最优风险资产组合
投资学基础讲义 第7章 最优风险资产组合
第7章最优风险资产组合7.1分散化与组合风险•投资组合的风险来源：·来自一般经济状况的风险(系统风险)·特别因素风险(非系统风险) 图7.1 组合风险关于股票数量的函数图7.2 组合分散化7.2 两个风险资产的组合设某一风险资产组合P 由长期债券组合D 和股票基金E 组成2222222222()()() 2(,)(,)211P D D E E P D D E E D E D E D E DE D E P D D E E D E D E DEDE E r w E r w E r w w w w Cov r r Cov r r w w w w σσσρσσσσσσσρρ=+=++=⇒=++-≤≤Q 则有：又：∴ρ越大，组合P 的方差越大 三个风险资产的组合112233()()()()p E r w E r w E r w E r =++2222222112233121,2131,3232,3222p w w w w w w w w w σσσσσσσ=+++++分散化的效果：如果协方差为负，组合的方差会降低，即使协方差为正，组合的标准差依然低于两个证券标准差的加权平均，除非两个证券是完全正相关221() DE P D D E E P D D E Ew w w w ρσσσσσσ==+=+若，则有：即：结论：ρ=1时组合P 的风险就是两个收益完全正相关资产标准差的加权平均。
221() -0,1DE P D D E E P D D E E D D E E E DD E D D E D Ew w w w w w w w w ρσσσσσσσσσσσσσσ=-=-=-=⇒==-=++若，则有：即：令结论：ρ=-1组合P 的风险可降至零11 1DE P D D E Ew w P ρσσσρ-<<<+<若，则有：结论：时组合的风险可有一定程度降低表7-1两个共同基金的描述性统计表7.2 不同相关系数下的期望收益与标准差图7.3组合期望收益关于投资比例的函数图7.4 组合标准差关于投资比例的函数最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的风险最低。
证券投资组合理论
证券投资组合理论［内容提要］本章着重介绍了证券投资的组合及定价理论。
共分五节。
第一节提出了应如何构建最优风险资产组合，探讨了理性投资者在既定的假设条件下求可行集和有效集以及最优投资组合构建的具体方法；第二节分析了无风险借贷对有效集的影响。
第三节介绍了资本资产定价模型的假设前提和推导过程，运用实例分析了该理论的应用及局限性；第四节深入阐述了套利定价理论的基本内涵，并将两种理论进行了比较分析，介绍了两者实证检验的结果。
第五节对资本资产定价模型进一步扩展，对跨时的资本资产定价模型和消费资本资产定价模型进行了概述性的介绍。
第一节最优风险资产组合投资者必须根据自己的风险-收益偏好和各种证券和证券组合的风险、收益特性来选择最优的投资组合。
然而，现实生活中证券种类繁多，这些证券更可组成无数种证券组合，如果投资者必须对所有这些组合进行评估的话，那将是难以想象的。
幸运的是，根据马科维茨的有效集定理，投资者无须对所有组合进行一一评估。
本节将按马科维茨的方法，由浅入深地介绍确定最优投资组合的方法。
一、可行集为了说明有效集定理，我们有必要引入可行集（Feasible Set）的概念。
可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。
也就是说，所有可能的组合将位于可行集的边界上或内部。
（一）有效集的定义对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。
对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。
能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（Efficient Set，又称有效边界Efficient Frontier）。
处于有效边界上的组合称为有效组合。
（二）有效集的位置可见，有效集是可行集的一个子集，它包含于可行集中。
那么如何确定有效集的位置呢？我们先考虑第一个条件。
在图10.1中，没有哪一个组合的风险小于组合N，这是因为如果过N点画一条垂直线，则可行集都在这条线的右边。
ch08最优风险资产组合
单个股票风险 Single Security Risk
σR2 = ∑ Pi(Ri - E( R ))2 (I=1 to n) = (1/4)(15-11)2 +(1/2)(10-11)2 +(1/4)(8-11)2 =6.75 (1/4)(15+(1/2)(10+(1/4)(8σR= (6.75)(1/2)=2.6 6.75) 1/2) σ(R)2 均方差 σ(R) 标准方差
8-13
相关系数:取值范围 相关系数: Correlation Coefficients: Possible Values
如果 ρ = 1.0 If ρ = 1.0
σp2 = wD2σD2 + wE2σE2 + 2wDwE σD σ E σp2 = (wDσD + wEσE)2 σp = wDσD + wEσE
8-3
分散化与风险
Risk Reduction with Diversification
标准方差 St. Deviation
独特风险(非系统风险 独特风险 非系统风险) 非系统风险 Unique Risk
市场风险(系统风险 市场风险 系统风险) 系统风险 Market Risk
股票数量 Number of Securities
多种证券组合的一般性
In General, For an n-Security Portfolio: nrp =多种证券的加权平均 rp = Weighted average of the n securities σp2 = (考虑全部成双量的协方差) 考虑全部成双量的协方差) σp2 = (Consider all pair-wise covariance measures)
实验4：多种风险资产与无风险资产的最优投资组合决策
实验四：无风险资产与多种风险型资产最优投资组合的模型分析 一、实验目的通过上机实验，使学生充分理解Excel 软件系统管理和基本原理,掌握多资产投资组合优化的Excel 应用。
二、预备知识（一）相关的计算机知识： Windows 操作系统的常用操作；数据库的基础知识；Excel 软件的基本操作。
（二）实验理论预备知识现代资产组合理论发端于Markowitz(1952)提出的关于投资组合的理论。
该理论假设投资者只关心金融资产（组合）收益的均值（期望收益）和方差，在一定方差下追求尽可能高的期望收益，或者在一定的期望水平上尽可能降低投资收益的方差。
投资者的效用是关于投资组合的期望回报率和方差的函数，理性的投资者通过选择有效地投资组合以实现期望效用最大。
该理论第一次将统计学中期望与方差的概念引入投资组合的研究，提出用资产收益率的期望来衡量预期收益，用资产预期收益的标准差来度量风险的思想。
1、理论假设（Ⅰ）市场上存在n ≥2种风险资产，资产的收益率服从多元正态分布，允许卖空行为的存在。
{}12(,,,)T n ωωωωω=,代表投资到这n 种资产上的财富（投资资金）相对份额，它是n 维列向量，有11=∑=ni i ω，允许0<i ω，即卖空不受限制。
(Ⅱ) 用e 表示所有由n 种风险资产的期望收益率组成的列向量。
12(,,,)T n e R R R R == （1）p r 表示资产组合的收益率，)(p r E 和)(p r σ分别为资产组合p 的期望收益率和收益率标准差。
∑=⋅=⋅=ni ii Tp e r E 1)(μωω (2)(Ⅲ)假设n 种资产的收益是非共线性的(其经济意义为：没有任何一种资产的期望收益率可以通过其他资产的线性组合来得到，它们的期望收益是线性独立的。
)。
这样它们的方差-协方差矩阵可以表示为:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=nn n n n n Q σσσσσσσσσ212222111211 （3）由于总是假定非负的总体方差,它还必须是一个正定矩阵,即对于任何非0的n 维列向量a ,都有0T a Qa >。
资产组合理论
资产组合理论投资组合理论⼀、资产组合理论简介资产组合理论是与投资问题紧密联系在⼀起的，所以也被称为投资组合理论。
该理论产⽣于上世纪50年代，是财务学家们在探索如何定量风险、选择最佳资产组合以分散和控制风险的道路上逐步发展起来的。
资产组合理论学派的代表⼈物包括马克维兹、威廉·夏普、斯蒂芬·罗斯等。
其中马克维兹分别于1952和1959年发表了《资产组合选择》的论⽂和《组合选择》的专著，论述了投资收益率的⽅差确定⽅法和风险资产组合模型，成为资产组合理论学派的创始⼈。
威廉·夏普在马克维兹理论的基础上于1964年建⽴了著名的CAPM模型，并与1990年与马克维兹分享了第22界诺贝尔经济学奖。
斯蒂芬·罗斯于1976发表了题为《资本资产定价套利理论》的论⽂，对CAPM模型提出极⼤的挑战。
另外，该学派的理论还包括了单指数模型和多因素模型。
⼆、⼏个前提性概念1、风险厌恶和效⽤价值由于⼈们对风险的偏好程度不同，可以将投资者分为三类，即风险厌恶者、风险中性者和风险爱好者。
我们可以使⽤效⽤函数度量投资者对收益和风险的偏好：U ＝E（r）－0.005Aσ2其中E(r)为期望收益，σ2为收益⽅差，A为风险厌恶系数，其取值区间为（－∞，＋∞）数值越⼤，投资者的风险厌恶程度越⾼，当A＝0时，即为风险中性者。
在资产组合理论中，假设所有投资者都为风险厌恶者，因此投资者的效⽤值与期望收益呈正向变化，与风险和风险厌恶系数呈反向变化，所以其效⽤函数可以⽤下图表⽰：2、资本配置线和酬报与波动性⽐率在包括了⼀个风险资产和⼀个⽆风险资产的资产组合中，其期望收益和标准差可以⽤下式表⽰：E （r c ）＝wpE （r p ）＋（1－w p ）r f ＝r f ＋w p （E （r p ）－r f ）σc＝w pσp其中w p 为风险资产在组合中所占的⽐例，将以上两式结合可以得到： E （r c ）＝rf＋σσpc （E （r p ）－r f ）⽤图形表⽰如下：图中的直线就是资本配置线（CAL ），表⽰了投资者的所有的可⾏的风险收益组合。
博迪《投资学》(第9版)课后习题-最优风险资产组合(圣才出品)
第7章最优风险资产组合一、习题1．以下哪些因素反映了单纯市场风险？a．短期利率上升b．公司仓库失火c．保险成本增加d．首席执行官死亡e．劳动力成本上升答：ae。
2．当增加房地产到一个股票、债券和货币的资产组合中，房地产收益的哪些因素影响组合风险？a．标准差b．期望收益c．和其他资产的相关性答：ac。
房地产被添加到组合中后，在投资组合中有四个资产类别：股票、债券、现金和房地产。
现在投资组合的方差包括房地产收益的方差项和房地产收益与其他三个资产类别之间的协方差项。
因此，房地产收益的方差（或标准差）和房地产收益与其他资产类别收益之间的相关性影响着投资组合的风险。
（注意房地产收益和现金收益之间的相关性很有可能为零。
）3．以下关于最小方差组合的陈述哪些是正确的？ a ．它的方差小于其他证券或组合 b ．它的期望收益比无风险利率低 c ．它可能是最优风险组合 d ．它包含所有证券 答：a 。
4．用以下数据回答习题4～10：一个养老金经理考虑3个共同基金。
第一个是股票基金，第二个是长期政府和公司债基金，第三个是短期国债货币基金，收益率为8%。
风险组合的概率分布如表7-1所示。
表7-1基金的收益率之间的相关系数为0.1。
两种风险基金的最小方差投资组合的投资比例是多少？这种投资组合收益率的期望值与标准差各是多少？答：机会集的参数为：E （r S ）＝20%，E （r B ）＝12%，σS ＝30%，σB ＝15%，ρ＝0.10。
根据标准差和相关系数，可以推出协方差矩阵（注意()ov ,S B S B C r r ρσσ=⨯⨯）：债券 股票 债券 225 45 股票45900最小方差组合可由下列公式推出：w Min（S）＝()()()222,225459002252452,B S BS B S BCov r rCov r rσσσ−−=+−⨯+−＝0.1739w Min（B）＝1－0.1739＝0.8261最小方差组合的均值和标准差为：E（r Min）＝（0.1739×0.20）＋（0.8261×0.12）＝0.1339＝13.39%σMin＝()122222w w2w w ov,S S B B S B S BC r rσσ/⎡⎤++⎣⎦＝[（0.17392×900）＋（0.82612×225）＋（2×0.1739×0.8261×45）]1/2＝13.92%5．制表并画出这两种风险基金的投资可行集，股票基金的投资比率从0～100%按照20%的幅度增长。
投资学第7章最优风险资产组合
w iri c ,
i1
n
wi 1
i1
37
对于上述带有约束条件的优化问题，可以 引入拉格朗日乘子λ 和μ 来解决这一优化 问题。构造拉格朗日函数如下
nn
n
n
L w iw jij( w iric)( w i1 )
i 1j 1
i 1
i 1
上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件 为0，得到方程组
38
和方程
L
w
1
n
w j 1 j r1
j1
0
L
w
2
n
w j 2 j r2 0
j1
L
w
n
n
w j nj rn
j1
0
n i1
w i ri
c
n
)
E
E(rD )
D
E(rE
E
)
P
15
两种资产组合（完全正相关），当权重wD从1 减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成 了两种资产完全正相关的机会集合（假定不允 许买空卖空）。
收益 E(rp)
E
D
风险σp
16
两种完全负相关资产的可行集
两种资产完全负相关，即ρDE =-1，则有
13
组合的机会集与有效集
资产组合的机会集合（Portfolio opportunity set），即资产可构造出的所有组合的期望收益 和方差。
有效组合（Efficient portfolio ）：给定风险水平 下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下 具有最小风险的组合。每一个组合代表E(r)和σ 空间中的一个点。
3第三讲 最优风险资产组合
这种偏差来自于证券分析的差异。如果证券分析质量很差，那 么被动的市场指数基金生成的资本配置线都会优于用低质量证 券分析生成的资本配置线（垃圾进-垃圾出）
最优化技术是组合构造问题中最容易的部分，基金经理间真正 的竞争在于证券分析精确性上的角逐
分散化的威力
因为
2 P
wi w jCov(ri , rj )
构造拉格朗日函数
n n 1 n n L wi w j Cov(ri , rj ) ( wi E (ri ) E (rp )) ( wi 1) 2 i 1 j 1 i 1 i 1
然后对每个变量wi求导，并令导数值等于0
w Cov(r , r ) E (r ) 0(i 1, 2, , n)
风险资产的最小方差边界
马科维茨模型
min s.t.
1 n n wi w j Cov(ri , rj ) 2 i 1 j 1
w E (r ) E (r )
i 1 n i i p
n
w 1
i 1 i
方差前面的系数1/2只是为了计算方便而已，它使得最后得出的 结果更加整齐
马科维茨模型（续）
卖出更多的保险意味着增加风险投资的头寸，当投资于更多收 益不相关的资产时，夏普比率升高，但是因为风险资产比例上 升，整体风险也会上升
保险原理（续）
保险原理解释为“风险集合后损失的概率会降低”，从数学上是 正确的，因为夏普比率上升，但是将损失概率的降低和总风险 的降低混为一谈却是错误的
风险共享
马科维茨资产组合选择模型是组合管理的第一步：确认有效的 组合集，即风险资产有效边界
第五章风险与无风险资产组合及最优风险资产组合
第三节 风险与无风险资产组合的分析
假设1： 在风险与无风险资产组合中， 风险资产P的内部结构已固定。要 考虑的是资产组合中投资到风险资 产P的比例y，则余下的比例1-y为 无风险资产F的投资比例。
第三节 风险与无风险资产组合的分析
假设2： 设风险资产P的收益率为rP， 期望收益为E(rP)，标准差为δP，无 风险资产F的收益率为rF。由y份风 险资产和1-y份无风险资产构成整 个资产组合M，其收益率为rM。
δM2=y12δ12+y22δ22+2y1y2Cov(r1,r2)
其中，Cov(r1,r2)=∑P(r1-E(r1))(r2-E(r2))
第四节 最优风险资产组合
相关系数：Ρ12 =Cov(r1,r2)/δ1δ2
Cov(r1,r2) =δ1δ2Ρ12
δM2=y12δ12+y22δ22+2y1y2δ1δ2Ρ12
风险资产组合图：
E(R)
最小方差边界
δ
第四节 最优风险资产组合
不同相关系数P的风险组合图：
E(R)
最小方差边界
Ρ3
Ρ2Leabharlann Ρ1δ第四节 最优风险资产组合 案例：找出最优和最差的配置组合：
E(R)
全球资产配置
美国债券与 外汇产品
美国股票 和债券
美国股票和 世界股票
δ
第四节 最优风险资产组合
风险资产组合的选择：
第四节 最优风险资产组合
粮食市场正常 异常
股票P 收益率
概率 股票T 收益率 概率
股市的牛市
股市的熊市
粮价上涨
20%
0.5
股市的牛市
15%
0.4
股市的熊市
最优风险资产的风险组合
最优风险资产的风险组合8.1 分散化与资产组合风险分散化（diversification）：投资者如果不是进行单一证券的投资，而是投资于由两种以上证券构成的投资组合。
如果构成投资组合的证券不是完全正相关，那么投资组合就会降低风险，在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（market risk）,它源于与市场有关的因素，这种风险亦称为系统风险（systematic risk）,或不可分散风险（nondiversifiable risk）。
相反，那些可被分散化消除的风险被称为独特风险(unique risk)、特定公司风险(firm-specific risk)、非系统风险(nonsystematic risk)或可分散风险(diversifiable risk)资产组合中股票的个数8.2 两种风险资产的资产组合两种资产的资产组合较易于分析，它们体现的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合，我们将考察包括的资产组合，一个为只投资于长期债券的资产组合D，另一个专门投资于股权证券的股票基金E，两个共同基金的数据列表（8-1）如下：债券股权期望收益率E(r)（%）8 13 标准差为σ（%） 12 20 协方差Cov(r D, r E) 72相关系数ρDE 0.3投资于债券基金的份额为w D,剩下的部分为w E=1- w D投资于股票基金，这一资产组合的投资收益r p 为：r p=w D r D,+ w E r E r D为债券基金收益率r E为股权基金的收益率。
资产组合的期望收益：E(r p)=w D E(r D)+ w E E(r E)两资产的资产组合的方差：σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W E Cov(r D,r E)根据第六章式[6-5]得：ρDE=[Cov(r r D, r E)]/[ σD*σE]Cov(r r D, r E)= ρDE*σD*σE所以：σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W EρDE*σD*σE 当完全正相关时：ρDE=1σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W E*σD*σE=（W DσD+ W E σE）2资产组合的标准差σP =W DσD+ W EσE当完全负相关时：ρDE=-1σ2P =W D2σ2D- W E2σE2+2W D W E*σD*σE=（W DσD- W E σE）2资产组合的标准差σP =︱W DσD- W EσE︱当完全负相关时：ρDE=-1 则W DσD- W EσE=0 因为w E=1- w D 两式建立联立方程得运用表（8-1）中的债券与股票数据得：E(r p)=w D E(r D)+ w E E(r E)= 8w D+ 13w Eσ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W EρDE*σD*σE=122 W D2+ 202W E2+2*12*20*0.3*W D W E=144 W D2+400 W E2+144 W D W E表8-3 不同相关系数下的期望收益与标准差给定相关性下的资产组合的标准差W D We E(rp) ρ=-1ρ=0ρ=0.3ρ=1 0113202020200.10.912.516.818.0399618.3956519.20.20.81213.616.17916.8760218.40.30.711.510.414.4554515.4660917.60.40.6117.212.924414.1985916.80.50.510.5411.661913.11488160.60.4100.810.762912.2637715.20.70.39.5 2.410.3227911.6961514.40.80.29 5.610.411.4542613.60.90.18.58.810.9836211.5585512.810812121212图8-3中，当债券的投资比例从0-1（股权投资从1-0）时，资产组合的期望收益率从13%（股票的收益率）下降到8%（债券的收益率）1.0 0 -1.0 债券如果w D〉1，w E〈0时，此时的资产组合策略是做一股权基金空头，并把所得到的资金投入到债券基金。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三讲最优风险资产组合投资决策⏹投资决策可以看做为自上而下的过程⏹资本配置：风险资产与无风险资产之间的资本配置⏹资产配置：各类风险资产间的配置⏹证券选择：每类资产内部的证券选择分散化与组合风险⏹市场风险⏹系统性风险或不可分散风险⏹公司特有风险⏹可分散风险或非系统风险组合风险关于股票数量的函数组合分散化：应用纽约证券交易所股票数据协方差和相关性⏹投资组合的风险取决于投资组合中各资产收益率的相关性⏹协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益变化的方式两个资产构成的资产组合: 收益与方差⏹组合的收益率⏹组合的期望收益⏹组合的方差p D D E Er w r w r =+()()()p D D E E E r w E r w E r =+222222(,)p D D E ED E D E w w w w Cov r r σσσ=++协方差与相关系数⏹协方差⏹相关系数：可能的值⏹如果ρ= + 1.0，资产间完全正相关⏹如果ρ= -1.0，资产间完全负相关(,)D E DE D E Cov r r ρσσ=1.0 1.0ρ+≥≥-相关系数⏹当ρDE = +1，不受相关性影响⏹当ρDE = -1，可完全对冲1DE DD E w w σσσ==-+p D D E E w w σσσ=+22()σσσ=-p D D E E w w 0σσ-=D D E E w w σσσ=+E D D Ew组合方差的计算组合期望收益关于投资比例的函数组合标准差关于投资比例的函数最小方差组合⏹最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的风险最低⏹当相关系数小于+1时，资产组合的标准差可能小于任何单个组合资产⏹当相关系数是-1时，最小方差组合的标准差是0组合期望收益关于标准差的函数相关效应⏹资产相关性越小，分散化就更有效，组合风险也就越低⏹随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性也在增大⏹如果r = +1.0，不会分散任何风险⏹如果r = 0，σP可能低于任何一个资产的标准差⏹如果r = -1.0，可以出现完全对冲的情况债券和股票基金的投资可行集和两条资本配置线夏普比率⏹使资本组合P 的资本配置线的斜率最大化⏹斜率的目标方程是⏹这个斜率就是夏普比率()P f P P E r r S σ-=计算最优风险组合P⏹对于两个风险资产的组合P ，期望收益和标准差为⏹需解以下问题⏹最优风险组合的解()max σ-=iP f P w P E r r S ()()()p D D E E E r w E r w E r =+22221/2(2(,))σσσ=++p D D E E D E D E w w w w Cov r r ..1=∑i s t w 222()()(,)()()(()())(,)σσσ-=+-+D EE D E D D E E D D E D E E R E R Cov R R w E R E R E R E R Cov R R 1=-E Dw w债券和股票基金的投资可行集、最优资本配置线和最优风险资产组合决定最优组合最优组合的成分构造整个组合的步骤⏹确定所有证券的特征（期望收益率、方差、协方差）⏹建立风险资产组合⏹计算最优风险组合P⏹在此基础上计算组合P的期望收益和标准差⏹在风险资产和无风险资产之间配置资金⏹计算投资风险资产组合P的比例⏹计算整个组合中各资产的比例马科维茨资产组合选择模型⏹证券选择（多个风险资产和一个无风险资产的情况）⏹第一步，确定风险资产的最小方差边界⏹第二步，确定无风险资产下的最优风险资产组合⏹第三步，确定最优风险资产组合和无风险资产一定比例的最终组合风险组合组合边界⏹马科维茨资产组合选择模型是组合管理的第一步：确认有效的组合集，即风险资产有效边界⏹任意风险组合的期望收益和方差，都可以通过计算下式得到⏹核心原理：对于任意期望收益率水平，我们只关注风险最低的组合。
对于任意风险水平，我们只关注期望收益率最高的组合1211()()(,)n p i i i n n Pi j i j i j E r w E r w w Cov r r σ=====∑∑∑风险资产的最小方差边界马科维茨模型方差前面的系数1/2只是为了计算方便而已，它使得最后得出的结果更加整齐11111min (,)2..()()1n ni j i j i j ni i p i ni i w w Cov r r s t w E r E r w ======∑∑∑∑马科维茨模型（续）⏹构造拉格朗日函数⏹然后对每个变量wi 求导，并令导数值等于011111(,)(()())(1)2n nn n i j i j i i p i i j i i L w w Cov r r w E r E r w λμ=====----∑∑∑∑111(,)()0(1,2,,)()()1n j i j ij n i i pi n ii w Cov r r E r i n w E r E r w λμ===--==⋅⋅⋅==∑∑∑风险资产有效边界和最优资本配置线最优组合有效集组合与资本配置线资本配置和分离特性⏹分离特性阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤⏹决定最优风险资产组合，这是完全技术性的工作。
给定所有证券的数据，最优风险组合对所有客户都是一样的⏹整个投资组合在无风险资产和最优风险资产组合之间的配置，取决于个人偏好。
这里客户是决策者⏹不同风险厌恶程度的投资者会满足于两个共同基金构成的市场⏹一个基金在货币市场进行无风险投资⏹一个持有资产配置线与有效边界切点的最优风险资产组合P⏹职业投资管理更有效率且成本更低资本配置和分离特性（续）⏹在实际中，不同的投资经理对证券估计的数据是不一样的，因此得到不同的有效边界，提供不同的“最优组合”⏹这种偏差来自于证券分析的差异。
如果证券分析质量很差，那么被动的市场指数基金生成的资本配置线都会优于用低质量证券分析生成的资本配置线（垃圾进-垃圾出）⏹最优化技术是组合构造问题中最容易的部分，基金经理间真正的竞争在于证券分析精确性上的角逐分散化的威力⏹因为⏹如果定义平均方差和平均协方差为⏹可以得出组合的方差211(,)n n P i j i j i j w w Cov r r σ===∑∑2211111(,)(1)n i i n n i j j i j in Cov Cov r r n n σσ===≠==-∑∑∑2211Pn Cov n n σσ-=+相关性和无相关性的证券等权重构造组合的风险减少风险集合、风险共享与长期投资风险⏹分散化意味着把投资预算分散到各类资产中以降低投资组合的风险⏹有人提出时间上的分散化想法，这样平均收益率反映了不同投资期限的收益，类比得出“时间分散化”的概念，长期投资比短期投资更安全⏹这一对“分散化”的概念拓展有意义吗？风险集合和保险原理⏹风险集合：将互不相关的风险项目聚合在一起来降低风险⏹应用到保险行业，风险集合为销售风险不相关的保单，即众所周知的保险原理⏹传统理念认定风险集合降低风险，并成为保险行业风险管理的背后推动力⏹但是，增加一个独立的赌局怎么会降低整个风险敞口呢？风险集合⏹假设一个富有的投资者沃伦，持有10亿美元的组合P，其中风险资产组合A的比例为y，无风险资产为1-y⏹A的风险溢价为R，标准差为σ⏹则P的风险溢价R P=yR，标准差σP=yσ，夏普比率S P=R/σ⏹沃伦发现另一个风险资产组合B和A具有相同的风险溢价和标准差，且A和B相关系数为0，于是他认为可以通过分散化来降低风险，决定持有B，且与A的头寸相同⏹这一策略是纯粹的风险机会。
整个组合Z构成如下：A比例为y，B比例为y，无风险资产比例为1-2y风险集合（续）⏹好消息是Z 的夏普率提升倍，坏消息是标准差也增长倍⏹当n 种资产时，夏普率提升倍，坏消息是标准差也增长倍⏹这一简单分析说明，单纯的风险集合带来了机会，但同时因为增加了风险投资的规模，风险机会并不降低总体风险22222222(12)02022/2/22/σσσσσσσσσσ=++-==++======Z Z Z Z Z Z Z R yR yR y yR y y y y S R yR y R （R P 的2倍）（S P 的1.41倍）（σP 的1.41倍）（σP 2的2倍）22n n保险原理⏹保险原理：风险增长速度低于不相关保单数量的增长速度，风险集合的获利能力（夏普比率）才能增长，但这并不足以降低风险⏹这可能会限制大型保险公司持续增长的组合潜在的规模效应，可以把分析中的资产看做保单。
每一笔保单要求保险公司设置保证金弥补或有损失，保险公司投资这些资金直至有索赔发生⏹卖出更多的保险意味着增加风险投资的头寸，当投资于更多收益不相关的资产时，夏普比率升高，但是因为风险资产比例上升，整体风险也会上升保险原理（续）保险原理解释为“风险集合后损失的概率会降低”，从数学上是正确的，因为夏普比率上升，但是将损失概率的降低和总风险的降低混为一谈却是错误的风险共享⏹风险共享：随着风险资产增加到资产组合中, 一部分资产需要被卖掉以保持固定的投资比例⏹考虑组合V，构成如下：A和B的比例均为y/2，无风险资产比例仍为1-y组合V组合Z 2/σ=Z S R 2σσ=Z y 2222σσ=Z y 2=Z R yR 2/σ=Z S R /2σσ=Z y 222/2σσ=Z y =Z R yR⏹风险共享和风险集合构成了保险行业的关键核心⏹投资于多种风险资产，但是风险资产比例保持不变，这才是真正的分散化⏹当n 种资产时，组合的标准差为，夏普比率为/σy n /σnR长期投资⏹第一年收益和第二年收益无关⏹短期投资决策：第一年投资于风险组合，第二年投资于无风险组合⏹长期投资决策：投资于一项两年期的风险组合⏹长期投资决策的风险更大⏹卖出一部分两年期的风险组合来降低风险⏹“时间分散化”并不是真正的分散化作业⏹第7章，习题：第12题⏹第7章，CFA考题：第1~4题。