价形 式构造相应的迭代公式 , 然后选取方程的某个初始 近似根 x0, 代入迭代公式反复校正根的近似值 , 直到 满足精度要求为止。 迭代法是一种数值计算中重要的逐次逼近方法。
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三、局部收敛性与收敛阶
迭代序列{xk }在[a, b]上的收敛性通常称为全局收敛性； 不容易由定理作出判断。应用上经常只在不动点x * 附近考察收敛性，称为局部收敛性. 定义1 如果∃U ( x*,δ ), 使得∀x0 ∈ U ( x*,δ )迭代序列(2.2) 均收敛于x* = ϕ ( x*), 则称迭代序列局部收敛. 定理3 若x * 为迭代函数ϕ ( x)的不动点,ϕ ( x)在x *的某邻域 内有连续导数, 且 | ϕ ′( x*) |< 1, 则迭代法(2.2)是局部收敛的.
解：（ 1 ）x0 = 1.5，xk +1 = 3 xk + 1, (k = 0,1,2,⋯).
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
虽然迭代法的基本思想简单, 但效果并不总是令人满意的。 对于上例,若按方程写成另一 种等价形式：
作业: P22 1，2，3
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3 迭代收敛的加速方法 §2. 2.3
一、埃特金加速收敛方法 对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得
x1 = ϕ ( x0 ),
再校正一次得 x2 = ϕ ( x1 ). 如果ϕ ′( x )变化不大, ϕ ′( x) ≈ L, 则 ⎧ x1 − x* = ϕ ( x0 ) − ϕ ( x*) ≈ L( x0 - x*), ⎨ ⎩ x2 − x* = ϕ ( x1 ) − ϕ ( x*) ≈ L( x1 - x*). (3.1)
f ( x) = ( x − x*)m g ( x),
其中0 <| g ( x*) |< ∞, m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点. 此时 f ( x*) = f ′( x*) = ⋯ = f ( m −1) ( x*) = 0, f ( m) ( x*) ≠ 0. 若f ( x) ∈ C[a, b], f (a ) ⋅ f (b) < 0, 则可用搜索法求有根区间.
x1 − x * x0 − x * ⇒ ≈ x2 − x * x1 − x *
xk +1 − x ∗ → 0
所以
lim xk = x ∗
k →∞
也就是对任意初始值x0迭代公式收敛。 利用李普希茨条件
xk +1 − xk = ϕ （xk） − ϕ ( xk −1 )
≤ L xk − xk −1
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对任意正整数p有：
xk + p − xk ≤ xk + p − xk + p −1 + xk + p −1 − xk + p − 2
非线性方程的分两类： 1. 代数方程,
a0 x n + a1x n −1 + ⋯ + an −1x + an = 0,
其中a0 ≠ 0, ai ∈ R (i = 0,1,⋯, n). 如 : x3 − x − 1 = 0. 2. 超越方程, 如 : x − e − x = 0.
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如果f ( x)可以分解为
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再考虑迭代公式
xk +1 = ϕ ( xk ) k = 0,1, 2⋯
由李普希茨条件
xk +1 − x∗ = ϕ ( xk ) − ϕ ( x∗ )
≤ L xk − x∗
(*)
由(*)可得
xk +1 − x∗ = Lk +1 x0 − x∗
(**)
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因为L＜1,当k→∞时,Lk→0,即有
| ϕ( x ) − ϕ( y ) |≤ L | x − y |;
满足李普希茨 (Lipschitz)条件
（2.4）
那么 ϕ( x ) 在[ a , b ]上存在唯一的不动点 x * .
定理2 在定理1的条件下, 对任意初值x0 ∈ [a, b], 迭代序列 (2.2)均收敛于ϕ ( x)的不动点x*, 并有误差估计 Lk | xk − x* |≤ | x1 − x0 | . 1− L 1 还有 | xk − x* |≤ | xk +1 − xk | . 1− L (2.5)