变化电磁场的基本规律

第十章 变化电磁场的基本规律

一、基本要求

1. 掌握法拉第电磁感应定律。理解动生电动势及感生电动势的本质。

2. 了解自感系数和互感系数。

3. 了解磁能密度的概念。

4. 了解涡旋电场、位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物

理意义，了解电磁场的物质性。

二、基本概念和规律

1． 基本概念包括：法拉第电磁感应定律，动生电动势，感生电动势与涡旋电场，自感，互感，磁场能量。

2．法拉第电磁感应定律 i dt

d m

Φ-=

该定律是电磁感应的基本规律，无论是闭合回路还是通过作辅助线形成闭合回路，只要能够求出该回路所围的面积的磁通量，就可以应用定律得到该回路中的感应电动势。自感、互感电动势也是该定律的直接结果。

3．动生电动势 i ⎰+-⋅⨯=)()

()(b a l d B v

在磁场中运动的导线，切割磁力线，由于洛沦兹力的作用使得导线的两端出现电动势。对于均匀磁场中匀速运动的直导线的动生电动势，可以直接应用公式

θα

cos sin blv =得到。其它情况要选择dl 段，先求出d dl blv θαcos sin =，然

后积分得到。感应电动势的方向可以用右手叉乘所满足的规律（右手螺旋法则）得到。

4．感生电动势和涡旋电场 ⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅)()(L S d t

l d S B

E

旋 变化的磁场产生电场是麦克斯韦的第一条假设，由此可以知道涡旋电场产生的机理与静电场产生的机理是完全不同的。它的性质与静电场的性质也是截然不同的。如果已知涡旋电场分布，可以通过积分求出一段导线两端的感应电动势,对于特殊的涡旋电场分布，可以通过作辅助线的方法，利用法拉第电磁感应定律求出一段导线两端的感应电动势。

5．自感电动势和自感系数

LI m =ψ

式中比例系数L 为回路的自感系数，简称自感。如果回路周围不存在铁磁质，自感系数L 是一个与电流I 无关，仅取决于线圈自身的大小、几何形状、匝数以及线圈内磁介质的磁导率。

根据法拉第电磁感应定律，自感电动势为

L )(dt

dL

I dt dI L dt d m +-=-

=ψ

若回路的自感L 不随时间变化，则 L dt

dI

L

-=

6．互感电动势和互感系数

互感系数满足的规律是 12121I M =ψ

21M 称为线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感系数，简称互感。

同理线圈Ⅱ的电流强度2I 的磁场，穿过线圈I 的磁通链12ψ与2I 成正比，即

21212I M =ψ

则12M 称为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感系数，也称为互感。理论和实验均可证明

21M =12M =M

M 称为互感系数，由两个线圈自身的几何结构、形状、大小，相对位置以及周围磁介质决定，对于非铁磁质，互感系数为常量，与两线圈中的电流无关。

根据法拉第电磁感应定律，互感电动势为

21)(1121dt

dM

I dt dI M dt d m +-=-

=

ψ

若M 不随时间变化，则 21dt dI M

1

-=

同理

12dt

dI M

2

-= 7．磁场能量密度

ω m =222

1

2121H BH B μμ== 可见磁场能量密度ω m 是随B 变化的点函数，若ω m 在磁场存在的整个空间V 中的分布已知时，在体元dV 中磁场能量=m dW ω m dV ，那么在V 内的总磁场能量应为

⎰

=)

(V m W ω m dV

8．位移电流 dt

d I i

i Φ=

变化的电场产生磁场是麦克斯韦的第二条假设，位移电流不产生焦耳热，尽管位移电流与传导电流产生的机理不同，但它们都产生磁场，而且产生磁场的规律是相同的。

9．麦克斯韦方程组

⎰⎰

∑=⋅S

i q d S D

⎰⎰⎰⋅∂∂-=⋅L S d t dl S B

E

⎰⎰=⋅S

dS 0B

⎰⎰⎰⋅∂∂+=⋅L S d t dl S D

j H

)(0 麦克斯韦方程组是电磁场理论的高度概况，用它可以预言电磁波。 10．电磁场的物质性。近代物理表明，电磁场具有能量、动量和质量，它具有波粒二相性。

三、习题选解

10-1 如图所示，在长直导线中通以 交变电流t i i ωsin 0=，其中i 为瞬时电流，

0i 为其最大值。在与此导线相距为d 远处

有一边长为a 和b 的矩形线圈。求：

⑴在任意时刻穿过线圈的磁通量；

⑵在任意时刻线圈中的感应电动势。（线圈平面与直导线共面)。

解：⑴导线通有交变电流，在周围空间 产生交变磁场，在距导线为r 处磁感应 强度为

t r

i r i B ωπμπμs i n 220

00==

取顺时针方向为回路绕向，在距导线为r 处 的矩形线圈内取面积元bdr ，通过该面积元 的磁通量为

b d r t r

i

B d S S d B d ⨯==⋅=Φωπμs i n 200 在t 时刻通过线圈的磁通量为

⎰⎰

+=Φ=Φa

d d

bdr r

t

i d πωμ2sin 00 ⎰++==a d d d a d t bi r dr t bi ln 2sin 2sin 0000πωμπ

ωμ ⑵由=Φ

-

dt

d 线圈中的感应电动势

-=Φ-

=)(t dt

d

t d a d bi ωπωμcos ln

200+ 10-2 如图所示，法拉第圆盘发电机 是一个在磁场中转动的导体圆盘，若圆盘 半径为R ，它的转轴与均匀外磁场的磁感应

强度B

平行，圆盘的转动角速度为ω。求：

⑴盘的边与盘心之间的电势差?=U

⑵当T B m R 60,15.0==，转速为?,6001=⋅=-U s rad πω ⑶盘边与盘心哪处电势高？若将盘反转，电势高低可否反过来？

解：⑴在连接盘心与盘边的任一半径R 上取一线元dr 与圆心O 距离为r ，该线元切割磁力线所产生的动生电动势大小为