(完整版)高等数学练习题(附答案)
《高等数学》
专业 年级 学号 姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）
（ ）1. 收敛的数列必有界.
（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.
（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.
（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.
（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.
（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则
)0(f 为)(x f 的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1. 设2
)1(x x f =-，则=+)1(x f .
2. 若1
212)(11+-=
x
x
x f ，则=+→0
lim x .
3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则
=')3(g .
4. 设y
x
xy u +
=, 则=du .
5. 曲线3
26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .
6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2
x f x
f x F f +==',则=')1(F .
7. 若
),1(2)(0
2x x dt t x f +=?
则=)2(f .
8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分
=-+∞?
dx e x 20
.
10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D
5
2
2
1,
1 . 三、计算题（每题5分，共40分）
1. 计算))
2(1
)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10
3
2
)10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数.
3. 求不定积分
dx x x ?
-)
1(1.
4. 计算定积分
dx x x ?
-π
53sin sin .
5. 求函数2
2
3
24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==
,围成，计算dxdy y
y
D
??
sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.
8. 求微分方程y
x
y y 2-
='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）
1.
证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .
2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f
dt t f dt t f x F x x
b
??
+=0
)
(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√ ；
2.× ；
3.×；
4.× ；
5.×；
6.× ；
7.× ；
8.× ；
9.√ ；10.√.
二、 填空题.（每题2分，共20分）
1.442
++x x ； 2. 1； 3. 1/2； 4.dy y x x dx y y )/()/1(2
-++；
5. 2/3 ；
6. 1 ；
7.
3
36 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：因为 21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+L 2
1
n n
+ 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，2
1
lim n n n →∞+=0
由迫敛性定理知： ))2(1
)1(11(
lim 2
22n n n n ++++∞
→Λ=0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y Λ
10
1022111++++++='∴
x x x y y Λ )(
10()1(++='∴x x y Λ)10
10
2211++++++x x x Λ 3.解：原式=?
-x d x
112
=?
-x d x 2
)
(112
=2c x +arcsin
4.解：原式=
dx x x ?
π
23cos sin
=
?
-20
2
3sin cos π
xdx x ?ππ
2
2
3sin cos xdx x
=
?
-
20
2
3sin sin π
x xd ?
ππ
2
2
3sin sin x xd
=2
025][sin 52πx ππ2
25
][sin 52x -
=4/5
5.解： 02832
=--='y x x f x 022=-='y x f y
故 ??
?==00y x 或???==2
2
y x
当 ??
?==0
y x 时8)0,0(-=''xx
f ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--?-=?Θ 且A=08<-
∴ （0，0）为极大值点 且0)0,0(=f
当 ???==2
2
y x 时4)2,2(=''xx
f ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--?=?Θ ∴无法判断
6.解：D={
}
y x y y y x ≤≤≤≤2
,10),(
????=∴102sin sin y y D
dx y y dy dxdy y y
=dy x y y y y 2][sin 10?
=
dy y y y )sin (sin 1
?-
=?
+
-1
10
cos ]cos [y yd y
=?-
+-1
1
0cos ]cos [1cos 1ydy y y
=1sin 1- 7.解：令xy u =，x
y
v =
；则21≤≤u ，31≤≤v v v
u
u v
v v u
uv y y x x J v u
v
u 212221
=-
==
∴ 3ln 21
2131===????D
dv v du d A σ 8.解：令 u y =2
，知x u u 42)(-=' 由微分公式知：)4(222
c dx xe e y u dx
dx
+?
-?
==?-
)4(22c dx xe e x x +-=?-
)2(222c e xe e x x x ++=--
四.证明题（每题10分，共20分）
1.解：设 2
1arcsin
arctan )(x
x x x f +-=
2
2
22
2
2
2
11111111
)(x
x x x x x x
x f ++-+?
+--+='Θ=0
c x f =∴)( +∞<<∞-x
令0=x 00
00)0(=∴=-=c f Θ 即：原式成立。
2.解： ],[)(b a x F 在Θ上连续 且 dt t f a F a
b
?
=
)
(1
)(<0,dt t f b F b a ?=)()(>0
故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.
又 )
(1
)()(x f x f x F +
=' 0)(>x f Θ 2)(≥'∴x F
即 )(x F 在区间],[b a 上单调递增
∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.
《高等数学》
专业 学号 姓名
一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）
1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.
2. 若)(x f y =在点0x 不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.
3. 若)(x f 在],[b a 上可积，)(x g 在],[b a 上不可积，则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.
4. 方程0=xyz 和02
2
2
=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点. 5. 设*
y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则
*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题2分，共20分）
1. 设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .
2. 设x
x x f 3arcsin )
21ln()(+=
，当=)0(f 时，)(x f 在点0=x 连续.
3. 设xt
t t
x x f 2)
11(lim )(+=∞
→，则)(x f '' .
4. 已知
)
(x f 在
a
x =处可导，且
A
a f =')(，则
=--+→h
h a f h a f h )
3()2(lim
.
5. 若2)]([cos )(2x f dx
d
x x f =，并且1)0(=f ，则)(x f . 6. 若)(),(x g x f 在点b 左连续，且)()(),()(x g x f b g b f '>'= )(b x a <<， 则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g
7. 若2
sin x y =，则=)(2x d dy ；=dx
dy
.
8. 设?=x
x tdt x f 2
ln )(，则=')2
1
(f . 9. 设y
x e
z 2=，则=)
1,1(dz
.
10. 累次积分
dy y x f dx x R R )(20
20
22-?
?
-化为极坐标下的累次积分为 .
三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）
1. ??+→x
x t
x dt
t t dt
t 0sin 0
10
sin )1(lim
; 2. 设1
ln 22-=x
x
e e y ，求y '; 3. dx x x x ?+-2sin 1cos sin ;
4.
?
-20
2
2
4dx x x
; 5. 设22y
x x
z +=
, 求 y x z y z ?????2,. 6. 求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy . 7. 设平面区域D 是由x y x y ==
,
围成，计算dxdy y
y
D
??
sin . 8. 求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e y
x ==1
下的特解.
四、（7分）
已知bx ax x x f ++=2
3
)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 、b ，并求出所有的极大值与极小值.
五、应用题（每题7分，共14分）
1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10h km 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行km 1所消耗的费用最小？
2. 过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）
图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积.
六、证明题（7分）
设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在，且0)0(=f , 0)(>''x f . 证明
x
x f x g )
()(=
在a x <<0上单调增加.
高等数学参考答案
一、判断题 1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.
二、填空题
1. 36 ；
2. 3
2 ； 3. x
e x 2)1(4+ ； 4. A 5 ； 5. x sin 1+； 6.<； 7. 22
cos 2,
cos x x x ； 8. 2ln ； 9. dy dx +2 ；
10.
?
?20
)2cos (π
θθR
rdr r f d .
三、计算题
1. 原式x
x
x
x x
x sin cos )sin 1(lim
sin 10+=→
e e
==
1
2.2
222222222)
1(2)1(21
21
11-?--?-?
-=
'x x
x x x x
x
x
x
e e e e e e e e e y 22222)
1(221--?-=x
x
x x e e e e x
e
211
-=
3．原式=dx x x x
x ?
+-2
)cos (sin cos sin )cos (sin )cos (sin 1
2x x d x x ++-=?
C x
x ++=
cos sin 1
4．设 t x sin 2= 则tdt dx cos 2= 原式=
?
??20
2cos 2cos 2sin 4π
tdt t t
??=20
22cos sin 16π
tdt t
??-==20
20
2
)4cos 1(22sin 4π
π
dt t tdt
ππ
=-=20)4sin 4
1(2t t 5．2
3222
222)
(22y x xy y x y x y x y
z +-
=++?
-=??
32221
222
3
222
)
(2)(23
)(y x x y x xy y x y y x z +?+?-+-=??? 3
22
2
232)
()2(y x y x y y x ++-=
6．两边同时微分得：
)(1
)
()ln()(2dy dx y
x y x y x dy dx dx dy ---+--=- 即 )()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=-
故 dx y x y x dy )
ln(3)
ln(2-+-+=
（本题求出导数后，用dx y dy '=解出结果也可）
7．????=102sin sin y y D
dx y y dy dxdy y y
?-=1
)sin (sin dy y y y
?-+-=1
1
010cos cos cos ydy y y y
1
0sin 1cos 1cos 1y -+-=
1sin 1-=
8．原方程可化为
y
x y y dy dx 1ln 1=+ 通解为 ]1
[ln 1
ln 1
C dy y
e e
x dy y y dy
y y +???=?-
]1
[ln ln ln ln C dy y
e e
y y
+?=?-
]ln 1[ln 1C ydy y y +=
?])(ln 21[ln 12C y y += y
C y ln ln 21+=
e y x ==1代入通解得 1=C
故所求特解为： 01ln 2)(ln 2
=+-y x y
四、解： b ax x x f ++='23)(2
因为)(x f 在1=x 处有极值2-，所以1=x 必为驻点 故 023)1(=++='b a f 又 21)1(-=++=b a f 解得： 3,
0-==b a
于是 x x x f 3)(3
-= )1(3)(2
-='x x f x x f 6)(-='' 由0)(='x f 得 1±=x ，从而
06)1(>=''f ， 在1=x 处有极小值2)1(-=f 06)1(<-=-''f ，在1-=x 处有极大值2)1(=-f
五、1.解：设船速为)/(h km x ，依题意每航行km 1的耗费为
)96(1
3+=
kx x
y 又10=x 时，6103
=?k 故得006.0=k ， 所以有
)96006.0(1
3+=
x x
y ，),0(∞+∈x 令 0)8000(012.03
2
=-=
'x x
y ， 得驻点20=x 由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20h km 时，每航
行km 1的耗费最少，其值为2.720
96
20006.02
min =+
?=y （元） 2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00y x ，则切线的斜率为
1
00
-x y ， 又因为22
-=x y 上的切线斜率满足12='?y y ，在),(00y x 上即有120='y y
所以11
200
0=-?
x y y ，即1200
-='x y 又因为),(00y x 满足202
0-=x y ，解方程组
?????-=-=2
1
202
0020x y x y 得 ???==1300y x
所以切线方程为 )1(2
1
-=
x y 则所围成图形的面积为： 6
1
)]12(2[10
2=
+-+=
?
dy y y S （2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为：
6)2()1(41321
02π
ππ=---=??
dx x dx x V 六、证： 2
2)]
0()([)()()(])([x f x f x f x x x f x f x x x f --'=-'=' 在],0[x 上，对)(x f 应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x ∈ξ，使得 )()0()(ξf x f x f '=-
代入上式得 2
)
()(])([x
f x f x x x f ξ-'=' 由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数，又ξ>x ，则)()(ξf x f '>',
于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([
>'x
x f ，故x x f )
(在),0(a 内单调增加.
《高等数学》试卷
专业 学号 姓名
一、填空题（每小题1分，共10分）
1．函数
y =的定义域为_______________。
2．函数x
y x e =+ 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 3．设()f x 在0x 可导且0()f x A '=，则000
(2)(3)
lim
h f x h f x h h
→+--＝ _______。
4．设曲线过(0,1)，且其上任意点(,)x y 的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是_________。 5．
41x
dx x -?＝_____________。
６．1
lim sin
x x x
→∞
＝___________。 7．设(,)sin f x y xy =，则(,)x f x y ＝____________。
8．累次积分
220
()R
dx f x y dy +?
化为极坐标下的累次积分为________。
9．微分方程322
323()0d y d y dx x dx
+=的阶数为____________。
10．设级数
1
n
n a
∞
=∑发散，则级数
1000
n n a ∞
=∑
_______________。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．设函数 1
(),()1f x g x x x
==-，则(())f g x ＝ （ ） ①11x -
②11x + ③11x
- ④ｘ 2．0x → 时，1
sin
1x x
+ 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量
3．下列说法正确的是 （ ） ①若()f x 在 0x x =连续， 则()f x 在0x x =可导
②若()f x 在0x x =不可导，则()f x 在0x x =不连续 ③若()f x 在 0x x =不可微，则()f x 在0x x =极限不存在 ④若()f x 在 0x x =不连续，则()f x 在0x x =不可导
4．若在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''<>，则在(,)a b 内曲线弧()y f x =为 （ ）. ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
5．设()()F x G x ''=，则 （ ） ①()()F x G x + 为常数 ②()()F x G x -为常数 ③()()0F x G x -= ④
()()d d
F x dx
G x dx dx dx
=??ｘ 6．
1
1
x dx -?
＝ （ ）
① ０ ② １ ③ ２ ④ ３
7．方程231x y ==在空间表示的图形是 （ ） ①平行于xOy 面的平面 ②平行于Oz 轴的平面 ③过Oz 轴的平面 ④直线
8．设3
3
2
(,)f x y x y x y =++，则(,)f tx ty = （ ）
①(,)tf x y ②2
(,)t f x y ③3
(,)t f x y ④
2
1
(,)f x y t 9．设0n a ≥，且1
lim n n n
a a →∞+ ＝ｐ，则级数 1n n a ∞
=∑ （ ）
①在1p >时收敛，1p <时发散 ②在1P ≥时收敛，1p <时发散 ③在1p ≤时收敛，1p >时发散 ④在1p <时收敛，1p >时发散
10．方程2
36y xy x y '+=是 （ ） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程
11．下列函数中为偶函数的是 （ ） ①x
y e = ②3
1y x =+ ③3
cos y x x = ④ln y x =
12．设()f x 在(,)a b 可导，12a x x b <<<，则至少有一点(,)a b ξ∈使 （ ） ①()()()()f b f a f b a ξ'-=- ②21()()()()f b f a f x x ξ'-=-
③21()()()()f x f x f b a ξ'-=- ④2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 13．设()f x 在 0x x = 的左右导数存在且相等是()f x 在0x x = 可导的 （ ） ①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件
14．设22()cos [()]d
f x x f x dx
=
，则(0)1f =，则()f x = （ ） ①cos x ②2cos x - ③1sin x + ④1sin x -
15．过点（１，２）且切线斜率为 3
4x 的曲线方程为ｙ＝ （ ） ①ｘ4
②ｘ4
＋ｃ ③ｘ4
＋１ ④3
4x
16．设幂级数
n
n n a x
∞
=∑在0x （00x ≠）收敛， 则
n
n n a x
∞
=∑ 在0x x < （ ）
①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与n a 有关 17．设Ｄ域由2
,y x y x ==所围成，则
sin D
x
d x σ=?? （ ） ①1
1
0sin x x
dx dy x ??；
②10y x dy dx x
?；
③
1
x
x
dx dy x ?
；
④10x x dy dx x
?.
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１．设y =
求 y ' .
２．求 243
sin(916)
lim 34x x x →-- .
３．计算 2(1)x dx
e +?.
４．设10
(cos )arctan ,(sin )arctan t t x u udu y u udu ==?
?，求
dy
dx
.
５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.
６．设
sin x z
u e =，求 ｄｕ .
７．计算sin 0
sin x a r drd θ
θθ??
.
８．求微分方程 2
1()1
y dy dx x +=+的 通解 . ９．将 3
()(1)(2)
f x x x =
-+ 展成的幂级数.
四、应用和证明题（共15分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为0k > ）求速度与时间的关系。
２．（７分）借助于函数的单调性证明：当x>1
时，1
3x
>-
。
高等数学参考答案
一、填空题（每小题1分，共10分）
１．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2
＋１ ５．
21
arctan 2
x c + ６．１ ７．ｙｃｏｓ（ｘｙ） ８．
220
()d f r rdr π
π
θ?
? ９．三阶 １０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（ ）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．② 6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③ 11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③ 16．① 17．②
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
１．解： 1
ln [ln(1)ln ln(3)]2y x x x =
---+ 11111()213
y y x x x '=---+ 111
()13
y x x x '=
---+
２．解： 原式＝ 243
18cos(916)
lim 3x x x →-
＝244
18()cos(9()16)333
-＝８
３．解： 原式＝2
(1)(1)x x x e e dx
e +-+? ＝(1)x dx e +?-2
(1)
(1)x x d e e ++?
＝(1)1x x x e e dx e +-+?1
1x
e
++ ＝1ln(1)1x
x
x e c e
-++++ ４．解：因为(cos ),(sin )dx t arctgtdt dy t arctgtdt ==-
(sin )(s )dy t arctgtdt tgt dx co t arctgtdt
-==- ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ 所求直线方程为
112
103
x y z ---==
- ６．解：
sin (sin )x z
du e
d x z =
sin (s )x z
e
dx co zdz =+
７．解：原积分＝
sin 23
00
01sin sin 2
a d rdr a d π
θ
πθθθθ
=?
?
?
＝2
32
2
2sin 3
a
d a πθθ=
? ８．解：两边同除以 2
(1)y + 得 22
(1)(1)dy dx y x =++
两边积分得
22(1)(1)dy dx
y x =++?? 亦即所求通解为
1111
c x y -=++ ９．解：分解，得 ()f x ＝
1112x x
+-+
=
111
1212
x
x +
-+ ＝0
01(1)22n
n
n n n n x x ∞
∞==+-∑∑ （ 1x <且12x < ） ＝10
1[1(1)]2n n
n n x ∞
-=+-∑ （ 1x <）
四、应用和证明题（共１５分）
１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足du
m mg ku dt
=
=- 解方程得1
()kt u mg ce k
-=
- 由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得(1)kt mg
u e k
-=
- ２．证：令()f
x 1
3x =- 则()f x 在区间［１，＋∞］连续 而且当1x >
时，21
()0(1)f x x x
'=
->> 因此()f x 在［１，＋∞］单调增加 从而当1x >时，()f x (1)f >＝０ 即当1x >时，
1
3x
>-
《高等数学》
专业 学号 姓名
一、判断正误（每题2分，共20分）
1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量.
2. 初等函数在其定义域内必定为连续函数.
3. ()x f y =在点0x 连续，则()x f y =在点0x 必定可导.
4. 若O x 点为()x f y =的极值点，则必有()
0x f '0=. 5. 初等函数在其定义域区间内必定存在原函数. 6. 方程12
2=+y x 表示一个圆.
7. 若()y x f z ,=在点()000,y x M 可微，则()y x f z ,=在点()000,y x M 连续.
8. ()x
e x y --='22
是二阶微分方程.
9.
?-=x
x tdt dx
d 11sin sin sin . 10. 若()x f y =为连续函数，则
()dt t f x
a
?必定可导.
二、填空题（每题4分，共20分）
1.
___________sin 1=+?x dx
.
2. _______2sin lim
=∞→x
x
x .
3. 设()1='x f ，且()10=f ，则()___________=?dx x f .
4. 2xy z =，则___________=dz .
5.
____________sin 2
=?b a x dx
d .
三、计算题与证明题（共计60分）
1.()n
n n n ??
?
??+-+∞→12lim 1，
（5分）； ()??
?
??--→111
lim 20x x e x ，（5分）。 2. 求函数()
()
x
x
x x y sin cos cos sin +=的导数。（10分）
高数 下 期末考试试卷及答案
2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数 21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21 n n a ∞ =∑发散，则级数 1 n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1 n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线3426030x y z x y z a -+-=??+-+=? 与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………
高数一试题(卷)与答案解析
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0
8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +
高等数学公式总结(绝对完整版).
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学[下册]期末考试试题和答案解析
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）
(完整版)高数知识点总结
高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导 解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin
高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
(完整word版)大一高数练习题
1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .
9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;
高等数学下册期末考试试题附标准答案75561
高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．
(完整版)高等数学试题及答案
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||2 2)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() ()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2 （ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan += 的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1 ) 1(1n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 2 22 y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 22≥≤++z z y x 则三重积分??? Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4? ? ?20201 3 cos sin ππ ???θdr r d d ； （B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；
大一高数试题及解答
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
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《高等数学》试题 30 考试日期： 2004 年 7 月 14 日 星期三 考试时间： 120 分钟 一. 选择题 1. 当 x 0 时， y ln(1 x) 与下列那个函数不是等价的 （ ） A) 、 y x B)、 y sin x C) 、 y 1 cos x D)、 y e x 1 2. 函数 f(x) 在点 x 0 极限存在是函数在该点连续的（ ） A 必要条件 B )、 充分条件 C )、 充要条件 D )、 无关条件 )、 3. 下列各组函数中， f (x) 和 g( x) 不是同一函数的原函数的有（ ） . A) 、 f ( x) 1 x e x 2 1 e x e x 2 2 e , g x 2 B)、 f (x) ln x a 2 x 2 , g x ln a 2 x 2 x C)、 f ( x) arcsin 2x 1 , g x 3 2arcsin 1 x D)、 f ( x) csc x sec x, g x tan x 2 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、 x x dx 2x ln 2 C B ）、 sin tdt cost C C ）、 dx dx arctan x D ）、 ( 1 )dx 1 C 1 x 2 x 2 x 5. 下列等式不正确的是（ ） . A ）、 d b f x dx f x B ）、 d b x f x dt f b x b x a a dx dx d x f x dx f x D ）、 d x F x C ）、 a F t dt dx dx a x t) dt 6. lim ln(1 x （ ） x 0 A ）、0 B ）、 1 C ）、 2 D ）、 4 7. 设 f (x) sin bx ，则 xf ( x)dx （ ） A ）、 x cosbx sin bx C B ）、 x cosbx cosbx C b b C ）、 bxcosbx sinbx C D ）、 bxsin bx b cosbx C
高等数学(A)下期末试卷及答案
南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z += 在柱面x y x 222≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数
∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数)()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平 面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
高数一试题库
南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站 《高等数学一》课程复习题库 一． 选择题 1. 0 sin 3lim x x x →= （ ） A.0 B. 13 C.1 D.3 2. 0 sin lim 22x ax x →=，则a =（ ） A.2 B. 12 C.4 D. 14 3. 0sin 5sin 3lim x x x x →-?? ??? =（ ） A.0 B. 1 2 C.1 D.2 4. 极限0 tan 3lim x x x →等于（ ） A 0 B 3 C 7 D 5 5.设()2,0 ,0 x x x f x a x ?+<=?≥?，且()f x 在0x =处连续，则a =（ ） A.0 B. 1- C.1 D.2 6. 设()21,1 0,1 ax x f x x ?+<=?≥?，且()f x 在1x =处连续，则a =（ ） A.1 B. 1- C.-2 D. 2 7. 设()2 1,02,0,0x x f x a x x x ??? 在0x =处连续，则a =（ ） A.1 B. 1- C.0 D. 12 8．设2cos y x =，则y '=（ ） A. 2sin x B. 2sin x - C. 22sin x x - D. 22sin x x
9. 设21y x -=+，则y '= （ ） A.32x - B.12x -- C.32x -- D.121x --+ 10．设5sin y x x -=+则y '=（ ） A ．65cos x x --+ B 45cos x x --+ C.45cos x x --- D.65cos x x --- 11. 设5 1y x =，则dy =（ ） A.45x - . B.45x dx -- C. 45x dx D.45x dx - 12. 设1cos 2,y x =-则dy =（ ） A ．sin 2xdx B sin 2xdx - C.2sin 2xdx D.2sin 2xdx - 13. 设()2ln 1,y x =+则dy =（ ） A ．2 1dx x + B 2 1dx x - + C. 2 21xdx x + D. 2 21xdx x -+ 14. ()1 lim 1x x x →-=（ ） A. e B. 1e - C. 1e -- D. e - 15．()x x x 21 21lim +→ =（ ） A 0 B ∞ C e D 2 e 16. 01lim 1x x x →? ?+= ?? ?（ ） A. e B. 1e - C.0 D. 1 17.2 2 6lim 2 x x x x →+--=（ ）
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高等数学测试试题 一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （ ） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （ ） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （ ） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （ ） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （ ） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（ ） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （ ） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（ ） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（ ） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（ ） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（ ） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （ ） h 0 f ( h) f (0) 2
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武科院试题 一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有 （A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在 （D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、 已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？ 四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题 一、 填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.
长江大学下学期高数期末考试试题及答案
1.（4分）级数U n收敛的必要条件是 ____________________ n 1 1 y 2.（4分）交换二次积分的次序0dy °f （x, y）dx= ________________ 3. （4分）微分方程y 4y 4y 2xe2x的一个特解形式可以设 为__________________ . 4. （4分）在极坐标系下的面积元素d ____________________ . 二、选择题（每题4分，共16分） 2 2 1. （4分）已知曲面z 4 x y上点P处的切平面平行于平面
2x 2y z 1 0,则点P 的坐标是（ ). A. (1,-1,2)； B. (-1,1,2); 1 2. (4分)级数 (1)n1 3为( n 1 n 2 B.条件收敛; 是锥面x 2 A.绝对收敛; 3. （4分）若 （ y 2)dS ( ). C. (1,1,2)； C.发散; D. (-1,-1,2). D.收敛性不确定. z 2被平面z 0与z 1所截下的部分，则曲面 1 2 A. 0 d 0r rdr ; B. 0 r 2 rdr ; C. ^2 0d 0r 2 rdr ; D. d 0 「2 rdr . 4. （4分）幕级数 （1）n —的收敛半径为（ 、n ). A. 1. R 2; B. R -; 2 解答题(每题7分，共63分) (7 分)设 z sin(x y) e xy ,求 dz . C.R 3; D. R 2. （7分）计算三重积分I xdxdydz 其中 为三个坐标面及平面
x 2y z 1所围成的闭区域? 3. (7分)求I (1 y z)dS ,其中 是平面y z 5被圆柱面 x 2 y 2 25截出的有限部分. 4. (7分)求幕级数 (1) (x 1)"的收敛域. n 1 n 1 5. (7分)将f(x) 2展开为麦克劳林级数? 2 x x 6. (7 分)求曲线积分 I L (e x siny y)dx (e x cosy 1)dy ,其中 L 为 x 2 y 2 ax 上从A(a,0)到0(0,0)的上半圆周. 7. (7分)求微分方程y 2xy 4x 在初始条件y x 0 3下的特解. 8. (7 分)求曲面积分 I Q (X 1)dydz (2y 2)dzdx (3z 3)dxdy , 其中为 曲面x 2 y 2 z 2 4的内侧. 9. (7 分)计算曲线积分 I (x y)ds ,其中 L 是以 0(0,0) ,A(1,0),B(0,1) L 为顶点的三角形折线. 四、(5分)试确定参数t 的值，使得在不含直线y 0上点的区域上，曲线积分 2( 2 2) t x (x 2 y ) dy 与路径无关，其中C 是该区域上一条 y 评分标准 1 1 光滑曲线，并求出当 C 从 A(1,1)到 B(0,2)时 I 的值. / 2 2、t ,x(x y ), I dx C y 1.lim u n 0; n