研究生数理方程期末试题10111A答案
本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！
北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期
《数学物理方程》期末试题（A卷）
（参考答案）
学院 专业 学号 姓名
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
分值 10 15 15 20 15 15 10 100
得分
阅卷人
1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：
其中E是圆锥体的杨氏模量，是质量密度，h是圆锥的高（如下图所示）：
【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为uESx，S为x处截面面积。】
【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r和2r，如图所示。于是，我们有
上式化简后可写成
从而有
或成
其中2Ea，证明完毕。
2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边yb处于较高温度U，其它三边0y，
0x
和xa则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u。试求该截面上的稳定温度
分布(,)uxy，即求解以下定解问题：
【提示：可以令
0
(,)(,)uxyuvxy
，然后再用分离变量方法求解。】
【解】令
0
(,)(,)uxyuvxy
，则原定解问题变为
本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！
分离变量：
代入方程得到关于X和Y的常微分方程以及关于X的定解条件：
可以判定，特征值
特征函数
利用特征值n可以求得
于是求得特征解
形式解为
由边界条件，有
得到
解得
最后得到原定解问题的解是
3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题
【解】方程两端对x求积分，得
也即
对y求积分，得
也即
由初始条件得
也即
再取0x，于是又有
从而得
于是
将这里的()gx和()hy代入(,)uxy的表达式中，即得
4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题：
【提示：可利用逆Fourier积分变换公式：11,||sin[]20,||xatatFaaxat】
【解】对变元x作Fourier变换，令
则有
方程的通解是
由初始条件得
可得
方程的解
从而
查表可得
从而
本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！
注意到
最后得到原问题的解
即
这就是d’Alembert公式。
5、 （20分）对于平面上的调和函数(,)uxy
1）试证明Dirichlet边值问题解的唯一性，即：方程.0,0uu只有零解；
2）用Green函数法，试求解边值界为(,)gxy的上半平面调和函数的Poisson表达式。
6、 （20分）半径为0r的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为20cosu，0u为常数，
求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题（球坐标形式）：
【解答】由于球面上边界条件中不含有变量，故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解
该问题。为此令
代入方程，得
改写成
令(1),cos,nnxP，可将上面两个方程改写成
上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为()nPx。而第一个方程是一个欧拉方程，它的
通解是
再根据R的有界性，应有20C，从而
于是，原问题的解是
边界条件为
或写成
即有
根据已有的结果
或
从而
于是有
比较两端()nPx的系数，可知
从而
7、 （10分）用Ritz-Galerkin方法求下列问题的近似解：
其中区域222{(,)|}xyxyR，0u为常数。
本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！
【提示：取近似解为2221()uARxy】
【解】取基函数组2220Rxy，求(,)uxy的近似解，只取1N，则
222
10
()uAARxy
。
泛函
令
有
可得
最后得到定解问题的近似解为
最新数理方程期末试题-07-08-2-B-答案
最新数理方程期末试题-07-08-2-B-答案2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ _________________姓名 _______________ 学号一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示.初速度为零，又没有外力作用.求弦做横向振动时的位移(,)u x t .[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n h n n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解.5． 用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法.][ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x ln πsin ，其解可以表示成1(,)()sin n n l n u x t v t x π∞==∑把原问题中非齐次项t x t x f l a l ππ22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数∑∞===122sin )(sin sin ),(n l n n l a l xt f tx t x f πππ因此有⎩⎨⎧===,...4,3,1,0;2,sin )(2n n t t f l a n π利用参数变易法，有,...5,4,3,1,0),()cos sin ()(sin sin),(222402222==-=-=⎰n t x v t t t d t t x v n l a l a a l a l tl a l a a l πππππππτττ于是x t t t t x u l l a l a a l a l πππππ22224sin )cos sin (),(-=6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-=+∞<=<<∂∂+∂∂=∂∂====0|,1||,0|0),(00012222222t R r t r R r r t u u u u R r r u r u a t u [ 解 ] 用分离变量法求解.令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得⎩⎨⎧==+0)0('0)()(")(22T t T a t T I β 以及⎩⎨⎧=∞<=++0)(,)(0)()(')(")(0222ρρρρβρρρρR R R R R II设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为)()()(0022ρρβρλρλnn J R n n ==问题（I ）的解为t C t T na n n 0cos )(ρλ=于是原问题的解是∑∑==tJ C t T R t u nn a n n n 0cos)()()(),(0ρλρλρρρ由初始条件2021)0,(ρρρ-=u得到)(8)()(422)(20)(213212222212002022120)()()1(nn nn n nnn n J J J n J J n J d J C λλλλλλρλρρρλρρλρλρρρ==⋅=-=⎰而且又有的零点，也即是由于,0)()(00=n n J x J λλ)()()(1220x J x J x J x =+故nn n J J λλλ2)()(12=于是最后得到原问题的解是∑∑∑===t J tJ C t T R t u n n nn n n na J J a n n n 00212200cos )(cos )()()(),(0)()(40ρλρλλλλρλρλρρρρ二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式⎰⎰⎰∂∂∂∂-=∇-∇Cn v n u D ds u v d v u u v )()(22σ其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分.[证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有⎰⎰⎰-=-∂∂∂∂CDy P x Q ds P Q d )cos cos ()(βασ再设u ，v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令yvx v u P u Q ∂∂∂∂-==, 得到⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∇Cnv Cyv x v Dyvy u xvx uDdsuds u d vd u )cos cos ()(βασσ交换u ，v ，得到⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=++∇Cnu Cyu x u Dyv y u x v x u Ddsvds v d ud v )cos cos ()(βασσ上面第二式减去第一式，得到⎰⎰⎰∂∂∂∂-=∇-∇Cn vn u Dds u v d v u u v )()(σ证毕.8． 证明关于Bessel 函数的等式：1220100()d ()(1)()(1)()d n n n n x J x x x J x n x J x n x J x x --=+---⎰⎰。
中国石油大学(北京)研究生期末考试试卷《工程数学》试题A卷及参考答案
中国石油大学（北京）研究生期末考试试卷 2012 --2013 学年第 一 学期 A 卷 (开卷考试)考试课程：工程数学 课程编号：063001 考生姓名：_______________________ 考生学号：______________注：计算题取小数点后四位装 订 线一、 填空题(每小题4分，共20分) 1、227作为π的近似值，其有效数字有______位。
2、设()k l x 是以01,,,n x x x 为插值节点的Lagrange 基函数，则()nk k l x ==∑____________。
3、已知矩阵5347A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A ∞=_________。
4、已知向量(3,2,6)T x =-，Householder 变换阵H 使Hx 与(1,0,0)T同方向，则H =_________。
5、解方程3x x e =的Newton 迭代格式为_________。
二、（10分）用LU 分解方法求解Ax=b ，其中2 -1 71043 10,11045 1A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦装 订 线三、（15分）已知线性方程组为12312312382313352365x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ （1）写出Jacobi 迭代和Gauss Seidel -迭代格式； （2）取零初值迭代2步四、（15分）已知液体的表面张力s 是温度T 的线性函数=+s aT b 。
对某种液体有如下表的实验实据，请用最小二乘逼近确定系数,a b 。
装 订 线五、（15分）求次数4≤的多项式()p x ，使满足插值条件：0202010(),(),(),p p p '''==-=-1111(),()p p '==-。
装订 线六、(15分) 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是=S aθ,这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则=++=-(2)/2,()/2.a R H h c H h我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）试用Simpson求积公式求卫星轨道的周长。
研究生期末数理方程与特殊函数2010期末考试试卷题
XXXXX 大学研究生试卷（考试时间： 至 ，共 小时）课程名称 数理方程与特殊函数 学时60 学分 3教学方式 闭卷 考核日期 2010年 12 月 30 日 成绩1．化方程230xx xy yy u u u +-=为标准形并写出其通解. (10分)2. 求下面固有值问题：(10分)2()()0(0)0,()0X x X x X X l λ''⎧+=⎨'==⎩ .第 1页3．求稳恒状态下由直线10,x x l ==与20,y y l ==围成的矩形板内各点的温度分布。
已学 号 姓 名 学 院 教师 座位号……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………知10,x x l ==及0y =三边温度保持零度，而2y l =边上温度为()x ϕ，其中(0)0ϕ=，1()0l ϕ=.(20分)4．求下面的定解问题：（15分）00sin ,(,0)0,sin tt xx t t t u u t x x R t u u x==-=∈>⎧⎪⎨==⎪⎩.第2页5．求证22214F e x a t a tω---⎡⎤⎣⎦，其中1F ()-∙表示Fourior 逆变换.（15分）6．求1225s L s s -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，其中1L -为Laplace 逆变换.（10分）第3页学 号 姓 名 学 院 教师 座位号……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………7．写出平面的第一象限的Dirichlets问题对应的Green函数及其定解问题.（10分）8．计算41()x J x dx.（10分）.第4页。
西电研究生数值分析试题A答案
答 案一． 填空题1、① x θ=2、②331()(53)2P x x x =- ③ 110,()()2,21n m n m P x P x dx n m n -≠⎧⎪=⎨=⎪+⎩⎰3、④ n ⑤ 04、⑥f f ⎛+ ⎝ ⑦ 1 ⑧ n+1 5、⑨02ω<< 6、⑩ 1()()k k k k f x cx x f x +-=-'二． 解：问题等价于求()f x =[1,1]-上关于权函数()x ρ=佳平方逼近多项式。
故选取切比雪夫基函数2012121===-,,T T x T x .001122(,),(,)(,)2T T T T T T ππ===1011111122211(,)1,(,)0,(,)(21)(21)0f T f T x f T x x x dx ----=====-=-=⎰⎰⎰⎰()f x =220(,)1()(,)j j j j j T f P x T T T π===∑由此得到参数10,0,a b c π===.而最小值(,,)I a b c 即是平方误差.即222(,,)(,)(,)I a b c f f f P δ==-2212211(,)(1(,)jj j jT fx xT T-==--∑⎰10.07448ππ=-≈三．证明：(1)若函数充分光滑，则有(1)1()()()()()(1)!nni i niff x f x l x xnξω++==++∑式中101()()()()n nx x x x x x xω+=---当()1f x≡时，有001()()()0()n ni i ii if x f x l x l x====+=∑∑(2)如果求积公式至少具有n次代数精度，则它对于n次多项式()njkj k jj kx xl xx x=≠-=-∏精确成立，即有()()nbk i k iail x dx Al x==∑⎰注意到()k i kil xδ=，故()()nbk i k i kail x dx Al x A===∑⎰即()0,1,2,,bk kaA l x dx k n==⎰ .解：(3) 插值节点为0121.0, 1.1 1.2.x x x===，步长100.1h x x=-=由三点公式()1021()()2f x f x f xh'=-+⎡⎤⎣⎦[]10.25000.206620.10.217=-+⨯=-另解（3）()()()()nn i iif x L x l x f x='''≈=∑当1 x x =时，110()()()ni i i f x l x f x =''≈∑三点的插值基函数为：1200102()()()()()1( 1.1)( 1.2)0.02x x x x l x x x x x x x --=--=--01()(2 2.3)0.02l x x '=-0211012()()()()()1(1)( 1.2)0.01x x x x l x x x x x x x --=--=--- 11()(2 2.2)0.01l x x '=-- 0122021()()()()()1(1)( 1.1)0.02x x x x l x x x x x x x --=--=-- 21()(2 2.1)0.02l x x '=- 将1 x x =代入，得：01()5l x '=-，11()0l x '=， 21()5l x '=(1.1)5(1.0)0(1.1)5(1.2)f f f f '∴=-⋅+⋅+⋅50.250050.20660.217=-⨯+⨯=-四． 解：(1) 令26x f (x)e -=，则212x f (x)xe -'=-，()221221x f (x)ex-''=-，()222432001xf (x)x(x )e x ,-'''=-≠∈，当01x ≤≤时，0f (x)'''>，所以1112f (x)f ()e -''''≤=f (x)''在[0,1]上为单调函数，因此[]()()(){}()0101012x ,max f x max f ,f f ∈''''''''===由于复化梯形公式的离散误差为()()()20112n h b a E f f ,-''-ξ<ξ<因此 ()()[]()20112n x ,h b a E f max f x ∈-''≤要使 ()610n E f-≤，则只要()[]()26011012x ,h b a max f x -∈-''≤即 ()22612101012h h --=≤因此310h -≤，故可取步长310h -=，由于1b a h n n-==，因此得310n =， 故节点数至少取1001.(2)将1,x 分别代入求积公式，使得1=2=a b +⎰；1021=35a b =+⎰. 由此的51,33a b ==.对应的求积公式为1511()(1)353f f ≈+⎰，将2x代入等式21251153253==+⎰恒成立，将3x代入等式31226775=≠⎰不成立， 故该求积公式的代数精度为2.五． (1) 解：由算式1111111111(1,2,3,4),/(2,3,4),(2,3,4;2,3,4),()/(2,3,4;3,4).jj i i k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a j l a u i u a l u k j l a l u u k i -=-=⎧⎪====⎪⎪=-==⎨⎪⎪=-==⎪⎩∑∑得10004215210003001210002130410001A LU ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦b Ly =→(1,3,2,8)Ty =-y Ux =→(9,1,5,8)T x =--(2) 因为10042211001220091212A LU ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦， 所以有200211110012123003TA LL -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦b Ly =→(5,0,3)Ty =T L x y =→(22,1)T x =，六． (1) 解：雅可比迭代矩阵为1022101220--⎡⎤⎢⎥=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()B D L U因为3-=-det()B I λλ，所以123===0λλλ，从而0=()B ρ，故雅可比迭代收敛。
华北理工大学研究生期末数理统计综合(10套)
专业数理统计综合练习一、单项选择题（每题3分） 第一章1.设总体 X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ未知，2σ已知，123,,X X X 是取自总体 X的一个样本，则以下不是统计量的为( )3)()(321X X X A ++ ()()X B μ-()321,,max )(X X X C 2321)()(σX X X D ++2．设总体X 服从二项分布(,)B n p ，其中n 已知，p 未知，1X ，2X ，3X 是取自总体的一个样本，则下列选项中不是统计量的是（ ）（A ）3113ii X=∑ （B ）()123min ,,X X X（C ）12X p + （D ）321()ii XX =-∑3. 设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是（ ）. （A ）415X X +； （B ）41ii Xμ=-∑；（C ）σ-1X ； （D ）∑=412i iX4. 设12n X X X ，，，是来自总体X 的样本，则()2111ni i X X n =--∑是（ ）. (A ) 样本矩 (B ) 二阶原点矩 (C ) 二阶中心矩(D ) 统计量5.设12,,,n X X X 为总体X 的样本，期望μ、方差σ2未知，X 、s 2分别为样本均值和样本方差，则下列样本函数为统计量的是（ ）.(A ) 211()ni i X X n =-∑(B ) 11n i i X n μσ=-∑(C )22(1)n s σ- (DX6.设总体X 服从()223N ，，1210X X X ，，，是X 的样本，则有（ ）.(A ) ()20.9X N 服从， (B ) ()29X N 服从， (C ) ()209X N 服从，(D ) ()2090X N 服从，7.设X 服从()2N σ0，，则服从自由度为()1n -的t 分布的随机变量是（ ）.(A )nXS (B(C ) 2nX S(D 8.设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为1n ，2n ，则有（ ） （A ）()221212Var X Y n n σσ-=- （B ）()1212Var X Y n n σσ-=+（C ）()1212Var X Y n n σσ-=-（D ）()221212Var X Y n n σσ-=+9．设12,,,n X X X 是来自正态总体~(0,1)X N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有（ ） （A ）~(0,1)XN （B ）~(0,1)nX N（C ）~(1)nXt n S - （D ）2122~(1,1)n ii X F n X =-∑ 10. 设总体()2~,XN μσ，12,,,n X X X 为其一个样本，则下列选项正确的是( )（A ）(~(0,1)N X Sμ- （B ）(()~1X t n μσ--（C ）(()~X t n Sμ- （D ）(~(0,1)N X μσ-11. 设128,,,X X X 和1210,,,Y Y Y 分别是取自两个正态总体2(1,2)N -和2(2,5)N 的简单随机样本且相互独立，21S 和22S 分别是两个样本的样本方差，则统计量2122254S S 服从的分布是（ ）（A ）(9,7)F （B ）(7,9)F（C ）(7,7)F （D ）(9,9)F12. 设n X X X ,,,21 是总体),(2σμN 的样本，X 是样本均值，记=21S∑∑∑===--=-=--n i n i n i i i i X n S X X n S X X n 1112232222)(11,)(1,)(11μ，∑=-=ni i X n S 1224)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）.（A ）1/1--=n S X T μ； （B ）1/2--=n S X T μ；（C ）nS X T /3μ-=； （D ）n S X T /4μ-=13. X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则11ni i X X n ==∑服从的分布为（ ）。
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
数理方程期末试题-07-08-2-B-答案
数理方程期末试题-07-08-2-B-答案2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ _________________姓名 _______________ 学号一、 计算题（共80分；每题16分）1． 求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2． 用积分变换法及性质；求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =；弦的出示位移如下图所示。
初速度为零；又没有外力作用。
求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。
[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n h n n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下；波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ；并由此求出波动方程的通解。
5． 用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数；不必推导；2) 利用参数变易法。
数理方程习题答案
习题2.12.解：振动方程：2,0,0tt xx u a u x L t =<<>边界条件：00,0x x x Lu u ====初始条件：,0t t t b ux u L====习题2.23.解：根据牛顿冷却定律有：44()ukdsdt u dsdt n σϕ∂-=-∂∴初始条件为： 44()su u n k σϕ∂=--∂习题2.33.解：0000,0,0,0000,(,)x x a y y bz z cu x a y b z c u u u uuux y ϕ======∆=<<<<<<======习题2.42.<4）解：该方程为一般二阶线性偏微分方程，首先对其进行化简：特征方程：23410dy dy dx dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得：121,3x y x y ϕϕ-=-=作代换：13x yx y ξη=-⎧⎪⎨=-⎪⎩11113xy xy Q ξξηη-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以：1112111212221222Ta a a a Q Qa a a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦21110321331212111033⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12000b Lc b L c c f ξξηη=-==-===于是有:u ξη=11212()()()()()u g u g d f f f ξξξξηξη==+=+⎰121()()3u f x y f x y ∴=-+-是原方程的解。
习题2.52.证明： 显然0t u==由含参变量的求导法则，有000(,;)(,;)t t tt u V dtd u d V x t V x t t t dtdtV d tττττττ==∂∂==+-∂∂∂=∂⎰⎰tt u =∴=2222220020(,;)(,;)()(,)(,)tt tt xx tt tt xx V V x t dt V x y t u a u d a d t tdt x V a V d f x f x τττττττ=∂∂∂-=+-∂∂∂=-+=⎰⎰⎰<此处f(x,t?>）另外有：(0,;)00(,;)00t tx t tx Lu V t d d uV L t d d ττττττ========⎰⎰⎰⎰证毕。
(整理)数理方程第二版课后习题答案
第一章曲线论§ 1向量函数1 .证明本节命题3、命题5中未加证明的结论略2 .求证常向量的微商等于零向量。
证：设31,回为常向量，因为r(t4- At) -r(t) c-c 11m = lim = 0it —AtAt —At所以E33 .证明⑹ p 2(t)则此向量在该区间上是常向量 证：设［=«r)=)⑴ 返 ［回 回1为定义在区间口上的向量函数，因为 回在区间口上可导当且仅当数量函数 晅］,EH3和EH3在区间 口上可导。
所 以，।° I ,根据数量函数的Lagrange 中值定理，有证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,x(t) - X(t o ) 4- %)y(t) =y(S)+ y r (日”(t -力式 t) = z(M)+ /(%)《一其中 51,囹，因介于口与口之间。
从而* =3(口 =比⑷ y(t) 4 t)} =+ £(%)(「-1) y(j) + 4(%)«-咐 《%) +={刀(珀 “幻)+ X(sp 4电)/(%)}("明=『口 +年一%)上式为向量函数的 0阶 Taylor 公式，其中 :—卜("'_‘(")_一 ⑻):。
如果在 区间口上处处有F ⑴=口⑷ *)曰!,则在区间口上处处有适三从而F = (，©) y'(%) ，(1)] = o]于是E3。
证毕5 .证明左逗1具有固定方向的充要条件是F 黑亍二°1证：必要性：设F=1a)l 具有固定方向,则F =直力1可表示为F =, 其中四为某个数量函数，目为单位常向量，于是f"=。
⑴P 住"X" Q] 充分性：如果区三可，可设[_叫,令巨运三叵画,其中四为某个 数量函数，回为单位向量，因为F=p 岸前⑴+。
("'⑴]于是r x ? = O-*p(t)2(t) x [p'(t)?(t) + p(t)e (t) - O^*p 2(f)[e(t) x e (t) - 0 因为回，故国亘1,从而F⑷x.(t)=。
数理方程课后习题答案
数理方程课后习题答案数理方程课后习题答案数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。
在学习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。
本文将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 解方程：2x + 5 = 13解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。
然后将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。
所以方程的解为x = 4。
2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}解答：可以使用消元法来解决这个方程组。
首先将第二个方程的系数取负，得到{-x + y = -1}。
然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。
将这两个方程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。
解得y = -1。
将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。
解得x = 4。
所以方程组的解为x = 4，y = -1。
3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。
将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x = 2或x = 3。
所以方程的解为x = 2或x = 3。
4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。
观察方程，可以发现x = 1是一个解。
通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。
将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。
根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0或x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x = 1或x = 2或x = 3。
所以方程的解为x = 1或x = 2或x = 3。