集合与常用逻辑语

第一章集合与常用逻辑用语

一、章节结构图

二、复习指导

1．新课标知识点梳理

在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础．集合知识点及其要求如下：

1．集合的含义与表示

(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．

(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受

集合语言的意义和作用．

2．集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3．集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

常用逻辑用语知识点及其要求如下：

(1)命题及其关系

①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．

②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．

(2)简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

(3)全称量词与存在量词

①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．

②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．方法观点阐述

集合的初步知识重点是有关集合的基本概念，难点是有关集合的各个概念的含义及这些概念相互间的区别与联系．

常用逻辑用语知识重点是四种命题的相互关系和充要条件，难点是对一些含一个量词命题的否定．

这一章概念多、符号多、专用字母多、概念与概念间逻辑性强，要在理解要领基础上熟记集合符号，反复地通过对概念的分析，结合适当例题、习题加深理解基本概念，提高使用数学符号、数学语言、数学方法进行推理判断的能力．避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，不要求使用真值表．

1．1集合的概念及其运算(一)

(一)复习指导

本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查．因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．

1．集合的基本概念

(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的．

(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．

(3)集合可分为有限集与无限集．

(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法．

(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“?”．

2．集合与集合的关系

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含集合A，记作A?B(读作A包含于B)，这时也说集合A是集合B的子集．也可以记作B?A(读作B包含A)

①子集有传递性，若A?B，B?C，则有A?C.

②空集是任何集合的子集，即?A

③真子集：若A ?B ，且至少有一个元素b ∈B ，而b ?A ，称A 是B 的真子集．记作A B (或B ?A )．

④若A ?B 且B ?A ，那么A =B

⑤含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：n n n n n n

C C C C 2210=++++ 个． (二)解题方法指导

例1．选择题：

(1)不能形成集合的是( )

(A)大于2的全体实数

(B)不等式3x －5＜6的所有解

(C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点

(D)x 轴附近的所有点

(2)设集合62},23|{=≥=x x x A ，则下列关系中正确的是( )

(A)x A

(B)x ?A (C){x }∈A (D){x }A (3)设集合},214|{},,412|{Z Z ∈+==∈+=

=k k x x N k k x x M ，则( ) (A)M =N

(B)M N (C)M N (D)M ∩N =

例2．已知集合}68{N N ∈-∈=x

x A ，试求集合A 的所有子集．

例3．已知A ={x ｜－2＜x ＜5}，B ={x ｜m +1≤x ≤2m －1}，B ≠，且B ?A ，求m 的取值范围．

例4*．已知集合A ={x ｜－1≤x ≤a }，B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，x ∈A }，若C ?B ，求实数a 的取值范围．

(三)体会与感受

1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

1．2集合的概念及其运算(二)

(一)复习指导

(1)补集：如果A?S，那么A在S中的补集s A={x｜x∈S，且x≠A}．

(2)交集：A∩B={x｜x∈A，且x∈B}

(3)并集：A∪B={x｜x∈A，或x∈B}这里“或”包含三种情形：

①x∈A，且x∈B；②x∈A，但x?B；③x∈B，但x?A；这三部分元素构成了A∪B

(4)交、并、补有如下运算法则

全集通常用U表示．

(A∩B)=(U A)∪(U B)；A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

U

(A∪B)=(U A)∩(U B)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

U

(5)集合间元素的个数：

card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B)

集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．

(二)解题方法指导

例1．(1)设全集U={a，b，c，d，e}．集合M={a，b，c}，集合N={b，d，e}，那么(U M)∩(U N)是( )

(A)(B){d} (C){a，c} (D){b，e}

(2)全集U={a，b，c，d，e}，集合M={c，d，e}，N={a，b，e}，则集合｛a，b}可表示为( )

(A)M∩N(B)(U M)∩N(C)M∩(U N) (D)(U M)∩(U N)

例2．如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )

(A)(M∩P)∩S(B)(M∩P)∪S

(C)(M∩P)∩(U S) (D)(M∩P)∪(U S)

例3．(1)设A={x｜x2－2x－3=0}，B={x｜ax=1}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为____；

(2)已知集合M={x｜x－a=0}，N={x｜ax－1=0}，若M∩N=M，则实数a的取值集合为____．

例4．定义集合A－B={x｜x∈A，且x?B}．

(1)若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}则N－M等于( )

(A)M(B)N(C)｛1，4，5 } (D){6}

(2)设M、P为两个非空集合，则M－(M－P)等于( )

(A)P(B)M∩P(C)M∪P(D)M

例5．全集S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x－1|}.如果sA={0}，则这样的实数x是否存在?若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

(三)体会与感受

1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

1．3简单的逻辑联结词

(一)复习指导：

学习常用逻辑用语知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力主要内容与要求：了解命题的构成，会分析四种命题的相互关系，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，正确地表达相关的数学内容，能理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

(二)解题方法指导：

例1．用“p或q”、“p且q”或“非p”填空，

①命题“矩形的对角线互相垂直平分”是________形式

②命题“π ?Q是____形式

③命题“1≥2”是____形式．

其中真命题的序号为____．

例2．给出下列命题：

①“若k＞0，则关于x2+2x－k=0的方程有实根”的逆命题；

②“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题；

③“若A∪B=B，则A?B”的逆否命题；

④命题p：“x，y∈R，若x2+y2=0，则x，y全为0”的非命题

其中真命题的序号是____．

例3．若命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，则( )

(A)命题p是假命题(B)命题q是假命题

(C)命题p与命题q真值相同(D)命题p与命题“非q”真值相同

例4．(1)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则?p是( )

(A)有些三角形不是等腰三角形(B)有些三角形可能是等腰三角形

(C)所有三角形不是等腰三角形(D)所有三角形是等腰三角形

(2)已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则( )

(A)?p：?x∈R，sin x≥1 (B)?p：?x∈R，sin x≥1

(C)?p：?x∈R，sin x＞1 (D)?p：?x∈R，sin x＞1

小结：标准只要求理解和掌握含有一个量词的命题．不要求理解和掌握含有两个或两个以上量词的命题．对于命题的否定，只要求对含有一个量词的命题进行否定．通过分析，同学可以总结出常见关键词及其否定形式的表：

逻辑题，比较抽象，同学们在有些问题的看法上常出现一些自己也说不清道不明的疑惑，但要依据具体的规则进行详细的处理．

(三)体会与感受

1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

1．4 充分条件、必要条件与命题的四种形式

(一)复习指导：

如果一个命题是“若p 则q ”的形式，其中p 称为命题的前件、q 称为命题的后件，(1)若p ?q ，且q ≠＞p ，则p 是q 的充分且不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；(2)若q ?p ，p ?/q ，则p 是q 的必要且不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；(3)若p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件(q 也是p 的充要条件)；(4)若p ?/q ，且q ?/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．这四种情况反映了前件p 与后件q 之间的因果关系，在判断时应：(1)确定前件是什么，后件是什么；

(2)尝试从前件推导后件，从后件推导前件；(3)确定前件是后件的什么条件．

证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ?q ”为真，又要证明命题“q ?p ”为真，前者证的是充分性，后者证的是必要性．

常用逻辑用语的重点内容是有关“充要条件”、命题真伪的试题．主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解，试题以选择题、填空题为主，难度不大，要求对基本知识、基本题型，求解准确熟练．

(二)解题方法指导：

例1．设集合 ?<-=?

?????<+-=}|1||{,011a x x B x x x A “a =1”是“A∩B≠”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件

例2．(1)条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴的截距的2倍”；条件q ：“直线l 的斜率是－2”，则p 是q 的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

(2)“,2

1=m ”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( )

(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

例3．下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是

①p ：m ＜－2，或m ＞6；q ：y =x 2+mx +m +3有两个不同的零点

②1)

()(:=-x f x f p ； q ：y =f (x )是偶函数 ③p ：cos α=cos β；

q ：tan α=tan β ④p ：A ∩B =A ； q ：U B ?U A

(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④

例4．已知?p是q的充分不必要条件，则p是?q的( )

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(三)体会与感受

1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

例 题 解 析 第一章 集合与常用逻辑用语

1．1 集合的概念及其运算(1)

例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“?”以及x 与{x }的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．

解：(1)选D ．“附近”不具有确定性．(2)选D ．(3)选B ．

方法一：

N M ??2

1,21故排除(A)、(C)，又N ??43,43M ，故排除(D)． 方法二：集合M 的元素.),12(41412Z ∈+=+=k k k x 集合N 的元素=+=214k x Z ∈+k k ),2(4

1．而2k ＋1为奇数，k ＋2为全体整数，因此M N ． 小结：解答集合问题，集合有关概念要准确，如集合中元素的三性；使用符号要正确；表示方法会灵活转化．

例2分析：本题是用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，注意本题中竖线前面的代表元素x ∈N ． 解：由题意可知(6－x )是8的正约数，所以(6－x )可以是1，2，4，8； 可以的x 为2，4，5，即A ={2，4，5}．

∴A 的所有子集为，{2}，{4}，{5}，{2，4}，{2，5}，{4，5}，{2，4，5}．

小结：一方面，用{x ｜x ∈P }形式给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；另一方面，含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：+++210n n n C C C n n n C 2=+ 个．

例3分析：重视发挥图示法的作用，通过数轴直观地解决问题，注意端点处取值问题．

解：由题设知??

???<-->+-≤+51221121m m m m ，

解之得，2≤m ＜3．

小结：(1)要善于利用数轴解集合问题．(2)此类题常见错误是：遗漏“等号”或多“等号”，可通过验证“等号”问题避免犯错．(3)若去掉条件“B ≠”，则不要漏掉?A 的情况．

例4*分析：要首先明确集合B 、C 的意义，并将其化简，再利用C ?B 建立关于a 的不等式．

解：∵A ＝[－1，a ]，

∴B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，

B =[－5，3a －2]

??

???≥<≤<≤-=∈==∴1],,0[10],1,0[01],1,[}.,|{222a a a a a C A x x z z C

(1)当－1≤a ＜0时，由C ?B ，得a 2≤1≤3a －2无解；

(2)当0≤a ＜1时，1≤3a －2，得a =1；

(3)当a ≥1时，a 2≤3a －2得1≤a ≤2

综上所述，实数a 的取值范围是[1，2]．

小结：准确理解集合B 和C 的含义(分别表示函数y =3x －2，y =x 2的值域，其中定义域为A )是解本题的关键．分类讨论二次函数在运动区间的值域是又一难点．若结合图象分析，结果更易直观理解．

1．2 集合的概念及其运算(2)

例1分析：注意本题含有求补、求交两种运算．求补集要认准全集，多种运算可以考虑运算律．

解：(1)方法一：∵U M ={b ，c }，U N ={a ，c }

∴(U M )∩(U N )=，答案选A

方法二：(U M )∩(U N )= U (M ∪N )=

∴答案选A

方法三：作出文氏图，将抽象的关系直观化．

∴答案选A

(2)同理可得答案选B

小结：交、并、补有如下运算法则

U (A ∩B )=(U A )∪(U B )；A ∩(B ∪C )=(A ∩B )∪(A ∩C )

U (A ∪B )=(U A )∩(U B )；A ∪(B ∩C )=(A ∪B )∩(A ∪C )

例2分析：此题为通过观察图形，利用图形语言进行符号语言的转化与集合运算的判断． 解：∵阴影中任一元素x 有x ∈M ，且x ∈P ，但x ?S ，∴x ∈U S ．

由交集、并集、补集的意义．

∴x ∈(M ∩P )∩(U S )答案选D ．

小结：灵活进行图形语言、文字语言、符号语言的转化是学好数学的重要能力．

例3解：(1)由已知，集合A ={－1，3}，

?????=/=?

=0}1{0a a

a B ∵A ∪B =A 得B ?A

∴分B =和}1{a

B =两种情况． 当B ＝时，解得a =0；

当}1{a B =时，解得a 的取值}3

1,1{- 综上可知a 的取值集合为?-}3

1

,1,0{

(2)由已知，?????=/=?==0}1{0},{a a

a N a M ∵M ∩N =M ?M ?N 当N =时，解得a =0；M ={0} 即M ∩N ≠M ∴a =0舍去

当}1

{a N =时，解得11±=?=a a

a 综上可知a 的取值集合为{1，－1}．

小结：(Ⅰ)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：(A ∩B )?A ，(A ∩B )?B ；(A ∪B )?A ，(A ∪B )?B ；A ∩U A =，A ∪U A =U ；A ∩B =A ?A ?B ，A ∪B =B ?A ?B 等．

(Ⅱ)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．

例4解：(1)方法一：由已知，得N－M={x｜x∈N，且x?M}={6}，∴选D

方法二：依已知画出图示

∴选D．

(2)方法一：M－P即为M中除去M∩P的元素组成的集合，故M－(M－P)则为M中除去不为M∩P的元素的集合，所以选B．

方法二：由图示可知M=(M∩P)∪(M－P)

选B．

方法三：计算(1)中N－(N－M)={2，3}，比较选项知选B．

小结：此题目的检测学生的阅读理解水平及适应、探索能力，考查学生在新情境中分析问题解决问题的能力．事实证明，虽然这类问题内容新颖，又灵活多样，但其涉及的数学知识显得相对简单和基础，要勇于尝试解题．

例5*解：假设这样的x存在，∵S A={0}，∴0∈S，且｜2x－1｜∈S．

易知x3＋3x2＋2x＝0，且｜2x－1｜=3，

解之得，x=－1．

当x=－1时，S={1，3，0}，A={1，3}，符合题设条件．

∴存在实数x=－1满足S A={0}．

1．3 简单的逻辑联结词

例1分析：逻辑联结词“或”“且”“非”可类比集合的“并”“交”“补”的关系．

解：①p且q②非p ③p或q

真命题的序号为②③．

小结：(1)逻辑联结词“或”“且”“非”可类比集合的“并”“交”“补”的关系

A∪B={x｜x∈A或x∈B}；A∩B={x｜x∈A且x∈B}

A={x｜x∈S且x?A}

S

(2)逻辑联结词“或”的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，另一是“可兼有”．数学书籍中一般采用后一种解释．即“或此或彼或兼”三种情形．注意“可兼有”并不意味“一定兼有”．

例2分析：(1)四种命题的相互关系如下