线性代数正交矩阵
正交矩阵运算法则
正交矩阵运算法则正交矩阵是线性代数中的一种重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍正交矩阵的定义和性质，并探讨如何使用正交矩阵进行运算。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：其转置矩阵等于其逆矩阵。
换句话说，对于一个n阶正交矩阵A，有A^T * A = I，其中I是单位矩阵。
二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行列式的绝对值等于1。
这是由于行列式的性质以及正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
2. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。
这是由于正交矩阵的定义以及其转置矩阵等于其逆矩阵。
3. 正交矩阵的行（列）向量构成一组正交归一基。
这是由于正交矩阵的定义以及其行（列）向量是单位向量且两两正交。
4. 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及转置矩阵的转置等于原矩阵。
5. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及矩阵乘法的性质。
三、正交矩阵的运算法则1. 正交矩阵与向量的乘积对于一个n阶正交矩阵A和一个n维列向量x，它们的乘积Ax表示将向量x绕原点进行旋转和伸缩的变换。
由于正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交，所以乘积Ax后的向量也是单位向量。
同时，由于正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，所以可以通过A^T * Ax = x来恢复原始向量x。
2. 正交矩阵的乘法两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及矩阵乘法的性质。
例如，设A和B都是n阶正交矩阵，则有(A * B)^T * (A * B) = B^T * A^T * A * B = B^T * B = I。
这说明了两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
3. 正交矩阵的转置正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
这是由于正交矩阵的定义以及转置矩阵的转置等于原矩阵。
例如，设A是一个n阶正交矩阵，则有(A^T)^T * A^T = A * A^T = I。
这说明了正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵。
正交矩阵的证明
正交矩阵的证明正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及如何证明一个矩阵是正交矩阵。
我们来定义正交矩阵。
一个n阶方阵A称为正交矩阵，如果它的转置矩阵等于它的逆矩阵，即A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1。
接下来，我们来看一些正交矩阵的性质。
首先，正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都是线性无关的。
此外，正交矩阵保持向量的长度和夹角不变，即对于任意向量x，有||Ax|| = ||x||，以及向量x和y之间的夹角等于向量Ax和Ay之间的夹角。
接下来，我们来证明一个矩阵是正交矩阵的方法。
首先，我们需要证明矩阵的行向量和列向量都是单位向量。
设A是一个n阶矩阵，它的第i行为a1i，第j列为aj1。
由正交矩阵的定义可知，A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1，即ATA = I，其中I是单位矩阵。
那么，我们有a1i·aj1 = 0 (i ≠ j)，即第i行向量和第j列向量正交。
另一方面，a1i·a1i = 1，即第i行向量的长度为1。
所以，我们可以得出结论：矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
我们需要证明矩阵的行向量和列向量都是线性无关的。
假设存在一个非零向量x，使得Ax = 0。
那么，我们有||Ax|| = ||0|| = 0，根据正交矩阵的性质可知||Ax|| = ||x||，所以||x|| = 0。
由向量的长度定义可知，只有零向量的长度为0，所以x必须是零向量。
因此，我们可以得出结论：矩阵的行向量和列向量都是线性无关的。
我们需要证明正交矩阵保持向量的长度和夹角不变。
设x和y是两个向量，我们有||Ax|| = ||x||，以及x·y = (Ax)·(Ay)。
根据向量的长度定义可知，如果两个向量的长度相等，则它们的平方和也相等。
所以，我们可以得出结论：正交矩阵保持向量的长度和夹角不变。
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是现代数学的基础理论之一，它在各个领域中起到了重要的作用。
其中，正交矩阵和正交变换是线性代数中的重要概念之一。
本文将深入探讨正交矩阵和正交变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正交矩阵的定义与性质首先，我们来了解正交矩阵的定义。
在线性代数中，一个方阵A称为正交矩阵，当且仅当满足以下条件：1. A的转置矩阵A^T等于它的逆矩阵A^(-1)。
2. A的所有列向量互为正交向量。
3. A的所有列向量的模长都等于1。
基于上述定义，我们可以推导出正交矩阵的一些重要性质。
1. 正交矩阵的行向量以及列向量都是单位向量，即长度为1的向量。
2. 正交矩阵的行向量两两正交，列向量两两正交。
3. 正交矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵。
二、正交变换的概念与性质正交变换是指保持向量的长度和夹角不变的线性变换。
在线性代数中，我们可以通过正交矩阵进行正交变换。
具体而言，设A是一个正交矩阵，x是一个向量，那么正交变换可以表示为Ax。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换可以将一个向量映射为另一个向量，同时保持向量的长度和夹角不变。
2. 正交变换的矩阵一定是正交矩阵，即正交矩阵其实就是表示正交变换的矩阵。
3. 正交变换是线性变换的一种特殊情况，其满足线性变换的加法和数乘运算。
三、正交矩阵与正交变换在实际问题中的应用正交矩阵与正交变换在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 三维图形的旋转在三维计算机图形学中，我们经常需要对三维图形进行旋转操作。
而正交矩阵正好可以用来表示三维空间中的旋转。
通过构造一个特定的正交矩阵，我们可以实现对三维图形的旋转变换。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的方法。
正交矩阵在傅里叶变换中起到了重要作用，通过将输入信号与正交矩阵相乘，可以实现频域上的变换，提取信号的频谱信息。
3. 数据压缩与图像处理正交矩阵和正交变换也被广泛应用于数据压缩和图像处理领域。
线性代数5-4.正交矩阵
为单位向量。
e
P136
4.2
正交向量组
定义4.3 设 x、y 为n实维向量,当（x,y）=0时， 称x与y正交。记作xy 。 若x = 0,则 x 与任何向量都正交。反之， 若x 与任何向量都正交，则x=0. 定义4.4 :如果一组非零向量两两正交，则称这 组向量为正交向量组。简称为正交组。 ★ ★如果一个向量组仅含一个向量α， 当α≠ 0时，则规定该向量组为正交组。
性质2 若A是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵； 性质3 若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶 正交矩阵； 性质4 若A是正交矩阵，则必有|A|=1或|A|=-1。 性质5 若A是正交矩阵,则
A , A k (k N )亦为正交矩阵。
2.正交变换 P140 定义4.7（修改）设P为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 设 y = Px 为正交变换，则有
§4
正交矩阵
4.1、实向量的内积与长度 1.内积的概念
定义4.1 设有n维实向量
规定
a1 b1 a b 2 2 , , an bn
（ α ，β）=a1b1+ a2b2+…+ anbn
(1)
称（ α ，β）为向量α与β的内积。
1）内积是一个数（或是一个多项式）。 2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。 列向量： (α, β)= αT β; 行向量：(α, β)= α βT。
2.内积的性质：
设 α ，β ，γ为n 维实向量，λ为实数。 性质1 (α, β)=(β, α); 性质2 (λ α, β)=λ(α, β); 性质3 (α + β, γ)=(α, γ)+(α, γ)； 性质4 当α 0时， (α, α)>0。 显然，(0,0)=0，由此便知实向量 α =0 的充分 必要条件 是(α, α) = 0。
正交矩阵知识点总结
正交矩阵知识点总结正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将从定义、性质和应用三个方面对正交矩阵进行总结。
一、定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：它的转置等于它的逆矩阵。
换句话说，设A是一个n阶方阵，若满足AT·A=AA·T=I（其中I是单位矩阵），则称A为正交矩阵。
二、性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量且两两正交。
具体来说，设A是一个n阶正交矩阵，其第i行（列）向量记作ai（aiT），则有ai·aiT=1，ai·ajT=0（i≠j）。
这意味着正交矩阵的行（列）向量长度为1且彼此垂直。
2. 正交矩阵的行列式的值只能是±1。
这是由于正交矩阵的行（列）向量长度为1，所以它们的行列式值为1或-1，从而整个矩阵的行列式值也只能是这两个值。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则A的逆矩阵A-1也是正交矩阵。
这是因为(A-1)T·(A-1)=A-1·AT=I，满足正交矩阵的定义。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
设A和B分别是n阶和m阶正交矩阵，它们的乘积AB是一个n阶正交矩阵。
这是由于(AB)T·(AB)=BTA·AB=BT·(A·A)·B=BT·IB=B·B=I。
5. 正交矩阵的转置也是正交矩阵。
设A是一个n阶正交矩阵，则它的转置AT也是正交矩阵。
这是因为(AT)T·(AT)=A·A=I。
三、应用1. 坐标系变换：正交矩阵可以用于坐标系的旋转和变换。
设A是一个二维正交矩阵，它的列向量表示一个坐标系的基向量，那么对于一个向量x，通过矩阵乘法Ax即可得到它在新坐标系下的表示。
2. 正交变换：正交矩阵可以保持向量的长度和夹角不变。
例如，对于一个二维向量x，若A是一个正交矩阵，那么||Ax||=||x||，且x·y=(Ax)·(Ay)，其中||·||表示向量的长度，·表示向量的内积。
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是一门研究向量空间及其运算规律的数学学科，正交变换和正交矩阵是其中重要的概念之一。
本文将介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指一种保持向量内积不变的线性变换。
设V是一个n维向量空间，线性变换A:V→V是一个正交变换，当且仅当满足以下条件：1. 对于V中任意两个向量u、v，有(Au)·(Av) = u·v，其中·表示两个向量的内积；2. A是一个满秩的矩阵，即A的行与列都线性无关。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于任意向量v，有||Av|| = ||v||，其中||v||表示向量的长度；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即对于任意向量u、v，有夹角(Au, Av) = 夹角(u, v)，其中夹角(u, v)表示向量u和v之间的夹角；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即如果A是一个正交变换，则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵；4. 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵。
二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是指行列式的值为1或-1的实矩阵。
设A是一个n×n的矩阵，如果A满足以下条件，则称A是一个正交矩阵：1. A的转置矩阵A^T与A的乘积等于单位矩阵，即A^T × A = I；2. A的行（或列）向量构成一组标准正交基。
正交矩阵具有以下重要性质：1. 正交矩阵乘积依然是一个正交矩阵，即如果A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；2. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即如果A是一个正交矩阵，则A^T是其逆矩阵；3. 正交矩阵的行（或列）向量是一组标准正交基，即正交矩阵的行（或列）向量互相正交且长度为1；4. 正交矩阵的行列式的值为1或-1，即|A| = 1或|A| = -1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
正交矩阵的定义
正交矩阵的定义正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域，如几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。
正交矩阵是一种特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。
在本文中，我们将详细介绍正交矩阵的定义及其性质。
首先，我们来定义正交矩阵。
一个n阶方阵A被称为正交矩阵，当且仅当它的转置矩阵与自身的乘积等于单位矩阵I。
换句话说，如果满足条件A^T * A = I，那么矩阵A就是正交矩阵。
其中，A^T表示矩阵A的转置。
正交矩阵的一个重要性质是，它的每一列都是单位向量，并且两两正交。
也就是说，如果A是一个n阶正交矩阵，那么它的每一列向量都是单位向量，并且互相正交。
这可以通过矩阵乘法的定义进行证明。
设A的第j列为a_j，那么有a_i^T * a_j = 0 (i ≠ j)，并且a_i^T * a_i = 1，其中a_i^T表示向量a_i的转置。
这个性质可以用来解决一些几何问题，比如判断向量的正交性。
另一个重要的性质是正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵。
即，如果A是一个n阶正交矩阵，那么A的逆矩阵等于其转置矩阵，即A^(-1) = A^T。
这个性质可以通过正交矩阵定义的等式A^T * A = I推导得出。
首先，我们可以将等式两边同时乘以A^(-1)，得到A^(-1)*A^T * A = A^(-1) * I，即A^(-1) * A^T * A = I。
由于A^(-1) * A = I，所以有A^(-1) * I = I，进一步得到A^(-1) = A^T。
这个性质非常有用，可以简化正交矩阵的求逆运算。
正交矩阵还有一个重要的性质是它的行列式的绝对值等于1。
即，如果A是一个n阶正交矩阵，那么|det(A)| = 1，其中|det(A)|表示矩阵A的行列式的绝对值。
这个性质也可以通过正交矩阵定义的等式A^T * A = I推导得出。
首先，我们可以将等式两边同时求行列式，得到det(A^T * A) = det(I)，即det(A^T) * det(A) = det(I)。
正交矩阵公式
正交矩阵公式正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
正交矩阵具有许多有趣的性质和特点，本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及相关应用。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的方阵。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，如果有A^T*A=I，其中I为单位矩阵，则称A为正交矩阵。
二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量，并且两两正交。
2. 正交矩阵的行（列）向量构成一组标准正交基。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
5. 正交矩阵的行列式的值只能为1或-1。
三、正交矩阵的应用1. 旋转变换正交矩阵可以表示空间中的旋转变换。
例如，对于二维平面上的一个向量进行逆时针旋转θ度，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现。
同样地，对于三维空间中的向量进行旋转变换也可以利用正交矩阵来表示。
2. 坐标系变换正交矩阵还可以用于不同坐标系之间的变换。
例如，对于二维平面上的一个向量，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换。
3. 图像处理在图像处理中，正交矩阵常用于图像的压缩和变换。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种常用的图像压缩方法，其中正交矩阵被用来将图像从空域转换到频域，实现对图像数据的压缩和编码。
4. 物理学中的对称性正交矩阵在物理学中的对称性研究中有重要的应用。
例如，对称矩阵的特征向量是正交的，可以通过正交矩阵的对角化来研究对称矩阵的性质和特征。
5. 数值计算正交矩阵在数值计算中也有广泛的应用。
例如，正交矩阵可以用于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题，通过正交矩阵的特殊性质可以提高计算的效率和稳定性。
四、总结正交矩阵是一类特殊的方阵，具有许多有趣的性质和应用。
它在几何、物理学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
通过研究正交矩阵的定义、性质和应用，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法，并将其应用于实际问题的求解中。
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例1 设 1 ,2 ,3 是 R 3 的一组标准正交基, 证明
1
1 2 1
1
1 2 1
2 ,
2
1 3
1 6
1
1 6
2
2 6
3 ,
3
3
1
3
2
3
是一组标准正交基 . 证明：设 1 2 3 , 1 2 3 , Q,
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E , 则Q 为正交矩阵. (2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1 也是正交矩阵 ;
(3) 若P, Q 都是n阶正交矩阵, 则PQ 也是n阶正交矩阵;
(4) Q为正交矩阵, 则 | Q | 1.
定理 设 Qn (1 2
1T T 2 n ) , 则 Qn 为正交矩阵 T n
列向量组 1 ,2 , ,n 为R n 的一组标准正交基. n R 为 的一组标准正交基. 行向量组 1 , 2 , , n
小结：设 (1 2
n ) (1 2
n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交 矩阵. 2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基. 3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基 .
i 1
i 2, 3,
,s
, s等价且两两正交
的向量组.
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0 是 R 3 的一组基， 例4 已知1 0 , 1 , 2 3 1 1 0 1
sT 1 sT 2 s s T 1 T 2 1 1 2 2
sT s 1 T s 1 s 1 s 1
iT k 即 i i T k k 1 k k 则 1 , 2 , , s 是与 1 , 2 ,
E
二、两组标准正交基间的过渡矩阵 设 1 , 2 , , n 与 1 ,2 , ,n 是 R n 的两组标准 正交基, 令 (1 2 n ), (1 2 n ) , 由 到
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QT Q E .
证明：因为 = Q , 则 T = QTT , 所以
T = QTT Q ,
又因为 1 , 2 , 所以 故
, n 与 1 ,2 ,
,n 均为标准正交基,
T = E, T = E, QT Q E .
三、正交矩阵及其性质
T 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 Q Q E , 则 称 Q 为正交矩阵. 1 T Q Q ; 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
1 2 1 Q 2 0 1 6 1 6 2 6 1 3 1 , 3 1 3
则
即 Q 为正交矩阵, 且 所以 1 , 2 , 3 是一组标准正交基 .
QQT E ,
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； 答：(4)不正确。 (4) A+B 为正交矩阵。
将其化为标准正Байду номын сангаас基.
解答见书上187页例4。
4 , , , R 1 2 3 4 例5 设 是 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 , 2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
T 1 T 2 T 1 2 T n
1T1 1T2 T T 2 1 2 2 n T T n 2 n 1
T n n
1Tn T 2 n
四、求标准正交基的方法
1．施密特正交化方法 设 1 , 2 , , s 是 Rn 中一组给定的基,
T 2 1 2 2 T 1 , 令 1 1 , 1 1 T T 3 1 3 2 …… , 3 3 T 1 T 2 , 1 1 2 2
1 2 2 3 3 3 2 2 1 例3 设 P , 设三维向量的长度 3 3 3 1 2 2 3 3 3 || ||＝8, 则|| P ||＝？
【注】设 , 为n维向量, 在n阶正交矩阵A的作用下 ||A|| = || || , 且T = (A)T (A) . 向量 在正交矩阵A作用下变为A 称为正交变换.
一、 R n 的标准正交基 n 定义1 R 中的 n 个向量 1 ,2 , ,n 满足 T (1) 两两正交 i j 0 (i j ) (2) 都是单位向量, 即 i 1, i 1,2, , n 则称 1 ,2 ,
,n 为 R n 的一组标准正交基.
【注】 1°标准正交基不唯一； 例如 1 (cos ,sin )T , 2 ( sin ,cos )T n , , , 2°特点: 设 1 2 n 是 R 的一组标准正交基, 设 (1 2 n ), 则