电磁场基本规律
电磁场与电磁波第二章电磁场的基本规律笔记
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1.1 电磁场的概念。
电磁场与电磁波第二章电磁场的基本规律讲解
• §2.1 电荷和电场 • §2.2 电流和磁场 • §2.3 真空中的麦克斯韦方程组 • §2.4 媒质的电磁性质 • §2.5 媒质中的麦克斯韦方程组 • §2.6 电磁场边值条件 • §2.7 电磁场能量和能流
§2.1 电荷与电场
1. 电荷是什么东西？
摩擦起电 与绸缎摩擦过的玻璃棒能吸引小纸屑； 与皮毛摩擦过的橡胶棒也能吸引纸屑。
例题 无穷大平行板电容器内有两层介质，极板上 的面电荷密度为±σf ，求电场和极化电荷分布。 解：根据边界条件
在导体与电介质的界面处： 介质1与导体界面
介质2与导体界面 两种介质界面
作业：P88 2.31
§2.7 电磁场的能量密度和能流密度 1. 电磁场的能量密度
电场的能量密度 磁场的能量密度 电磁场的能量密度 在非线性介质中，
当回路不随时间变化时，
2. 位移电流假设 稳恒电流产生的磁场满足规律： 非稳恒情况下， 假设：
——称为位移电流。
3. 麦克斯韦方程组
4. 洛仑兹力公式
（点电荷） （体分布电荷）
作业：P86-87 2.24, 2.27
§2.4 媒质的电磁性质
1.媒质的概念——
在电磁学中一般把材料分为导体和绝缘体。 所以电磁学中涉及的空间区域只有真空、导体 和绝缘体三种不同性质的区域。而在电场中， 绝缘体又被称为“电介质”。
库仑定律：
F12
k
q1q2 r122
e12
F21
令 k 1
4π 0
（ 0 为真空电容率）
0
1 4π k
8.85421012 C2
N1 m2
8.8542 10 12 F m1
电磁场的安培定律
电磁场的安培定律电磁场的安培定律是电磁学中的基本定律之一，它描述了电流在形成磁场时所遵循的规律。
安培定律是由法国物理学家安培在19世纪初实验观察到的，它通过定量描述了电流与磁场之间的相互作用关系。
本文将详细介绍电磁场的安培定律及其应用。
一、安培定律的内容与表达形式安培定律可以简单地表述为：通过一段闭合电流回路的任一截面，磁场的环量等于通过该截面的电流的代数和的若干倍。
用公式表示为：∮B·dl = μ_0I其中，∮B·dl表示沿闭合路径的磁场环量；μ_0表示真空中的磁导率，其值约为4π×10^(-7) T·m/A；I表示通过闭合路径的电流。
根据安培定律，我们可以得出以下结论：1. 当电流为零时，磁场环量也为零。
2. 电流方向改变，磁场环量方向也跟着改变。
3. 电流越大，磁场环量越大。
4. 磁场环量与电流方向、电流大小成正比。
二、安培定律的应用安培定律在实际的电磁学问题中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情景。
1. 求磁场强度通过安培定律，我们可以利用已知电流通过闭合路径，求解该路径上的磁场强度。
一种常见的应用是计算直导线所产生的磁场强度。
在计算时，可以选择以直导线为轴线绕圈，通过闭合路径的电流即为导线电流，从而求解磁场强度分布。
2. 求导线周围的磁场强度安培定律还可以用来计算导线周围的磁场强度分布。
通过取闭合路径为一个圆，以导线为轴线，利用安培定律计算电流通过闭合路径的磁场环量，再根据环量与磁场强度的关系求解导线周围的磁场强度。
3. 求解相互作用力利用安培定律，我们可以计算由两根平行导线所产生的相互作用力。
在计算时，可以取闭合路径为两根导线连接起来的方形回路，通过闭合路径的电流即为两根导线的电流，通过计算闭合路径上的磁场环量，求解两根导线之间的相互作用力。
4. 求解电磁铁的特性电磁铁是一种应用广泛的电磁设备，利用安培定律可以计算电磁铁在不同电流下的磁场强度。
电磁场基本规律
t
V
dV
0
即整个空间的总电荷是守恒的。
2、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动 的局部关系。
3、恒定（稳恒）电流的连续性方程 所谓恒定（或称为稳恒），是指所有物理量不随时间变化。 不随时间变化电流称为恒定电流（或稳恒电流）。 恒定电流空间中，电荷分布也恒定不变，即对时间的偏导数为零，则电流连续性方程为
(r
/
r
)
0
/
(r r )
/
(r r )
函数性质：
(r/Biblioteka r)dV1
V
0
(r r/点在体积V内) (r r/点不在体积V内)
函数取样特性。
V f(r)(rr/)dV 0 f(r(/r)(rr/点 在 r/点 V外 在 )V内 )
/
/
(rr)(rr) 函数对场点和源点的对称性
（2）点电荷的表示
• 库仑力是平方反比径向力，是保守力。 • 库仑定律只能直接用于静止点电荷间。但若施力电荷静止，受力电荷运动，它们间的作用仍满足库仑定律。
2.2.2、 电场强度
E (r )
电场强度是描述电场的基本物理量。 1）定义：电场强度 = 空间中一点处的单位正电荷受的力。
E(r)F/q0 q 点电荷 的场强
J
JlimI ndI n S0S dS
载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场，称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫 做电流线。
S 流过任意面积 的电流强度I
I S J d S S J d S c o s S J d S
2）（ 面）电流密度
JS
当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。
麦克斯韦
二. 位移电流
1. 就电流的磁效应而言，变化的电场与电流等效。 称为位移电流 dD dD ID jD dt dt 2. 物理意义
D 0E P
dD E P jD 0 dt t t
空间电场变化
电介质分子中 电荷微观运动
E P 真空中： 0 , jD 0 t t
(1) D dS q0 dV
S S内
电 场
(1) E dl 0
L
感生 电场 一般 电场
( 2) D dS 0
S
(1) (2) DD D
D d S d V
S V
B LE dl t dS S
B LE dl t dS S
B dS 0
S
S
实 验 基 础 库仑定律 感生电场假设
意 义 电场性质
未发现磁单极
法拉第电磁 感应定律 安培定律 位移电流假设
磁场性质
变化磁场 产生电场 变化电场 产生磁场
19
D 方程中各量关系： 0 r E j E B , E 定义： F qE qv B
S1
S2
对任何电路，全电流总是连续的 D S ( j t ) dS 0
L
2 1
K
2. 推广的安培环路定理 D ) dS H dl I 全 I 0 I D） ( j （ L t S （L内） （L内）
11
电场 磁场
变化电场
变化磁场
自由空间的麦方程显示，变化的涡 旋电场和变化的涡旋磁场直接联系 起来了：变化电场在邻近区域内产 生变化的磁场，变化的磁场又在较 远处形成变化的电场，这样产生出 的电场又产生新的磁场。如果不计 介质对能量的吸收，则电场和磁场 间的相互转化就会永远循环下去， 形成相互联系在一起不可分割的统 一的电磁场，并由近及远地传播出
电磁场的基本规律xtm3
磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用，载流回路C1 对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的作用力。
根据安培力定律，有
其中
F12
C2
I
2dl2
(
0
4π
I1dl1 R12 )
C1
R132
C2
I 2dl2
B1 (r2
)
B1(r2 )
在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计 算电场强度。
具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： • 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。
带电球壳
多层同心球壳
a
O ρ0
均匀带电球体
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
6
• 轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。
(r
r)
r r 3
体电流产生的磁感应强度
B(r) 0 4π
V
J
(r) R3
R dV
z
C Idl M
r R
r y
o
面电流产生的磁感应强度
x
B(r) 0 4π
S
JS
(r) R3
R dS
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第 2 章 电磁场的基本规律
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3. 几种典型电流分布的磁感应强度
z
• 载流直线段的磁感应强度：
• 无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。
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第 2 章 电磁场的基本规律
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例2.2.2 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径
为a ，电 荷密度为 0 。
电磁场三大实验定律
电磁场三大实验定律
电磁场三大实验定律是电场高斯定律、磁场安培定律和法拉第电磁感应定律。
1. 电场高斯定律
电场高斯定律是描述电场分布的基本定律之一。
它指出，电场的通量与电场源的电荷量成正比，与电荷的分布方式有关，与电荷的位置无关。
具体地说，电场的通量等于电场源内的电荷量除以真空介电常数。
这个定律可以用来计算电场的分布，以及电荷分布对电场的影响。
2. 磁场安培定律
磁场安培定律是描述磁场分布的基本定律之一。
它指出，磁场的强度与电流成正比，与电流的分布方式有关，与电流的位置无关。
具体地说，磁场的强度等于电流在磁场中的环路积分。
这个定律可以用来计算磁场的分布，以及电流分布对磁场的影响。
3. 法拉第电磁感应定律
法拉第电磁感应定律是描述电磁感应现象的基本定律之一。
它指出，磁场的变化会引起电场的变化，从而产生电动势。
具体地说，电动势等于磁通量的变化率。
这个定律可以用来计算电磁感应现象的大小和方向，以及磁场变化对电场的影响。
以上三大实验定律是电磁场理论的基础，它们描述了电场和磁场的基本特性和相互作用规律，对于电磁场的研究和应用具有重要的意义。
25电磁感应定律和位移电流
（1）线圈静止时的感应电动势；
（2）线圈以角速度 ω 绕 x 轴旋转时的感应电动势。
解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故
z
a
b
x
B
y
en
in
B dS S t
S
t
[ey
B0
sin(t
)]
endS
S B0 cos(t) cosdS
时变磁场中的矩形线圈
B0ab cos(t) cos
中国矿业大学
电磁场与电磁波
第 2 章 电磁场的基本规律
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2.5.1 电磁感应定律
1831年法拉第发现，当穿过导体回路的磁通量发生变化时， 回路中就会出现感应电流和电动势，且感应电动势与磁通量的变 化有密切关系，由此总结出了著名的法拉第电磁感应定律。
1. 法拉第电磁感应定律
当通过导体回路所围面积的磁通量
S
t
[ez
B0
cos(t
)]
ez
dS
vbB0 cos(t) vtbB0 sin(t)
y
a
r oB
L
r v
b x
x
均匀பைடு நூலகம்场中的矩形环
中国矿业大学
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第 2 章 电磁场的基本规律
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练习 在时变磁场 B ey B0 sin(t) 中，放置有一个 a b 的 矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 en与ey 成α角，如
由于 C Ec d，l 故 0有：
in
d d
E dl
C
dt dt
B dS
S
若回路不动，则：
E Ein Ec
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R
eˆR
R
r2
r1
迭加原理：
F
q 4πε0
N i1
qi Ri3
Ri
(N个点电荷系统)
2. 电场强度 (Electric Field)
定义式
F
E lim
q q00 0
(q0是检验电荷)
根据定义式导出不同电荷分布激发的电场强度：
点电荷的电场
E
q 4πε0 R 3
R
R
eˆR
R
r
r'
源点
定义
库仑定律
电场强度
矢
auss定理)
量
分
析 电场旋度 (环
（本节知识结构框图）
路定理)
1. 库仑定律 (Koulomb’s Law)
真空中两个点电荷q1、q2之间的静电力
F12
q1q2 4πε0 R 3
R
F12
表示q1对q2的作用力
F21
q
R
q
F12
1r1
r2 2
F21 F12 表示q2对q1的作用力
SJ
dS
dq dt
d dt
V
ρdV
S
-- 电流连续性方程之积分形式
改写成
SJ
dS
V
ρ t
dV
q
应用散度定理
SJ dS V JdV
则有
V
J
t
dV
0
由于S任意，故体积V也任意，则
J
0
-- 电流连续性方程之微分形式
t
讨论：
对于恒定电流，有 J 0及 ρ 0
t
t
故恒定电流的电流连续性方程为
2. 电流及电流密度
体电流密度(Volume Current Density) 体电流： 电流分布于三维空间 体电流密度：描述空间各点电流的大小和方向的差异
定义 体电流密度矢量J:
空间任一点J 的方向是该点上电流的方向，其大小
等于在该点与J 垂直的单位面积上的电流，即
lim
J eˆn
S 0
i S
eˆn
di dS
通过任意曲面S的电流：
i
SJ
dS
S
Jc
os
dS
S
即为电流密度矢量场J 的通量。
eˆn
J
体电流密度和体电荷密度的关系： eˆn 为电流密度的方向，也是
Jr' ρr' v
面元S的法向单位矢量。
v 是电荷定向运动的速度
面电流密度(Surface Current Density) 面电流： 电流分布在某一薄层(曲面)上
μ0i
不难发现
A
B
H
μ0
所以有
J H
可见，恒定磁场H的旋度等于磁场的漩涡源密度，即电流密度。
2.3 真空中静电场的基本规律
静电场的基本实验定律是库仑定律，由库仑定律可以导出电 场强度的表达式，在此基础上结合矢量分析，可进一步导出 静电场其他的基本规律--Gauss定理和环路定理。
电场散度 (G
面电流密度矢量JS ：其方向规定为电流的流向，其大小定
义为在垂直于电流方向上单位长度的电流，即
lim
JS
eˆn
l0
i l
eˆn
di dl
JS
S
l
eˆn 是面电流方向的单位矢量。
通过薄层上任意有向曲线l 的电流
i l J S nˆ1 dl
dnˆl1为为有薄向层曲(即线曲l 面的S线)的元法矢向量单位矢量
sin α nˆ1 nˆ1 sin α nˆ1 eˆl eˆn
代入上式
JS
nˆ1
dl
dl
di J sdlsin J sdl nˆ1 eˆl eˆn nˆ1 dleˆl J seˆn
di nˆ1 dl JS
则通过有向曲线l 的电流
i l nˆ1 dl J S l J S nˆ1 dl
SJ dS 0
或
J 0
说明恒定电流场J 是无散场，无散度源(通量源)。
由于 ， J故 0令 ，AJ是 某个A矢量场，则流过任意曲面S的
电流
i SJ dS S A dS l A dl
最后一步使用了Stockes定理。
即
i l A dl
对比恒定磁场B的环路定理
B dl l
[ 证明：在有向曲线上任取一线元矢
量dl，如图。流过线元 dl的电流
di J sdl J sdlsin
是d与l 的JS 夹角。
S
JS
nˆ1
l
JS
nˆ1
dl
dl
令
eˆl eˆ n
dl 的单位矢量 JS的单位矢量
nˆ1 电流分布表面的法向单 位矢量
且
nˆ1、dl和
JS
构成右手螺旋关系。
利用
2.1 电磁场的源变量
1. 电荷及电荷密度
3
体电荷密度 (Volume Charge Density)
体电荷：电荷分布于三唯空间。
（
维
lim 体电荷密度：
r'
V ' 0
q V '
dq dV '
）
本教程约定：场源(源点)的分布空间一律用带撇的坐标
表示；场(场点)的分布空间用不带撇的坐标表示。
o
q
R
P
E
r' r
场点
点电荷系统的电场
v
E
1 4πε0
N i1qi Ri 3源自v R（迭加原理）
电荷连续分布的带电体的电场
➢ 体电荷的场
E
1
4πε0
V'
r r' r r' 3
dq dl'
）
点电荷 (Point Charge)
位于空间 r' 处带电量为q的点电 y
荷，其电荷密度可以用数学上的函
0
（ 维 ）
q
数描述：
rv qδrv - rv'
r'
r是场点的位置矢量。
而
δr-r'
0
r r' r r'
x
且
V
δr-r' dV
0 1
V 不包含r r'的点 V 包含r r'的点
引言
本章主要讨论电动力学的实验和理论基础
● 确立静止和稳定情况的分布电荷与分布电流的概念；在 电荷守恒的前提下，确立电流连续性方程。
● 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立电场强 度和磁感应强度的概念。
● 在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与 磁场的矢量积分公式。
● 在电磁感应定理的基础上引入位移电流的概念。
得证。]
面电流密度和面电荷密度的关系：
JS
r'
ρ S
r' v
v 是电荷定向运动的速度
线电流(Line Current ) 线电流： 电流沿某一细线(导线)流动
电流元矢量 Idl：其方向规定为电流的方向，dl是导线上的
任意线元矢量。
I
Idl I
2.2 电流连续性方程
考虑任意闭合曲面S，由于电荷守恒，单位时间内从S 内流出的电荷量(i.e. 流过S的电流)应该等于闭曲面S所包 围的体积V内的电荷减少量，即
2
面电荷密度(Surface Charge Density)
面电荷：电荷分布在某一薄层(曲面)上。
（
维
lim 面电荷密度：
s r'
S' 0
q S'
dq dS'
）
1
线电荷密度(Line Charge Density)
线电荷：电荷分布在某一 曲线上。
（
维
lim 线电荷密度：
l
r'
l' 0
q l'