第9章 最优风险资产组合
风险与无风险资产组合及最优风险资产组合
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202X
第五章 风险与无风险配置及最优风险资产组合
第五章
基金资产配置决策
资产组合选择模型
基本内容 风险与无风险 最优风险资产组合 风险与无风险分析
01
资本配置决策：对整个资产组合中各项资产比例的选择。
02
资产配置决策：对风险资产的分配结构的选择。
01
δM = yδP = 22y
02
风险溢价：E(rM)-rf =8
03
E(rM)=7+8/22*δM
04
s=(E(rM)-rf)/δP=8/22
05
第三节 风险与无风险资产组合的分析
第三节 风险与无风险资产组合的分析 期望收益与标准差组合图：
投资机会集合：由不同y值产生不同资产组合 的可能期望收益与标准差配对的集合
规则1：资产组合的收益率是构成资产组合的每个资产收益率的加权平均值。权重为资产组合的构成比例。
第二节 风险与无风险资产的组合
计算该资产组合的方差 规则2：当风险资产与无风险资产组合时，资产组合的方差等于风险资产的方差乘以风险资产所占比例的平方(y2)。 δM2=yP2 δP2
资产组合的标准差：δM=yPδP
03
δ
04
最小方差边界
05
B
06
A
07
rf
08
P
第五节 资产组合选择模型
第五节 资产组合选择模型
找到完整的资产组合。
E(R)
δ
最小方差边界
B
A
rf
P
无差异曲线
1
2
第二节 风险与无风险资产的组合
ls第7章最优风险资产组合
firm-specific risk / nonsystematic risk / diversifiable risk)
3
3
分散化与风险
规范方差 St. Deviation
切投资组合的希冀
收益与规范差的曲
线称为投资组合机 遇集合，或投资组 合可行集。
债券基金 D
如图7-5。当ρ=-1
时，投资组合可行
集是线性的，它提 供了完全对冲的机 遇。25
图7-5 投资组合的希冀收益是规范 差的函数
❖ 命题1：完全正相关的两种资产构成的机遇集合 是一条直线。
❖证明：由资产组合的计算公式可得
共同风险(非系统风险) Unique Risk
市场风险(系统风险) Market Risk
股票数量 Number of Securities
图 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio
5
5
图7.2 投资组合分散化
➢ 同动水平和相关性是有区别的，虽然均可用相 关系数ρ来权衡。当相关系数ρ的相对值|ρ|越 接近1时，那么，两资产的相关性就越强；当 |ρ|越接近0时，两资产相互独立。
➢ 而对同动水平而言，当ρ越接近+1两资产的同 动水平那么越强。当ρ越接近-1时，两资产的 同动水平那么越弱。
表7.2 经过协方差矩阵计算投资组合方差
2 E
2wDwECov(rD , rE )
又： Cov(rD , rE ) DE D E
博迪《投资学》(第9版)课后习题-最优风险资产组合(圣才出品)
第7章最优风险资产组合一、习题1．以下哪些因素反映了单纯市场风险？a．短期利率上升b．公司仓库失火c．保险成本增加d．首席执行官死亡e．劳动力成本上升答：ae。
2．当增加房地产到一个股票、债券和货币的资产组合中，房地产收益的哪些因素影响组合风险？a．标准差b．期望收益c．和其他资产的相关性答：ac。
房地产被添加到组合中后，在投资组合中有四个资产类别：股票、债券、现金和房地产。
现在投资组合的方差包括房地产收益的方差项和房地产收益与其他三个资产类别之间的协方差项。
因此，房地产收益的方差（或标准差）和房地产收益与其他资产类别收益之间的相关性影响着投资组合的风险。
（注意房地产收益和现金收益之间的相关性很有可能为零。
）3．以下关于最小方差组合的陈述哪些是正确的？ a ．它的方差小于其他证券或组合 b ．它的期望收益比无风险利率低 c ．它可能是最优风险组合 d ．它包含所有证券 答：a 。
4．用以下数据回答习题4～10：一个养老金经理考虑3个共同基金。
第一个是股票基金，第二个是长期政府和公司债基金，第三个是短期国债货币基金，收益率为8%。
风险组合的概率分布如表7-1所示。
表7-1基金的收益率之间的相关系数为0.1。
两种风险基金的最小方差投资组合的投资比例是多少？这种投资组合收益率的期望值与标准差各是多少？答：机会集的参数为：E （r S ）＝20%，E （r B ）＝12%，σS ＝30%，σB ＝15%，ρ＝0.10。
根据标准差和相关系数，可以推出协方差矩阵（注意()ov ,S B S B C r r ρσσ=⨯⨯）：债券 股票 债券 225 45 股票45900最小方差组合可由下列公式推出：w Min（S）＝()()()222,225459002252452,B S BS B S BCov r rCov r rσσσ−−=+−⨯+−＝0.1739w Min（B）＝1－0.1739＝0.8261最小方差组合的均值和标准差为：E（r Min）＝（0.1739×0.20）＋（0.8261×0.12）＝0.1339＝13.39%σMin＝()122222w w2w w ov,S S B B S B S BC r rσσ/⎡⎤++⎣⎦＝[（0.17392×900）＋（0.82612×225）＋（2×0.1739×0.8261×45）]1/2＝13.92%5．制表并画出这两种风险基金的投资可行集，股票基金的投资比率从0～100%按照20%的幅度增长。
第12章 最优资产组合
第12章最优资产组合的选择组合投资决策的最基本问题是求解资产组合集合和效用函数。
在本书第八章和第九章，我们分析了投资者如何构建和计算资产组合集合的理论和方法。
本章我们将论述投资者期望效用函数的求解问题，即在有效资产组合集合已经确定的情况下，投资者如何从中选择最优的资产组合。
一、期望效用的公理基础（一）、期望效用众所周知，经济学上的效用是人们从某事物中所得到的主观上的满足程度。
投资者效用则是投资者对各种不同投资方案的一种主观上的偏好指标。
可以说，投资者效用是其财富的函数。
投资者对每个收益结果所确定的价值U(x)被称为效用函数，它表示每一收益结果给投资者带来的效用大小。
所以，效用函数实际是使用数学公式表述投资者对各种收益结果的赋值情况。
由于投资者对收益的要求不同，投资者赋予不同收益结果的价值也不同；并且，不同投资者对同一收益结果赋予它的价值也有所不同。
所以，各投资者的效用函数是各不相同的。
效用函数存在着一些公理基础或称前提条件，并且具有一系列数学性质。
人们运用效用的公理基础和数学性质解决组合投资决策问题的基本思想被称为期望效用原理。
（二）、期望效用的公理基础期望效用原理的前提条件是：1.投资方案偏好的可比性。
任意两种投资方案是可比的。
投资者面对全部投资方案的各种结果时，应能够清楚地表达出对每一方案结果的偏好程度。
如果有两种资产A和B供投资者选择，投资者应该能清楚地表达出对资产A更偏好一些，还是更愿意把资金投向资产B，或者对资产A和资产B具有相同的偏好程度。
2.无差异性和偏好关系具有传递性质。
如果某投资者愿选择资产A而不愿选择资产B，愿选择B而不愿选择C，那么该投资者也愿选择A而不选C。
3.投资方案偏好的替代性。
假设有两种不同的资产X和Y，其收益分别是Rx和Ry，投资者对这两种资产的偏好都相同。
此时，如果存在第三种资产Z，其收益为Rz。
那么，资产Z 与资产X和Y可分别构成以下两种资产组合见表10-1所示。
第7章-最优风险资产组合(投资学,上海财经大学)
16
若有A、B两个股票，则可行组合在其连线 上，并视ρ的值而为直线、折线或曲线。若 有A、B、C三个股票，则可行组合一般为 一区域。
ρ=1 ρ= -1 A Z C B A
B
17
相关效应的结论：
资产相关性越小，分散化就更有效，组合风 险也就越低。 随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性 也在增大。
t 1
5
n
2、两个资产构成的资产组合: 收益
rp rP Portfolio Return 资产组合的收益率
wr
D
D
wE r E
wD Bond Weight 债券的权重 rD Bond Return 债券的收益率 wE Equity Weight 股票的权重 rE Equity Return 股票的收益率
一、分散化和组合风险 （一）投资决策
1. 2. 3.
决策过程可以划分为自上而下的3步： 风险资产与无风险资产之间的资本配置 各类资产间的配置 每类资产内部的证券选择
2
（二）投资组合风险构成
市场风险 系统性风险或不可分散风险 公司特有风险 非系统风险或可分散风险
P128图7.1 组合风险关于股票数量的函数
25
（三）资本配置和分离特性
每个人都投资于P，而不考虑他们的风险厌恶 程度。
大多数风险厌恶者更多的投资于无风险资产。 少数的风险厌恶者在P上投资的更多。
分离特性阐明组合决策问题可以分为两个独立 的步骤。
决定最优风险组合，这是完全技术性的工作。 整个投资组合在无风险短期国库券和风险组合 之间的配置，取决于个人偏好。
Chap007最优风险资产组合
7-23
The Sharpe Ratio夏普比
• Maximize the slope of the CAL for any
possible portfolio, P.最大化CAL的斜率
• The objective function is the slope:
Figure 7.5 Portfolio Expected Return as a Function of Standard Deviation 组合期望收益对标准差的函数
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
7-21
Correlation Effects相关系数效应
• The amount of possible risk reduction through diversification depends on the correlation.可能降低的 风险取决于相关系数
SP
E(rP ) rf
P
• The slope is also the Sharpe ratio. • 斜率就是夏普比
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
7-24
Figure 7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio 债券与股权的投资可行集-最优CAL与最优风险组合
INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS
7-27
Markowitz Portfolio Selection Model 马克维茨资产组合选择模型
第九章资本资产定价模型（CAPM）与因素模型
第九章资本资产定价模型（CAPM）与因素模型资本资产的定价是资本理论中最核心的问题，在资本市场中，几乎所有问题的研究都是与定价问题的研究相关。
自从20世纪50年代马科维茨提出证券投资组合理论以后，近半个世纪以来，可以说资本资产定价问题是现代金融理论研究中吸引学者最多和研究成果最多的研究领域。
资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model ，CAPM）是由夏普（Sharpe）、林特（Linter）和莫森（Mossin）等人在马科维茨理论的基础上创立的，成为现代金融学的基石，它给出了风险资产的期望收益率及其风险之间精确预测。
不过，这个模型应用的一个根本性的障碍在于模型所需要的参数：每种资产的均值及资产之间的协方差。
这些参数值不能直接获得，只能利用历史数据采取一定的估计方法进行估计来间接地获得，当资产数目较多时，计算量非常大，精确度也是一个问题。
在本章后半部分，我们介绍的因素模型（Factor Model）避免了在解释资产的收益时所必须面临的大量参数估计问题。
在因素模型的基本思想启发下，一种新的资产定价模型——套利定价理论（Arbitrage Pricing Theory ，APT）产生了。
APT是由罗斯（Ross）于1976年提出的。
他试图提出一种比传统CAPM更好的解释资产定价的理论模型，经过几十年的发展，APT在资产定价理论中的地位已不亚于CAPM。
第一节资本资产定价模型（CAPM）一、资本资产定价模型的基本假设资本资产定价模型是在理想的，称之为完善的资本市场中建立的。
它的基本假设是：1.所有投资者对一个证券组合以一期的期望回报率和标准差来评价此组合。
2. 投资者具有不满足性。
因此当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较高预期回报率的那一种。
3. 投资者都是风险厌恶者。
因此当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较小标准差的那一种。
4. 任何一种资产都是无限可分的。
投资学第二次作业答案讲解
由公式：
图：通过回归获得证券特征线
可得：
第八章 指数模型
第8章，习题：第9~14题
用以下数据解9~14题，假设指数模型回归使用的是超额收益。 RA = 3% + 0.7RM + eA RB = -2% + 1.2RM + eB σM = 20%；R-squareA = 0.20；R-square B = 0.12 10.将每只股票的方差分解为系统性和公司特定的两个部分。
10
20
190 200
第7章 最优风险资产组合
第7章，习题：第12题；第7章，CFA考题：第1~4题
4.下面哪一种投资组合不属于马克维茨描述的有效边界（见表 7-9） 表 7-9 投资组合 a. b. c. d. W X Z Y 期望收益（%） 15 12 5 9
预期收益率（%）
标准差（%） 36 15 7 21
股票A的系统风险： 股票A的公司特定风险：980 – 196 = 784 股票B的系统风险： 股票B的公司特定风险：4800 – 576 = 4224
图：系统性风险和公司特定风险
第八章 指数模型
第8章，习题：第9~14题
用以下数据解9~14题，假设指数模型回归使用的是超额收益。 RA = 3% + 0.7RM + eA RB = -2% + 1.2RM + eB σM = 20%；R-squareA = 0.20；R-square B = 0.12 11.两只股票之间的协方差和相关系数是多少？
假设可以以无风险利率借入资金，则无风险收益率是多少（由A和B构造）？
图：组合的预期收益率函数
30 25 20 15
由组合方差公式：
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三种证券的投资组合
rp = W1r1 + W2r2 + W3r3 σ2p = W12σ12 + W22σ12 + W32σ32 + 2W1W2 Cov(r1r2) + 2W1W3 Cov(r1r3) + 2W2W3 Cov(r2r3)
总之,对于n种证券的投资组合
rp = n种证券的加权平均 种证券的加权平均 考虑所有双向的协方差测量) σp2 = (考虑所有双向的协方差测量 考虑所有双向的协方差测量
%8
12%
20%
标准差
两种证券组合的风险/收益:相互 影响
这种联系依赖于相关系数. -1.0 < ρ < +1.0 相关系数越小,风险降低的潜力越大. 如果 ρ = +1.0,没有风险降低的可能.
最小方差资产组合
证券1 证券 E(r1) = .10 证券2 证券 E(r2) = .14
σ 1 = .15 ρ12 = .2 σ 2 = .20
∑w =1
i=1 i
两种证券的投资组合:风险
σp2 = w12σ12 + w22σ22 + 2W1W2 Cov(r1r2) σ12 = 证券 的方差 证券1的方差 证券2的方差 σ22 = 证券 的方差 Cov(r1r2) = 证券 和证券 收益率的协方差 证券1和证券 和证券2收益率的协方差
协方差
最小方差组合(ρ = -.3)
(.2)2 - (.2)(.15)(.2) W1 = (.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(-.3)
W1 = .6087 W2 = (1 - .6087) = .3913
最小方差:收益率和风险(ρ = .3)
rp = .6087(.10) + .3913(.14) = .1157
ρ22 - Cov(r1r2) W1 =
σ21 + σ 2 - 2Cov(r1r2) 2
W2 = (1 - W1)
最小方差资产组合(ρ = .2)
(.2)2 - (.2)(.15)(.2) W1 = (.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2)
W1 = .6733 W2 = (1 - .6733) = .3267
A G
F P P&F M A&F σ
投资组合选择和风险厌恶
E(r) U''' U'' U'
S P Q
风险资产的有效边界
更多风险忍耐的投资者
更多风险 厌恶的投资者
标准差
贷出和借入的有效边界
E(r) B Q P A rf F CAL
�
最小方差:收益率和方差(ρ = .2 )
rp = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131
σ p = [(.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 +
2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2)]
1/2
σ p = [.0171]
1/2Байду номын сангаас
= .1308
Cov(r1r2) = ρ1,2σ1σ2 ρ1,2 = 收益率的相关系数 证券1收益率的标准差 σ1 = 证券 收益率的标准差 证券2收益率的标准差 σ2 = 证券 收益率的标准差
相关系数:可能的取值
ρ1,2 的取值范围 + 1.0 > ρ > -1.0
如果ρ 如果ρ= 1.0,证券之间可能完全正相关 , 如果ρ 如果ρ= - 1.0,证券之间可能完全负相关 ,
第九章 最优风险资产组合
分散化降低风险
标准差
独特风险
市场风险 证券个数
两种证券的投资组合:收益率
rp = W1r1 + W2r2 W1 = 证券 的投资比例 证券1的投资比例 W2 = 证券 的投资比例 证券2的投资比例 r1 = 证券 的期望收益率 证券1的期望收益率 r2 =证券n 的期望收益率 证券2的期望收益率 证券
σ p = [(.6087)2(.15)2 + (.3913)2(.2)2 +
2(.6087)(.3913)(.2)(.15)(-.3)]
1/2
σ p= [.0102]
1/2
= .1009
扩展到所有的证券
最优组合意味着对一个给定的收益率有最 低的风险. 最优权衡被描述为有效边界. 这些组合是主要的.
风险资产的最小方差边界
E(r) 有效边界
全 局 最 小 方 差 组 合
个别资产
最小方差边界
标准差
扩展到无风险资产
最优组合成为线形. 风险资产和无风险资产的单一组合将占主 要地位.
可选择的资本配置线
E(r) CAL (P) M M P A P CAL (全局最小方差 全局最小方差) 全局最小方差 CAL (A)
两种证券投资组合
E(rp) = W1r1 + W2r2 σp2 = w12σ12 + w22σ22 + 2W1W2 Cov(r1r2) σp = [w12σ12 + w22σ22 + 2W1W2 Cov(r1r2)]1/2
不同相关系数的两种证券投资组 合
E(r)
13%
ρ = -1 ρ = .3 ρ = -1 ρ=1