最优风险资产风险组合
ch07风险资产与无风险资产之间的资本配置
计值。其中对角线是
n
个方差的估计
2 i
，
n2
n
n(n
1)
个非对角线
上的元素为任意两种证券收益的协方差的估计值。一旦估计工作完
成，任意一个每种证券权重为 wi 的风险投资组合的期望收益和方差都 可以通过协方差举证或以下公式计算得到：
n
nn
E(rp )
E
(ri
),
2 i
wiwjCov(ri , ri )
Var(w
D
rD
+w
E
rE
)
2 p
w
D
2
D
+w
E
2
E
2w Dw ECov(rD,rE )
2 p
w
D
2
D
+w
E
2
E
2wDw E D E DE
该方差公式表明，如果协方差为负，组合方差将减小。尽管协方差项是
正的，投资组合的标准差仍然低于个别证券标准差的加权平均值，除非
两种证券完全正相关(ρ=1)。当完全正相关(ρDE=1)时：
相关的资产。
当ρ= -1 时，一个完全套头头寸可以通过选择投资组合权重：
wD D wE E 0
其解为：wD
E D
E
， wE
D D E
1 wD
该权重将使投资组合的标准差趋向 0。
表 7-1 两种共同基金描述性统计
７-6
表7-2 通过协方差矩阵计算投资组合方差
相邻协方差矩阵 边界相乘协方差矩阵
wE 求，以使资本配置线斜率 SP
E(rp ) rf
P
最大(最高夏普比)？其中
资产组合管理
资产组合管理一、什么是资产组合管理资产组合管理是指对个人或机构的资产进行有效管理、配置和监控的过程。
通过将不同的资产组合合理地分配给不同的投资标的、资产类别和市场，以达到最优化的风险收益比。
二、资产组合管理的目标资产组合管理的主要目标是实现以下几个方面的要求：1. 实现最大收益资产组合管理的首要目标是追求投资者的最大化收益。
通过选择风险与收益相匹配的资产组合，使得投资者可以在承担合理风险的前提下，获得最大的投资回报。
2. 控制风险资产组合管理需要综合考虑各种资产的风险特点，以及宏观经济环境和市场变化的影响。
通过分散投资、控制仓位、制定风险控制策略等手段来降低投资组合的整体风险。
3. 实现流动性管理资产组合管理还需要保证资金的流动性，即在需要时能够及时变现以应对各种情况。
因此，在资产配置过程中需要综合考虑不同资产的流动性和市场可交易性。
4. 实现长期收益资产组合管理应该注重长期收益的稳定性和可持续性，而不仅仅是追求短期收益的最大化。
通过合理选取投资标的和持有期限，使得投资者的资产能够持续增值。
三、资产组合管理的原则和方法资产组合管理需要遵循一定的原则和方法，以实现上述目标。
1. 分散投资原则分散投资是资产组合管理中最重要的原则之一。
通过将资金分散投资于多种不同的资产类别、行业和地区，可以降低总体风险，并获得更稳定的长期收益。
2. 资产配置策略资产配置是根据不同资产类别的预期风险和收益情况，确定各类资产在投资组合中的比例。
常用的资产配置策略包括均衡投资、动态投资、价值投资等。
3. 风险管理方法风险管理是资产组合管理中至关重要的一环。
通过对投资组合的风险进行评估和控制，可以降低风险，提高整体收益率。
常用的风险管理方法包括价值风险管理、对冲策略、多因子模型等。
4. 定期监控和调整资产组合管理需要定期监控投资组合的表现，并及时进行调整。
根据市场变化、投资者风险偏好和目标收益的变化，进行必要的组合调整，以保持良好的投资绩效。
证券投资组合理论
证券投资组合理论［内容提要］本章着重介绍了证券投资的组合及定价理论。
共分五节。
第一节提出了应如何构建最优风险资产组合，探讨了理性投资者在既定的假设条件下求可行集和有效集以及最优投资组合构建的具体方法；第二节分析了无风险借贷对有效集的影响。
第三节介绍了资本资产定价模型的假设前提和推导过程，运用实例分析了该理论的应用及局限性；第四节深入阐述了套利定价理论的基本内涵，并将两种理论进行了比较分析，介绍了两者实证检验的结果。
第五节对资本资产定价模型进一步扩展，对跨时的资本资产定价模型和消费资本资产定价模型进行了概述性的介绍。
第一节最优风险资产组合投资者必须根据自己的风险-收益偏好和各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。
然而，现实生活中证券种类繁多，这些证券更可组成无数种证券组合，如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话，那将是难以想象的。
幸运的是，根据马科维茨的有效集定理，投资者无须对所有组合进行一一评估。
本节将按马科维茨的方法，由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。
一、可行集为了说明有效集定理，我们有必要引入可行集（Feasible Set）的概念。
可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。
也就是说，所有可能的组合将位于可行集的边界上或内部。
（一）有效集的定义对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。
对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。
能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（Efficient Set，又称有效边界Efficient Frontier）。
处于有效边界上的组合称为有效组合。
（二）有效集的位置可见，有效集是可行集的一个子集，它包含于可行集中。
那么如何确定有效集的位置呢？我们先考虑第一个条件。
在图10.1中，没有哪一个组合的风险小于组合N，这是因为如果过N点画一条垂直线，则可行集都在这条线的右边。
最优投资组合公式
最优投资组合公式在投资领域中，最优投资组合是指在给定的投资标的和风险偏好条件下，能够最大化投资者预期收益或最小化风险的投资组合。
最优投资组合公式是一种数学模型，它通过计算各种资产的权重来确定最佳的投资组合。
最常用的最优投资组合模型是马科维茨组合理论，由于这个理论的重要性，它被广泛应用于投资管理和资产配置领域。
马科维茨组合理论是由美国经济学家哈里·马科维茨在20世纪50年代提出的，该理论认为，投资组合的风险与各种资产之间的相关性有关，而不仅仅是单个资产的风险。
其基本公式如下：E(Rp) = ∑(i=1)^(N) wi * E(Ri)其中，E(Rp)表示投资组合的预期收益，N表示投资标的的数量，wi表示第i个资产在投资组合中的权重，E(Ri)表示第i个资产的预期收益。
此外，马科维茨组合理论还引入了投资组合的方差来衡量风险，方差公式如下：Var(Rp) = ∑(i=1)^(N) ∑(j=1)^(N) wi * wj * σij其中，Var(Rp)表示投资组合的方差，σij表示第i个资产和第j个资产之间的协方差。
为了达到最优投资组合，投资者需要在预期收益和风险之间做出权衡。
马科维茨通过引入风险厌恶系数（λ）来控制风险和收益的权衡关系，从而得到最优投资组合。
最优投资组合可以通过求解以下公式得到：min λ * Var(Rp) - E(Rp)约束条件如下：∑(i=1)^(N) wi = 1wi ≥ 0该优化问题需要使用数学优化算法进行求解，例如线性规划、二次规划或有效前沿算法等。
在实际应用中，投资者可以通过历史数据或专业机构提供的数据来估计资产的预期收益和风险。
通过不断调整投资组合的权重，投资者可以根据自身的风险偏好和投资目标来选择最优投资组合。
需要注意的是，最优投资组合公式仅是一个数学模型，其结果可能受到多种因素影响，包括资产预期收益和风险的准确性、相关性的变化、投资者的风险偏好以及投资时段等。
北京大学金融专业考研(博迪)《投资学》辅导讲义2
（4）所有投资者都具有风险厌恶特征； （5）投资者永不满足。 2、市场是有效的 （6）资本市场不存在税收和交易成本； （7）所有资产无限可分； （8）存在无风险利率，不受限制的借贷资金； （9）市场完全竞争； （10）信息充分、免费、立即获得。 2、资本市场线、证券市场线的方程推导以及含义，区别，计算
A sP sM (e A )
2 2
2
sM i i 1 (ei )
2 n
2
第九章
1、CAPM 的假设 1、投资者是同质的 （1）所有投资者根据马科维茨模型选择证券组合，即根据组合的预期收益率和方差来评价投资组合； （2）投资者具有相同的投资期限，进行单期的投资，投资者是短视的； （3） 所有投资者以相同的方法对信息进行分析处理， 具有同质期望（ Homogeneous expectations ） ， 即所有投资者的投资顺序一致；
区别 1、 “证券市场线”的横轴是“贝塔系数(只包括系统风险)”;“资本市场线”的横轴是“标准差(既 包括系统风险又包括非系统风险)” 。 区别 2、 “证券市场线”揭示的是“证券的本身的风险和报酬”之间的对应关系;“资本市场线”揭示 的是“持有不同比例的无风险资产和市场组合情况下”风险和报酬的权衡关系。 区别 3、资本市场线中的“风险组合的期望报酬率”与证券市场线中的“平均股票的要求收益率”含 义不同;“资本市场线”中的“σ(标准差)”不是证券市场线中的“贝塔系数” 。 区别 4、证券市场线表示的是“要求收益率” ，即投资“前”要求得到的最低收益率;而资本市场线表 示的是“期望报酬率” ，即投资“后”期望获得的报酬率。 区别 5、证券市场线的作用在于根据“必要报酬率” ，利用股票估价模型，计算股票的内在价值;资本 市场线的作用在于确定投资组合的比例; 区别 6、资本市场线和证券市场线的斜率都表示风险价格，但含义不同，前者表示整体风险的风险价 格，后者表示系统风险的风险价格。计算公式也不同： 资本市场线斜率=(风险组合的期望报酬率-无风险报酬率)/风险组合的标准差 证券市场线斜率=市场组合要求的收益率-无风险收益率)/系统风险的标准差 3、计算单个证券的预期收益率，即贴现率，进而使用戈登模型就股票的内在价值
[财务.投资]投资学练习题
![[财务.投资]投资学练习题](https://img.taocdn.com/s3/m/95e1160a77232f60ddcca1e1.png)
习题风险厌恶与资产配置1考虑一风险资产组合，年末来自该资产组合的现金流可能为70000或200000美元，概率相等，均为0.5；可供选择的无风险国库券年利率为6％。
（1）如果投资者要求8％的风险溢价，则投资者愿意支付多少钱去购买该资产组合？（2）假定投资者可以以（1）中的价格购买该资产组合，该投资的期望收益率为多少？（3）假定现在投资者要求12％的风险溢价，则投资者愿意支付的价格是多少？（4）比较（1）、（3）的答案，关于投资者所要求的风险溢价与售价之间的关系，投资者有什么结论？2假定用100000美元投资，与下表的无风险短期国库券相比，投资于股票的预期风险溢价是多少？行动概率期望收益权益投资0.650000美元0.4-30000美元无风险国库券投资1.05000美元a.13000美元b.15000美元c.18000美元d.20000美元3.资本配置线由直线变成曲线，是什么原因造成的？a.风险回报率上升b.借款利率高于贷款利率c.投资者风险承受力下降d.无风险资产的比例上升4.你管理的股票基金的预期风险溢价为10%，标准差为14%，短期国库券利率为6%。
你的客户决定将60000美元投资于你的股票基金，将40000美元投资于货币市场的短期国库券基金，你的客户的资产组合的期望收益率与标准差各是多少？期望收益(%)标准差(%)a.8.48.4b.8.414.0c.12.08.4d.12.014.0最优风险资产组合1可选择的证券包括两种风险股票基金：A、B和短期国库券，所有数据如下：基金A和基金B的相关系数为-0.2。
（1）画出基金A和基金B的可行集(5个点)。
（2）找出最优风险投资组合P及其期望收益与标准差。
（3）找出由短期国库券与投资组合P支持的资本配置线的斜率。
（4）当一个投资者的风险厌恶程度A=5时，应在股票基金A、B和短期国库券中各投资多少？2假定一个风险证券投资组合中包含大量的股票，它们有相同的分布，，相关系数（1）含有25种股票的等权重投资组合期望收益和标准差是多少？（2）构造一个标准差小于或等于43%的有效投资组合所需要最少的股票数量为多少？（3）这一投资组合的系统风险为多少？（4）如果国库券的收益率为10%，资本配置的斜率为多少？3（1）一个投资组合的预期收益率是14%，标准差是25%，无风险利率是4%。
最优投资组合公式
最优投资组合公式
最优投资组合的公式可以是根据投资者的目标和约束条件来确定。
其中，目标可以是最大化投资组合的收益、最小化风险或在收益与风险之间寻找一个平衡点。
约束条件可以包括资金限制、资产配置限制、风险限制等。
一种常见的最优投资组合的公式是马科维茨-投资组合理论公式。
该公式由美国经济学家哈里·马科维茨于1952年提出，用
于决定投资组合中各个资产的权重。
公式如下：
minimize (0.5 * X^T * Σ * X) + (μ^T * X)
subject to:
X^T * 1 = 1 (总投资比例为1)
X > 0 (无杠杆投资)
其中，X表示投资组合的权重向量，Σ表示资产间的协方差矩阵，μ表示资产的预期收益率向量，1表示全1向量。
这个公式的目标是最小化投资组合的风险，即协方差的二次项，并同时最大化投资组合的收益，即预期收益率的一次项。
约束条件包括总投资比例为1和无杠杆投资，即权重向量中的元素均大于或等于0。
实际应用中，投资者可以根据自己的情况和偏好进行调整，如增加约束条件、引入收益目标等，以得到最适合自己的最优投资组合公式。
资产组合理论
（）
式中σp、σ1和σ2分别为资产组合、资产1和资 产2的标准差；w1为资产1在组合中的比重，(1-w1) 即是资产2在组合中的比重。
组合的预期收益为：
r p (w1)= r1 w1+ r 2 (1-w1) 当w1＝1时，则有σp=σ1，rp=r1
（）
当w1＝0时，即有σp=σ2，rp=r2
因此，该可行集为连接（ r1 ，σ1）和（ r 2 ， σ2）两点的直线。如图。
平滑曲线。
2021/7/17
13
四、资产组合的有效边界
有效集原则 :（1）投资者在既定风险水平下 要求最高收益率；（2）在既定预期收益率水平下 要求最低风险。
为了更清晰地表明资产组合有效边界的确定 过程，这里我们集中揭示可行集左侧边界的双曲 线FMH。该双曲线上的资产组合都是同等收益水平 上风险最小的组合，如图，既定收益水平E(r1)下， 边界线上的a点所对应的风险为σ4，而同样收益 水平下，边界线内部的b点所对应的风险则上升为 σ5。因此该边界线称为最小方差资产组合的集合。
由于有效边界上凸，而效用曲线下凸,所以两条 曲线必然在某一点相切，切点代表的就是为了达到 最大效用而应该选择的最优组合。
不同投资者会在资产组合有效边界上选择不同 的区域。风险厌恶程度较高的投资者会选择靠近端 点的资产组合；风险厌恶程度较低的投资者，会选 择端点右上方的资产组合。如图。
2021/7/17
2021/7/17
28
• 将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重：
wPghErp
• 其中，g和h为两个一维向量，其表达式分别为
g
1 D
B(V
11)
A
V 1e
h
1 D
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最优风险资产风险组合 1 / 11 最优风险资产的风险组合
8.1 分散化与资产组合风险 分散化（diversification）：投资者如果不是进行单一证券的投资，而是投资于由两种以上证券构成的投资组合。如果构成投资组合的证券不是完全正相关，那么投资组合就会降低风险， 在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（market risk）,它源于与市场有关的因素，这种风险亦称为系统风险（systematic risk）,或不可分散风险（nondiversifiable risk）。相反，那些可被分散化消除的风险被称为独特风险(unique risk)、特定公司风险(firm-specific risk)、非系统风险(nonsystematic risk)或可分散风险(diversifiable risk) 投资组合的σ 独特风险
市场风险 资产组合中股票的个数 8.2 两种风险资产的资产组合 两种资产的资产组合较易于分析，它们体现的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合，我们将考察包括的资产组合，一个为只投资于长期债券的资产组合D，另一个专门投资于股权证券的股票基金E，两个共同基金的数据列表（8-1）如下： 最优风险资产风险组合 2 / 11 债券 股权 期望收益率E(r)（%） 8 13 标准差为σ（%） 12 20 协方差Cov(rD, rE) 72 相关系数ρDE 0.3 投资于债券基金的份额为wD ,剩下的部分为wE=1- wD 投资于股票基金，这一资产组合的投资收益rp 为： rp=wDrD,+ wErE rD为债券基金收益率 rE为股权基金的收益率。 资产组合的期望收益：E(rp)=wDE(rD)+ wEE(rE) 两资产的资产组合的方差： σ2P =WD2σ2D+ WE2σE2+2WDWE Cov(rD,rE) 根据第六章式[6-5]得：ρDE=[Cov(r rD, rE)]/[ σD*σE] Cov(r rD, rE)= ρDE*σD*σE
所以：σ2P =WD2σ2D+ WE2σE2+2WDWEρDE*σD*σE
当完全正相关时：ρDE=1 σ2P =WD2σ2D+ WE2σE2+2WDWE*σD*σE=（WDσD+ WE
σE）2
资产组合的标准差 σP =WDσD+ WEσE
当完全负相关时：ρDE=-1
σ2P =WD2σ2D- WE2σE2+2WDWE*σD*σE=（WDσD- WE
σE）2
资产组合的标准差σP =︱WDσD- WEσE︱ 最优风险资产风险组合 3 / 11 当完全负相关时：ρDE=-1 则WDσD- WEσE=0 因为 wE=1- wD 两式建立联立方程 得 WD=σE/（σD+ σE） wE=σD/（σD+ σE） 运用表（8-1）中的债券与股票数据得： E(rp)=wDE(rD)+ wEE(rE)= 8wD+ 13wE
σ2P =WD2σ2D+ WE2σE2+2WDWEρDE*σD*σE
=122 WD2+ 202WE2+2*12*20*0.3*WDWE
=144 WD2+400 WE2+144 WDWE
表8-3 不同相关系数下的期望收益与标准差
给定相关性下的资产组合的标准差 WD We E(rp) ρ=-1 ρ=0 ρ=0.3 ρ=1 0 0.1 0.9 12.5 16.8 18.03996 18.39565 19.2 0.2 0.8 12 13.6 16.179 16.87602 18.4 0.3 0.7 11.5 10.4 14.45545 15.46609 17.6 0.4 0.6 11 7.2 12.9244 14.19859 16.8 0.5 0.5 10.5 4 11.6619 13.11488 16 0.6 0.4 10 0.8 10.7629 12.26377 15.2 0.7 0.3 9.5 2.4 10.32279 11.69615 14.4 0.8 0.2 9 5.6 10.4 11.45426 13.6 0.9 0.1 8.5 8.8 10.98362 11.55855 12.8 1 0 8 12 12 12 12 最优风险资产风险组合 4 / 11 图8-3中，当债券的投资比例从0-1（股权投资从1-0）时，资产组合的期望收益率从13%（股票的收益率）下降到8%（债券的收益率） 期望收益率
13% 股权基金 8%
债券基金 -0.5 0 1.0 2.0 股票 1.0 0 -1.0 债券
如果wD〉1， wE〈0时，此时的资产组合策略是做一股权基金空头，并把所得到的资金投入到债券基金。这将降低资产组合的期望收益率。如wD=2和wE=-1时，资产组合的期望收益率为 2*8+（-1）*13=3% 如果wD〈0， wE〉1时，此时的资产组合策略是做一债券基金空头，并把所得到的资金投入到股权基金。 如wD=-1和wE=2时，资产组合的期望收益率为 -1*8+2*13=16% 改变投资比例会影响资产组合的标准差。根据表（8-3），及最优风险资产风险组合 5 / 11 公式（8-5）和资产组合的相关系数分别假定为0.3及其它ρ计算出的不同权重下的标准差。下图显示了标准差和资产组合权重的关系。当ρDE=0.3的实线，当股权投资比例从0增加到1时，资产组合的标准差首先因分散投资而下降，但随后上升，因为资产组合中股权先是增加，然后全部投资于股权。 那种资产组合的标准差的最小水平时可接受的？通过计算机电子表格求得准确解 WMIN(D)=0.82 WMIN(E)=0.18 σMIN=11.45% 当ρ=0.3时，标准差是投资比例的函数，这条线经过wD=1和wE=1两个（两点）非分散化的资产组合。 当ρ=1时，标准差是组合中各资产标准差的简单加权平均值，直线连接非分散化下的全部是债券或全部是股票的资产组合，即wD=1或wE=1，表示资产组合中的资产完全正相关。 当ρ=0时，相关系数越低，分散化就越有效，资产组合风
资产组合标准差% ρ= -1 ρ=0 ρ=0.3 40 ρ=1
30 20 10 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 股票基金权重 资产组合标准差是投资比例的函数 最优风险资产风险组合
6 / 11 险就越低，最小的标准差为10.29%，低于组合中各个资产的标准差（见表8-1）。 当ρ=-1时， WD=σE/（σD+ σE） =0.625 wE=σD/（σD+ σE）=0.375 σMIN=0
图8-5。对于任一对投资比例为wD，wE的资产，我们可以从图8-3得到期望收益率；从图8-4中得到标准差。
图8-5中的曲线；当ρ=-0.3时的资产组合机会集合（Portfolio opportunity set）.我们称它为资产组合机会集合是因为它显示了有两种有关资产构造的所有资产组合的期望收益与标准差。其他线段显示的是在其他相关系数值下资产组合的机会集合 当ρ=1时 为黑色实线连接的两种基金。对分散化没有益处
14 期望收益率% 13 E
ρ=-1 11 10 ρ=0 ρ=0.3 ρ=1 8 D ρ=-1
5 4 8 12 20 σ 8-5 资产组合的期望收益是标准差的函数 最优风险资产风险组合
7 / 11 当ρ=0时 为虚线抛物线，可以从分散化中获得最大利益 当ρ=-1时 资产组合机会集合是线性的，它提供了一个完全对冲的机会，此时从分散化中可以获得最大的利益。并构造了一个零方差的资产组合
8.3 资产在股票、债券与国库券之间的配置 上节内容主要讨论了如何在股票、债券市场进行资金配置，在此基础上，我们引入第三种选择—无风险的资产组合。对股票、债券与无风险货币市场证券之间的配置。 最优风险资产组合：两种风险资产和一种无风险资产 根据表8-1 第一条可能的资本配置线通过最小方差的资产组合A,（债券与股票）即由WMIN(D)=0.82 WMIN(E)=0.18 组成 σMIN=11.45%。资产组合A期望收益率为：0.82*8+0.18*13=8.9% 由于国库券利率为5%，报酬与波动性比率（REWARD-TO-VARIABILITY RATIO）, 资本配置线(CAL),表示投资者的所有可行的风险收益组合。它的斜率S，等于选择资产组合每增加一单位标准差上升的期望收益，即资本配置线的斜率为： 最优风险资产风险组合 8 / 11 SA=[E(rA)-rf]/ σA=(8.9-5)/11.5=0.34 第二条可能的资本配置线通过最小方差的资产组合B,即由WMIN(D)=0.7 WMIN(E)=0.3 组成σ
MIN=11.7%。资产组合B期望收益率为：0.7*8+0.3*13=9.5% 由于国库券利率为5%，报酬与波动性比例（REWARD-TO-VARIABILITY RATIO）,即资本配置线的斜率为： SA=[E(rB)-rf]/ σB=(9.5-5)/11.7=0.38 对图8-6 可理解为，由两条资本配置线，求得的望收益率与最小方差，在其相关系数值下资产组合的机会集合中，在图中找到A,B两点；我们让资本配置线变动，最终使它的斜率与投资机会集合的斜率一致，从而，获得具有最高的、可行的报酬与波动性比率的资本配置线。相切的资产组合P（见图8-7）就是加入
国库券的最优风险资产组合。E(rp)=11%，σP=14.2% 14 期望收益率% 13 E
CAL(A) 11 10 B CAL(B) A
8 D
5 4 8 12 20 25 σ 8-6 债务与股权基金的机会集合和两条可行的资本配置线