浙江省宁波市效实中学2018-2019学年最新高二上学期数学期中试题及答案
C．当直线 AB,CD 相交，且 AC / /l 时， BD 可与 l 相交； D．当直线 AB,CD 异面时， MN 可能与 l 平行．
(第 7 题图)
8．长方形 ABCD 中， AB 2, BC 1 ， F 是线段 DC 上一动点，且 0 FC 1．将 AFD 沿 AF 折起，使
浙江省宁波市效实中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题
第Ⅰ卷（选择题 共 24 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求
的．
1 ．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
A．异面
B．相 交
C．异面或平行
C．[6 2 6,9]
D．[6 2 6,11]
6．
已知椭圆：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
和圆： x2
y2
(b c)2 (c2 2
a2
b2 )
有四个不同的公共点，则椭圆
的离心率的取值范围是
A． ( 5 , 3) 55
B． ( 2 , 5 ) 55
C． ( 2 , 3) 55
▲
；
11．一球内切于底面半径为 3 ，高为 3 的圆锥，则内切球半径是 ▲ ；内切球与该圆锥的体积之比为
▲
；
12．正三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长为 3, AB 4, D 是 A1C1 的中点，则 AD 与面 B1DC 所成角的正弦值为
▲
；点 E 是 BC 中点，则过 A, D, E 三点的截面面积是 ▲ ；
9．椭圆 C : x2 y2 1 的焦点坐标是 ▲ 4
；长轴长为
▲
；
10．已知椭圆 C : x2 y2 1 的焦距为 4 2 ，则 a 8a 9
PF1 2 PF2 ( F1, F2 为椭圆焦点)，则 F1PF2 的面积为
▲ ；当 a 0 时，椭圆 C 上存在一点 P ，有
A． (1 2)m2 C． (2 2)m2
B． (1 2 2)m2 D． (2 2 2)m2
(第 4 题图)
5．已知椭圆 C : x2 y2 1 ，若 P(x, y) 是椭圆 C 上一动点，则 x2 y2 2x 的取值范围是 69
A．[6 2 6,9]
B．[6 2 6,11]
D．相交或异面
2．椭圆 C 的中心在原点，焦点 F1, F2 在 x 轴上，椭圆上的点到左焦点 F1 的距离的最大值为 8 ， 过 F1 的直线交
椭圆 C 于 A, B 两点，且 ABF2 的周长为 20 ，则椭圆 C 的方程为
A． y2 x2 1 25 16
B． x2 y2 1 25 16
平面 ABD 平面 ABC ，在平面 ABD 内作 DK AB 于 K ，设 AK t ，则 t 的值可能为
A． 4 3
B． 3 4
1
C．
3
1
D．
4
（第 8 题图）
第Ⅱ卷（非选择题 共 76 分）
二、填空题：本大题共 7 小题，其中第 9 题至第 12 题每小题 4 分，第 13 题至第 15 题每小题 3 分，共 25 分．
C． x2 y2 1 25 9
3．已知直线 m, n 和平面 ，下列推理正确的是
D． x2 y2 1 16 9
A．
mn n
m
B．
mn n
m
/
/
C．
m n
/ /
m
n
D．
m / / n
m
/
/
n
4．一个几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的表面积是
D． (0, 5 ) 5
7．已 知平面 平面 直线 l ，点 A,C ，点 B, D ，且 A, B,C, D l ，点 M , N 分别是线段 AB,CD
的中点．
A．当 CD 2 AB 时， M , N 不可能重合；
B． M , N 可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交；
13．椭圆 x2 y2 a2 b2
1(a b 0) 的离 心率为
3 ，直线 l : x y 1 0 交椭圆于 A, B 两点，交 y 轴于 C 点，若 2
3AB 2BC ，则椭圆的方程是 ▲ ；
14．已知直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P ，从直线 l 出发的两个半平面 , 截球 O 的两个截面圆的半径分
10
分）已知椭圆 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 过点 A(1, 2 3 ) ，离心率为 3
3 ，左焦点为 F ． 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程；
(Ⅱ)若直线 l ： x 2y 1 0 交椭圆于 A, B 两点，求 FAB 的面积．
19．（本题 10 分）如图所示，已知四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA 平面 ABCD ， ABC 60, E, F 分别是 BC, PB 的中点． (Ⅰ)证明： AE 平面 PAD ； (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最 大角的正切值为 3 ，求二面角 B AF C 的正切值．
别为1、 2 ，二面角 l 的平面角为 2 ，则球 O 的 表面积
▲
；．
3
15．在三棱锥 S ABC 中， ABC 是边长为 a 的正三角形，且 A 在面 SBC 上的射影 H 是 SBC 的
垂心，又二面角 H AB C 的大小为 300，则三棱锥 S ABC 的体积为
▲
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 51 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题 10 分）如图，圆锥的顶点为 P ，底面圆 O 半径为1，圆锥侧面积为 2 ， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上的点，且 BC 2 ． （Ⅰ）求异面直线 PA 与 BC 所成角； （Ⅱ）点 E 在线段 PB 上，求 CE OE 的最小值．
17．（本题 10 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED 平面 ABCD ， EF / / AB ， BC EF 1 AB ， BAD 60,G 为 BC 的中点．
2 (Ⅰ)求证： FG / / 平面 BED ；
(Ⅱ)求证：平面 BED ⊥平面 AED ．
18．（本题
浙江省宁波市效实中学2018学年高二上学期期中数学试卷
2018-2018学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A．异面B．相交C．异面或平行D．相交或异面2．椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为8，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为20，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．3．已知直线m，n和平面α，下列推理正确的是（）A． B． C．D．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B． C．D．5．已知椭圆C： +=1，若P（x，y）是椭圆C上一动点，则x2+y2﹣2x的取值范围是（）A．[6﹣2，9]B．[6﹣2，11]C．[6+2，9] D．[6+2，11]6．已知椭圆：和圆：有四个不同的公共点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．7．已知平面α∩平面β=直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点．（）A．当|CD|=2|AB|时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行8．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是线段DC上一动点，且0＜FC＜1．将△AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面ABD内作DK⊥AB于K，设AK=t，则t的值可能为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，其中第9题至第12题每小题4分，第13题至第15题每小题4分，共25分．9．椭圆的焦点坐标是；长轴长为．10．已知椭圆的焦距为，则a=；当a＜0时，椭圆C上存在一点P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F2为椭圆焦点），则△F1PF2的面积为．11．一球内切于底面半径为，高为3的圆锥，则内切球半径是；内切球与该圆锥的体积之比为．12．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB=4，D是A1C1的中点，则AD与面B1DC所成角的正弦值为；点E是BC中点，则过A，D，E三点的截面面积是．13．椭圆的离心率为，直线l：x﹣y+1=0交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若，则椭圆的方程是．14．已知直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1、2，二面角α﹣l﹣β的平面角为，则球O的表面积．15．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为a的正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，又二面角H﹣AB﹣C为30°，则三棱锥S﹣ABC的体积为，三棱锥S﹣ABC的外接球半径为．三、解答题：本大题共5小题，共51分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．如图，圆锥的顶点为P，底面圆O半径为1，圆锥侧面积为，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，且．（Ⅰ）求异面直线PA与BC所成角；（Ⅱ）点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．17．如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，，∠BAD=60°，G 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：FG ∥平面BED ； （Ⅱ）求证：平面BED ⊥平面AED ．18．已知椭圆过点，离心率为，左焦点为F ．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：交椭圆于A ，B 两点，求△FAB 的面积．19．如图所示，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC ，PB 的中点． （Ⅰ）证明：AE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为，求二面角B ﹣AF ﹣C 的正切值．20．已知椭圆E ： =1，（1）若椭圆上存在两点A，B关于直线y=﹣2x+1对称，求直线AB的方程；（2）过的直线l交椭圆于M，N两点，求|PM|•|PN|的取值范围．2018-2018学年浙江省宁波市效实中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A．异面B．相交C．异面或平行D．相交或异面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】借助正方体判定．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD与C1D1是两条异面直线，A1D1∥AD，A1D1与C1D1相交，BC∥AD，BC与C1D1异面，故选：D．2．椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为8，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为20，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】依题意设椭圆方程为：（a＞b＞0，由a+c=8，△ABF2的周长为4a=20．求得a、b，即可得到所求椭圆方程．【解答】解：依题意设椭圆方程为：（a＞b＞0），∵椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为8，∴a+c=8，∵△ABF2的周长为20，∴4a=20，∴a=5，c=3，b=4，∴椭圆C的方程为，故选：B．3．已知直线m，n和平面α，下列推理正确的是（）A． B． C．D．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，直线m垂直平面α内一条直线，不能得到直线m垂直平面α；B，m⊥n，n⊥α⇒m∥α或m⊂α；C，m⊥α⇒m垂直α内及与α平行的所有直线；D，若m∥α，n⊂α，⇒m∥n或m、n异面．【解答】解：对于A，直线m垂直平面α内一条直线，不能得到直线m垂直平面α，故错；对于B，m⊥n，n⊥α⇒m∥α或m⊂α，故错；对于C，m⊥α⇒m垂直α内及与α平行的所有直线，故正确；对于D，若m∥α，n⊂α，⇒m∥n或m、n异面，故错．故选：C．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．B． C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为1m的正方形，故底面积为1m2，侧面均为直角三角形，其中有两个是腰为1m的等腰直角三角形，面积均为：m2，另外两个是边长分别为1m，m，m的直角三角形，面积均为：m2，故几何体的表面积S=，故选：C5．已知椭圆C： +=1，若P（x，y）是椭圆C上一动点，则x2+y2﹣2x的取值范围是（）A．[6﹣2，9]B．[6﹣2，11]C．[6+2，9] D．[6+2，11]【考点】椭圆的简单性质．【分析】P（x，y）满足椭圆方程，整理得到x2+y2﹣2x=﹣（x+2）2+11，进而得到x2+y2﹣2x的取值范围【解答】解：∵P（x，y）是椭圆C上一动点，∴+=1，∴x2+y2﹣2x=x2+9﹣x2﹣2x=﹣x2﹣2x+9=﹣（x+2）2+11，∵﹣≤x≤，∴当x=﹣2时，有最大值，最大值为11，当x=时，有最小值，最小值为6﹣2，故选：B6．已知椭圆：和圆：有四个不同的公共点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆与圆有四个不同的交点，则满足b＜＜a，由椭圆的简单几何性质，求得a2＜c2＜a2，根据椭圆的离心率即可求得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：由椭圆和圆的几何性质可知，椭圆：和圆：有四个不同的公共点，满足b＜＜a，解得：c2=a2﹣b2＜（a﹣）2，则有a＜b＜a，a2＜b2＜a2，则a2＜a2﹣c2＜a2，∴a2＜c2＜a2，由椭圆的离心率e=，∴＜e＜，故选A．7．已知平面α∩平面β=直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点．（）A．当|CD|=2|AB|时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对于A，当A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合；对于B，AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交；对于C，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行；对于D，当AB，CD是异面直线时，MN不可能与l平行．【解答】解：对于A，当|CD|=2|AB|时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合．故A不对；对于B，若M，N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l 不可能相交，故B对；对于C，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对；对于D，当AB，CD是异面直线时，MN不可能与l平行，故D不对．故选：B．8．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，F是线段DC上一动点，且0＜FC＜1．将△AFD沿AF折起，使平面AFD⊥平面ABC，在平面ABD内作DK⊥AB于K，设AK=t，则t的值可能为（）A．B．C．D．【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时与随着F点到C点时，分别求出此两个位置的t值即可得到所求的答案．【解答】解：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面AFD⊥平面ABC，又DK⊥AB，∴AB⊥平面DKG，∴AB⊥GK．容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，∵长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为CD的中点，∴计算可得：AG=，DG=，DK=，KG=，∴t=AK=，当F接近C点时，可得三角形ADG和三角形ADC相似．∴，可解得AG=，可得三角形AKG和三角形ABC相似．∴，解得t=，∴t的取值范围是（，）．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，其中第9题至第12题每小题4分，第13题至第15题每小题4分，共25分．9．椭圆的焦点坐标是（0，±）；长轴长为4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得C的焦点在y轴上，且a==2，b=1，进而计算可得c的值，由焦点坐标公式以及长轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆，则C的焦点在y轴上，且a==2，b=1，故c===3，故C的焦点坐标为（0，±），长轴长2a=4；故答案为：，4．10．已知椭圆的焦距为，则a=9或﹣7；当a＜0时，椭圆C上存在一点P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F2为椭圆焦点），则△F1PF2的面积为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】当焦点在x轴上时，解得a=9；当焦点在y轴上时，解得a=﹣7，由此能求出a的值；当a＜0时，椭圆方程为=1，求出|PF2|=2，∴|PF1|=4，|F1F2|=2c=4，由此能求出△F1PF2的面积．【解答】解：∵椭圆的焦距为，∴当焦点在x轴上时，8+a﹣9=（2）2，解得a=9；当焦点在y轴上时，9﹣（8+a）=（2）2，解得a=﹣7，综上，a的值为9或﹣7．当a＜0时，椭圆方程为=1，椭圆C上存在一点P，有|PF1|=2|PF2|（F1，F2为椭圆焦点），由椭圆定义得：|PF1|+|PF2|=3|PF2|=6，解得|PF2|=2，∴|PF1|=4，∵|F1F2|=2c=4，∴p=（2+4+4）=3+2，∴△F1PF2的面积S==．故答案为：9或﹣7，．11．一球内切于底面半径为，高为3的圆锥，则内切球半径是1；内切球与该圆锥的体积之比为．【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由等面积可得内切球半径，利用体积公式求内切球与该圆锥的体积之比．【解答】解：设球的半径为r，则由等面积可得，∴r=1．内切球与该圆锥的体积之比为=．故答案为1，．12．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB=4，D是A1C1的中点，则AD与面B1DC所成角的正弦值为；点E是BC中点，则过A，D，E三点的截面面积是．【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．【分析】以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂直为x 轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与面B1DC所成角的正弦值和过A，D，E三点的截面面积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，AB=4，D是A1C1的中点，∴以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂直为x 轴，AC为y轴，AA1为z 轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），D（0，2，3），B1（2，2，3），C（0，4，0），E（，3，0），=（0，2，3），=（2，0，0），=（0，2，﹣3），=（），设平面B1DC的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（0，3，2），设AD与面B1DC所成角为θ，则sinθ===．∴AD与面B1DC所成角的正弦值为；过D作DF∥AE，交B1C1于F，则梯形AEFD就是过A，D，E三点的截面，∴AE=，DF=，DF到AE的距离d=||•=•=，=（）×=．∴过A，D，E三点的截面面积是S梯形AEFD故答案为：．13．椭圆的离心率为，直线l：x﹣y+1=0交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若，则椭圆的方程是x2+4y2=1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆的离心率为，故设椭圆方程为，λ＞0，联立，得5x2+8x+4﹣4λ2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，…①，C（0，1），，可得5x2=3x1．…②，把②代入①得λ2【解答】解：∵椭圆的离心率为，∴，设a=2λ，（λ＞0），则c=，b=λ，∴椭圆方程为，λ＞0，联立，得5x2+8x+4﹣4λ2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，…①，C（0，1），∵，∴5x2=3x1．…②，把②代入①得λ2=，可得x2+4y2=1．故答案为：x2+4y2=1．14．已知直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1、2，二面角α﹣l﹣β的平面角为，则球O的表面积．【考点】球的体积和表面积．【分析】过P与O作直线l的垂面，画出截面图形，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，然后求出球的表面积．【解答】解：过P与O作直线l的垂面，画出截面图形，如图设球的半径为r，作OE⊥QP，OF⊥PM，则EP=1，PF=2，设∠OPE=α，∠OPF=﹣α，所以=，即sinα=3，sin2α+cos2α=1解得cos2α=所以r2=；所以球的表面积为：4πr2=4π×=．故答案为15．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为a的正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，又二面角H﹣AB﹣C为30°，则三棱锥S﹣ABC的体积为，三棱锥S﹣ABC的外接球半径为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AE．由H是△SBC的垂心，可得BE⊥SC，由AH⊥平面SBC，可得SC⊥平面ABE，得到AB⊥SC，设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，可得AB⊥平面SCO，CO⊥AB，同理BO ⊥AC，可得O是△ABC的垂心，由△ABC是正三角形．可得S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心．可得三棱锥S﹣ABC为正三棱锥．进而得到∠EFC为二面角H﹣AB﹣C的平面角，∠EFC=30°，可得SO，即可得出三棱锥S﹣ABC的体积．设M为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，半径为R，则点M在SO上．在Rt△OCM中，利用勾股定理可得：，解出即可．【解答】解：如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AE．∵H是△SBC的垂心，∴BE⊥SC，∵AH⊥平面SBC，SC⊆平面SBC，∴AH⊥SC，又BE∩AH=H∴SC⊥平面ABE，∵AB⊆平面ABE，∴AB⊥SC，设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥SO，又SC∩SO=S，∴AB⊥平面SCO，∵CO⊂平面SCO，∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心，∵△ABC是正三角形．∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心．∴三棱锥S﹣ABC为正三棱锥．由有SA=SB=SC，延长CO交AB于F，连接EF，∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，∴EF⊥AB，∴∠EFC为二面角H﹣AB﹣C的平面角，∠EFC=30°，∵SC⊥平面ABE，EF⊂平面ABE，∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，可得Rt△SOC中，OC===，SO=OCtan60°=a，===．V S﹣ABC设M为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，半径为R，则点M在SO上．在Rt△OCM中，MC2=OM2+OC2，∴，解得R=．故答案分别为：，．三、解答题：本大题共5小题，共51分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．如图，圆锥的顶点为P，底面圆O半径为1，圆锥侧面积为，AB是圆O的直径，点C是圆O上的点，且．（Ⅰ）求异面直线PA与BC所成角；（Ⅱ）点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】（Ⅰ）延长CO交圆O于D，连AD，∠PAD是异面直线PA与BC所成角，即可求异面直线PA与BC所成角；（Ⅱ）当E为PB中点时，CE+OE最小，即可求CE+OE的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由，得．延长CO交圆O于D，连AD，由△OBC≌△ODA，得∠ADO=∠BCO，得AD∥BC，所以∠PAD是异面直线PA与BC所成角．因为，所以∠PAD=60°．（Ⅱ）当E为PB中点时，由OB=OP=1，得，由，得，所以当E为PB中点时，CE+OE最小，最小值为．17．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，，∠BAD=60°，G为BC的中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面BED；（Ⅱ）求证：平面BED⊥平面AED．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）令BD中点为O，连结GO，EO，只需证明FG∥EO即可，（2）只需证明BD⊥面EAD即可．【解答】解：（1）令BD中点为O，∵GO∥AB，且，EF∥AB，且，∴GO∥EF，且GO=EF，四边形GOEF是平行四边形，得FG∥EO，又∵FG⊄面BED，EO⊂面BED，∴FG∥面BED．（2）∵，∴∠BDA=90°，即BD⊥AD；又∵面AED⊥面ABCD，且交线为AD，∴BD⊥面EAD，面BED⊥面EAD．18．已知椭圆过点，离心率为，左焦点为F．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：交椭圆于A，B两点，求△FAB的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，令椭圆方程为，把点代入，能求出椭圆方程．（Ⅱ）直线l：过右焦点F'（1，0），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出△FAB 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆过点，离心率为，∴e=，由，得，可令椭圆方程为，点代入上式，得t=1，∴椭圆方程为；（Ⅱ）直线l：过右焦点F'（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，△=16×9=144，，y1y2=﹣，∴|y1﹣y2|===，．∴△FAB的面积为．19．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD；（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角B﹣AF﹣C的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥AE，AE⊥AD，由此能证明AE⊥面PAD；（2）∠AHE是EH与面PAD所成角，时，AH最小，tan ∠AHE最大，∠AHE最大，取AB中点M，作MN⊥AF于N，连CN，由三垂线定理得∠MNC是二面角B﹣AF﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣AF﹣C的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，AE⊂面ABCD，∴PA⊥AE，又∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA∩AD=A，∴AE⊥面PAD；解：（2）∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成角，时，AH最小，tan∠AHE最大，∠AHE最大，令AB=2，则，在Rt△AHD中，AD=2，∠ADH=30°，在Rt△PAD中，，∵PA⊥面ABCD，∴面PAB⊥面ABCD，且交线为AB，取AB中点M，正△ABC中，CM⊥AB，∴CM⊥面PAB，作MN⊥AF于N，连CN，由三垂线定理得CN⊥AF，∠MNC是二面角B﹣AF﹣C的平面角.．在△PAB中，，边AF上的高，∴二面角B﹣AF﹣C的正切值．20．已知椭圆E：=1，（1）若椭圆上存在两点A，B关于直线y=﹣2x+1对称，求直线AB的方程；（2）过的直线l交椭圆于M，N两点，求|PM|•|PN|的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）令A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点（x0，y0），利用点差法能求出直线AB的方程．（2）令M（x1，y1），N（x2，y2），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出|PM|•|PN|的取值范围．【解答】解：（1）令A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点（x0，y0），点A，B在椭圆上，有，∴，由，得，，得，因为AB中点（1，﹣1）在椭圆内，所以直线AB存在，直线AB的方程是，即x﹣2y﹣3=0．（2）令M（x1，y1），N（x2，y2），由，得，△=16（k2+10k﹣24）＞0，得k＜﹣12或k＞2，由韦达定理得，=．∴|PM|•|PN|的取值范围是（49，）．2018年2月6日。
2019学年浙江省高二上学期期中数学试卷【含答案及解析】(1)
C
【解析】
试题分析：由爲-请=1虬数列任彳星如为百项，伪公差的尊差數列，所臥
(V二1+M-DU二齐.又因①A0,所“码二需-于是由6C得，??<25.又K»JeX,所以口的最大值为24・故选G
第4题【答案】
C
【解析】
试?盼析；因公差的正员情况不确定』所以■选项山、环一定正确；迅不可能同时大于或小于气JCi.，所以选项D钮吴i因W吋咲込所以数列純3是递増的等差数列，所以m广冬严亠靠兀.甜选C・
点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由.
(3)求线段AB长度的最小值.
参考答案及解析
第1题【答案】
【解析】试析：因为a>b>0,e< <0,所-ac>-bd>0..ac<bd.斗尊两边同时案朝j
试题分析；显热2 + 2"3=tvT尸+2a0,所洪不等式 一罷等价于
r
Cr+B)<2(.r
第5题【答案】
b
【解析】
1
试题分析：宙直线平行得，，//■/；s,解得或爪丄.故选c.
试题分析：由已知得，两IS心距离为鳥(亠=5、且两半径和^ + ^=3*2=5,所以两囲卜切.故迭B-
第7题【答案】
【缽析】
试题井析：因为v>0,y>0f且兰+丄刃，所臥
工
x^2v^(r^2v)(-+—)
则
第8题【答案】
.■ .• f ■,若数列：：满足对任意」，有
■, 则当•一 时，二二•
三、解答题
17.，勺一八二一匚】斗⑴二一、，-；-广，f：:・’■•
(1)比较与，I的大小；
宁波市效实中学2018-2019年高二下期中数学测试卷(文)(附参考答案)
宁波效实中学高二数学(文)期中考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()3f x x =-的定义域为 A.12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭B. 132x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且 C. 132x x x ⎧⎫≥-≠⎨⎬⎩⎭且 D. {}3x x ≠ 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5},,{5,7}U M a M U C M =-⊆=，则实数a 的值为A.2或8-B.2-或8-C. 2-或8D.2或83．已知函数305()(5)5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(14)f = A.64 B.27 C. 9 D.14．已知0,10a b <-<<，那么下列不等式成立的是A.2a ab ab >>B. 2ab ab a >>C. 2ab a ab >>D. 2ab ab a >>5．若0,0x y >>≤a 的最小值是A. C.2 D.16. 圆221:(3)1C x y -+=，圆222:(3)4C x y ++=，若圆M 与两圆均外切，则圆心M 的轨迹是A. 双曲线的一支B.一条直线C.椭圆D.双曲线7． 若,a b R ∈，则不等式22ax x b +≥+的解集为R 的充要条件是A.2a =±B. 2a b ==±C.4ab =且2a ≤D. 4ab =且2a ≥8．点P 到点1(,0),(,2)2A B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A.12 B.32 C. 12或32 D. 12-或12第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．已知双曲线2221(0)5x y b b -=>的一个焦点在直线210y x =-上，则双曲线的方程为 ．10．给出下列3个命题：①若,a b R ∈，则2a b +≥②若x R ∈，则21x x +>；③若x R ∈且0x ≠，则12x x+≥，其中真命题的序号为 ．11．已知点(,)a b 满足方程22(2)14b a -+=，则点(,)a b 到原点O 的最大距离是 ． 12．已知{}{}22230,0,A x x x B x ax bx c =-->=++≤若{}34,A B x x A B R =<≤=，则22b a a c+的最小值是 13．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线交直线2a x c =于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过焦点(,0)F c ，则双曲线的离心率为 ．14．给出下列四个命题：○1已知命题p ：000,2lg x R x x ∃∈->，命题q ：2,0,x R x ∀∈>则命题()p q ∧⌝为真命题 ○2命题“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若,221a b a b >≤-则 ○3命题“任意2,10x R x ∈+≥”的否定是“存在200,10x R x ∈+<” ○4“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件 其中正确的命题序号是 ．15．过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线0x my m -+=与抛物线交于A B 、两点，且OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为64m m += ．三、解答题：本大题共5小题，共48分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知,x y 满足：1111x y+=+. （I ）若0,0x y >>，求2x y +的最小值;（II ）解关于x 的不等式：2y x ≥.17．已知全集R U =，非空集合222{|0},{|0}31x x a A x B x x a x a---=<=<---．（I ）当12a =时，求()U B A ð；（II ）条件:p x A ∈,条件:q x B ∈,若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点坐标为1(,0)2F -，且已知点(2,2)M -． （I ）求抛物线C 的方程；（II ）直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，且90PMQ ∠=︒，问直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．19．已知22()|1|f x x x kx =-++．（I ）若2k =-，解不等式()0f x >；（II ）若关于x 的方程()0f x =在(0,2)上有两个解12,x x ，求实数k 的取值范围.20．给定椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>），称圆2222x y a b +=+为椭圆E 的“伴随圆”．已知椭圆E 中1b = （I ）求椭圆E 的方程；（II ）若直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，与其“伴随圆”交于,C D 两点，当CD = 时，求弦长AB 的最大值．宁波效实中学高二数学(文)期中考试（参考答案）一．选择题1)C 2) D 3)A 4)D 5) B 6) A 7) D 8)D二．填空题9)221520x y -= 10)○211) 312) 3213) 14)○1○3○4 15)2三．解答题16. 1111,2+y=2x+211x x y x x x x x++==++≥） 2) ]211211,220,0(,(0,12x x x x y y x x x x x x ++--⎤=-=-≥≤⇒∈-∞-⎥⎦17. 1)51919952,,,,(,,,(),2242442U U A B B B A ⎛⎫⎛⎫⎤⎡⎫⎡⎫===-∞+∞= ⎪ ⎪⎪⎪⎥⎢⎢⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎭⎣⎭痧 2) 222213122312a a A B a a a a a ⎧≤≤+⎪⊆⇒≤+≤+⇒-≤≤⎨⎪+≠⎩且13a ≠ 18.1) 22y x =-2）22121212:,(,),(,),(2)(2)422y y l ay x b P y Q y PM QM y y =+--⊥⇒++=- 2121222202,22ay x b y ay b y y a y y b y x=+⎧⇒+-=⇒+=-=-⎨=-⎩，42b a ⇒=-⇒过定点（-4，-2） 19.222222()|1|20|1|212f x x x x x x x x x x =-+->⇒->-⇒->-或221122x x x x +-<-+⇒>或12x < 20.1）2213x y +=2) 22:,13y kx b l y kx b CD x y =+⎧⎪=+==⇒⎨+=⎪⎩222(13)6330k x bkx b +++-=12AB x =-=,令213k t AB +=⇒=3k =±时2AB =。
浙江省宁波市鄞州中学2018-2019学年高二上期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省宁波市鄞州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得该双曲线的焦点位置以及的值，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．【详解】根据题意，双曲线的焦点在x轴上，且，，则双曲线的渐近线方程，故选：C．【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．故选：A．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.设，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A. ，，则B. ，，，则C. ，，则D. ，，，，则【答案】C【解析】【分析】A缺线在面外的条件，B中两条直线可以为异面，C正确的，D缺两条直线相交的条件.【详解】如图，在正方体中，平面，但平面，如A错.平面平面，平面，平面，但是异面直线，故B错.平面，平面，平面，平面，但平面平面，故D错.根据面面平行的性质可知C正确.综上，选C.【点睛】本题考察线面平行、面面平行判定与性质，这类问题可以选择以正方体为模型验证各判断是否正确，因为正方体提供了线线关系、线面关系和面面关系的各种情形.4.方程表示的曲线是( )A. 两条直线B. 两条射线C. 两条线段D. 一条直线和一条射线【答案】D【解析】由，得2x+3y−1=0或.即2x+3y−1=0(x⩾3)为一条射线，或x=4为一条直线.∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.故选D.点睛：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
浙江省宁波效实中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题及答案
宁波效实中学2018-2019学年第一学期期中考试高一数学说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共100分第I 卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每个题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{|06}U x N x =∈≤≤，集合{4,5,6}A =，则U C A =（ ）A. {1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {|03}x x ≤≤D. {|03}U x N x =∈<≤2.下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A. ()1f x x =-,21()1x g x x -=+B. ()1f x x =+,1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C. ()1f x =,0()(1)g x x =+D. ()f x =2()g x =3.已知0a b c d >>>>，以下一定成立的是（ ）A. ab cd >B. ac bd >C. a b c d >D. c d a b> 4.设函数1(1)21f x x +=+，则()f x 的表达式为（ ） A. 11x x +- B. 11x x +- C. 11x x -+ D. 21x x + 5.三个数20.3a =，0.3(1.9)b =，0.32c =之间的大小关系是（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a <<6.函数2xy x =⋅的图象是（ ）7.不等式123x-<<的解集是（ ） A. 11(,)32- B. 11(,)23- C. 11(,)(,)32-∞-+∞U D. 11(,)(,)23-∞-+∞U 8.已知()f x 为R 上奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =（ ）A. 22x x -B. 22x x -+C. 22x x +D. 22x x --9.已知()312x f x =-+，若关于x 的方程[]2()(2)()20f x a f x a -++=有三个实根，则实数a 的取值范围是（ ）A. 12a <<B. 2a >C. 23a <<D. 3a >10.给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =.设函数{}()f x x x =-，二次函数2()g x ax bx =+，若函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有一个公共点，则,a b 的取值不可能是（ ）A. 4,1a b =-=B. 2,1a b =-=-C. 4,1a b =-=-D. 5,1a b ==第II 卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题3分，共25分.11.（1）12.55(0.64)-=_________；（2）7log 22lg 5lg 47++=_________. 12.关于x 的不等式210ax bx ++>的解释(3,2)-，则a =________，b =________.13.函数221()3x x y -+=的值域是____________，单调递增区间是____________.14.已知0,0x y >>，且24x y +=，则xy 的最大值是，12x y+的最小值是________.15.若集合{|x y R ==，则实数12.55(0.64)--=的取值范围是______________. 16.函数2()2g x x =-，()4,()()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩，则()f x 的值域是______________. 17.已知0a >时，对任意0x >，有2()()0x a x bx a -+-≥恒成立，则a b的取值范围是_________________.三、解答题：本大题共5小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知集合{|A x y ==，{}22|60B x x ax a =--<，其中0a ≥.（1）当1a =时，求集合A B U ，R C A B I ；（2）若R C A B B =I ，求实数a 的取值范围.19.解关于x 的不等式（1）3232x x --+<；（2）226(3)0ax a x a a +--<（,0a R a ∈≠）20.已知函数()(1)(3)x x f x a a =-+（1a >）（1）求函数()f x 的值域；（2）若[2,1]x ∈-时，函数()f x 的最小值为5-，求a 的值和函数()f x 的最大值.21.已知函数2()2f x x x =+-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若对于任意的[4,6]x ∈，都有()3f x a x ≤-成立，求实数a 的范围.22.已知定义域为R 的函数12()22xx a f x --+-=+是奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在[2,1]t ∈--，不等式2115022t t f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解，求k 的取值范围.参考答案：1——5 BBDBA 6——10ADBCC11. 4,41- 12.61,61-- 13.[)+∞⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1,,31 14.2；3 15.(]3,-∞- 16. ()+∞⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡-,20,49 17.()()+∞⋃-∞-,01, 18.[)0)2()3,1(,3,3)1(==⋂-=⋃a B A C B A R19.22230;320)2(27,43)1(a x x a x a a x -<><<<->⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈或时，时，20.（1）)3,(-∞值域 （2）1639,2max ==y a 21.（1）递增区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 （2）18≥a22.（1）1=a （2）增函数 （3）52>k。
效实中学2018学年高二第一学期期中考试答案及解析成品
x2 ( x 3 )2 1 5x 2 8 3x 8 0 ， 4
x1 x2
8 3 8 ， x1 x2 ， 5 5
AF2 BF2 4a | AB | 8 | AB | 8 1 12 64 3 32 4 2 32 8 2 25 5 5 5
2
3 tan
2
3 3 ，即 tan
3 2 3
即
2 2b 2 6 .因此 ，又 n m 4 ，从而 m n (n m ) 4mn mn 12 3 1 1 cos
1 2
42 4 12 8 ，从而四边形 PF1QF2 的周长为 16 .
1 2
A1 P MN ,棱长为 2 ，则 A1 M A1 N 5， MN 2 , 3 A1 P 2 ,最长距离为 5 . 2
10.（编辑与解析提供：杭州高峰） 【答案】 A 考虑到 a 4, b 3, c 7 ， S PF1F2 3 3 ，从而
2 2Байду номын сангаас2
2
b2 tan
p p 3 ，解得 p 4 . 4 2
浙江省春晖中学 林国夫）
p ，由抛物线的定义， 4
16.（试题编辑与解析提供 【答案】 ： 16 9.（编辑与解析提供：杭州张不二） 【答案】 B 【解析】如右图：取 BB1 , B1C1 的中点 M , N , 则平面 A1 MN //平面 AEF ,点 P 的轨迹为线段 MN ,最短距离为
【考点】椭圆的基本性质，直线与椭圆的关系，弦长问题
19.（试题编辑与解析提供
杭州方超）
【解析】 （1）取 AE 的中点 M ，连接 PM ， FM ，如图，
浙江省宁波市-高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版
浙江省效实中学-高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A 版说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分． 请在答题卷内按要求作答第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、已知随机变量X 的分布列如图，则p 的值为 A.14 B. 12 C. 34D.1 2、在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1B C 与11A C 所成角为 A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒3、口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{}n a ：1(1(n n a n -⎧=⎨⎩第次摸取红球）第次摸取白球），如果n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得71S =-的概率为 A.52471233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 34372133C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 52471233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D. 34371233C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、如果21()2n x x-的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的含3x 项的系数为A.52B.52- C.20 D.20- 5、若把英语单词“error ”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是 A.18种 B.19种 C.10种 D.9种6、某5所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的5位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知书。
若每位学生都等可能地选择任意一所大学就读，则恰有两名学生选择同一所大学（其他三人在其他学校中各选一所不同大学）的概率为 A.15 B.24125 C.96125 D.481257、已知等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，,AC BC 的中点分别是,D E ，将CDE ∆沿DE 折起，使得C DE A --为直二面角，此时斜边AC 被折成折线ADC ，则ADC ∠等于 A.150︒ B.135︒ C.120︒ D.90︒8、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为123P =，乙的命中率为212P =，两人的所有射击都是相互的。
2019-2020学年浙江省宁波市效实中学3-8班高二(上)期中数学试卷及答案
2019-2020学年浙江省宁波市效实中学3-8班高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）在空间，已知a，b是直线，α，β是平面，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b 的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面2．（3分）已知椭圆的焦点在x轴上，若其离心率为，则m的值是（）A．B．6C．D．3．（3分）椭圆过点（2，0），长半轴长是焦距的2倍，则椭圆的标准方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1或＝1D．+＝1或+＝14．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则异面直线AF与BE所成角的余弦值为（）A．0B．C．D．5．（3分）设α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．三点A，B，C确定一个平面B．m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βC．α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，且m与n不平行，则m，n，l相交于一点D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β6．（3分）已知A是圆F1：x2+（y+2）2＝36上的一动点，定点F2（0，2），线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝17．（3分）正三棱锥P﹣ABC中，P A＝，AB＝2，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．100πC．25πD．8．（3分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（3分）已知动直线l过点（﹣1，0），且与椭圆C：＝1交于A、B两点，过原点O的直线与椭圆C交于P、Q两点，且PQ∥l，则的值是（）A．4B．C．2D．10．（3分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝，若空间中有一条直线l 与直线BB1所成角为，则直线l与平面D1AC所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二、填空题：本大题共7小题，其中双空题每小题4分，单空题每小题4分，共25分．11．（4分）椭圆C：x2+4y2＝8的长轴长为，焦点坐标．12．（4分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2cm，4cm，高为3cm，则该圆台的母线长为cm，体积为cm3．13．（4分）已知过点（﹣2，3）的双曲线C的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的方程为；若点P是双曲线C上一点，且点P在第一象限内，点F1，F2为双曲线C 的焦点，且|F1F2|＝|PF2|，则点P的坐标为．14．（3分）点P为椭圆C：+＝1椭圆上的任意一点，F为左焦点，则•的取值范围为．15．（4分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，表面积为．16．（3分）已知F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的任意一点，则|FP|称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，|FP|为半径上的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在线段AD上且AE＝3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为．三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程政演算步骤．18．（9分）在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD且CD＝2AB，AB⊥AD，E 是CD的中点，M，N分别为P A，PD上的点，B，E，N，M四点共面．（Ⅰ）证明：平面P AB⊥平面P AD；（Ⅱ）证明：BE∥MN．19．（9分）已知椭圆C的离心率为，且与双曲线E：x2﹣＝1有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（3，4），直线x+y﹣2＝0与椭圆C交于A，B两点，求△ABP的面积．20．（9分）在所有棱长都为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1BC＝60°，AB1＝．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）求二面角B1﹣AB﹣C的正切值．21．（9分）如图，四边形ABCD是正方形，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝2，P A∥BE，P A ＝PD＝BE，M为PD的中点，O为BD的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面AME；（Ⅱ）求当P A是多少时，PO与平面P ABE所成角为30°？22．（9分）已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）M是椭圆C上的动点，A（1，0），＝2，求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）如图，过点B（0，2）的直线l分别与椭圆C，圆x2+y2﹣4y﹣12＝0依次交于点P，N，M，Q，求|PM|•|QN|的取值范围．2019-2020学年浙江省宁波市效实中学3-8班高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（3分）在空间，已知a，b是直线，α，β是平面，且a⊂α，b⊂β，α∥β，则直线a，b 的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【分析】根据面面平行的定义，判断在两个平行平面中的两条直线的位置关系．【解答】解：∵α∥β，∴α、β没有公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴直线a与直线b没有公共点，∴a、b的位置关系是：平行或异面．故选：D．【点评】本题考查面面平行的定义，考查了空间直线与直线的位置关系，属于基础题．2．（3分）已知椭圆的焦点在x轴上，若其离心率为，则m的值是（）A．B．6C．D．【分析】利用椭圆的方程以及离心率，转化求出m即可．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，且离心率为，则，解得m＝6．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基本知识的考查．3．（3分）椭圆过点（2，0），长半轴长是焦距的2倍，则椭圆的标准方程为（）A．+＝1B．+＝1C．+＝1或＝1D．+＝1或+＝1【分析】分焦点在x，y轴两种情况，由过的点的坐标可得a或b的值，再由长半轴长是焦距的2倍，可得a，c的关系，再由a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程．【解答】解：①当焦点在x轴上时，即+＝1（a＞b＞0）；由题意椭圆过点（2，0），可得a＝2，而长半轴长是焦距的2倍可得2•2c＝a＝2，所以c ＝，可得b2＝a2﹣c2＝4﹣＝，所以椭圆的标准方程为：+＝1；②当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为：+＝1（a＞b＞0）；椭圆过点（2，0），所以b＝2，长半轴长是焦距的2倍可得a＝2×2c＝4c，而a2＝b2+c2，所以16c2＝22+c2，所以c2＝，所以a2＝16c2＝，所以椭圆的标准方程：+＝1；故选：D．【点评】本题考查求椭圆的方程，属于基础题．4．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，E，F分别为棱A1B1，C1D1的中点，则异面直线AF与BE所成角的余弦值为（）A．0B．C．D．【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，由两向量所成角的余弦值求解．【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，2，0），E（0，1，1），F（1，1，1），∴，．∴cos＜＞＝．∴异面直线AF与BE所成角的余弦值为0．故选：A．【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题．5．（3分）设α，β，γ是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．三点A，B，C确定一个平面B．m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βC．α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，且m与n不平行，则m，n，l相交于一点D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【分析】利用公理判断A的正误；判断两个平面的可能关系判断B；利用3个平面的位置关系判断C，判断直线与平面的可能关系判断D．【解答】解：三点A，B，C确定一个平面，显然不正确，如果3点共线，不可能确定一个平面，所以A不正确；m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β，也可能α与β相交不垂直，所以B不正确；α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，且m与n不平行，则m，n，l相交于一点，因为3个平面两两相交有3条交线，要么相交一点要么相互平行，因为α∩β＝m，α∩γ＝n，β∩γ＝l，且m与n不平行，则m，n，l相交于一点，所以C正确；α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β，也可能平行，也可能相交，所以D不正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，直线与平面的位置关系的判断，考查分析问题、解决问题的能力，是中档题．6．（3分）已知A是圆F1：x2+（y+2）2＝36上的一动点，定点F2（0，2），线段F2A的垂直平分线交半径F1A于P点，则P点的轨迹方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【分析】由已知，得|PF2|＝|P A|，所以|PF2|+|PF1|＝|P A|+|PF1|＝|F1A|＝6，又|F1F2|＝4，4＜6根据椭圆的定义，点P的轨迹是M，N为焦点，以3为实轴长的椭圆，即可得出结论【解答】解：由已知，得|PF2|＝|P A|，所以|PF2|+|PF1|＝|P A|+|PF1|＝|F1A|＝6，又|F1F2|＝4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，所以2a＝6，2c＝4，所以b＝，所以，点P的轨迹方程为＝1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题．7．（3分）正三棱锥P﹣ABC中，P A＝，AB＝2，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．100πC．25πD．【分析】设出球的球心，计算出球的半径，由此计算出该三棱雉外接球的体积．【解答】解：设等边三角形ABC的中心为O1，根据正三棱雉的几何性质以及外接球的性质可知球心O在三棱锥的高PO1上，在等边三角形ABC中，延长CO1交AB于D，则CD⊥AB且D是AB的中点．根据等边三角形的性质可知，所以，设外接球的半径为r，则，即（1﹣r）2+22＝r2，解得，所以外接球的体积为．故选：D．【点评】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，属于基础题．8．（3分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．9．（3分）已知动直线l过点（﹣1，0），且与椭圆C：＝1交于A、B两点，过原点O的直线与椭圆C交于P、Q两点，且PQ∥l，则的值是（）A．4B．C．2D．【分析】设直线方程，与椭圆方程联立方程组，代入弦长公式计算弦长，从而可求出答案．【解答】解：显然直线l斜率不为0，设直线l的方程为：x＝my﹣1，代入椭圆方程可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝，y1y2＝，∴|AB|＝＝，直线PQ的方程为：x＝my，代入椭圆方程可得：（3m2+4）y2﹣12＝0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），则y3+y4＝0，y3y4＝﹣，∴|PQ|＝，∴＝，故选：B．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查弦长计算，属于中档题．10．（3分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝BC＝，若空间中有一条直线l 与直线BB1所成角为，则直线l与平面D1AC所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【分析】建立空间直角坐标系，求出平面D1AC的法向量，设动直线l恒过定点D，则直线l与平面A1B1C1D1的交点的轨迹是圆；然后设定直线l的方向向量，即可求解．【解答】解：以D为原点建立空间坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，，0），D1（0，0，1），∴＝（﹣，0，1），＝（﹣，，0），设平面AD1C的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1可得＝（1，1，），过D作直线l的平行线l′，则直线l′与DD1所成角为，不妨设直线l′与平面ABCD的交点为M，则M的轨迹是以D1为圆心，以1为半径的圆，设M（cosα，sinα，1），则＝（cosα，sinα，1）为直线l的方向向量，设直线l与平面D1AC所成角为β，则sinβ＝|cos＜＞|＝＝，∴≤sinβ≤，∴≤β≤．故选：B．【点评】本题主要考查利用向量法求解立体几何运动题，凡是可建立坐标系的这类题应选择向量法更为适宜．二、填空题：本大题共7小题，其中双空题每小题4分，单空题每小题4分，共25分．11．（4分）椭圆C：x2+4y2＝8的长轴长为4，焦点坐标（，0）．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解即可．【解答】解：椭圆C：x2+4y2＝8的标准方程为：，所以a＝2，b＝，c＝＝．所以椭圆C：x2+4y2＝8的长轴长为4；焦点坐标（，0）．故答案为：4；（，0）．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12．（4分）已知一个圆台的上、下底面半径分别为2cm，4cm，高为3cm，则该圆台的母线长为cm，体积为28πcm3．【分析】由题意画出图形，由已知结合勾股定理求圆台的母线长；分别求出圆台的上下底面面积，代入圆台的体积公式求解．【解答】解：如图，O1A1＝2，OA＝4，O1O＝3，过A1作A1B⊥OA，垂足为B，则A1B＝O1O＝3，AB＝OA﹣OB＝OA﹣O1A1＝4﹣2＝2，则圆台的母线长为cm．圆台的上底面面积，下底面面积S＝π×42＝16π．∴圆台的体积V＝cm3．故答案为：；28π．【点评】本题考查圆台体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．13．（4分）已知过点（﹣2，3）的双曲线C的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的方程为；若点P是双曲线C上一点，且点P在第一象限内，点F1，F2为双曲线C的焦点，且|F1F2|＝|PF2|，则点P的坐标为（，）．【分析】设出曲线的标准方程利用双曲线的性质，求解双曲线C的方程．利用|F1F2|＝|PF2|，列出双曲线与圆的方程，求解方程组，即可得到P的坐标．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，设双曲线C的方程为，由题意点（﹣2，3）在双曲线C上可得4﹣3＝m，解得m＝1．故所求双曲线的方程为．所以c＝2，点P是双曲线C上一点，且点P在第一象限内，点F1，F2为双曲线C的焦点，且|F1F2|＝|PF2|，可得，消y可得x2﹣4x﹣15＝0，解得x＝﹣舍去，x＝，此时y ＝±．点P在第一象限内，所以P（，）故答案为：；（，）．【点评】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，熟练掌握双曲线的标准方程及其性质是解题的关键．14．（3分）点P为椭圆C：+＝1椭圆上的任意一点，F为左焦点，则•的取值范围为[2，8+4]．【分析】可设P（x，y），可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【解答】解：∵点P为椭圆C：+＝1上的任意一点，设P（x，y）（﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2），依题意得左焦点F（﹣2，0），∴＝（x，y），＝（x+2，y），∴•＝x（x+2）+y2＝x2+2x+＝x2+2x+4＝（x+2）2+2，∵﹣2≤x≤2，∴2﹣2≤x+2≤2+2，∴0≤（x+2）2≤6+4，∴2≤（x+2）2+2≤8+4．•的取值范围为[2，8+4]．故答案为：[2，8+4]．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量数量积的坐标运算，考查转化思想与解决问题的能力，属于中档题．15．（4分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，表面积为10+2π+2．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由底面半径为2，高为4的半个圆锥和一个底面为等腰三角形，高为4的一个三棱锥体构成的几何体．如图所示：所以俯视图的面积为＝6+2．所以．V组合体＝．故答案为：；10+2【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．（3分）已知F是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的一个焦点，P是C上的任意一点，则|FP|称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，|FP|为半径上的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为．【分析】求出椭圆焦半径的范围，再由|AB|在焦半径范围内列不等式求解．【解答】解：如图，|AB|＝，a﹣c≤|PF|≤a+c，由题意可得，a﹣c a+c，不等式左边恒成立，则，两边平方整理得：2e2+2e﹣1≥0，解得e（舍）或e≥．∴椭圆C的离心率的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆焦半径范围的应用，是中档题．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在线段AD上且AE＝3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为．【分析】过点D作DF⊥CE于点F，连接BF、BD．在Rt△CDE中，易求得DF和EF 的长；在△BCE中，由余弦定理可求得cos∠BEC的值，再在△BEF中运用余弦定理可推出BF的长，利用勾股定理的逆定理证得BF⊥CE，故∠BFD即为所求；最后在△BDF 中，运用余弦定理求出cos∠BFD的值即可．【解答】解：过点D作DF⊥CE于点F，连接BF、BD．在Rt△CDE中，CD＝2，DE＝1，CE＝＝，∴DF＝＝，EF＝．在△BCE中，BE＝＝，由余弦定理知，cos∠BEC＝＝＝，在△BEF中，cos∠BEC＝＝＝，解得BF＝．∴BE2＝BF2+EF2，即BF⊥CE．∵DF⊥CE，∴∠BFD即为二面角D﹣EC﹣B的平面角．在△BDF中，BD＝＝，∴cos∠BFD＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查空间中二面角的求法，且多次运用了余弦定理，理解二面角的定义以便作出二面角的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程政演算步骤．18．（9分）在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB∥CD且CD＝2AB，AB⊥AD，E 是CD的中点，M，N分别为P A，PD上的点，B，E，N，M四点共面．（Ⅰ）证明：平面P AB⊥平面P AD；（Ⅱ）证明：BE∥MN．【分析】（1）由P A⊥平面ABCD，知P A⊥AB，结合AB⊥AD，由线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可得证；（2）易证得四边形ABED为平行四边形，故BE∥AD，由线面平行的判定定理得BE∥平面P AD，再由线面平行的性质定理即可得证．【解答】证明：（1）∵P A⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又AB⊥AD，P A∩AD＝A，P A、AD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD，∵AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD．（2）∵CD＝2AB，E是CD的中点，∴DE＝AB，∵AB∥CD，即AB∥DE，∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD．∵BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD．又平面P AD∩平面BENM＝MN，BE⊂平面BENM，∴BE∥MN．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于基础题．19．（9分）已知椭圆C的离心率为，且与双曲线E：x2﹣＝1有相同的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（3，4），直线x+y﹣2＝0与椭圆C交于A，B两点，求△ABP的面积．【分析】（Ⅰ）由双曲线的方程可得其焦点坐标，再由题意可得椭圆的焦点坐标，由离心率可得a的值，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）求出P到直线x+y﹣2＝0的距离d，然后将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|的值，再由三角形的面积公式可得三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由双曲线E：x2﹣＝1方程可得：双曲线的焦点坐标（±，0），由题意椭圆与双曲线有相同的焦点，所以椭圆的焦点坐标（±，0），设椭圆的方程为：+＝1，由题意可得e＝＝，c＝，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝22﹣（）2＝1，所以椭圆C的方程为：+y2＝1；（Ⅱ）点P（3，4）到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝；设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：，整理可得：5x2﹣16x+12＝0，x1+x2＝，x1x2＝，所以弦长|AB|＝＝＝，所以S△APB＝|AB|•d＝＝2，所以△ABP的面积为2．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及三角形面积的求法，属于中档题．20．（9分）在所有棱长都为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1BC＝60°，AB1＝．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）求二面角B1﹣AB﹣C的正切值．【分析】（Ⅰ）证明BC⊥AD，BC⊥B1D，推出BC⊥面AB1D，即可证明BC⊥AB1．（Ⅱ）作OE⊥AB，连B1E，说明∠B1EO为二面角B1﹣AB﹣C的平面角，通过求解三角形推出结果即可．【解答】（Ⅰ）证明：取BC中点D，连接AD，B1D，由题设得△ABC，△B1BC均为等边三角形，∴BC⊥AD，BC⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD⊂面AB1D，B1D⊂面AB1D，∴BC⊥面AB1D，∵AB1⊂面AB1D．∴BC⊥AB1．（Ⅱ）解：∵AB＝2，∴AD＝B1D＝，已知AB1＝，取AD中点O，得B1O⊥AD，又B1O⊥BC，AD∩BC＝D，∴B1O⊥面ABC；B1O⊥AB，作OE⊥AB，连B1E，∵AB⊥OE，B1O⊥AB，AB∩OE＝E，∴AB⊥平面B1OE，B1E⊂平面B1OE，∴B1E⊥AB，∴∠B1EO为二面角B1﹣AB﹣C的平面角，B1O＝•AD＝，EO＝•AO＝，tan∠B1EO＝．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．（9分）如图，四边形ABCD是正方形，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝2，P A∥BE，P A ＝PD＝BE，M为PD的中点，O为BD的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面AME；（Ⅱ）求当P A是多少时，PO与平面P ABE所成角为30°？【分析】（Ⅰ）连接PB，交AE于点N，连接MN，易知四边形P ABE为平行四边形，从而推出MN∥BD，再由线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）取AD的中点F，连接PF、OF，由平面P AD⊥平面ABCD，可推出PF⊥平面ABCD，故PF⊥AB，PF⊥OF．由线面垂直的判定定理可证得AB⊥平面P AD，故AB⊥P A．设P A ＝x，则点O到平面P AB的距离为，根据等体积法V P﹣ABO＝V O﹣P AB，可列出关于x的方程，解之即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接PB，交AE于点N，连接MN，∵P A∥BE，P A＝BE，∴四边形P ABE为平行四边形，∴N为PB的中点．∵M为PD的中点，∴MN∥BD．∵BD⊄平面AME，MN⊂平面AME，∴BD∥平面AME．（Ⅱ）解：取AD的中点F，连接PF、OF，∵P A＝PD，∴PF⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PF⊂平面P AD，∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥AB，PF⊥OF．设P A＝x，则PF＝，PO＝＝x．∵PO与平面P ABE所成角为30°，∴点O到平面P AB的距离d＝．∵PF⊥AB，AB⊥AD，PF∩AD＝F，PF、AD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD，∴AB⊥P A．∵V P﹣ABO＝V O﹣P AB，∴•PF•S△ABO＝•d•S△P AB，即•2•1＝•x•2，解得x＝．故当P A是时，PO与平面P ABE所成角为30°．【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、线面角的求法，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及利用等体积法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（9分）已知椭圆C：+y2＝1．（Ⅰ）M是椭圆C上的动点，A（1，0），＝2，求动点N的轨迹方程；（Ⅱ）如图，过点B（0，2）的直线l分别与椭圆C，圆x2+y2﹣4y﹣12＝0依次交于点P，N，M，Q，求|PM|•|QN|的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用相关点法找出点M与点N坐标之间的关系再求解即可；（Ⅱ）设直线的方程为l：y＝kx+2，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与椭圆求出x1x2与x1+x2，又|PM|•|QN|＝（4+|BM|）×（4﹣|BN|），结合弦长公式可以把|PM|•|QN|用k表示，令4k2+1＝t，则|PM|•|QN|可以表示成关于t的函数，再结合单调性求函数的最值即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设N点坐标为（x，y），M点坐标为（x0，y0），因为＝2，所以（x﹣1，y）＝2（1﹣x0，0﹣y0），则，那么，又因为点M是椭圆C上的动点，于是，所以．即动点N的轨迹方程为．（Ⅱ）①当直线的方程为l：x＝0 时，|PM|•|QN|＝7×3＝21；②设直线的方程为l：y＝kx+2，设M（x1，y1），N（x2，y2），消去y得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，则，又|PM|•|QN|＝（4+|BM|）×（4﹣|BN|）＝16+4|MN|﹣|BM|×|BN|＝＝，令4k2+1＝t，则t≥4，所以时单调递增，∴|PM|•|QN|的取值范围为，综上所述：|PM|•|QN|的取值范围为．【点评】本题考查相关点法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，弦长公式及函数最值等相关知识，考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．。
浙江省宁波市效实中学2019—2020学年高二数学上学期期中试题(数理班)
浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（数理班）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）参考公式：柱体的体积公式 V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式 13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,表示h 锥体的高 球的表面积公式 2=4S R π球的体积公式 343V R π= ,其中R 表示球的半径台体的体积公式 121()3V S S h = 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.空间中,已知,a b 是直线,,αβ是平面,且,,//a b αβαβ⊂⊂,则,a b 的位置关系是 （ ）A. 平行B. 相交C.异面D.平行或异面2.已知椭圆2213x y m +=的焦点在x 轴上,则m 的值是( )A ．B ．6 CD ． 3. 下列命题不正确的是 （ ） A. 若P αβ∈I ,且=l αβI ,则P l ∈ B. 若,A l B l ∈∈,且,A B αα∈∈,则l α⊆C. 若直线a I 直线b A =,则直线a 与直线b 确定一个平面D. 三点,,A B C 确定一个平面.A4. 将半径为6cm 的圆形铁皮,剪去16后,余下部分卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为（ ） A ．3253cm π B3cm C ．3cm D ．350cm π 5. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线1AB CC 与所成角的余弦值为（）A.346. 如图所示,已知三棱台111ABC A B C -的体积为V ,其中112AB A B =,截去三棱锥1A ABC -,则剩余部分的体积为 （ ）A. 14V B. 23V C. 37V D. 35V7. 有下列说法：①若p xa yb =+u r r r ,则p u r 与a r ,b r 共面；②若p u r 与a r ,b r 共面,则p xa yb =+u r ；③ 若MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r,则,,,P M A B 共面；④ 若,,,P M A B 共面, 则MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r. 其中正确的是 （ ）A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. ②④8. 等腰梯形ABCD 中,,2,1AB CD AB AD BC CD ====P ,沿对角线AC 将平面ACD 折起,折叠过程中,AD 与BC 夹角的取值范围为 （ ）A. 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9. 从空间一点作n 条射线,使得任意两条射线构成的角均为钝角,n 最多为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 610. 过抛物线24y x ＝的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点,中点为C ,若直线7x =-与直线AB 的中垂线交于点M ,当ABCM最大时点C 的横坐标为（ ） A.5B.1C.4D. 1正视图侧视图俯视图第Ⅱ 卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题4分,单空题每小题3分,共25分．11. 已知正方体1111ABCD A B C D -中,11114A E AC =u u u u r u u u u r,若1()AE xAA y AB AD =++u u u r u u u r u u u r u u u r , 则x = ▲ ,y = ▲ ．12. 已知球的表面积为24cm π,则它的半径等于 ▲ cm,它的内接长方体的表面积的最大值为 ▲ 2cm .13. 一个几何体的三视图如右图所示,该几何体的俯视图的面积为 ▲ ,体积为 ▲ ． 14.椭圆22:184x y C +=的弦AB 的中点为点Q ()2,1, 则弦AB 所在的直线方程为 ▲ ；点P 为椭圆上的任意一点,F 为左焦点,则OP FP uu u r uu rg 的取值范围为 ▲ ．15.直线y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右支分别交于,B C 两点,OB OC ⊥若,O 为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 16. 平面α//平面β,直线,m n αβ∈∈,点,,A m B n AB ∈∈与α面夹角为4π,AB n ⊥,AB 与m 的夹角为3π,则m 与n 的夹角为 ▲ . 17. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,以顶点A 为球心,332为半径作一个球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ▲ .三、解答题：本大题共5小题,共45分． 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．18.（本题共7分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点为()()122,0,2,0F F -,且过点()2,3Q -,椭圆第一象限上的一点P 到两焦点12,F F 的距离之差为2.（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求12PF F ∆的内切圆方程.1H 4GH 3HH 1BEFH 2HGFDCP19. （本题共9分）在所有棱长都为2的三棱柱111ABC A B C -中,160B BC ∠=o ,13AB =.（Ⅰ）求证：1AB BC ⊥；（Ⅱ）求二面角1B AB C --的正切值. 20. （本题共9分）如图,四棱锥ABCD P -的底面是 边长为8的正方形,四条侧棱长均为43H F E G ,,, 分别是棱PC CD AB PB ,,,上共面的四点,//BC 平面GEFH ． （Ⅰ）证明：;//EF GH（Ⅱ）若2=EB ,且二面角E GH B --大小为45o ,求GB 与平面GEFH 所成角的正弦值．21. （本题共10分）如果四面体的四条高交于一点,则该点称为四面体的垂心,该四面体称为垂心四面体.（Ⅰ）证明：如果四面体的对棱互相垂直,则该四面体是垂心四面体；反之亦然. （Ⅱ）给出下列四面体①正三棱锥；②三条侧棱两两垂直； ③高在各面的射影是所在面的垂心； ④对棱的平方和相等.其中是垂心四面体的序号为 .22. （本题共10分）平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：2215x y +=,抛物线E ：22x py =的焦点F 是C 的一个顶点,设()00,P x y 是E 上的动点,且位于第一象限,记E 在点P 处的切线为l .（I ）求p 的值和切线l 的方程（用00,x y 表示）（II ）设l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上; （ii ）设l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12S S 的最大值.1A高二期中考（数理班）数学参考答案一.选择题1.D2.B3.D4.B5.A6.C7. C8.B9.B 10. A二.选择题11. 1,14； 12. 1,8 ；13.16+82+43ππ，；14. 30,2,8x y⎡+-=+⎣；15. y=； 16.45o； 17.6.三. 解答题18. （Ⅰ）2211612x y+=（Ⅱ）由12112122122,=5=3=4,8PF PFPF PF F F PF F FPF PF⎧-=⎪∴⊥⎨+=⎪⎩Q得：，，又,故内切圆半径()()221111,112r PF F F PF C=+-=圆心为，,所以内切圆方程为：()()2211 1.x y-+-=19. （Ⅰ）取BC中点D,由题设得1,ABC B BC∆∆均为等边三角形,111,,,.BC AD BC B D BC ABD BC AB∴⊥⊥∴⊥∴⊥面（Ⅱ）1112,,AB AD B D ABAD O B O AD=∴===⊥Q已知取中点得,1111,.,B O BC B O ABC OE ABB E B E AB⊥∴⊥⊥⊥又面作，连证得,1111tanB OB EO B ABC B EOEO∴∠--∠==为二面角的平面角,20. （Ⅰ）Q//BC平面GEFH,,,PBC GEFH GH BC GH=∴I P面面同理由,,.ABCE GEFH EF BC EF GH EF=∴I P P面面得B（Ⅱ）取BC,AD 的中点M,N,设,MN EF I PM GH J ==I I ,,,,,,BC MN BC PM GH BC GH MN GH PM GH PMN⊥⊥∴⊥⊥∴⊥Q P 且面,,45.GH IJMJI E GH B ∴⊥∴∠=--o 即为二面角的平面角又2228,PN PM MN PM PN MN====∴+=已知45,,12PMN PNM MIJ JM PM∴∠=∠=∆==o 为等腰直角三角形且, 故,,G H PB PC GB ∴=分别为的中点，,,,,,IM IJ EB IM EB IJ EB EF EB GEFH ⊥∴⊥⊥∴⊥Q P 又面 BGE GB GEFH ∴∠是直线与平面所成的角，sin EB BGE GB ∴∠=== 21. （Ⅰ）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体.作11,AH BCD H ⊥面垂足为,则11,CD AH CD AB CD ABH ⊥⊥⊥已知，故面,12212,,BH CD E ABE BH AE H AH BH H ⊥=I 延长交于在面内作，垂足为设,12122,.CD ABH BH ABH BH CD BH ACD ⊥⊆∴⊥⊥已有面，面故面此时两条高线12.AH BH H 和已交于点 连接CH ,下证.CH ABD ⊥面111,,,,.BD AH BD AC BD ACH CH ACH CH BD ⊥⊥∴⊥⊆⊥Q 面而面故 222,,,,.AD BH AD BC AD BCH CH BCH CH AD ⊥⊥∴⊥⊆⊥Q 又面而面故 CH ABD ∴⊥面. 连接,.DH DH ABC ⊥同理可证面综上可知,四条高线交于点H ,故该四面体为垂心四面体；反之,若该四面体为垂心四面体,即四条高线交于点H . ,AH BCD ⊥Q 面AH CD ∴⊥,,BH ACD ⊥Q 又面BH CD ∴⊥,CD ABH ∴⊥面,故CD AB ⊥,同理可证,.BC AD BD AC ⊥⊥ （Ⅱ）①②③④均符合要求. 22.解：（I）由题意可得c e a ==,1b =抛物线的焦点F 为(0,1),则2p =,24E x y =：,直线l 方程为002()y y xx +=（Ⅱ）（i ）证明：设00(),P x y ,1122,,()()A x y B x y ,由点差法可得15OD ABk k ⋅=-,012AB k x =, 即有025OD k x =-,直线OD 的方程为025y x x =-,当0x x =时,可得25y =- 即有点M 在定直线25y =-上； （ii ）直线l 的方程为0012y x x y =-,令0x =,可得0(0,)G y - ,则10001112()2S FG x x y ==+ 2002000022()115522222255y y S PM x x y y ++=⋅=⋅++ 则0012202(2)(1)52()5y y S S y ++=+ 令022()55y t t +=≥ ,则2212222233521322()()2(3)()248553355333335t t t t t t S t S t t t t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪--⋅⎝⎭==≤=+=++ 当35t =,即015y =时,12S S 取得最大值83。
宁波中学2018学年度第一学期期中高二数学试卷答案与解析编辑
BD 2 BE 2 DE 2 2 BE • DE • cosDEB 1 6． 3 6 ． 3
BD 1
即 BP DP 的最小值是 1 故选 B．
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10. 已知椭圆 C :
x2 y 2 1 ，点 M 1 , M 2 , , M 5 为其长轴 AB 的 6 等分点，分别过这五点作斜率为 2
（答案提供：浙江湖州莫国良） 【答案】C 3.已知命题 P：“若两直线没有公共点，则两直线异面”，则其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个 数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D .3
（答案提供：浙江湖州莫国良） 【答案】C 4.设 F1 , F2 分别是椭圆 （ ） A. 10 B. 20 C. 2 41 D. 4 41
GQ 为 PN 的中垂线 PN GN ,
GN GM MP 6 ,
故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a 3 ,半焦距, c 轨迹方程是
5 短半轴长 b 2 , 点 G 的
x2 y2 1. 9 4
所以 A 选项是正确的.
浙江省春晖中学 林国夫)
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【解析】 ：由于 B1C / / A1 D ，因此 ACB1 为异面直线 AC 与 A1 D 所成的角，显然 ACB1 60 ，故异面 直线 AC 与 A1 D 所成角为 60 .
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对于给定的点 P 1 ，过点 P 1 作平面 A 1 ADD1 的平行平面 P 1 EFG ，平面 P 1 EFG 与平面 BDD1 B1 交于直线
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1 1 条直线的斜率的乘积为 . 32 2