高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(简答题：一般)
高中数学同步练习 圆的一般方程
第四章 4.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2,－3)D ．(2,－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13,可知圆心坐标为(2,－3)．2．(2018·本溪市高一期中)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称,则k,b 的值分别为( A )A ．12,－4 B ．－12,4C ．12,4 D ．－12,－4[解析] 由题意知直线y ＝kx 与2x ＋y ＋b ＝0垂直,且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心,∴⎩⎪⎨⎪⎧k·－2＝－1，2×2＋0＋b ＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－4.3．(2018～2019·长沙高一检测)已知圆C 过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y ＝x －2上,则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0 D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知,圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上,又在直线y ＝x －2上,∴圆心C(3,1),半径r ＝|MC|＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4,即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．(2018·大连期末)圆心是C(2,－3),且经过原点的圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,因为圆C 经过原点,所以F ＝0,又圆心为(2,－3),所以D＝－4,E ＝6.因此,所求圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0.5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22,则a 的值为( C ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5,则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22,得|1－2＋a|2＝22,∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1),半径r ＝2,圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0),故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．(2018·山东省潍坊市期中)若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外,则实数a 的取值范围是(－∞,－2)∪(2,3).[解析] 若x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0表示圆,则(－a 2)＋(－2)2－4×2＞0,解得a ＜－2或a ＞2.若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外,则12＋22－a －2×2＋2＞0,解得a ＜3,所以实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,3)．8．圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0关于直线3x －4y ＋5＝0对称的圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y －6)2＝1,易知圆心C(－2,6),半径r ＝1.设所求的对称圆为圆C′：(x －a)2＋(y －b)2＝1,则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a ＋2＝－43，3×a －22－4×b ＋62＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，所以圆C′的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1,即x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径． [解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0, 可知D ＝－4m,E ＝2m,F ＝20m －20,∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2,因此,当m ＝2时,D 2＋E 2－4F ＝0,它表示一个点,当m≠2时,D 2＋E 2－4F>0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m,－m),半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m)2＋(y ＋m)2＝5(m －2)2,因此,当m ＝2时,它表示一个点, 当m≠2时,原方程表示圆的方程．此时,圆的圆心为(2m,－m),半径为r ＝5|m －2|. 10．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． [解析] 解法一：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1,线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0,得圆心坐标为M(1,－1),半径r ＝|MA|＝5,∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限,那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a,－32b),则a<0,b>0.直线y ＝－1a x －b a ,其斜率k ＝－1a >0,在y 轴上的截距为－ba >0,所以直线不经过第四象限,故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10,则圆心坐标为M(1,3),半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径,则|AC|＝210.BD 是过点E 的最短弦,则点E 为线段BD 的中点,且AC ⊥BD,E 为AC 与BD 的交点,则由垂径定理可是|BD|＝2|BM|2－|ME|2＝210－[1－02＋3－12]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC||BD|＝12×210×25＝10 2.3．已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1过点A(1,0),则圆C 的圆心的轨迹是( D ) A ．点 B ．直线 C ．线段D ．圆[解析] ∵圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1过点A(1,0),∴(1－a)2＋(0－b)2＝1,即(a －1)2＋b 2＝1,故圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆．4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长,则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( B )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10[解析] 由题意,得直线l 过圆心M(－2,－1), 则－2a －b ＋1＝0,则b ＝－2a ＋1,所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5, 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上,则a ＝－2.[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心, ∴－1＋a2＋2＝0,∴a ＝－2.6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,则x 2＋y 2的最大值是5＋3.[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x,y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝x －02＋y －02,表示动点(x,y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方,得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9,它表示以C(－2,1)为圆心,3为半径的圆,而原点的圆内．连接CO 交圆于点M,N,由圆的几何性质可知,MO 的长即为所求的最大值．7．(2018·天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.[解析] 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2①1－a 2＋1－b 2＝r 2 ②2－a 2＋b 2＝r 2 ③，,由①－③,得a＝1,代入②,得(1－b)2＝r 2,结合①,得b ＝0,所以r 2＝1,故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.方法三 记A(0,0),B(2,0),C(1,1),连接AB,由圆过点A(0,0),B(2,0),知AB 的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC,又圆过点C(1,1),BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,BC 所在直线的斜率k BC ＝－1,所以BC 的垂直平分线为直线y ＝x －1,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1,0),半径为1,故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.三、解答题8．设圆的方程为x 2＋y 2＝4,过点M(0,1)的直线l 交圆于点A 、B,O 是坐标原点,点P 为AB 的中点,当l 绕点M 旋转时,求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x,y)、A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)． 因为A 、B 在圆上,所以x 21＋y 21＝4,x 22＋y 22＝4, 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0,所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时,有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0,①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时,点A 、B 的坐标为(0,2)、(0,－2),这时点P 的坐标为(0,0)也满足③. 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.9．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆,则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0, 即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0, 整理得7m 2－6m －1＜0,解得－17＜m ＜1.(2)r ＝124m ＋32＋41－4m 22－416m 4＋9＝－7m 2＋6m ＋1＝－7m －372＋167. ∴0＜r≤477.(3)设圆心坐标为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1,∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。
【同步练习】2019年高中数学人教A版必修2 圆的一般方程 同步练习 Word版含解析
2019年高中数学人教A 版必修2 圆的一般方程 同步练习一、选择题：1.方程2x 2＋2y 2-4x ＋8y ＋10=0表示的图形是( )A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在2.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示的圆过原点且圆心在直线y=x 上的条件是( )A.D=E=0，F ≠0B.D=F=0，E ≠0C.D=E ≠0，F ≠0D.D=E ≠0，F=03.由方程x 2＋y 2＋x ＋(m-1)y ＋0.5m 2=0所确定的圆中，最大面积是( ) A.23π B.43π C.3π D.不存在 4.若圆x 2＋y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y ＋a=0的距离为22，则a 的值为( ) A.-2或2 B.0.5或1.5 C.2或0 D.-2或05.若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(-3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )A.x 2＋y 2=25(y ≠0)B.x 2＋y 2=25C.(x-2)2＋y 2=25(y ≠0)D.(x-2)2＋y 2=256.若圆x 2＋y 2-4x ＋2y ＋m=0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB=90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于( )A.1B.-3C.0D.2二、填空题：7.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x-y ＋2=0的对称点都在圆C 上，则a=________.8.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________.三、解答题:9.已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3=0，圆心在直线x ＋y-1=0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程.10.设定点M(-3,4)，动点N在圆x2＋y2=4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程.11.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m-1)x-4my＋5m2-2m-8=0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆.参考答案1.A；2.D；3.B4.C；5.C；6.B；7.答案为：-2；8.答案为：(x-1.5)2+(y-0.5)2=0.5.9.解：圆心C(-0.5D,-0.5E)，因为圆心在直线x＋y-1=0上，所以-0.5D,-0.5E-1=0，即D＋E=-2，①又r=2，所以D2＋E2=20，②由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限，所以-0.5D<0，即D>0，所以D=2,E=-4.所以圆的一般方程为：x2＋y2＋2x-4y＋3=0.10.解：11.解：(1)x2＋y2＋2(m-1)x-4my＋5m2-2m-8=0可化为[x＋(m-1)]2＋(y-2m)2=9，∴圆心为(1-m,2m)，半径r=3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组a=1-m,b=2m, 即2a＋b=2.∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y-2=0上，且为等圆.。
高中数学必修二2.2圆与方程同步练习
2.2圆与方程考纲要求：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程．判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2.2.1 圆的方程重难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．经典例题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．当堂练习：1．点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是（）A．-1<a<1 B．0<a<1 C．a<-1或a>1 D．a=12．点P（m2,5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定3．方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（）A．点（a,b）B．点（-a,-b） C．以（a,b）为圆心的圆D．以（-a,-b）为圆心的圆4．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（）A．(x-2)2+(y+3)2=13 B．(x+2)2+(y-3)2=13 C．(x-2)2+(y+3)2=52 D．(x+2)2+ (y-3)2=525．圆(x-a)2+(y-b)2＝r2与两坐标轴都相切的充要条件是（）A．a=b=r B．|a|=|b|=r C．|a|=|b|=|r|0 D．以上皆对6．圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（）A．(x+7)2+(y+1)2=1 B．(x+7)2+(y+2)2=1 C．(x+6)2+(y+1)2=1 D．(x+6)2+ (y+2)2=17．如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）A．（-1，1）B．（1，-1）C．（-1，0）D．（0，-1）8．圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是（）A．圆心在直线y=x上B．圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切C．圆心在直线y=-x上D．圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切9．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则（）A．D=0，E=0，F0 B．E=0，F=0，D0 C．D=0，F=0，E0 D．F=0，D0，E010．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F11．方程x4-y4-4x2+4y2=0所表示的曲线是（）A．一个圆B．两条平行直线C．两条平行直线和一个圆D．两条相交直线和一个圆12．若a0, 则方程x2+y2+ax-ay=0所表示的图形（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x-y=0对称D．关于直线x+y=0对称13．圆的一条直径的两端点是（2，0）、（2，-2），则此圆方程是（）A．x2+y2-4x+2y+4=0 B．x2+y2-4x-2y-4=0 C．x2+y2-4x+2y-4=0 D．x2+y 2+4x+2y+4=014．过点P（12，0）且与y轴切于原点的圆的方程为__________________．15．圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P（3，0），则过P点的最短弦的弦长为_____，最短弦所在直线方程为___________________．16．过点（1，2）总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线，则k的取值范围是_______________．17．已知圆x2+y2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是___________，距离最远的点的坐标是________________．18．已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），且截x轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．19．已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程．20．已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9＝0表示一个圆，（1）求t的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围．21．已知曲线C：x2+y2-4mx+2my+20m-20＝0(1)求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点；(2)证明当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上；(3)若曲线C与y轴相切，求m的值．参考答案：经典例题：解：设所求的圆的方程为：∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：∴所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)当堂练习：1.A;2.B;3.B;4.A;5.C;6.A;7.D;8.B;9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6)2+y2=36; 15. 2, x+y-3=0; 16. ; 17. (2-,2-), (2+,2+);18. 解：设所求圆圆心为Q（a,b），则直线PQ与直线3x+4y-2=0垂直，即,(1)且圆半径r=|PQ|=,(2)由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -(舍)，当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.19. 解：圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为=1或y=kx，由x+y-a=0，d=.由kx-y=0，d=.综上，圆的切线方程为x+y-5=0或(2)x-y=0.20. 解：（1）方程表示一个圆的充要条件是D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,即：7t2-6t-1<0,（2）r2= D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-)2+,21. 解：（1）曲线C的方程可化为：(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)＝0,由,∴不论m取何值时，x＝4, y＝-2总适合曲线C的方程，即曲线C恒过定点(4, -2).（2）D＝-4m, E＝2m, F＝20m-20, D2+E2-4F＝16m2+4m2-80m+80＝20(m-2)2∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0, ∴曲线C是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由消去m得x+2y＝0, 即圆心在直线x+2y＝0上.（3）若曲线C与y轴相切，则m≠2，曲线C为圆，其半径r=,又圆心为(2m, -m),则=|2m|, .。
【名师同步】高中数学 必修2 2.2.1 圆的标准方程 同步练习+课后练习(含答案详解)
高中数学必修 2.2.1 圆的标准方程 同步练习+课后练习圆的标准方程 同步练习题一、选择题1.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )A.x 2＋y 2=25B.x 2＋y 2=5C.(x －3)2＋(y －4)2=25D.(x ＋3)2＋(y ＋4)2=252.圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2=9的圆心C 到直线4x ＋3y －1=0的距离等于( )A.1.2B.1.6C.4.8D.5.23.点(a ，a)在圆(x －1)2＋(y ＋2)2=2a 2的内部，则a 的取值范围为( )A.(－∞，－2.5)B.(－∞，－2.5]C.[－2.5，＋∞)D.(－2.5，＋∞)4.已知一圆的圆心为M(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程为( )A.(x －2)2＋(y ＋3)2=13B.(x ＋2)2＋(y －3)2=13C.(x －2)2＋(y ＋3)2=52D.(x ＋2)2＋(y －3)2=525.圆(x ＋2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A.(x －2)2＋y 2=5B.x 2＋(y －2)2=5C.(x ＋2)2＋(y ＋2)2=5D.x 2＋(y ＋2)2=5二、填空题：6.圆心在第二象限，半径为1，并且与x 、y 轴都相切的圆的方程为________.7.设P(x ，y)是曲线x 2＋(y ＋4)2=4上任意一点，则22)1()1(-+-y x 的最大值为________. 8.已知△ABC 的顶点A(－1,0)，B(1,0)，C 在圆(x －2)2＋(y －2)2=1上移动，则△ABC 面积的最小值为______.三、解答题9.求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心C(8，－3)且过点P(5,1)；(2)圆心在直线5x －3y=8上，且圆与坐标轴相切.10.已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0,1).(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程.11.已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2).(1)求圆C的方程；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程.圆的标准方程课后练习题一、选择题：1.以(-1,2)为圆心，且过原点的圆的标准方程为( ).A.(x-1)2＋(y＋2)2=5B.(x-1)2＋(y＋2)2C.(x＋1)2＋(y-2)2＋1)2＋(y-2)2=52.圆(x＋4)2＋(y-1)2=10的圆心坐标与半径分别为( ).A.(4,1)，-1),10 D.(-4,1),103.直线x＋2y＋3=0将圆(x-a)2＋(y＋5)2=3的周长平分，则a等于( ).A.13B.7C.-13D.以上答案都不对4.圆心为(1,1)且与直线x＋y=4相切的圆的方程是( ).A.(x＋1)2＋(y＋1)22＋(y-1)2C.(x＋1)2＋(y＋1)2=2D.(x-1)2＋(y-1)2=25.若圆C与圆(x＋2)2＋(y-1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是( ).A.(x-2)2＋(y＋1)2=1B.(x-2)2＋(y-1)2=1C.(x-1)2＋(y＋2)2=1D.(x＋1)2＋(y-2)2=16.点A(-1,4)到圆C：(x-2)2＋(y-3)2=1上的点的最短距离为( ).1 D.3二、填空题：7.经过圆C：(x＋1)2＋(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为__________.8.如果实数x，y满足(x＋2)2＋y2=1，那么yx的最大值是________.三、解答题：9.求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8；(2)过点A(1，-1)，B(-1,1)且圆心在直线x＋y-2=0上.10.已知某隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？同步练习参考答案1.答案为：C；2.答案为：B;3.答案为：A；解析：由(a－1)2＋(a＋2)2<2a2得a<－2.5.4.答案为：A；解析：由已知条件可得直径的两个端点坐标分别为(0，－6)，(4,0)，此圆的半径为13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2=13.5.答案为：A；解析：(x＋2)2＋y2=5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2=5.6.答案为：(x＋1)2＋(y－1)2=1；解析：由条件知，|a|=|b|=r=1.∵圆心在第二象限，∴a=－1，b=1，∴所求的方程为(x＋1)2＋(y－1)2=1.7.答案为：26＋2；8.答案为：1；解析：∵|AB|=2为定长.∴当△ABC的高即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为(2,2)，半径为1.所以此时C的坐标为(2,1)，S△ABC的最小值为1.9.解：(1)设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2=r2，∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2=r2.∴r2=25.∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2=25.(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a－b=0或a＋b=0.又圆心在直线5x－3y=8上，∴5a－3b=8.由a-b=0,5a-3b=8得a=4,b=4,∴圆心为C(4,4)，半径为r=|a|=|b|=4；由a+b=0,5a-3b=8得a=1,b=-1.∴圆心为C(1，－1)，半径为r=|a|=|b|=1.故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2=16或(x－1)2＋(y＋1)2=1.10.解:(1)PQ的方程为x＋y－1=0，PQ中点M(0.5，0.5)，且k PQ=－1，∴圆心所在的直线方程为y－0.5=1×(x－0.5)，即x－y=0.(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=1，则(1-a)2+b2=1,a2+(b-1)2=1解得a=0,b=0或a=1,b=1.∴圆C的方程为x2＋y2=1或(x－1)2＋(y－1)2=1.11.解:(1)由题意，得圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2=r2(r≠0).∵圆C过定点P(4,2)，∴(4－x0)2＋(2－x0)2=r2(r≠0).∴r2=2x20－12x0＋20.∴圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2=2x20－12x0＋20.(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2=2x20－12x0＋20=2(x0－3)2＋2，∴当x0=3时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2=2.课后练习参考答案1.答案：D；解析：r==2.答案：B；3.答案：B；解析：当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a，-5)代入直线方程x＋2y＋3=0，得a＋2×(-5)＋3=0.解得a=7.d==4.答案：D；解析：圆的半径r即为圆心(1,1)到直线x＋y-4=0的距离的标准方程为(x-1)2＋(y-1)2=2.5.答案：A；解析：圆C与圆(x＋2)2＋(y-1)2=1关于原点对称，则圆心C(2，-1)，故圆C的方程为(x-2)2＋(y＋1)2=1.6.答案：B 解析：由圆的标准方程得圆心为C(2,3)，半径r=1. |AC=则点A到圆C1.7.答案：x-y ＋3=0；解析：圆心为(-1,2)，故所求的直线方程为y-2=x ＋1，即x-y ＋3=0.8.解析：的几何y x 意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率，所以只要求出过原点且与圆相切的两条直线，其斜率较大的直线的斜率就是本题答案.如图，设圆心为P ，过原点与圆相切的两条直线与圆相切于点D ，E ，则圆的半径为1，|OP|=2，故直线斜率的最大值为3.9.解：(1)如图，由题设|AC|=r=5，|AB|=8.∴|AO|=4.在Rt △AOC 中，|OC =.设点C 坐标为(a,0)，则|O C|=|a|=3，∴a=±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2=25或(x-3)2＋y 2=25.(2)线段AB 的中点为(0,0)，11=111AB k +=---，∴AB 的中垂线方程为y=x.由,20,y x x y =⎧⎨+-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩即圆心坐标为(1,1)，半径r =. ∴所求圆的方程为(x-1)2＋(y-1)2=4.10.解：以截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系如图，则半圆的方程为x 2+y 2=16(y ≥0)，将x=2.7代入，得y =，即在离隧道中心线2.7m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道.。
人教版高中数学必修二 圆与方程教材配套习题(附答案)
人教版高一数学必修二第四章 圆与方程 教材配套检测题一、选择题1. 设圆心为1C 的圆方程为()()22539x y -+-=，圆心为2C 的圆的方程为224290x y x y +-+-=，则这两个圆的圆心距为.5A .25B .10C .D 2. 空间直角坐标系中，点()3,4,0A -与点()2,1,6B -间的距离为.A .1B .9C D 3. 若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆的位置关系为.A 在圆上 .B 在圆外 .C 在圆内 .D 以上皆有可能4. 在圆224x y +=上，与直线:43120l x y +-=的距离最小的点的坐标为.A 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 86.,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 86.,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 86.,55D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5. 方程()222200x y ax ay a ++-=≠表示的圆.A 关于x 轴对称 .B 关于y 轴对称 .C 关于直线0x y -=对称 .D 关于直线0x y +=对称6. 若方程()222220a x a y ax a ++++=表示圆，则a 的值为.A 1a =或2a =- .B 2a =或1a =- .C 1a =- .D 2a =二、填空题7. 直线1:2340l x y -+=，2:3210l x y -+=的交点P 与圆()()22245x y -+-=的关系是 . 8. 经过原点O 作圆()2264x y -+=的切线，切线长是 .9. 经过点()2,3P -作圆2220x y +=的弦AB ，且使得点P 平分AB ，则弦AB 所在直线的方程是 .10. 点P 在圆221:84110C x y x y +--+=上，点Q 在圆222:4210C x y x y ++++=上，则PQ 的最小值是 . 三、解答题11. 已知三条直线1:20l x y -=，2:10l y +=，3:210l x y +-=两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.12. 在ABC ∆中，已知2BC =，且ABm AC=，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.13. 由一点()3,3A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆22:4C x y x +-470y -+=相切，求光线l 所在直线方程.14. 求过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的交点，并且有最小面积的圆'C 的方程.参考答案一、选择题 15ADCAD - 6.C 二、填空7. 解析：解方程组{23403210x y x y -+=-+=，得{12x y ==.把()1,2代入圆C 方程左边，得 ()()2212245-+-=，所以两直线交点在圆C 上. 8.=9. 解析：把点P 坐标代入圆2220x y +=的左边， 得()22231320+-=<，所以点P 在圆O 内. 经过点P 被点P 平分的圆的弦与OP 垂直. ∵ 32OP k =-， ∴ 弦AB 所在直线的斜率是23, 弦AB 所在的直线方程是 ()2323y x +=-，即23130x y --=. 10. 解析：把圆1C 、圆2C 的方程都化为标准方程形式，得()()22429x y -+-=，()()22214x y +++=圆1C 的圆心坐标为()4,2，半径长为3； 圆2C 的圆心坐标为()2,1--，半径长为2.=所以，PQ 的最小值是5. 三、解答题11. 解析：2l 平行于x 轴，1l 与3l 互相垂直. 三交点A 、B 、C 构成直角三角形， 经过A 、B 、C 三点的圆就是以AB 为直径的圆. 解方程组{2010x y y -=+= 得{21x y =-=-∴ 点A 的坐标为()2,1--，解方程组{21010x y y +-=+= 得 {11x y ==-∴ 点B 的坐标为()1,1-.线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又3AB =.∴ 所求圆的标准方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 12. 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有()1,0B -，()1,0C ，设点A 的坐标为(),x y ， 由ABm AC=整理得 ()()()()222222112110m x m y m x m -+--++-=. ① 当21m =时，1m =，方程是0x =，轨迹是y 轴.当21m ≠时，对①式配方得 ()22222221411m m x y m m ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-. 此时点A 的轨迹是以221,01m m ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，221m m -为半径的圆（除去圆与BC 的交点）.13. 解法一：因为点()3,3A -关于x 轴的对称点为()'3,3A --，设直线l 的斜率为k ，则过点'A 的直线l 的方程为()33y k x +=-+，将()33y k x =-+-代入圆方程，整理得()()()22221235293080k xk k x k k +++-+++=若直线l 与圆相切，则0∆=，即 21225120k k ++=，解之得 34k =-或43k =-. 所以，所求直线l 的方程为()3334y x -=-+或()4333y x -=-+即 3430x y +-=或4330x y ++=.解法二：配方得圆的标准方程为()()22221x y -+-=. 设光线l 所在直线方程为()33y k x -=+， ∵ 0k ≠，令0y =得 ()31k x k -+=，∴ 反射点为()31,0k k ⎛-+⎫ ⎪⎝⎭. 由于光线的入射角等于反射角，∴ 反射光线'l 所在直线方程为()31k y k x k ⎡+⎤=-+⎢⎥⎣⎦即 ()310kx y k +++=. 又∵ 直线l 与圆相切， ∴1=，整理得 21225120k k ++=.解之得 34k =- 或 43k =-.所以，所求直线l 的方程为()3334y x -=-+或()4333y x -=-+即 3430x y +-=或4330x y++=.14. 解析：方法一经配方，圆C 的方程可化为()()22124x y ++-=， 设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，D 为线段AB 的中点， 则直线CD 的方程为250x y -+=. 解方程组 {250240x y x y -+=++= 得135x =-，65y =， ∴ 点D 坐标为136,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴ CD =AD ==∴ 以D 为圆心、AB 为直径的圆是面积最小的圆，其方程为221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：设所求圆的方程为()()22241240x y x y x y λ++-++++=，配方得 ()222451616124x y λλλλ--+⎛⎫⎡++⎤++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 半径长为r ，则222516165844455r λλλ-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭.当85λ=时，2r 有最小值45，圆面积有最小值245R ππ=. 此时圆'C 的方程为 222612370555x y x y ++-+=. 说明：数形结合，经过两圆的交点且面积最小的圆就是以公共弦为直径的圆. 直线l 就是圆C 与圆'C 的公共弦所在的直线.。
【名师同步】2017-2018学年高中数学必修2 2.2.2 圆的一般方程 同步练习+课后练习(含答案详解)
2017-2018学年高中数学必修2 2.2.2 圆的一般方程同步练习+课后练习同步练习一、选择题:1.方程x 2＋y 2＋4kx －2y ＋5k=0表示圆的条件是( )A.0.25<k<1B.k<0.25或k>1C.k<0.25D.k>12.已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A.(1,1)B.(0,1)C.(－1,0)D.(0，－1)3.如果过A(2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y=0平分，则l 的方程为( )A.x ＋y －3=0B.x ＋2y －4=0C.x －y －1=0D.x －2y=04.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4=0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A.5 B.3＋5 C.14－65 D.14＋655.已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2＋a －1=0外，则a 的取值范围是( )A.a>0.5或a<－1B.371--<a<371+- C.371--<a<－1或12<a<371+- D.a<371--或a>371+- 二、填空题：6.已知点P(2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b=0上，点P 关于直线x ＋y －1=0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为________，半径为________.7.若直线3x －4y ＋12=0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方 程为 .8.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________.三、解答题：9.已知方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋n=0，若n ∈R ，试确定方程所表示的曲线.10.已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程.11.圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的一般方程.课后练习一、选择题：1.圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)=0，则圆心坐标为( ).A.(1，－1)B.(0.5,-1)C.(－1,2)D.(-0.5,-1)2.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m=0表示圆，则m的取值范围是( ).A.0＜m＜1B.m＞1C.m＜0D.m＜13.若直线3x＋y＋a=0过圆x2＋y2＋2x－4y=0的圆心，则a的值为( ).A.－1B.1C.3D.－34.已知圆C：x2＋y2＋mx－4=0上存在两点关于直线x－y＋3=0对称，则实数m等于( ).A.8B.－4C. 6D.无法确定5.经过圆x2＋2x＋y2=0的圆心C，且与直线x＋y=0垂直的直线方程是( ).A.x＋y＋1=0B.x＋y－1=0C.x－y＋1=0D.x－y－1=06.点P(4，－2)与圆x2＋y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A.(x－2)2＋(y＋1)2=1B.(x－2)2＋(y＋1)2=4C.(x＋4)2＋(y－2)2=1D.(x＋2)2＋(y－1)2=1二、填空题：7.若直线3x－4y＋12=0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________________.8.若使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12=0(a为实数)的面积最小，则a=________.三、解答题：9.若直线l：ax＋by＋1=0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0的周长，求(a－2)2＋(b－2)2的最小值.10.求经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程.同步练习参考答案1.答案为：B ；解析：由D 2＋E 2－4F=16k 2＋4－20k>0，解得k>1或k<0.25.2.答案为：D ；3.答案为：A ；4.答案为：D ；解析：由题知点(x ，y)在圆x 2＋y 2＋4x －2y －4=0，即(x ＋2)2＋(y －1)2=9上. 又圆心(－2,1)到原点的距离为5，故x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2=14＋65.5.答案为：C ；6.答案为：(0,1)，2；7.答案为：x 2＋y 2＋4x －3y=0；8.答案为：(x －1.5)2＋(y －0.5)2=0.5；9.解：原方程可变形为(x ＋1)2＋(y －3)2=10－n ， 当n<10时，方程表示的图形是以(－1,3)为圆心，n -10为半径的圆；当n=10时，方程表示的是点(－1,3)；当n>10时，方程不表示任何曲线.10.解：法一：设圆心C 的坐标为(0，b)，由|CA|=|CB|得b=2.∴C 点坐标为(0,2). ∴圆C 的半径r=|CA|=5.∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2=5，即x 2＋y 2－4x －1=0. 法二 AB 的中点为(1.5，0.5).中垂线的斜率k=－1∴AB 的中垂线的方程为y －0.5=－(x －1.5)，令x=0，得y=2，即圆心为(0,2). ∴圆C 的半径r=|CA|=5，∴圆的方程：x 2＋(y －2)2=5，即x 2＋y 2－4x －1=0.11.解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0，(D 2＋E 2－4F ＞0)，则圆心C(－0.5D ，－0.5E)在直线2x －y －7=0上，∴2×(－0.5D)－(－0.5E)－7=0，即D －0.5E ＋7=0，①又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，由①、②、③解得D=－4，E=6，F=8，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8=0.课后练习参考答案1.答案为：D;2.答案为：D;解析：由D 2＋E 2－4F=42＋(－2)2－4×5m=20－20m ＞0，得m ＜1.3.答案为：B;解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y=0化为标准方程：(x ＋1)2＋(y －2)2=5，可得圆心(－1,2).∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x ＋y ＋a=0，可得a=1.4.答案为：C;5.答案为：C;解析： ∵x 2＋2x ＋y 2=0可化为(x ＋1)2＋y 2=1，∴圆心C(－1,0).又过点C 的直线与x ＋y=0垂直，∴其斜率为1.∴所求直线方程为y=x ＋1，即x －y ＋1=0.6.答案为：A;解析：设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与点P 连线的中点为(x ，y)， 则114,22,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩即1124,22,x x y y =-⎧⎨=+⎩代入x 2＋y 2=4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2=4. 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2=1.7.答案为：x 2＋y 2＋4x －3y=0;解析：依题意A(－4,0)，B(0,3)，∴AB 中点C 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 半径52，∴圆的方程为(x ＋2)2＋223522y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即x 2＋y 2＋4x －3y=0.8.答案为：－2;解析：圆的半径=， ∴当a=－2时，r 最小，从而圆面积最小.9.解：由题意知，圆心坐标为(－2，－1)，∴－2a －b ＋1=0.(a ，b)与点(2,2)的距离，=，∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.10. 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0.①∵圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，则有164420,1930,D E F D E F ++++=⎧⎨+-++=⎩即42200, 3100. D E F D E F +++=⎧⎨---=⎩②③令①中的x=0，得y 2＋Ey ＋F=0， 由韦达定理得y 1＋y 2=－E.令①中的y=0，得x 2＋Dx ＋F=0，由韦达定理得x 1＋x 2=－D. 由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x 1＋x 2＋y 1＋y 2=2， 即－E －D=2，也就是D ＋E ＋2=0.④ 由②③④可得2,0,12.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12=0.。
人教A高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程
人教版高中数学必修2
4.1.2圆的一般方程
复习回顾:
1、圆的标准方程是什么？ 2、其中圆心的坐标和半径各是什么？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样 的式子？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样的式
子？
x a 2 y b 2r2
展开、整理
x 2 y 2 2 a 2 x b a y 2 b 2 r 2 0
22
2
另外：
⑵ 当 D2E24F0时，①式表示点( D , E )
22
⑶ 当 D2E24F0时，①式不表示图形.
圆的一般方程:
x2y2Dx E y F0
(D2E24F0)
其中：圆心为 ( D , E ) ，
22
半径为 1 D2 E2 4F 。
2
1. 求下列各方程表示的圆的圆心坐标 和半径长：
参变量简单化
x2y2Dx E y F0 ①
结论:
● 任何圆都可以（展开）用形如：
x2y2Dx E y F0
二元二次方程表示.
思考:
● 反之是否成立？
即：x2y2Dx E y F0
是否一定表示圆？
思考:
● 形如：x2y2Dx E y F0
的二元二次方程是否一定表示圆？
这个圆的半径长和圆心坐标。
同步练习：
1.求过三点 A (0,0),B (6,0),C (0,8)的圆的方 程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标。
所求圆的方程为：
x2y26x8y0
半径为 r1 D2E24F5 2
圆心为 3 , 4
结论：在使用待定系数法求圆方程时，何 时选择圆标准方程，何时选择圆的一般方 程？
高中数学必修二《圆与方程》基础练习题(含答案解析)
高中数学必修二《圆与方程》基础练习题（含答案解析）1. 已知圆：，为坐标原点，则以为直径的圆的方程A.B.C.D.2. 直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.3. 已知点，则点关于原点对称的点的坐标为（）A. B.C. D.4. 过点以及圆与圆交点的圆的方程是（）A.B.C.D.5. 圆：，则A.是圆心B.在圆外C.在圆内D.在圆上6. 两个圆与的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离7. 在空间直角坐标系中点到坐标原点的距离为（）A. B. C. D.8. 圆的半径等于（）A. B. C. D.9. 已知，，作直线，使得点，到直线的距离均为，且这样的直线恰有条，则的取值范围是A. B. C. D.10. 圆心坐标为，半径等于的圆的方程是（）A.B.C.D.11. 由动点分别引圆：和圆：的切线和（、为切点），满足，则动点的轨迹方程是________．12. 求过两圆与的交点和点的圆的方程________．13. 到两定点，的距离的比为的点的轨迹方程为________．14. 已知两圆，相交于，两点，则直线的方程为________．15. 若方程为圆，则应满足的条件是________．16. 已知圆与圆：交于，两点，则直线的方程为________．17. 若方程表示圆，则实数的取值范围为________．18. 关于直线对称的圆的方程是________．19. 圆心在轴正半轴上，半径为，且与直线相切的圆的方程为________．20. 圆的半径等于________．21. 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心和半径．（1）（2）．22. 如图，已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有．求点的轨迹方程；求的最小值；以为圆心作圆，使它与圆有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．23. 求直线被圆所截得的弦长．24. 设点与，求以为直径的圆的标准方程．25. （1）求过点且与圆同心的圆的方程， 25.（2）求圆过点的切线方程．26. 已知圆的半径为，点为该圆上的三点，且，则的取值范围是________.27. 已知两圆与．（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公切线．28. 求直线被圆所截得的弦的长．29. 如图点，在四面体中，平面，，，，，分别是，的中点，求，，，这四点的坐标．30. 已知两圆．．（1）取何值时两圆外切？（2）取何值时两圆内切？（3）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．参考答案一、选择题1.C2.C3.D4.A5.C6.C7.D8.B9.B 10.C二、填空题11.12.13.14.15.，且16.17.18.19.20.三、解答题21.解：（1）化为：，圆的圆心，半径为：；（2）．化为：，圆的圆心，半径为：；22.解：连接，，则为直角三角形，又，所以，所以，故．由，得．以为圆心的圆与圆有公共点，半径最小时为与圆相切的情形，而这些半径的最小值为圆到直线的距离减去圆的半径，圆心为过原点且与垂直的直线与的交点，所以，又，联立得．所以所求圆的方程为．23.解：化为标准方程为：，则圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离所以，则所以所求弦长为．24.解：由题意可得圆心为的中点，半径为，故要求的圆的方程为．25.解：（1）圆可化为：，∴圆心为，即圆的圆心为；…又∵圆过点，∴圆的半径；…∴所求圆的方程为；…（2）∵在圆上，∴过点的切线有一条；又∵直线的斜率是，∴过点的切线的斜率为，…∴所求的切线方程为，即．…26.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，又，所以，即所以又，所以，又则，所以故答案为：.27.解：（1）两圆与的圆心坐标分别为，，半径分别为，，∵，满足，∴两圆相交；（2）设两圆的公切线方程为，则，解得：或．∴两圆的公切线方程为或．28.解：圆即圆，表示以为圆心、半径等于的圆．圆心到直线的距离，故弦长为．29.解：∵点，∴，又∵平面，，∴，又∵，，∴，∴到轴，轴距离均为：，又由，分别是，的中点，∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为．30.解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为、，两圆的圆心距，两圆的半径之和为，由两圆的半径之和为，可得．（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，即，可得（舍去），或，解得．（3）当时，两圆的方程分别为、，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为．第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离为，可得弦长为．。
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圆的方程（简答题：一般）1、求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程。
2、（1）求过点且在两个坐标轴上截距相等的直线方程。
（2）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求圆心为的圆的标准方程．3、（1）已知圆的圆心是与轴的交点，且与直线相切，求圆的标准方程. （2）若点在圆上，求的最大值.4、已知为圆上的动点,，为定点.（1）求线段中点M的轨迹方程；（2）若，求线段中点N的轨迹方程.5、求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程．6、已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积7、已知圆过，，且圆心在直线上．（Ⅰ）求此圆的方程．（Ⅱ）求与直线垂直且与圆相切的直线方程．（Ⅲ）若点为圆上任意点，求的面积的最大值．8、已知直线与相较于点，直线.（1）若点在直线上，求的值；（2）若直线交直线分别为点和点，且点的坐标为，求的外接圆的标准方程。
9、已知圆的圆心在直线上，且圆在轴、轴上截得的弦长和分别为和.（1）求圆的方程；（2）若圆心位于第四象限，点是圆内一动点，且，满足，求的范围.10、已知圆经过，两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）动直线：过定点，斜率为的直线过点，直线和圆相交于，两点，求的长度.11、已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点，（1）求圆方程；（2）是否存在过点的直线与圆交于两点，且的面积是（为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.12、(1)求与圆心在直线上，且过点A(2，-3),B(-2，-5)的圆C的方程.(2)设是圆C上的点，求的最大值和最小值.13、已知方程表示一个圆.（1）求实数的取值范围；（2）求该圆半径的取值范围；（3）求该圆心的纵坐标的最小值.14、如图，经过点作两条互相垂直的直线和，直线交轴正半轴于点，直线交轴正半轴于点．（1）如果，求点的坐标．（2）试问是否总存在经过，，，四点的圆？如果存在，求出半径最小的圆的方程；如果不存在，请说明理由．15、已知为圆上任一点，且点．（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率．（2）求的最大值和最小值．（3）若，求的最大值和最小值．16、求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程．17、若直线与两坐标轴的交点分别为，，求以为直径的圆的方程．18、已知圆过点，圆心在直线上且圆心在第一象限，圆被轴截得的弦长为．（I）求圆的方程．（II）过点作圆的切线，求切线的方程．19、在平面直角系中，已知两点，，直线关于直线对称．（）求直线的方程．（）圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，求圆的方程．20、已知圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切．（Ⅰ）求圆的方程．（Ⅱ）过的直线与圆相交所得的弦长为，求直线的方程．21、求半径为2，圆心在直线上，且被直线：所截弦的长为的圆的方程.22、如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)23、如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。
24、已知圆C过点A(2，1)，与y轴相切，且圆心在直线y=x上.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点A且与圆C相切的直线的方程.25、(1)求与圆心在直线上，且过点A(2，-3),B(-2，-5)的圆C的方程.(2)设是圆C上的点，求的最大值和最小值.26、已知圆，直线，.（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数，使得原上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.27、设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，求圆的方程.28、在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点是轴上一点，，的外接圆为圆.(Ⅰ)求圆的方程；(Ⅱ) 求圆在点处的切线方程.29、已知圆：,直线：.（Ⅰ）求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长；（Ⅱ）已知坐标轴上点和点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围.30、在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线：相切，且圆与坐标轴正半轴交于，正半轴交于，点为圆上异于,的任意一点.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求的最大值及点的坐标。
31、已知圆心在直线上，且与直线相切于点，求此圆的标准方程．32、已知圆心在直线上，且与直线相切于点，求此圆的标准方程．33、已知圆经过两点，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.34、设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(-,0),C(,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.(1)求圆M的方程;(2)当a变化时,圆M是否过某一定点?请说明理由.35、已知圆经过两点，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.36、已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于.（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程37、已知椭圆经过点，其离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设动直线与椭圆相切，切点为，且与直线相交于点．试问：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．38、已知圆x2+y2-6x-8y+21=0和直线kx-y-4k+3=0.(1)若直线和圆总有两个不同的公共点，求k的取值集合(2)求当k取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长.39、曲线曲线（是参数）（1）求曲线的普通方程，并指出它是什么曲线.（2）当变化时指出曲线是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线截曲线所得弦长的最小值.40、设，点在轴上，点在轴上，且，.（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；（2）设点是轨迹上的动点，点在轴上，圆内切于，求的面积的最小值.41、设命题：方程表示的曲线是一个圆；命题：方程表示的曲线是双曲线，若“”为假，求实数的取值范围.42、已知圆经过两点，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.43、设命题：方程表示的曲线是一个圆；命题：方程表示的曲线是双曲线，若“”为假，求实数的取值范围.44、已知圆经过两点，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程.45、（本小题满分12分）设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为.求：（1）求实数的取值范围；（2）求圆的方程（用含的方程表示）（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.46、已知曲线的方程为：（，为常数）（Ⅰ）判断曲线的形状；（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点、，且，求曲线的方程.47、已知曲线的方程为：（，为常数）.（Ⅰ）判断曲线的形状；（Ⅱ）设直线与曲线交于不同的两点、，且，求曲线的方程.48、已知为圆上的动点，，为定点，（1）求线段中点M的轨迹方程；（2）若，求线段中点N的轨迹方程.49、已知圆经过点（4,2）和（－2，－6），该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．50、求经过两点P（－2，4），Q（3，－1），并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．51、已知方程x2＋y2－2（m＋3）x＋2（1－4m2）y＋16m4＋9＝0表示一个圆．（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆的半径r的取值范围.52、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．53、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．54、圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，求：(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．55、已知以点为圆心的圆经过点和点，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的标准方程．56、已知圆过点，.（1）若圆还过点，求圆的方程；（2）若圆心的纵坐标为，求圆的方程.57、已知圆与圆：关于直线对称，且点在圆上.（1）判断圆与圆的位置关系；（2）设为圆上任意一点，，，三点不共线，为的平分线，且交于. 求证：与的面积之比为定值.58、已知圆.（1）求圆的圆心的坐标和半径长；（2）直线经过坐标原点且不与轴重合，与圆相交于，两点，求证：为定值.59、已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，求这个圆的方程．60、己知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上．（1）求矩形的外接圆的方程；（2）已知直线，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程．61、已知圆心在轴正半轴上的圆与直线相切，与轴交于两点，且.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于不同的两点，若设点为的重心，当的面积为时，求直线的方程.62、求过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－8y－8＝0的交点和点（3,1）的圆的方程．63、如图，已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．64、选修4-1：几何证明选讲如下图，在中,的平分线交于点，交的外接圆于点，延长交的外接圆于点，。
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的长。
65、已知圆和圆.（1）过点引圆的两条割线和,直线和被圆截得的弦的中点分别为.求过点的被圆直线所截的弦长；（2）过圆上任一点作圆的两条切线, 设两切线分别与轴交于点和,求线段长度的取值范围.66、已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）若直线与曲线交于两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时总有？若存在，请说明理由.67、已知定圆,动圆过点,且和圆相切．（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、,点．若、、三点不共线,且．证明：动直线经过定点．68、求经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程．69、已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点（1）求圆的标准方程；（2）求过点且与圆C相切的切线方程．70、已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．参考答案1、或2、（1）或；（2）.3、（1）;（2）.4、（1）（2）5、6、（1）;（2）的方程为; 的面积为.7、(1) (2)直线方程为或（3）8、（1）；（2）.9、（1）或；（2）10、（1）（2）11、（1）；（2）.12、(1) 圆C的方程为（x+1）2+（y+2）2="10,(2)" .13、（1）；（2）；（3）最小值是14、（1）；（2）15、（1）；（2）16、17、.18、（1）（2）或．19、（1）（2）20、（1）（2）或21、和.22、（1）；（2）523、（1）；（2）；（3）．24、（1）或（2）或25、(1) 圆C的方程为（x+1）2+（y+2）2="10,(2)" .26、（1）见解析；（2）M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆；（3）或.27、或28、(Ⅰ)；(Ⅱ).29、（Ⅰ）；最短弦长为（Ⅱ）的取值范围为30、(Ⅰ) ；(Ⅱ)时取得最大值.31、（x﹣1）2+（y+2）2=232、（x﹣1）2+（y+2）2=233、（Ⅰ）（Ⅱ）或.34、(1) x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2) (0,-3).35、（Ⅰ）（Ⅱ）或.36、(1)的轨迹方程是,轨迹是以为圆心，以为半径的圆;(2)，或.37、（I）；（II）见解析.38、（1）R（2）39、（1）圆心（1,0）半径为3的圆（2）40、（1）；（2）.41、42、（Ⅰ）（Ⅱ）或.43、44、（Ⅰ）（Ⅱ）或.45、（1）且；（2）x2+y2+x-(b+1)y+b=0；（3）见解析46、（Ⅰ）曲线是以点为圆心，以为半径的圆（Ⅱ）47、（Ⅰ）曲线是以点为圆心，以为半径的圆（Ⅱ）48、（1）（2）49、x2＋y2－2x＋4y－20＝050、x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝051、（1）－＜m＜1 （2）0＜r≤52、(x＋3)2＋(y＋2)2＝2553、（1）3x＋y＋2＝0 （2）(x－2)2＋y2＝854、（1）x2＋(y－1)2＝10 （2）(x－3)2＋(y－2)2＝2055、（1）；（2）或.56、（1）；（2）.57、（1）圆与圆相离；（2）定值为2.58、（1）圆心的坐标为，圆的半径长为2；（2）见解析59、．60、（１）；（２）证明见解析；．61、（1）；（2）或.62、x2＋y2－x＋y＋2＝063、见解析64、（Ⅰ）；（Ⅱ）。