第六讲空间中的垂直关系
高中数学--空间中的垂直关系
a⊥α
论
线也_垂__直__这个平面
目录
(3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言
符号语言
性 垂直于同一个
质 平面的两条直
定 线___平__行____
理
a⊥α b⊥α
目录
2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判
一个平面过另一个
定 平面的___垂__线___，
目录
(3)证明：如图，过E作EG∥AB交PA于G，连接DG. ∵E为PB的中点，∴G为PA的中点． ∵DA＝DP，故△DPA为等腰三角形，∴DG⊥PA.
目录
∵AB⊥平面 PAD，DG⊂平面 PAD， ∴AB⊥DG. 又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面 PAB，PA⊂平面 PAB， ∴DG⊥平面 PAB. 又∵GE 綊12AB，DF 綊12AB，∴GE 綊 DF.
目录
【名师点评】 证明面面垂直时一般先证线面 垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中 去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过 添加辅助线来构造．
目录
跟踪训练 2.(2011·高考江苏卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，平 面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E， F分别是AP，AD的中点． 求证：(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD.
目录
2．证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为90°； (2)平面几何中证明线线垂直的方法； (3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； (4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b. 3．证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
空间里的垂直关系课件
通过垂直关系的处理，使建筑内部空间层次更加 丰富，营造出立体感、深度感的空间体验。
3
节能设计
利用垂直关系，合理安排建筑的采光、通风和遮 阳，提高建筑的节能性能和舒适度。
室内设计中垂直关系的运用
空间划分
利用垂直关系，通过吊顶、隔断、家具等手段，对室内空间进行 合理划分，使空间布局更加有序、舒适。
气候条件
不同气候区的垂直空间关系也有所不同，例如，湿润气候区的植被 茂盛，而干旱气候区则可能植被稀疏。
自然资源
如森林、矿产等自然资源的分布也会影响空间的垂直关系。
人文环境因素
城市规划
城市规划决定了建筑物的 布局和高度，从而影响空 间的垂直关系。
人口密度
人口密度高的地区，建筑 密集，形成明显的垂直差 异。
REPORT
空间里的垂直关系 ppt课件
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DATE
ANANTENTS
• 空间垂直关系的基本概念 • 空间垂直关系的表现形式 • 空间垂直关系的运用 • 空间垂直关系的影响因素 • 空间垂直关系的未来发展
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ANALYSIS
建筑设计还将注重社会公益和社会责任，通过参与社会公益事业、推广 绿色出行等方式，为社会做出贡献，实现社会价值和经济价值的共赢。
REPORT
THANKS
感谢观看
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DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
绿色建筑还将注重生态修复和自然环境的保护，通过建筑设计、绿化植被等方式， 与周边环境相融合，形成和谐共生的生态系统。
智能建筑的发展趋势
智能建筑将借助物联网、人工智能等 先进技术，实现建筑设备的自动化控 制和智能化管理，提高建筑的能效和 运营效率。
空间中的垂直关系ppt课件(自制)
B
CD平面PCD 平面PAD平面PCD
变式题: 在四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，BCD45，
BAD90,将ABD沿对角线BD折起，记折起后A的
位置为P，且使平面PBD平面BCD
求证：平面PBC平面PCD
P
A
D
B P
B
D
B C
C
关于平面图形的翻折，关键是弄清翻 折前后的数量关系和位置关系的变化 D 和不变化
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C
B
几何画板
变式题
在 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， M 、 N 、 P 分 别 是 C C 1 、 B 1 C 1 、 C 1 D 1 的 中 点 ， 求 证 ： M N A P
D1 A1
P
C1
N
B1
M
D1 A1
C1 B1
D A
C B
D A
77.一个客观的艺术不只是用来看的 ，而是 活生生 的。但 是你必 须知道 如何去 靠近它 ，因此 你必须 要做静 心。― ―[OSHO] 78.烦恼使我受着极大的影响……我 一年多 没有收 到月俸 ，我和 穷困挣 扎；我 在我的 忧患中 十分孤 独，而 且我的 忧患是 多么多 ，比艺 术使我 操心得 更厉害 ！――[米开朗 基罗]
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
高中数学：1.2.3《空间中的垂直关系》名师课件(新人教B版必修2)
3、已知PD矩形平面ABCD所在平面, 图中互相垂直的平面有几对?
P
D A
C B
4. 在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、 G分别是CD、DA、AC的中点。求证：平面BEF⊥平面
BGD
5. 四面体SABC中，△ABC是等腰三角形，AB=BC=2a，
∠ABC=1200，且SA⊥平面ABC，SA=3a。求A到平面SBC的距
α A 如果平面 ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在
直线平行于平面 β
B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内所有直
线都垂直于平面 β
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 α 内一
定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面γ，且 α与 β交
于直线 a，则 a ⊥平面γ
面面垂直的判定与性质
新知1:两面面垂直的定义：
如果两个平面上分别垂直于交线的两直线也 垂直，那么就说这两个平面互相垂直.
α
符号语言
Aa D
CD
β
AB BE
Bb E
C
AB CD BE CD
ABE 90
新知2:平面与平面垂直的判定定理
平面ABE⊥平面BCD
拓展研究1:
如果交换判定定理中的条件
“BA⊥β”和结论“α⊥β”．
即
，也就是从平面与平面垂直
出发，能否推出1
B1 A1
D
E
C
β
A
B
思考：如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？ (2)什么情况下α里的直线和β垂直？
新知3:平面与平面垂直的性质定理：
空间中的垂直关系PPT教学课件
（2）BC 平面PAC
P
A
O
B
C
例3.如图，P是△ABC所在平面外的一点， PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是△ABC 的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
P
线线垂直
A
线面垂直
C EH D
B
线线垂直
练习
以港兴市
为“看不见的手”把脉
专题探究
一哄而下
设计目的：反映市场调节盲目性与自发性问题
靠山养山，方能吃山
设计目的：反映局部效益与整体效益冲突的现象
以港兴市
设计目的：反映政府调控失灵的现象
为“看不见的手把脉”
设计目的：综合分析市场机制的弊端
“看得见的手”所对应的课标内容
内容目标：从消极方面，讨论当代市场经济对社会 生活的影响。
目标4 了解当今科技发展和经济成长的特点，逐步 形成促进社会进步的思想观念。
第四单元 与经济成长、科技进步同行
课名
置身市场经济
主题
现代经济成长
感受科技之光
现代科技发展
与时俱进的时代精神
思想道德建设
第一课 置身于市场经济
框题
中心
看不见的手
市场在经济生活中的地位和作用
看得见的手
因地制宜 优势互补
角色与选择
防洪堤
l 市场无法提供的物品
路灯
l 某些产品不能任由市场调节
l 市场调节的弱点
滞后性 自发性 盲目性
枪支 毒品
物品
私人物品 公共物品
如苹果
私人物品 具有排他性 购买才能消费
市场调节
空间中的垂直关系PPT教学课件
4.如果直线和平面所成的角等于90°,则这 条直线和平面垂直
练习题：
1 、如果平面外的一条直线上有两点 到这个平面的距离相等，则这条直线和平 面的位置关系是（ ）C
A.平行 B.相交 C.平行或相交
2、在空间，下列命题 （1）平行于同一直线的两条直线互相平行； （2）垂直于同一直线的两条直线互相平行； （3）平行于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
求证： b ． 证明：设m是α内的任意一条直线．
a
m
a
m
b
m
a //b
b
m
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面， 那么这两条直线平行 。 已知：直线l⊥平面α，直线m⊥平面α， 垂足分别为a，b，求证：l//m.
证明：假设直线m与直线l不
平行。过直线m与平面α的交
l
点B作直线m’//l，
解：
t
3 2
kT
t1 t2
T1 T2
P nkT n1 n2 , T1 T2
P1 P2
例题3：试求氮气分子的平均平动动能和均方根速率。 设（1）在温度t = 1000℃时；（2）t = 0℃时；（3） t = -150 ℃时。
解：
t1
3 2
kT1
3 1.381023 1273 2
正确的是（ B ）
A. (1)(3)(4) C. (1)
B. (1)(4) D.四个命题都正确。
3． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O
是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂
足，求证：B1H⊥平面AD1C.
空间中的垂直关系 人教课标版精品公开PPT课件
（1）找交线
（2）在其中一个平面 内找与交线垂直的直线
符 号 语
I l
m
l
言
l m
4、常用结论
文 1、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
字 语 言
平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在 第一个平面内
图 形
Pl
语
言
提供了一种点向面 作垂线的方法，有 利于求点面距
符 号 语 言
P Pl
a
图 形 语 言
α
2、判定定理：
文 如果一条直线 a 与一个平面 内两条相交直
字 线都垂直，我们就说直线 a 与平面 互相
语 垂直，记作： a
言
a
线
图
不
形
语 言
b
Oc
在 多 ，
ab
符 号 语 言
a b
c c
O
a
b
相 交 就 灵
c
3、性质定理：
文 字
如果两条直线垂直于同一个平面，那么
C
P
根据平面几何知识得到：BDC90o，
DCBD
D Q平面PBD平面BDC且平面PBDI 平面BDCBD
B
CD平面PBD，
C
PB平 面 PBD CDPB 又 QPBPD ， CDI PDD ， CD平 面 PCD ， PD平 面 PCD PB平 面 PCD,
QPB平面PBC 平面PBC平面PCD
A1
D
O
A
B1 A C 平 面 B D D （ 1平 面 B D D 1 B 1 )
C B
线面垂直
ACBD1 线线垂直
AC B1D
面面垂直
经 过 A C 的 平 面 平 面 B D D 1 B 1
课件1 ： 1.2.3 空间中的垂直关系
知识小结
1、直线与平面垂直的概念
2、 线面角的概念及范围 范围：0，90 3、直线与平面垂直的判定
（1）利用定义；垂直于平面内任意一条直线
（2）利用判定定理．
线线垂直
线面垂直
4、数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
P
1、如图，圆O所在一平面为 ，
AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点,
且PA AC, PA AB,求证：
（1）PA BC （2）BC 平面PAC
A
O
B
解：（1）
AB , AC ,
条件时， AC ？BD
A
D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A
D
B
C
课堂练习：
1、判断题：
(1)l l与相交； (2)m , n , l m, l n l ; (3)l m, m n, l n .
（ T） （F） （ T）
2、求证：平面外一点与这个平面内各点的连线段中， 垂直于平面的线段最短。
2． 平面与平面垂直的判定定理 ①文字语言：如果一个平面过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直；
②图形语言：
AB
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B，
AB α α⊥β。
3．平面与平面垂直的性质定理
①文字语言：如果两个平面垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；
4、直线和平面所成的角
高中数学——空间中的垂直关系(教案)
空间中的垂直关系【知识导图】近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点.在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重.知识讲解知识点1 线线垂直1、判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条.2、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.3、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭.⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用.知识点2 线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足.直线l与平面α垂直记作：l⊥α.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.知识点3 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.例题讲解类型一线线垂直【例题1】如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF.【解析】证明：如图2，作GQ ⊥B 1C 1于Q ，连接FQ ，则GQ ⊥平面A 1B 1C 1D 1，且Q 为B 1C 1的中点.在正方形A 1B 1C 1D 1中，由E 、F 、Q 分别为A 1D 1、A 1B 1、B 1C 1的中点可证明EF ⊥FQ ，由三垂线定理得EF ⊥GF .【例题2】如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，AD CD =．证明：AC BD ⊥；【答案】详见证明【解析】设AC 中点为F ，联结FD ，FB ，AD CD FD AC =⇒⊥，AB AC FB AC =⇒⊥，FD FB F =AD ⇒⊥平面DFB AD BD ⇒⊥. 类型二 线面垂直【例题1】（1）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1. （2）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥.（I ）证明FO ∥平面;CDE ； （II）设,BC=证明EO ⊥平面.【解析】证明：（1）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱， ∴CC 1⊥平面ADCD , ∴BD ⊥CC 1B1∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1,且AC ∩CC 1=C , ∴BD ⊥平面ACC 1A 1. （2）证明：（I ）取CD 中点M ，连结OM .在矩形ABCD 中，1,2OM BC ∥又1,2EF BC ∥则.EF OM ∥连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形.FO ∴∥EM. 又FO ⊂平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，FO ∴∥平面CDE .（II ）连结FM .由（I ）和已知条件，在等边CDE ∆中，,CM DM = EM CD ⊥且1.22EM BC EF === 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO FM ⊥.,,CD OM CD EM CD ⊥⊥∴⊥平面EOM ，从而.CD EO ⊥而,FMCD M =所以EO ⊥平面.CDF【例题2】【2019全国2卷理17】长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱上，BE ⊥1EC . 证明：BE ⊥平面11EB C ； 【答案】：见解析【解析】（1）平面ABCD -1111A B C D 是长方体 111C B ABB A ∴⊥平面又11BE ABB A ⊂平面 11C B BF ∴⊥又1BE EC ⊥ 1111EC B C C ⋂=11BE EB C ∴⊥平面【总结与反思】考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.DCABEOFM【例题3】如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论.【解析】（1）证明：如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B.（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求.事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.【总结与反思】本题（1）的证明中，证得C1D⊥A1B1后，由ABC—A1B1C1是直三棱柱知平面C1A1B1⊥平面AA1B1B，立得C1D⊥平面AA1B1B.（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题.类型三面面垂直【例题1】如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，求证：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA.【解析】证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF .∵EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC . ∴DB ⊥AB ，EC ⊥BC . ∵BD ∥CE ，BD ＝21CE ＝21FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC . 又BA ＝BC ＝DF ，∴Rt △DEF ≌Rt △ABD ，所以DE ＝DA . （2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ， ∵M 是EA 的中点，∴MN 21EC . 由BD21EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN . ∵DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，∴DM ⊥平面ECA ，而DM ⊂平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM .（3）∵DM ⊥平面ECA ，DM ⊂平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .【例题2】【2018全国1卷理18】如图，四边形ABCD 为正方形,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,以DF 为折痕把△DFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF ⊥BF . 证明:平面PEF ⊥平面ABFD ;【答案】证明略【解析】证明：（1）因为四边形ABCD 为正方形，且E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以EF BF ⊥，又因为,,,PF BF EF PF PEF EF PF F ⊂⋂=⊥面，所以BF ⊥面PEF ，而BF ABFD ⊂面，所以平面PEF ⊥平面ABFD .【总结与反思】（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA .（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面.由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形.从而证明DM ⊥平面ECA .面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决课堂练习【基础】1、下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32、已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α B ．若m ⊥α，n ⊥α，则n ⊥m C ．若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β D ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β3、如图所示，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．14、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱B 1C 1、B 1B 的中点． 求证：CF ⊥平面EAB ．5.【2018全国1卷文18】如图,在平行四边形ABCM 中, AB =AC =3,∠ACM =90°.以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点D 的位置,且AB ⊥DA . 证明:平面ACD ⊥平面ABC ;答案与解析 1、【答案】B【解析】只有④正确． 2、【答案】C【解析】A 中还有可能n ⊂α；B 中n ∥m ；D 中还有可能m ∥β或m ⊂β或相交不垂直；C 中，由于m ∥β，设过m 的平面γ与β交于b ，则m ∥b ，又m ⊥α，则b ⊥α，又b ⊂β，则α⊥β，所以C 正确． 3、【答案】A 【解析】⎭⎬⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎬⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ．4、【答案】证明 在平面B 1BCC 1中，∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 【解析】利用全等三角形的性质证明垂直. 5.【答案】（1）详见解析 【解析】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形//CM AB ∴,又90ACM ∠=,即AC CM ⊥AB DA ∴⊥又,AB DA AC DA A ⊥=AB ∴⊥平面ADCAB ⊂平面ABC∴平面ACD ⊥平面ABC 【巩固】1、从平面外一点P 向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A ，B ，C ，如果PA ＝PB ＝PC ，有如下命题：①△ABC 是正三角形；②垂足是△ABC 的内心； ③垂足是△ABC 的外心；④垂足是△ABC 的垂心． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1D 1 3、如图，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB =BC =21AD ,E ,F 分别为线段AD ，PC 的中点.（Ⅰ）求证：AP ∥平面BEF （Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC4、如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA =AD =a ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求证：平面MND ⊥平面PCD5.【2016全国1卷理18】如图，在以F E D C B A ,,,,,为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，FD AF 2=,︒=∠90AFD ,且二面角E AF D --与二面角F BE C --都是︒60 证明：EFDC ABEF 平面平面⊥:答案与解析 1、【答案】A【解析】PO ⊥面ABC ．则由已知可得，△PAO 、△PBO 、△PCO 全等，OA ＝OB ＝OC ， O 为△ABC 外心． 只有③正确2、【答案】B【解析】证BD ⊥面CC 1E ，则BD ⊥CE ．3、【答案】（Ⅰ）连接AC 交BE 于点O ，连接OF ，不妨设AB =BC =1,则AD =2,//,BC AD BC AB =∴四边形ABCE 为菱形AP OF PC AC F O //,,∴中点，分别为又BEF AP BEF OF 平面，平面//∴⊂（Ⅱ）CD AP PCD CD PCD AP ⊥∴⊂⊥,平面，平面CD BE BCDE ED BC ED BC //,,//∴∴=为平行四边形， ,PA BE ⊥∴AC BE ABCE ⊥∴为菱形，又PAC AC PA A AC PA 平面、又⊂=⋂, ,PAC BE 平面⊥∴【解析】通过线线垂直证明线面垂直，利用了菱形的性质.4、【答案】取PD 中点E ，连结EN ，EA ，则EN CDAM ，∴四边形ENMA 是平行四边形， ∴EA ∥MN ．∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD ， ∴AE ⊥平面PCD ， 从而MN ⊥平面PCD ， ∵MN 平面MND ，∴平面MND ⊥平面PCD ．【解析】通过线线垂直证明线面垂直，又利用线面垂直证明面面垂直. 5.【答案】：（Ⅰ）见解析： 【解析】：（Ⅰ）∵ABEF 为正方形∴AF EF ⊥ ∵90AFD ∠=︒ ∴AF DF ⊥ ∵=DF EF F ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF∴平面ABEF ⊥平面EFDC【拔高】1、α、β、γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是( ) A ．n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α B ．α∩γ＝m ，α⊥γ，β⊥γ C ．α⊥γ，β⊥γ，m ⊥α D ．α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l2、(2014·聊城堂邑中学模拟)若a ，b ，c 是空间三条不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列命题中不正确的是( )A ．若c ⊥α，c ⊥β，则α∥βB ．若b ⊂α，b ⊥β，则α⊥βC ．若b ⊂α，a ⊄α且c 是a 在α内的射影，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当b ⊂α且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c3、如图，PA ⊥正方形ABCD ，下列结论中不正确的是( )21⊂A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD4、如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，E为CD 上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C；5.【2019全国2卷文17】如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.证明：BE⊥平面EB1C答案与解析1、【答案】A【解析】由n⊥α，n⊥β知α∥β，又m⊥α，∴m⊥β，但当m⊥β时，n⊥α，n⊥β不一定成立，故选A.2、【答案】D【解析】对于A，若c⊥α，c⊥β，则α∥β，根据一条直线同时垂直于两个不同的平面，则可知结论成立．对于B，若b⊂α，b⊥β，则α⊥β，符合面面垂直的判定定理，成立．对于C，当b⊂α，a⊄α且c是a在α内的射影，若b⊥c，则a⊥b符合三垂线定理，成立．对于D，当b⊂α且c⊄α时，若c∥a，则b∥c，线面平行，不代表直线平行于平面内的所有的直线，故错误．选D3、【答案】C【解析】由CB ⊥BA ，CB ⊥PA ，PA ∩BA ＝A ，知CB ⊥平面PAB ，故CB ⊥PB ，即A 正确；同理B 正确；由条件易知D 正确，故选C .4、【答案】如图，过点B 作CD 的垂线交CD 于点F ，则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2.在Rt △BFE 中，BE ＝BF 2＋EF 2＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝BF 2＋CF 2＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD ，得BE ⊥BB 1， 又BC ∩BB 1＝B ，所以BE ⊥平面BB 1C 1C . 【解析】利用勾股定理证明垂直5.【答案】：（1）见解析；【知识点】：空间位置关系的推导，空间几何体的体积； 【考察能力】：空间想象能力，运算分析能力；【解析】：（1）证明：由长方体性质，⊥11C B 平面B B AA 11，所以⊥11C B BE ；又1EC BE ⊥，1111C EC C B = ，所以⊥BE 平面11C EB课堂小结本节讲了2个重要内容： 1、空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法有：①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)； ②线面垂直的性质(若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b )；③面面垂直的定义：两平面相交形成的二面角的平面角为90°． (2)判定线面垂直的方法有：①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法有：①根据定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．垂直关系的转化是：课后练习【基础】1、下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有( )A．4个B．1个C．2个D．3个2、已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面ABC 于H，则垂足H是△ABC的( )A．外心B．内心C．垂心D．重心3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BD C．A1D D．A1D14、如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1C B．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段5.【2018全国2卷文19】如图，在三棱柱P-ABC中，AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.证明：PO⊥平面ABC答案与解析1.【答案】C【解析】②和④对2.【答案】C如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，∴BC⊥面APH，BC⊥AH．同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．【解析】利用线面垂直的性质3．【答案】B【解析】证BD⊥面CC1E，则BD⊥CE．4．【答案】A【解析】连接AC，AB1，B1C，∵BD ⊥AC ，AC ⊥DD 1， BD ∩DD 1＝D ， ∴AC ⊥面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1， 同理可证BD 1⊥B 1C ， ∴BD 1⊥面AB 1C ．∴P ∈B 1C 时，始终AP ⊥BD 1，选A ．5.【答案】（1）连接OB ，证明,PO AC ⊥利用勾股定理证明,PO OB ⊥即可证明 【解析】（1）连接OB ,由PAC ∆为等边三角形PO AC ∴⊥,且PO =在ABC ∆中，4AB BC AC ===,ABC ∴∆是等腰直角三角形，122BO AC ∴== 又222PO OB PB +=,PO OB ∴⊥,,AC OB O AC OB =⊂平面ABC PO ∴⊥平面ABC【巩固】1.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)2.某几何体的三视图如图所示，P 是正方形ABCD 对角线的交点，G 是PB 的中点．(1)根据三视图，画出该几何体的直观图； (2)在直观图中，①证明：PD ∥面AGC ； ②证明：面PBD ⊥面AGC ．3.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．4. 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交，，．求证：AE SB，，于E F GSB SC SD⊥，AG SD⊥．5.【2019全国3卷文19】图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.图1 图2 答案与解析1．【答案】DM ⊥PC (答案不唯一) 【解析】由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC 时， 即有PC ⊥平面MBD ， 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD .2. 【答案】(1)解 该几何体的直观图如图所示(2)①证明 连接AC ，BD 交于点O ，连接OG ，因为G 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以OG ∥PD ．又OG ⊂面AGC ，PD ⊄面AGC ，所以PD ∥面AGC ．②证明 连接PO ，由三视图，PO ⊥面ABCD ， 所以AO ⊥PO ． 又AO ⊥BO ， 所以AO ⊥面PBD ． 因为AO ⊂面AGC ， 所以面PBD ⊥面AGC ．A【解析】通过三视图证明垂直3.【答案】证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD．【解析】通过线面垂直证明面面垂直4.【答案】∵SA⊥平面ABCD，⊥．∴SA BC⊥，∵AB BC∴BC⊥平面SAB．又∵AE⊂平面SAB，⊥．∴BC AE∵SC⊥平面AEFG，⊥．∴SC AE∴AE⊥平面SBC．⊥．∴AE SB⊥同理可证AG SD【解析】通过线面垂直证明线线垂直5.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）4【知识点】面面垂直判定，面积计算；【考查能力】运算求解能力，推理论证能力，空间想象能力【解析】解：（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，连结EM ，DM .因为AB //DE ，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG . 由已知，四边形BCGE 是菱形，且∠EBC =60°得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM .因此DM ⊥CG .在Rt △DEM 中，DE =1，EM =√3，故DM =2. 所以四边形ACGD 的面积为4.【拔高】1. 如图所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A —BCD ，则在三棱锥A —BCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDC D.平面ADC ⊥平面ABC 2.如图，PA ⊥正方形ABCD ，下列结论中不正确的是( )A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BD D ．PA ⊥BD 3. 直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( )A ．a ⊥βB ．a ∥βC ．a ⊂βD ．a ⊂β或a ∥β4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.5. 【2019全国3卷文理8】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案与解析1.【答案】D【解析】∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC ⊥平面ADC .2.【答案】C【解析】由CB ⊥BA ，CB ⊥PA ，PA ∩BA ＝A ，知CB ⊥平面PAB ，故CB ⊥PB ，即A 正确；同理B 正确；由条件易知D 正确3．【答案】D【解析】略4.【答案】 证法一 如图(1)，取PA 的中点H ，连接EH ，DH .图(1)因为E 为PB 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB . 又AB ∥CD ，CD ＝12AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD .图(2)证法二 如图(2)，连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB . 又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD . 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)证明因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC.又AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.5.【答案】B【知识点】空间几何体的计算和空间中两直线位置关系【考查能力】空间想象能力，运算求解能力【解析】如图，过E，F做CD的垂线交于F、G两点连接FN，GB，设正方形边长为4，由题知三角形EFN和三角形BMG都是直角三角形.所以BM EN.又因为，，分别是DE BDDE BD=D M N、相交，中点，BM EN.。