2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考模拟百校联盟第四次押题卷及答案解析
百校联盟最新高考最后一卷（押题卷）
文科数学(第四模拟)
一、选择题：共10题
1．设集合A ={x|x >a },集合B ={-1,1,2},若A ∩B =B ,则实数a 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
【答案】D
【解析】本题主要考查集合之间的包含关系,考查等价转化思想.解题时,将A ∩B =B 转化为B ?A 即可求解.因为A ∩B =B ,所以B ?A ,所以a <-1,故选D.
2．已知i 为虚数单位,若复数
z =2
1+i ,则z 2?2z
z ?1
=
A.i
2 B.-i
2
C.2i
D.-2i
【答案】D
【解析】本题主要考查复数的除法和乘法运算,考查考生的运算能力,属于容易题.先化简复数z ,再代入式子运算即可.由题意知,z =2
1+i =2(1?i )
(1+i )(1?i )=1-i,所以z
2
?2z
z ?1
=
(1?i )2?2(1?z )
(1?i )?1
=2
i
=-2i ,故选D.
3．“x =π3
或2π3
”是“sin x =√3
2”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】本题把充要关系的判断和特殊角的三角函数值的运算结合在一起进行考查,考查考生对基础知识的掌握情况,难度不大.解题时要注意考虑问题的全面性,否则很容易出错.当x =π3
或2π3
时,显然sin x =√3
2
,但当sin x =√3
2
时,x =π3
+2k π或2π3
+2k π,k ∈Z .故“x =π
3
或2π3
”是“sin x =√3
2
”的充分不必要条件,选B.
【备注】高考中将充要关系的判断与其他知识相结合是常见的考查方式,从本题可知我们可以用集合的观点看充分条件、必要条件:A ={x|x 满足条件p },B ={x|x 满足条件q },(1)如果A ?B 且A ≠B ,那么p 是q 的充分不必要条件;(2)如果B ?A 且A ≠B ,那么p 是q 的必要不充分条件;(3)如果A =B ,那么p 是q 的充要条件;(4)如果A ?B ,且B ?A ,那么p 是
q 的既不充分也不必要条件.
4．为了估计某鱼塘中鱼的数量,某渔民先从鱼塘中捕捞出3 000条鱼,在每条鱼的尾巴
上做标记(不影响存活)后重新放回鱼塘中,经过适当的时间后,该渔民再从鱼塘中捕捞出800条鱼,其中尾巴上做标记的有15条,则可估计该鱼塘中鱼的条数为 A.160 000 B.300 000
C.150 000
D.200 000
【答案】A
【解析】本题主要考查利用样本估计总体,考查考生的应用意识.根据题意建立恰当的比例关系是解题的关键.设该鱼塘中鱼的条数为x ,则根据题意可知z 3000
=80015
,解得x =160
000,故选A.
5．若函数f (x )=log 4[(9x
+1)9kx
](k ∈R )为偶函数,则实数k 的值为
A.1
2 B.-1
2
C.1
D.-2
【答案】B
【解析】本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于基础题.易知函数f (x )的定义域为R .若函数f (x )为偶函数,则f (-x )=f (x )?log 4[(9-x
+1)9-kx
]=log 4[(9x
+1)9kx
]对任意的x ∈R 恒成立,则由1
9z +1
9z
+1=92kx ,得92kx =9-x ,即9
(2k+1)x
=1,于是2k+1=0,即k =-1
2.
6．根据如图所示的程序框图,当输入的x 的值为2 016时,输出的y 的值为
A.28
B.10
C.4
D.2
【答案】B
【解析】本题主要考查循环结构的程序框图,属于容易题,解题时一定要抓住重要条件“x ≥0”,否则很容易出现错误.在给出程序框图求解输出结果的试题中,只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.初始条件:x =2 016;第一次循环:x =2 014;第二次循环:x =2 012;第三次循环:x =2 010;第四次循环:x =2 008;……;第1 008次循环:x =0;第1 009次循环,x =-2,不满足条件x ≥0,故退出循环,输出y =32+1=10,故选B.
7．已知x >1,y >1,log 2x+log 2y =log 2(x+y ),ln x+ln y+ln z =ln(x+y+z ),则z 的取值范围为
A.[1,4
3) B.(1,4
3) C.(1,4
3] D.[1,4
3]
【答案】C
【解析】本题主要考查对数运算、利用基本不等式求最值等知识,考查考生的恒等变形能力和运算求解能力.由题意知,log 2(xy )=log 2(x+y ),所以xy =x+y ,故xy =x+y ≥2√zz ,解得xy ≥4,当且仅当x =y =2时取等号.同理xyz =x+y+z ,可得z =zz
zz ?1=
zz ?1+1
zz ?1
=1+1zz ?1,因为xy ≥4,所以xy-1≥3,所以1<1+1
zz ?1≤4
3,即z 的取值范围为(1,4
3].
8．已知圆C :(x-3)2+(y-2)2
=4,M 为圆C 上一点,若存在一个定圆P ,过点M 作圆P 的两条
切线MA ,MB ,切点分别为A ,B ,当点M 在圆C 上运动时,恒有∠AMB =60°,则圆P 的方程为 A.(x-3)2
+(y-2)2
=1 B.(x+3)2
+(y+2)2
=1 C.(x-3)2
+(y-2)2
=3 D.(x+3)2
+(y-2)2
=3 【答案】A
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,考查考生的数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.由题意知圆P 与圆C 是同心圆,在Rt △PAM 中,|MP|=2,∠MPA =60°,所以圆P 的半径|PA|=1,所以圆P 的方程为(x-3)2
+(y-2)2
=1.
9．如图,已知抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线
z 2z
2
-z 2z
2=1(a >0,b >0)的右焦点,
且两条曲线交点的连线过点F ,则该双曲线的离心率为
A.√2
B.2
C.√2+1
D.3+2√2
【答案】C
【解析】本题考查抛物线的简单几何性质及其应用、双曲线的离心率等,考查考生的运算求解能力.解题的关键是根据题意得到关于a ,c 的方程.根据两条曲线交点的连线过点F ,由双曲线和抛物线的对称性可得,两条曲线交点的坐标为(z
2
,±p ),代入双曲线的
方程
z 2z
2-z 2z
2=1(a >0,b >0)得
z
2
4
z
2-z 2
z
2=1,又z
2=c ,所以z 2z
2-4×z 2
z
2=1,化简得c 4-6a 2c 2+a 4=0,所以e 4-6e 2+1=0,得e 2=3+2√2=(1+
√2)2
,所以双曲线的离心率为√2+1.
10．已知函数f (x )={
sin (π
2z )?1,z <0
log z z (z >0,z ≠1),z >0的图象上关于y 轴对称的点至少有3
对,则实数a 的取值范围是 A.(0,√5
5)
B.(√5
5,1)
C.(√3
3
,1)
D.(0,√3
3
)
【答案】A
【解析】本题主要考查分段函数的应用、函数图象的对称性,考查等价转化思想,考查考生分析问题、解决问题的能力,此题综合性较强,有一定的难度.f (x )={
sin (π
2z )?1,z <0
log z z (z >0,z ≠1),z >0
,令φ(x )=sin(π2
x )-1(x <0),则φ(x )关于y 轴
对称的函数为g (x )=-sin(π2
x )-1(x >0),则函数f (x )的图象上关于y 轴对称的点至少有3对,即函数g (x )的图象与函数h (x )=log a x (a >0,a ≠1)的图象至少有3个交点(如图所示),数形结合可知{
0 ,则-2 5. 二、填空题：共5题 11．已知菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =120°,则zz ????????? ·zz ????????? = . 【答案】2 【解析】本题考查了平面向量的基础知识,重点考查考生对平面向量的线性运算和数量积运算的理解与掌握,属于基础题.解题时,要注意结合图形的特征,灵活解决问题.在菱形ABCD 中,zz ????????? ·zz ????????? =(zz ????????? +zz ????????? )·zz ????????? =zz ????????? ·zz ????????? +zz ????????? ·zz ????????? ,因为菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =120°,所以zz ????????? ·zz ????????? =zz ????????? ·zz ????????? +zz ????????? ·zz ????????? =2×2×cos 0°+2×2×cos 120°=2. 12．若变量x ,y 满足约束条件{5z +5z ?9≥0 1≤z ≤30≤z ≤2,则z =3x+2y 的最小值为 . 【答案】23 5 【解析】本题主要考查线性规划的有关问题,考查考生的数形结合思想和运算求解能力.本题的关键在于正确作出二元一次不等式组所表示的平面区域和准确判断出目标函数取得最小值的可行解. 不等式组{5z +5z ?9≥01≤z ≤30≤z ≤2 所表示的平面区域如图中阴影部分所示,由z =3x+2y 得 y =-32x+12z ,平移直线y =-32x ,数形结合可知,当直线经过点A (1,4 5)时,目标函数z =3x+2y 取 得最小值,且最小值z min =3×1+4 5×2=23 5. 13．已知命题:在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 z 2z 2 +z 2z 2=1(a >b >0),△ABC 的顶点B 在椭圆 上,顶点A ,C 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆的离心率为e,则1 e =sin z +sin z sin z ,现将该命题 类比到双曲线中,△ABC 的顶点B 在双曲线 z 2z 2 -z 2z 2=1(a >0,b >0)上,顶点A ,C 分别为双曲线 的左、右焦点,双曲线的离心率为e,则1 e = . 【答案】 |sin z ?sin z | sin z 【解析】本题主要考查类比推理,考查椭圆与双曲线的定义、离心率,正弦定理,考查考生的逻辑推理能力,属于中档题.由正弦定理及椭圆的定义知 sin z +sin z sin z = |zz |+|zz | |zz | = 2z 2z =1e ,在双曲线中,由双曲线的定义及正弦定理知1e =2z 2z =||zz |?|zz || |zz | = |sin z ?sin z | sin z , 故在双曲线中有1 e =|sin z ?sin z | sin z . 14．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为CC 1的中点,则四面体A 1PQD 的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为 . 【答案】2 【解析】本题主要考查三视图的应用,考查考生的空间想象能力.根据题意作出几何体的三视图,然后依次求其面积并求和即可. 由图易知四面体A 1PQD 的正视图为直角梯形,如图1所示,其面积为1-12×1×12=3 4,四面体A 1PQD 的侧视图为四边形,如图2所示,其面积为1-2×1 2×1×1 2=1 2,四面体A 1PQD 的俯视图为直角梯形,如图3所示,其面积为1-1 2×1×1 2=3 4, 图1 图2 图3 故四面体A 1PQD 的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为34+12+3 4=2. 15．已知函数f (x )={ ?|z 3 ?2z 2 +z |,z <1ln z ,z ≥1 ,若命题“?t ∈R ,且t ≠0,使得f (t )≥kt ”是假命题,则实数k 的取值范围是 . 【答案】(1 e ,1] 【解析】本题考查分段函数、存在性命题与全称命题之间的相互转化以及不等式恒成立等,考查考生分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想,属于难题. 当x <1时,f (x )=-|x 3 -2x 2 +x|=-|x (x-1)2 |={z (z ?1)2,z ≤0 ?z (z ?1)2,0 ,当x ≤0 时,f'(x )=3x 2-4x+1=(x-1)(3x-1)>0,f (x )是增函数;当0 3)上是减函数,在(1 3,1)上是增函数,作出函数y =f (x )在R 上的图象,如图所示.命题“?t ∈R ,且t ≠0,使得f (t )≥kt ”是假命题,即对任意的t ∈R ,且t ≠0,f (t ) z ,得k =1 z ,即ln m =km ,解得m =e,k =1 e .设直线y =kx 与y =x (x-1)2(x ≤0)的图象相切于点(0,0),所以y'=(x-1)(3x-1),则k =1,由图象可知,若 f (t ) e ,1]. 三、解答题：共6题 16．已知函数f (x )=2sin(x-π6 )sin(x+π3 ),x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期; (2)在△ABC 中,若A =π4 ,c =2,且锐角C 满足f (z 2 +π6 )=1 2,求△ABC 的面积S . 【答案】(1)由题意得, f (x )=2sin(x-π6 )sin(x+π3 ) =2sin(x-π6)sin[π2 +(x-π6 )] =2sin(x-π6)cos(x-π6 ) =sin(2x-π3 ), 所以函数f (x )的最小正周期为2π2 =π. (2)由(1)得,f (z 2 +π6 )=sin[2(z 2 +π6 )-π3 ]=sin C , 所以sin C =1 2,又角C 为锐角,所以C =π6 . 由正弦定理,得z z =sin z sin z = sin π4sin π6 = √2212 =√2, 又c =2,所以a =2√2. 又sin B =sin[π-(A+C )]=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C =√6+√24 , 所以△ABC 的面积S =1 2ac sin B =1 2×2√2×2×√ 6+√24 =1+√3. 【解析】本题考查诱导公式、三角恒等变换及正弦定理和三角函数的最小正周期等.(1)先利用诱导公式及二倍角公式化简,再求解三角函数的最小正周期;(2)求得角C 后,利用正弦定理转化求解. 【备注】将解三角形与三角恒等变换、三角函数的性质综合考查是高考考查的一个主要方向,其基本解题思路是使用正、余弦定理把求解目标化为关于三角形中一个内角的三角函数,通过研究该三角函数的性质得出结论. 17．如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB ⊥BC ,AA 1=AC =2,BC =1,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点. (1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE. 【答案】(1)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 易知BB 1⊥底面ABC ,所以BB 1⊥AB. 又AB ⊥BC ,BB 1∩BC =B , 所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 又AB ?平面ABE , 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1. (2)取AB 的中点G ,连接EG ,FG , 因为E ,F ,G 分别是A 1C 1,BC ,AB 的中点, 所以FG ∥AC ,且FG =1 2AC ,EC 1=1 2A 1C 1. 因为AC ∥A 1C 1,且AC =A 1C 1,所以GF ∥EC 1,且GF =EC 1, 所以四边形FGEC 1为平行四边形,所以C 1F ∥EG. 又EG ?平面ABE ,C 1F ?平面ABE ,所以C 1F ∥平面ABE. 【解析】本题主要考查线面、面面位置关系的证明,考查考生的空间想象能力、推理论证能力.(1)先证明AB ⊥平面B 1BCC 1,然后运用面面垂直的判定定理证明即可;(2)利用中点找线线平行,进而得出线面平行. 【备注】立体几何的考查核心是空间位置关系的证明,空间位置关系证明的基本思想是“转化”,如证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,证明线面垂直又可转化为证明线线垂直.在证明平行关系时要注意中点的作用,同时要注意构造平行四边形.在锥体体积的求解中要注意等体积转化法的使用. 18．农历正月十五是中国的传统节日——元宵节,元宵节吃汤圆是一个古老的汉族传统 节日习俗,随着人们生活水平的提高,现如今汤圆的种类也越来越多.在元宵节到来之际,小枫去超市为家里选购3袋汤圆,已知该超市有黑芝麻馅、巧克力馅两种传统口味的汤圆,同时今年又新进了菠萝味、草莓味两种水果馅的汤圆. (1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,求小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆的概率; (2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,求小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆的概率. 【答案】记黑芝麻馅的汤圆为A ,巧克力馅的汤圆为B ,菠萝馅的汤圆为C ,草莓馅的汤圆为D. (1)若小枫至少要买1袋黑芝麻馅的汤圆,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为 AAA ,AAB ,AAC ,AAD ,ABB ,ABC ,ABD ,ACC ,ACD ,ADD ,共10种. 记“小枫买的3袋汤圆都是传统口味的汤圆”为事件M ,则事件M 包含的情况有 AAA ,AAB ,ABB ,共3种, 由古典概型的概率计算公式可知P (M )=3 10. (2)若家里要求传统口味的汤圆和水果口味的汤圆都要有,则小枫买的3袋汤圆的所有可能情况为AAC ,AAD ,ABC ,ABD ,ACC ,ACD ,ADD ,BBC ,BBD ,BCC ,BCD ,BDD ,共12种, 记“小枫买的3袋汤圆中有菠萝馅的汤圆”为事件N ,则事件N 包含的情况有 AAC ,ABC ,ACC ,ACD ,BBC ,BCC ,BCD ,共7种, 由古典概型的概率计算公式可知P (N )=7 12. 【解析】本题主要考查古典概型概率的计算,考查考生的应用意识和分析问题、解决问题的能力.解题的关键是读懂题意,熟练掌握古典概型的有关知识. 【备注】古典概型是高考考查的核心考点,解题思路是先使用列举法求得基本事件的总数,再从中找出所求的随机事件含有的基本事件个数,最后按照古典概型的概率计算公式计算.频率分布直方图、抽样方法、回归直线方程、独立性检验、几何概型也经常一起考查,复习的时候应全面. 19．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比q >0,S 2=2a 2-2,S 3=a 4-2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设 b n ={log 2z z z 2 (z +2),z 为奇数 z z z ,z 为偶数,T n 为数列{b n }的前n 项和,求T 2n . 【答案】(1)∵S 2=2a 2-2 ①, S 3=a 4-2 ②, ②-①得a 3=a 4-2a 2,即q 2-q-2=0. 又q >0,∴q =2. ∵S 2=2a 2-2,∴a 1+a 2=2a 2-2, 即a 1+a 1q =2a 1q-2,∴a 1=2, ∴a n =2n . (2)由(1)知b n ={log 22z z 2(z +2) ,z 为奇数z 2z ,z 为偶数,即b n ={1 z (z +2),z 为奇数z 2z ,z 为偶数, ∴T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =12(11-13+13-15+…+12z ?1-1 2z +1)+[2×2-2+4×2-4+6×2-6 +… +(2n )·2-2n ]=z 2z +1+[2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n )·2-2n ]. 设A =2×2-2+4×2-4+6×2-6+…+(2n )·2-2n , 则2-2A =2×2-4+4×2-6+6×2-8+…+(2n-2)·2-2n +(2n )·2-2n-2, 两式相减得3 4A =1 2+2(2-4+2-6+2-8+…+2-2n )-(2n )·2-2n-2, 整理得A =89-6z +89×22z , ∴T 2n =89- 6z +89×2 +z 2z +1. 【解析】本题主要考查数列通项公式的求解,分组求和、裂项相消法求和和错位相减法求和等知识,考查考生的运算求解能力.(1)利用基本量法求数列{a n }的通项公式;(2)利用分组求和法、裂项相消法及错位相减法求T 2n . 【备注】数列的考查重点是等差数列、等比数列、数列求和以及与数列求和相关的不等式问题.等差数列、等比数列的基本解题方法是基本量法,即先求出数列的首项、公差或者公比,再用公式求解;数列求和的基本方法是公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 20．已知在平面直角坐标系xOy 中,离心率为1 2 的椭圆C : z 2z 2 +z 2z 2=1(a >b >0)的左顶点为A , 且点A 到直线l :x =z 2 z (c 为椭圆C 的半焦距)的距离为6,P ,Q 是椭圆C 上异于左、右顶点 的两个动点. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)当P ,O ,Q 三点共线时,若直线PA ,QA 分别与y 轴交于M ,N 两点,证明:zz ????????? ·zz ????????? 为定值; (3)设直线AP ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,当k 1·k 2=-1时,证明:直线PQ 经过定点. 【答案】(1)由题意,{z z =1 2 z 2 z ?(?z )=6 ,得{ z =2 z =1 ,所以b =√3, 所以椭圆C 的标准方程为z 2 4 +z 2 3 =1. (2)设P (x 0,y 0),则Q (-x 0,-y 0),又A (-2,0),所以直线AP 的方程为y =z 0 z 0+2 (x+2), 令x =0,得M (0,2z 0 z +2),所以zz ????????? =(2,2z 0 z 0+2 ). 同理可得N (0,?2z 0 ?z +2),所以zz ????????? =(2,?2z 0 ?z 0+2 ), 故zz ????????? ·zz ????????? =4+4z 0 2z 02 ?4 . 又点P 在椭圆C 上,所以z 02 4 +z 02 3 =1,故z 02-4=-43z 02 , 所以zz ????????? ·zz ????????? =4+4z 0 2 z 02 ?4 =1(定值). (3)设直线AP 的方程为y =k 1(x+2),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),将y =k 1(x+2)代入椭圆方程,得 3x 2 +4z 12(x+2)2 =12,即(3+4z 12)x 2 +16z 12x+16z 12-12=0, 所以-2+x 1= ?16z 12 3+4z 1 2 ,解得x 1= 6?8z 12 3+4z 1 2 , 代入y =k 1(x+2)得y 1=12z 1 3+4z 1 2,所以P ( 6?8z 1 2 3+4z 1 2 ,12z 1 3+4z 1 2). 又k 1·k 2=-1,所以在点P 的坐标中用-1 z 1 代替k 1可得 Q (6z 12 ?83z 12+4,?12z 1 3z 1 2+4). 当z 12=1 时, 6?8z 1 2 3+4z 1 2 = 6z 12 ?8 3z 12+4 =-27,点P 和Q 的横坐标相同,所以直线PQ 的方程为x =-2 7, 由此可知,如果PQ 经过定点,则定点的横坐标必为-2 7. 当z 12≠1时, 直线PQ 的斜率k PQ = 12z 1(3z 12+4)+12z 1(3+4z 12 ) (6?8z 12)(3z 12+4)?(6z 12?8)(3+4z 12 ) = 84z 1(1+z 12 ) 48(1?z 14 ) = 7z 1 4(1?z 12 ) , 所以直线PQ 的方程为y-12z 1 3+4z 1 2=7z 1 4(1?z 12 ) (x- 6?8z 123+4z 1 2 ), 令x =-2 7,得y =12z 1 3+4z 1 2+7z 14(1?z 1 2)(-27-6?8z 1 23+4z 1 2)=12z 13+4z 1 2-12z 1 3+4z 1 2=0, 所以直线PQ 过定点(-2 7,0). 【解析】本题主要考查椭圆的方程和几何性质、直线与椭圆的位置关系、直线的斜率的求法等知识,考查考生的运算求解能力.(1)由离心率和点到直线的距离求出a ,b ,c 的值,即得椭圆C 的标准方程;(2)由P ,Q 关于坐标原点对称设出P ,Q 的坐标,进而求出M ,N 的坐标,利用向量的数量积的坐标运算即得结果;(3)利用“设而不求”法处理直线与圆锥曲线的相交问题. 【备注】解析几何考查的核心是圆锥曲线与方程、直线与圆锥曲线相交后产生的定点、定值、最值、范围等问题,解题过程中要充分利用一元二次方程根与系数的关系,通过设点的坐标进行整体代入.在求解圆锥曲线的方程时,除考虑列方程求解外,还可考虑圆锥曲线的定义. 21．已知函数f (x )=a ln x+ z +12 x 2+1(a 为实常数). (1)当a =-1 2时,求函数f (x )在区间[1 e ,e]上的最值; (2)讨论函数 f (x )的单调性; (3)当-11+z 2 ln(-a )恒成立,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)当a =-12时,f (x )=-1 2ln x+z 2 4 +1,∴f'(x )=?1 2z +z 2 =z 2 ?1 2z . ∵f (x )的定义域为(0,+∞),∴由f'(x )=0得x =1. ∴f (x )在区间[1e ,e]上的最值只可能为f (1),f (1 e ), f (e), 而f (1)=54,f (1e )=32+14e 2,f (e)=12+e 24 ,∴f (x )max =f (e)=12+e 24 ,f (x )min =f (1)=5 4. (2)f'(x )=z z +(a+1)x =(z +1)z 2+z z ,x ∈(0,+∞). ①当a+1≤0,即a ≤-1时,f'(x )<0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减; ②当a ≥0时,f'(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上单调递增; ③当-10得x 2>?z z +1,∴x >√?z z +1 或x <-√?z z +1 (舍去),由f'(x )<0得x 2 z +1, ∴0 ?z z +1 , ∴f (x )在(√?z z +1 ,+∞)上单调递增,在(0,√?z z +1 )上单调递减. 综上,当a ≥0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当-1 ,+∞)上单调递增,在(0,√?z z +1 )上单调递减; 当a ≤-1时,f (x )在(0,+∞)上单调递减. (3)由(2)知,当-1 ), 即原不等式等价于f (√?z z +1 )>1+z 2 ln(-a ), 即a ln √?z z +1 + z +12 ·?z z +1+1>1+z 2 ln(-a ),整理得ln(a+1)>-1,∴a >1 e -1,