高中数学 第二章 平面向量 2_2 向量的分解与向量的坐标 2_2_3 用平面向量坐标表示向量共线条件学案
高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算课
∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),
即(-12,8)=(m+2n,3m+4n),
可得
������ + 2������ = -12, 解得 3������ + 4������ = 8,
������ = 32, ������ = -22.
∴������������ + ������������ + ������������=32������������-22������������.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
本例中,试以������������, ������������为一组基底表示������������ + ������������ + ������������.
解:������������=(1,3),������������=(2,4),������������=(-3,5),������������=(-4,2),������������=(-5,1),
������2
=
-
3 2
,
解得
������1 = -3,
1 2
������2
=
-
3√3 2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
向量的坐标表示 【例1】 如图所示,分别用基底i与j表示向量a,b,c,d,并求出它们 的坐标.
解:由题图可知, a=������������1 + ������������2=2i+3j, 所以a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3);
c=-2i-3j=(-2,-3);
∴������������ + ������������ + ������������=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,知一定存在实数 m,n,使得
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A必修4 (1)1
【解析】 (1)正确．对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表 示相同．
(2)错误．以 A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等． (3)正确．由平面向量坐标的概念可知． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
教材整理 2 平面向量的坐标运算 阅读教材 P96“思考”以下至 P97 例 4 以上内容，完成下列问题． 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝___(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_) _，即两个向量 和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝_(_x_1－__x_2_，__y_1_－__y2_)___，即两个向量 差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝_(_λx_，__λ_y_)__，即实数与向量的积的坐标等于
A．(0，－7)
B．(0,7)
C．(－1,3)
D．(12，－1)
【解析】 3a－2b＝3(2,1)－2(3，－2)
＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7)．
【答案】 B
2．已知 A(3,1)，B(2，－1)，则B→A的坐标是( )
A．(－2，－1)
B．(2,1)
C．(1,2)
D．(－1，－2)
【解析】 B→A＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．
5)＝(1,3)，所以xy＋－25＝＝13，， 解得xy＝＝－8，1， 所以点 B 的坐标为(－1,8)． (2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1,1)．
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1) (3)由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的交 点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得 x1＝cos 30°＝ 23，y1＝sin 30°＝12，所以 B 23，12. x2＝cos 120°＝－12，y2＝sin 120°＝ 23， 所以 D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算不同．1．向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2，则对任一向量a ，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量.(4)向量的坐标：设点A 的坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )．符号(x ，y )在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，就常说点(x ，y )，或向量(x ，y )．名师点拨同一个向量不论怎样平移，其坐标都是唯一的．这一结论告诉我们，当一个向量在原来位置不容易解决问题时，可以通过平移到合适的位置再进行处理，这样可以使得问题得以转化．与坐标轴平行的向量的坐标有何特点？答：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即b ＝(0，y )；与y 轴平行的向量的横坐标为0. 【自主测试1】已知{e 1，e 2}为正交基底，且e 1，e 2为单位向量，a 在此基底下的坐标为(2 011，－2 012)，且a ＝x e 1＋y e 2，则x ＝__________，y ＝__________.答案：2 011 －2 012 2．向量的直角坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a±b ＝(a 1±b 1，a 2±b 2)，即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；若λ∈R ，则λa ＝(λa 1，λa 2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．归纳总结(1)在同一直角坐标系中，两向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如A (3,5)，B (6,8)，C (－5,3)，D (－2,6)，则AB →＝(3,3)，CD →＝(3,3)，显然AB →＝CD →，但A ，B ，C ，D 各点的坐标却不相同．(2)在平面直角坐标系中，给出了向量的坐标，将向量的运算代数化，同时也给出一种用向量运算解决问题的方法——向量坐标法．【自主测试2－1】已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( ) A ．(5,3) B ．(4，－1) C ．(－2，－1) D ．(－3，－3) 答案：D【自主测试2－2】已知向量ON ＝(9，－7)(O 为原点)，则点N 的坐标为( ) A ．(9，－7) B ．(9,7)C ．(－9,7)D ．(－9，－7) 答案：A对平面向量的坐标表示的理解剖析：(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y )．(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．(3)在同一直角坐标系中，向量确定后，向量的坐标就被确定了，相等的向量，其坐标的表示必然相同．(4)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．题型一 求向量的坐标【例题1】已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为线段AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．分析：表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→得相应向量的坐标 解：如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.反思(1)向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．〖互动探究〗本例中，在原条件的基础上，加上“E 为线段AB 的中点，G 为三角形ABC的重心”，求向量CE →，AG →，BG →，GD →的坐标．解：CE →＝(0，－3)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，BG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33，GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36.题型二 平面向量的坐标运算【例题2】已知a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与MN →相等，其中M (－1,3)，N (1,3)，求x 的值．分析：先用坐标表示出向量MN →，然后根据两向量相等的充要条件列出关于x 的关系式．解：∵M (－1,3)，N (1,3)，∴MN →＝(2,0)．又∵a ＝MN →，∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1. 故x 的值为－1.反思向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行．若已知表示向量的有向线段的两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【例题3】已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)和D (－2,3)，以AB ，AC 为一组基底来表示AD ＋BD ＋CD .分析：首先由点A ，B ，C 的坐标求得向量AB ，AC ，AD ，BD ，CD 等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，再列出关于m ，n 的方程组，进而解方程求出m ，n 的值．解：AB ＝(1,3)，AC ＝(2,4)，AD ＝(－3,5)，BD ＝(－4,2)，CD ＝(－5,1)， ∴AD ＋BD ＋CD ＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m ，n ，使得AD ＋BD ＋CD ＝mAB →＋nAC →，即(－12,8)＝m (1,3)＋n (2,4)，也就是(－12,8)＝(m ＋2n,3m ＋4n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝－12，3m ＋4n ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝－22.∴AD ＋BD ＋CD ＝32AB →－22AC →.反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目，求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点，尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标．题型三 用向量法证明几何问题【例题4】如图所示，正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量方法证明PA ＝EF .分析：本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标法来解决，为此只要写出PA 和EF 的坐标，证明其模相等即可．证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a ，则A (0，a )．设|D P →|＝λ(λ＞0)，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫22λ，22λ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，22λ，∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22λ－a ，－22λ，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22λ，a －22λ.∵|EF |2＝λ2－2a λ＋a 2，|PA |2＝λ2－2a λ＋a 2， ∴|EF |＝|PA |，即PA ＝EF .反思直接证明几何命题有时较复杂，但合理建立坐标系，利用向量的坐标运算将几何中的边或角进行转换，往往能起到事半功倍的效果．题型四 易错辨析【例题5】已知A (3,5)，B (－2，－3)，将线段AB 向左平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段A ′B ′，则向量A ′B ′→的坐标为__________．错解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根据平移，得A ′B ′→＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．错因分析：向量是自由向量，向量的平移不会改变其坐标，但会影响其始点和终点的坐标．正解：∵A (3,5)，B (－2，－3)，∴AB ＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．又∵A ′B ′→＝AB ，∴A ′B ′→＝(－5，－8)．1．已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－2)，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为( ) A ．(0,0)，(－2,4) B ．(0,0)，(2，－4) C ．(－2,4)，(2，－4) D ．(1，－1)，(－3,3) 答案：A2．已知AB ＝(x ，y )，点B 的坐标为(－2,1)，则OA 的坐标为( ) A ．(x －2，y ＋1) B ．(x ＋2，y －1) C ．(－2－x,1－y ) D ．(x ＋2，y ＋1) 解析：∵AB ＝OB －OA ，∴OA ＝OB －AB ＝(－2－x ，1－y )． 答案：C3．已知a ＝(－7,24)，|λa |＝50，则λ等于__________．解析：∵|λa |＝|λ||a |＝－2＋242|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2.答案：±24．已知A (3，－1)，则OA 所在的直线与x 轴所夹的锐角为__________．解析：易知点A 在第四象限，如图，作AH ⊥x 轴于点H ，则在Rt △AHO 中，AH ＝1，HO＝3，则tan ∠HOA ＝33，故∠HOA ＝30°.答案：30°5．若作用在坐标原点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则作用在原点的合力F 1＋F 2＋F 3的坐标为__________．答案：(8,0)6．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求出下列位移向量的坐标(如图所示)．(1)向量a 表示沿东北方向移动了2个单位长度；(2)向量b 表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度； (3)向量c 表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．解：如题图所示，设OP →＝a ，OQ →＝b ，OR →＝c ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，R (x 3，y 3)． x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为e 1，e 2.(1)因为∠POP ′＝45°，|OP →|＝2，所以a ＝OP →＝OP ′→＋P ′P →＝2e 1＋2e 2. 所以a ＝(2，2)．(2)因为∠QOQ ′＝60°，|OQ →|＝4，所以b ＝OQ →＝OQ ′→＋Q ′Q →＝－2e 1＋23e 2. 所以b ＝(－2,23)．(3)因为∠ROR ′＝30°，|OR →|＝6，所以c ＝OR →＝OR ′→＋R ′R →＝33e 1－3e 2. 所以c ＝(33，－3)．。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
高中数学第二章平面向量2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算课时训练（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算课时训练（含解析）新人教A 版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2。
3。
2 平面向量的正交分解及坐标表示2。
3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1。
掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念,会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标,________________叫作向量的坐标表示．（3）向量坐标的求法:在平面直角坐标系中，若A (x ，y ），则错误!＝________，若A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)，则错误!＝________________________。
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件
课前导引
情景导入
我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的位置关系.还记得吗,关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）可以表示一条直线.怎样体现两条直线平行？向量的共线又如何用坐标表示呢？
提示:直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0可以用系数A1、B1、C1、A2、B2、C2来表示，即A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0.与此类似，向量a=（x1,y1)与b=（x2,y2)平行也可以用它们的坐标来表示，即x1y2-x2y1=0.
知识预览
设a=（a1,a2),b=(b1,b2)，则a，b共线的充要条件为a1b2-a2b1=0.
用语言表述为两个向量平行的条件是，相应坐标成比例.
1。
[精品课件]高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算课件
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【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)
=(-2，4)+(6，3)=(4，7)．
(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)
=(-7，-1)．
3 1 a 1 b 1 1，2 1 (2，1) ( 1，1) ( 2，1) ( 7，2).
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_x_i_+y_j_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐标：i=__(1_，__0_) _，j=__(0_，__1_) _，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ ∈R，则有下表：
所以
AB (
3，1)，AD ( 1， 3 ).
22
22
答案：( 3，1)
22
( 1， 3) 22
【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且 |a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.
【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角， 要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形 式，然后写出其相应的坐标.
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类型三 由相等向量求坐标
【典例】1.(2015·江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若
ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.
2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若AC 3 AB，BD 4 BA，则 CD的坐标为____.
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高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向
．平面向量的正交分解及坐标表示．平面向量的坐标运算学习目标.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量与的夹角是°，则称向量与垂直，记作⊥.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是°，且＝，以向量，为基底，如何表示向量?答案＝＋.思考在平面直角坐标系内，给定点的坐标为()，则点位置确定了吗？给定向量的坐标为＝()，则向量的位置确定了吗？答案对于点，若给定坐标为()，则点位置确定．对于向量，给定的坐标为＝()，此时给出了的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此的位置不确定．思考设向量＝()，为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？点坐标是多少？答案向量的坐标为＝()，点坐标为()．梳理()平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得＝＋.平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)．②在直角坐标平面中，＝()，＝()，＝()．()点的坐标与向量坐标的区别和联系思考 设，是分别与轴、轴同向的两个单位向量，若设＝(，)，＝(，)，则＝＋，＝＋，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ(λ∈)如何分别用基底，表示？ 答案 ＋＝(＋)＋(＋)， －＝(－)＋(－)，λ＝λ＋λ. 梳理 设＝(，)，＝(，)，段的终点的坐标减去始点的坐标．．相等向量的坐标相等．( √ )．在平面直角坐标系内，若(，)，(，)，则向量＝(－，－)．( × ) 提示 ＝(－，－)．．与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为：＝()，＝()．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例 如图，在平面直角坐标系中，＝，＝，∠＝°，∠＝°，＝，＝.四边形为平行四边形．()求向量，的坐标；()求向量的坐标；()求点的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解()作⊥轴于点，则＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∴(，)，故＝(，)．∵∠＝°－°＝°，∠＝°，∴∠＝°.又∵＝＝，∴，∴＝＝，即＝.()＝－＝.()＝＋＝(，)＋＝.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练在平面直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设＝(，)，＝(，)，＝(，)，则＝°＝×＝.＝°＝×＝，＝°＝×＝－，＝°＝×＝，＝(－°)＝×＝，＝(－°)＝×＝－.因此＝(，)，＝，＝(，－)．类型二平面向量的坐标运算例已知＝(－)，＝()，求：()＋；()－；()－.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解()＋＝(－)＋()＝(－)＋()＝()．()－＝(－)－()＝(－)－()＝(－，－)．()－＝(－)－()＝－＝.反思与感悟向量坐标运算的方法()若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．()若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．()向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量等于( )．(－，－) ．()．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，即＝－，＝－，故(－，－)，则＝(－，－)，故选.类型三平面向量坐标运算的应用例已知点()，()，()．若＝＋λ(λ∈)，试求λ为何值时：()点在第一、三象限的角平分线上；()点在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点的坐标为(，)，则＝(，)－()＝(－，－)，＋λ＝()－()＋λ[()－()]＝()＋λ()＝(＋λ，＋λ)．∵＝＋λ，且与不共线，∴则()若点在第一、三象限角平分线上，则＋λ＝＋λ，∴λ＝.()若点在第三象限内，则∴λ<－.反思与感悟()待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．()坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练已知平面上三点的坐标分别为(－)，(－)，()，求点的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－，－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－－)，且＝，得(－)，故点坐标为()或()或(－).．已知＝()，＝(，－)，则－等于( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析－＝()－(，－)＝＝(－)．．已知向量＝(，－)，＝(－，－)，则向量的坐标是( )．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析∵＝－＝(－)，∴＝.．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，()，且＝，则顶点的坐标为( )．() ．()考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案解析设点坐标为(，)，则＝()，＝(，－)，由＝，得∴，∴.．已知向量＝(，－)，＝()，＝()，若＝＋，则＋＝.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析由于＝＋，即()＝(，－)＋()＝(＋，－＋)，所以＋＝且－＋＝，解得＝，＝，所以＋＝.．已知点()，(－)，且＝，则点的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案()解析设(，)，则(－，－)＝(－)＝(－)，∴＝，＝.．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若(，)，(，)，则＝(－，－)．．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题．已知()，()，则的坐标是( )．(，－) ．(－) ．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析＝()－()＝(－)．．已知－＝()，＋＝(，－)，则等于( )．(－，－) ．()．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案．若向量＝()，＝(－)，＝()，则等于( )．－．＋．－＋．＋考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案解析设＝＋，则解得∴＝－.．已知两点()，(，－)，则与向量同向的单位向量是( )考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为与同向的单位向量为，＝(，－)－()＝(，－)，＝＝，所以＝.．如果将＝绕原点逆时针方向旋转°得到，则的坐标是( )．(－，)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为＝所在直线的倾斜角为°，绕原点逆时针方向旋转°得到所在直线的倾斜角为°，所以，两点关于轴对称，由此可知点坐标为，故的坐标是，故选.．已知(－)，(，－)，点是线段上的点，且＝－，则点的坐标为( )．(－) ．(，－)．() ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标．若α，β是一组基底，向量γ＝α＋β(，∈)，则称(，)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量在基底＝(，－)，＝()下的坐标为(－)，则在另一组基底＝(－)，＝()下的坐标为( ) ．() ．(，－)．(－) ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析∵在基底，下的坐标为(－)，∴＝－＋＝－(，－)＋()＝()．令＝＋＝(－＋，＋)，∴解得∴在基底，下的坐标为()．二、填空题．已知平面上三点(，－)，()，(－)，则－的坐标是．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案(－)．已知(－)，(，－)，(－，－)，＝，＝，则的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(，－)解析＝()＝()，＝()＝()，＝－＝()－()＝(，－)．.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则的值为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析以向量和的交点为原点建立平面直角坐标系，则＝(－)，＝()，＝(－，－)，根据＝λ＋μ得(－，－)＝λ(－)＋μ()，有－λ＋μ＝－，λ＋μ＝－，解得λ＝－且μ＝－，．已知()，()，且＝(α，β)，α，β∈，则α＋β＝. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案或－解析因为＝(－)＝＝(α，β)，所以α＝－且β＝，∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－.三、解答题．已知点(－)，()及＝，＝－，求点，和的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点(，)，(，)，由题意可得＝(＋，－)，＝()，＝(－－－)，＝(－，－)．∵＝，＝－，∴(＋，－)＝()＝()，(－－－)＝－(－，－)＝()，则有和解得和∴，的坐标分别为()和(－)，∴＝(－，－)．．已知＝()，＝(－)，＝()，求＝＋＋，并用基底，表示. 考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解＝＋＋＝()＋(－)＋()＝()＋(－)＋()＝()．设＝＋＝()＋(－)＝(－，＋)，与不共线，则有解得∴＝＋.四、探究与拓展．已知点(，－)与(－)，点在直线上，且＝，求点的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解设点坐标为(，)，＝.当在线段上时，＝.∴(－，＋)＝(－－－)，∴解得∴点坐标为.当在线段延长线时，＝－.∴(－，＋)＝－(－－－)，∴解得综上所述，点的坐标为或(－)．．已知点()，()，()，及＝＋.()为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？()四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解()＝＋＝()＋()＝(＋＋)，若点在轴上，则＋＝，∴＝－.若点在轴上，则＋＝，∴＝－，若点在第二象限，则∴－<<－.()＝()，＝－＝(－－)．若四边形为平行四边形，则＝，∴该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．。
高中数学第二章平面向量2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人
AB
1.平面向量坐标的相关概念
【思考】 (1)正交分解与平面向量基本定理有何联系? 提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时). (2)向量的坐标就是其终点的坐标吗? 提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量 不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向 量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.
【拓展延伸】
线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)
的点,且满足 | P 1 P |
|PP2 |
=λ,即 P 1 P
=λP P 2
,则点P的坐标为(x1＋x2， y1＋y2).
1＋ 1＋
【拓展训练】 证明上述命题的正确性.
【补偿训练】 已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分 A B 的比 λ的值.
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4, 分别计算出它们的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法
(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
【题组训练】 1.(2020·济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 A P ＝ A B ＋ A C
(λ∈R),试求λ为何值时, (1)点P在一、三象限角平分线上. (2)点P在第三象限内.
2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 O P ＝ O A ＋ tA B .是否存在t值,使四边形OABP 为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、向量a =AB 的坐标如图,在直角坐标系内,我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y,使得a=x i +y j . 我们把(x,y)叫做向量a 的(直角)坐标,记作a=(x,y).(*)其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a 相等的向量的坐标也为(x,y).特别地,i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0).【例1】 在直角坐标系xOy 中,向量a 、b 、c 的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.思路分析：利用任意角的三角函数定义,若a =(a 1,a 2),a 的方向相对于x 轴正向的转角为θ,则有⎩⎨⎧==.sin ||,cos ||21θθa a a a 解:设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),c =(c 1,c 2),则a 1=|a |cos45°=2×22=2, a 2=|a |sin45°=2×22=2, b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-, b 2=|b |sin120°=3×23323=, c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=,c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2, 因此a=(2,2),b=(233,23-),c=(32,-2). 各个击破类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA=60°,求向量OA 的坐标. 思路分析:要求向量OA 的坐标，就是要求OA 在x 、y 轴上的坐标，为此可通过三角函数求解.解:设点A 的坐标为（x,y),则x=|OA |·cos60°=34×3221=, y=|OA |sin60°=34×23=6,即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1如图,正方形ABCD 中,P 是对角线BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量证明PA=EF.思路分析:用向量的坐标法证明,只要写出PA 与EF 的坐标,利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系,考虑到四边形ABCD,故可以D 点为坐标原点,以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴,建立坐标系.证明:建立如图所示的坐标系,设正方形的边长为a,|DP |=λ(λ>0),则A(0,a),P(22λ,22λ),E(a,22λ),F(22λ,0), ∴=(22-λ,a -22λ),=(22λ-a,22-λ). ∵||2=λ2-2aλ+a 2,||2=λ2-2aλ+a 2, ∴|PA |2=|EF |2,故PA=EF.二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2),即两个向量的和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2),即两个向量的差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则=(x 2-x 1,y 2-y 1),即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1,a 2),λ∈R ,则λa =(λa 1,λa 2),即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.【例2】 已知点A(-1,2),B(2,8)及AC =31AB ,DA =-31BA ,求点C 、D 和CD 的坐标. 思路分析：根据题意可设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),然后利用=31AB 和DA =-31BA 相等关系可得关于x 1、y 1及x 2、y 2的方程组,可得C 、D 点坐标及坐标.解:设C 、D 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由题意可得AC =(x 1+1,y 1-2),=(3,6), DA =(-1-x 2,2-y 2),BA =(-3,-6), ∵AC =31AB ,DA =-31BA , ∴(x 1+1,y 1-2)=31(3,6),(-1-x 2,2-y 2)=-31(-3,-6),也就是(x 1+1,y 1-2)=(1,2),(-1-x 2,2-y 2)=(1,2). ∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C、D 的坐标分别为(0,4)、(-2,0). 因此=(-2,-4).类题演练 2(1)设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标.(2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1,-3)、(-2,4)、(0,5),求3a -b +c 的坐标.解:(1)a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3),a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7),3a =3(-1,2)=(-3,6),2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).(2)3a -b +c =3(1,-3)-(-2,4)+(0,5)=(3,-9)-(-2,4)+(0,5)=(5,-8).变式提升 2 用坐标法证明++=0.思路分析:先设出点A 、B 、C 的坐标，然后根据向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标，求出AB 、BC 和CA 的坐标，再运用坐标运算证明等式.证明:设A （a 1,a 2)、B （b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则=(b 1-a 1,b 2-a 2),BC =(c 1-b 1,c 2-b 2),CA =(a 1-c 1,a 2-c 2), ∴AB +BC +CA =(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0,0). ∴+BC +CA =0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A 、B 、C 是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一,几何图形中的法则是代数运算的几何含义,坐标运算是图形关系的精确表示,二者的法则互为补充.因此,向量的坐标运算是数与形的有机结合,为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.【例3】 已知A （1，-2），B （2，1），C （3，2），D （-2，3），以，为一组基底表示++.思路分析:求解时，首先由点A 、B 、C 、D 的坐标求得向量，，，，的坐标.然后根据平面向量基本定理设++CD =m +n AC .最后列出关于m ，n 的方程组求解. 解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），=（-4，2），=（-5，1）. 设++CD =m +n AC ,∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),即(-12,8)=(m+2n,3m+4n).∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得++=32-22. 温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.类题演练 3已知向量a =(x+3,x-3y-4)与AB 相等，若A （1，2），B （3，2），求x 、y 的值. 解:=-=（3，2）-（1，2）=（2，0）.∵a =，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x故x=-1,y=35-. 温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.变式提升 3如图,在ABCD 中,M 、N 分别为DC 、BC 的中点,已知AM =c ,AN =d ,试用c 、d 表示AB 和AD .思路分析:直接用c 、d 表示、比较困难,利用“正难则反”的原则,可先用、表示c 、d ,再来解关于、的方程组.解:设=a ,=b ,则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得=21b ,DM =21a . +DM =,即b +21a =c .① AB +BN =AN ,即a +21b =d .② 由①②可得a =32(2d -c),b =32(2c -d ), 即=32(2d-c ),=32(2c -d).。
高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理课件新人教B版必修4
1
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【做一做 1-2】 在四边形 ABCD 中,设������������=a,������������=b,用基底 a,b 表示������������=
答案:a-b
.
1
2
2.直线的向量参数方程式 已知 A,B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,则对于直线 l 上任 一点 P,存在实数 t,使������������关于基底{������������, ������������}的分解式为������������= (1-t)������������+t������������,这个等式叫做直线 l 的向量参数方程式,其中实数 t 叫 做参变数,简称参数.
1 2 1 2
1
2
【做一做 2】 已知 M 为线段 AB 的中点,O 为平面上任一 点,������������=x������������+y������������,则 x= ,y= .
1 x=y= . 2
解析: 由线段 AB 的中点的向量表达式,知 答案:
1 2 1 2
学习平面向量基本定理要注意的问题 剖析(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量; (2)该平面内的任意向量a都可用e1,e2线性表示,且这种表示是唯 一的; (3)对基底的选取不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都 可以作为一组基底; (4)教材中定理的证明,是用作图法证明了存在性,又用反证法证 明了唯一性. 名师点拨1.解题时,若基底没有给出,我们要选取合理的基底. 2.任一平面直线型图形,根据平面向量基本定理,都可以表示成某 些向量的线性组合,这样要解答几何问题,就可以先把已知和结论 表示为向量的形式,再通过向量的运算,达到解题的目的.
2.2
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2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件不要忽视它的存在．两个向量平行的坐标表示设向量a ＝(a 1，a 2)，向量b ＝(b 1，b 2)，则a∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0；如果向量b 不平行于坐标轴，即b 1≠0且b 2≠0，则a∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，即两个向量平行的条件是：相应坐标成比例．如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？ 答：判断两个共线向量的方向是同向还是反向，常用的方法是： 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向．【自主测试1】与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，25共线且方向相同的向量b 的坐标是( ) A ．(－1,2) B ．(4,8)C ．(2，3)D ．(－4，－8) 答案：B【自主测试2】已知A (1,2)，B (2,3)，C (5，t )三点共线，则t 的值为( ) A ．0 B ．5 C ．6D ．10解析：AB →＝(1,1)，BC →＝(3，t －3)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴1×(t －3)－1×3＝0，∴t ＝6. 答案：C解读向量平行的条件及用途剖析：向量平行的条件有三种表示形式： (1)a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ；(2)a ∥b ⇔a 1b 2－a 2b 1＝0，a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)；(3)a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2，a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，且b 1≠0，b 2≠0.另外应用向量平行(共线)的条件，可以证明向量共线、三点共线等问题．题型一 平面向量共线问题【例题1】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，(1)若u ∥v ，求实数x 的值；(2)若a ，v 不共线，求实数x 的取值范围．分析：对于第(1)问，利用共线向量的坐标表示出关于x 的方程即可；对于第(2)问，可先从反面入手．解：(1)因为a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x ＋1,14)，v ＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x ，－2)． 又因为u ∥v ，所以－2(2x ＋1)－14(2－x )＝0， 即10x ＝30，解得x ＝3. 故实数x 的值为3.(2)若a ，v 共线，则2(2－x )＝－2，解得x ＝3，所以要使a ，v 不共线，{x |x ∈R ，且x ≠3}即为所求．反思利用向量共线的条件求值的问题的处理思路：对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．〖互动探究〗已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，是否存在实数x ，m ，使(m a －b )∥(a ＋b )？若存在，求实数x ，m 的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在实数x ，m 满足题意，得m a －b ＝(mx ＋3,3m －x )，a ＋b ＝(x －3,3＋x )，由(m a －b )∥(a ＋b )，得(mx ＋3)(x ＋3)－(3m －x )(x －3)＝0，化简得(m ＋1)·(x 2＋9)＝0，故m ＝－1，x ∈R ，即存在m ＝－1，x ∈R 使(m a －b )∥(a ＋b ).题型二 三点共线问题【例题2】如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A ，B ，C 三点共线．分析：解答本题可直接利用共线条件来求解，也可根据单位向量i ，j ，利用向量的直角坐标进行运算．解：解法一：∵A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线，∴存在实数λ，使得AB →＝λBC →， 即i －2j ＝λ(i ＋m j )．于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2.故当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线．解法二：依题意，知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)， 则AB →＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， BC →＝(1,0)＋m (0,1)＝(1，m )． 而AB →，BC →共线，∴1×m －1×(－2)＝0. ∴m ＝－2.故当m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线． 反思利用向量证明三点共线的思路是：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两向量共线．由于两向量还过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线．题型三 向量共线在几何中的应用【例题3】已知△ABC 三个顶点分别是A (3,0)，B (4,4)，C (2,1)，试求AC 与OB 的交点坐标P (x ，y )(其中O 为坐标原点)．分析：利用O P →∥OB ，AP ∥AC 列出关于x ，y 的方程求解． 解：∵P 点在线段OB 上，∴OP 与OB 共线．又OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)，∴4y －4y ＝0，即x －y ＝0.①同理，AP 与AC 共线．由AP ＝(x －3，y )，AC ＝(－1,1)， 得x －3＋y ＝0.②由①②解得x ＝32，y ＝32.∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 反思解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解．题型四 易错辨析【例题4】已知点A (3，－4)，B (－9,2)，在直线AB 上有一点P ，且满足|AP |＝13|AB |，试求点P 的坐标．错解：设P (x ，y )，则AP ＝(x －3，y ＋4)，AB ＝(－12,6)，PB ＝(－9－x,2－y )．∵|A P →|＝13|AB |，∴AP ＝13AB ，即(x －3，y ＋4)＝13(－12,6)＝(－4,2)，解得x ＝－1，y ＝－2，∴点P 的坐标为(－1，－2)．错因分析：根据|AP |＝13|AB |，可以得到AP ＝13AB 和AP ＝－13AB 这两种情况，而错解中只考虑到了一种情况．正解：在错解的基础上再补充上AP ＝－13AB 这种情况，即(x －3，y ＋4)＝－13(－12,6)＝(4，－2)，∴x ＝7，y ＝－6.∴点P 的坐标为(7，－6)．综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．1．下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的是( ) A ．a ＝(－1,2)，b ＝(0,5) B ．a ＝(1,2)，b ＝(2,1) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(3,4) D ．a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)解析：我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．选项D 中两个向量共线，故不能作为一组基底．答案：D2．以下命题错误的是( )A ．若i ，j 分别是与平面直角坐标系中x 轴，y 轴同向的单位向量，则|i ＋j |＝|i －j |B ．若a ∥b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则必有x 1y 1＝x 2y 2C ．零向量的坐标表示为(0,0)D ．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标解析：对于选项B ，两个向量中，若有与坐标轴共线的向量或零向量，则坐标不能写成比例式．答案：B 3．(2012·山东济宁期末)已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，且a ∥b ，则x ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3 D ．3答案：B4．已知AB →＝e 1＋2e 2，CD →＝(3－x )e 1＋(4－y )e 2，其中e 1，e 2的方向分别与x 轴、y 轴的正方向相同，且为单位向量．若AB →与CD →共线，则点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．2x －y －2＝0B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2C ．x －2y ＋2＝0D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：AB →＝(1,2)，CD →＝(3－x,4－y )．又AB →与CD →共线，则有4－y 3－x ＝21，即2x －y －2＝0.故选A ． 答案：A5．若a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线且方向相同，则x ＝__________.解析：∵a 与b 共线，∴－2＋x 2＝0. ∴x ＝± 2.当x ＝2时，a ＝(－1，2)，b ＝(－2，2)＝2(－1，2)， 此时a 与b 同向；当x ＝－2时，a ＝(－1，－2)，b ＝(2，2)＝2(1，2)＝－2(－1，－2)， 此时a 与b 反向． 答案： 26．已知向量a ＝(x,3)，b ＝(－3，x )，则 ①存在实数x ，使a ∥b ；②存在实数x ，使(a ＋b )∥a ； ③存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥a ； ④存在实数x ，m ，使(m a ＋b )∥b .其中，叙述正确的序号为__________．解析：由于x 2＝－9无实数解，故①不正确；又a ＋b ＝(x －3,3＋x )，由(a ＋b )∥a 得3(x －3)－x (3＋x )＝0，即x 2＝－9，此方程无实数解，故②不正确；因为m a ＋b ＝(mx －3,3m ＋x )，由(m a ＋b )∥a 得(3m ＋x )x －3(mx －3)＝0，即x 2＝－9，此方程无实数解，故③不正确； 由(m a ＋b )∥b 得－3(3m ＋x )－x (mx －3)＝0，即m (x 2＋9)＝0，所以m ＝0，x ∈R ，故④正确． 答案：④ 7．向量PA ＝(k,12)，PB B →＝(4,5)，PC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解：BA ＝PA －PB ＝(k,12)－(4,5)＝(k －4,7)，CA ＝PA －PC ＝(k,12)－(10，k )＝(k －10,12－k )．∵A ，B ，C 三点共线，∴BA ∥CA ，即(k －4)(12－k )－7(k －10)＝0.整理，得k 2－9k －22＝0， ∴k ＝－2或k ＝11.∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．。