高中数学专题练习：函数与方程思想
高中数学专题练习：函数与方程思想 [思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. (4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切. 常考题型精析 题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题 例1 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋e2x (x>0)，其中e表示自然对数的底数. (1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围； (2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
点评 函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题. 变式训练1 已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝ x2＋2，x∈[0，1，2－x2，x∈[－1，0，且
f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝2x＋5x＋2，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A.－5 B.－6 C.－7 D.－8 题型二 函数与方程思想在不等式中的应用 例2 已知函数f(x)＝ln x－14x＋34x－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意x1∈(0,2)，x2∈[1,2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围为____________. 点评 不等式恒成立问题的处理方法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数. 变式训练2 设f(x)＝ln x＋x－1. 证明：(1)当x>1时，f(x)<32(x－1)；
(2)当1题型三 函数与方程思想在数列中的应用 例3 已知数列{an}是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a4＋1成等比数列，设bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n(其中Sn是数列{an}的前n项和)，若对任意n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.
点评 数列问题函数(方程)化法 数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤： 第一步：分析数列式子的结构特征. 第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式. 第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究. 第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题. 变式训练3 已知f(x)＝x2－4x＋4，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，函数y＝fn(x)的零点个数记为an，则an等于( ) A.2n B.2n－1 C.2n＋1 D.2n或2n－1 题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用
例4 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP→＝3PB→. (1)求椭圆C的方程； (2)求m的取值范围.
点评 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程. 第二步：求解判别式Δ. 第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换. 第四步：下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围. 第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节. 变式训练4 如图所示，设椭圆C1：x25＋y24＝1的左，右焦点分别是F1，F2，下顶点为A，线段OA的中点为B(O为坐标原点)，若抛物线C2：y＝mx2－n(m>0，n>0)与y轴的交点为B，且经过F1，F2两点.
(1)求抛物线C2的方程； (2)设M0，－45，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P，Q两点，求△MPQ的面积的最大值. 高考题型精练 1.若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( ) A.x＋y≥0 B.x＋y≤0 C.x－y≤0 D.x－y≥0 2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )
A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30]
3.满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________. 4.已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________. 5.当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，求实数a的取值范围. 6.(·南京模拟)已知函数f(x)＝11－xn＋aln(x－1)，其中x∈N*，a为常数. (1)当n＝2时，求函数f(x)的极值； (2)当a＝1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f(x)≤x－1. 答案精析 数学思想方法 函数与方程思想 常考题型精析 例1 解 (1)方法一 因为x>0，所以g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e. 故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，g(x)＝m就有实根.
方法二 作出g(x)＝x＋e2x (x>0)的图象，如图所示，观察图象可知g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)＝m有实根，则只需m≥2e. 方法三 由g(x)＝m， 得x2－mx＋e2＝0，
故 m2>0，Δ＝m2－4e2≥0，等价于 m>0，m≥2e或m≤－2e， 故m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点. 因为f(x)＝－x2＋2ex＋t－1＝－(x－e)2＋t－1＋e2，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝e，开口向下，最大值为t－1＋e2.
由题意，作出g(x)＝x＋e2x (x>0)及f(x)＝－x2＋2ex＋t－1的大致图象，如图所示. 故当t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根. 所以t的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞). 变式训练1 C [g(x)＝2x＋5x＋2＝2x＋2＋1x＋2＝2＋1x＋2，由题意知函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间[－5,1]上的图象如图所示：
由图象知f(x)、g(x)有三个交点，故方程f(x)＝g(x)，在x∈[－5,1]上有三个根xA、xB、xC，xB＝－3，xA＋xC2＝－2，xA＋xC＝－4，∴xA＋xB＋xC＝－7.] 例2 －∞，142 解析 问题等价于f(x)min≥g(x)max. f(x)＝ln x－14x＋34x－1，
所以f′(x)＝1x－14－34x2＝4x－x2－34x2， 令f′(x)>0得x2－4x＋3<0，解得1故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f(x)min
＝f(1)＝－12. 由于函数g(x)＝－x2＋2bx－4，x∈[1,2]. 当b<1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5； 当1≤b≤2时；g(x)max＝g(b)＝b2－4； 当b>2时，g(x)max＝g(2)＝4b－8. 故问题等价于
b<1，－12≥2b－5或 1≤b≤2，－12≥b2－4或 b>2，－12≥4b－8. 解第一个不等式组得b<1，解第二个不等式组得1≤b≤142，第三个不等式组无解. 综上所述，b的取值范围是－∞，142. 变式训练2 证明 (1)记g(x)＝ln x＋x－1－32(x－1)， 则当x>1时，g′(x)＝1x＋12x－32<0. 又g(1)＝0，所以有g(x)<0，即f(x)<32(x－1). (2)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)， 则当1
由(1)，得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9<32(x－1)＋(x＋5)1x＋12x－9＝12x[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋x)－18x]<12x[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋x2＋12)－18x] ＝14x(7x2－32x＋25)<0. 因此h(x)在(1,3)内单调递减. 又h(1)＝0，所以h(x)<0，即f(x)<9x－1x＋5. 例3 解 因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)， 又因为{an}是正项等差数列，故d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 得d＝2或d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式an＝2n. 因为Sn＝n(n＋1)，
bn＝1Sn＋1＋1Sn＋2＋…＋1S2n
＝1n＋1n＋2＋1n＋2n＋3＋…＋12n2n＋1 ＝1n＋1－1n＋2＋1n＋2－1n＋3＋…＋12n－12n＋1
高考数学专题复习函数与方程思想教案
高考数学专题复习——函数与方程思想一、教学目标1. 理解函数与方程的关系，掌握函数与方程的基本思想。
2. 熟练运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 函数与方程的概念及关系2. 函数与方程的性质3. 函数与方程的解法4. 函数与方程在实际问题中的应用5. 典型例题分析与练习三、教学重点与难点1. 函数与方程的关系及其性质2. 函数与方程的解法3. 实际问题中函数与方程的运用四、教学方法1. 采用讲解、讨论、练习相结合的方式进行教学。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 注重启发式教学，引导学生主动探索、积极思考。
五、教学过程1. 导入：回顾函数与方程的基本概念，引导学生思考函数与方程之间的关系。
2. 讲解：详细讲解函数与方程的性质，结合实际例子阐述函数与方程的解法。
3. 讨论：分组讨论实际问题中的函数与方程应用，分享解题心得。
4. 练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数与方程在数学中的重要性。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置相关的习题，巩固课堂所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
七、教学拓展1. 引入高等数学中的函数与方程理论，提高学生的数学素养。
2. 组织数学竞赛或讲座，激发学生对函数与方程的兴趣。
3. 推荐相关书籍或网络资源，引导学生深入研究函数与方程。
八、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解了函数与方程的基本概念、性质和解法。
2. 反思教学方法：是否有效地引导学生思考、探索和解决问题。
3. 反思教学效果：学生对函数与方程的理解程度以及实际应用能力的提升。
九、教学案例1. 案例一：讲解一次函数与一元一次方程的关系，引导学生理解函数与方程的解法。
2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数 专题训练
专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．综上，a＝0或a＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)(C) (D)【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1) (2)(3) (4)解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB＝2x．所以，根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解所以，所求函数定义域为【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tan x，则，k∈Z．(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，方法二．设，则．则，所以这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．(2)用“凑型”的方法，(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至故电力部门的收益为．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，且0.55≤x≤0.75，解得0.60≤x≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B)(C)(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则( )(A) (B) (C) (D)4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )(A)0 (B)0或 (C) (D)二、填空题5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．6．函数的定义域是______．7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 x 1 2 3f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．三、解答题9．已知f(x)＝2x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性．(1) (2)(3)f(x)＝x3－3x； (4)(5)解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，所以此函数为奇函数．(4)解，得－1＜x＜1，又所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R，又，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②考察f(－x)与f(x)的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，故f(x)是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，所以，b＝－2．根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．例5已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，(1)求f(－1)的值；(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．证明：设，且x1＜x2f(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1)＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b]因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为，所以，所以f(x2)－f(x1)＞0，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．(1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a，由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，解得a＞3或a＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x2－x1的符号；y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，因为m＋n＜0，所以n＜－m，因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(n)＞f(－m)，因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．例9函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]．(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )(A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( )(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－14．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数二、填空题5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是______；f(1)的取值范围是______．6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．7．设函数为奇函数，则实数a＝______．8．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②③｜x1｜＞x2．其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______三、解答题9．已知函数f(x)是单调减函数．(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．10．已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y 为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．【知识要点】1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(1)定义域为R，值域为R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．(5)函数y＝kx＋b的零点为2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为(1)定义域为R：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；当a＜0时，是增区间，是减区间．(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．3．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x，使得x n＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．；(2)分数指数幂，；n，m∈N*，且为既约分数)．，且为既约分数)．(3)幂的运算性质a m a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a nb n，a0＝1(a≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log a N，即b＝log a N(a＞0，且a≠1)．(5)对数恒等式：＝N．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0．(7)对数的运算法则及换底公式：；；.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1化简下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)log2[log3(log464)]；(5)．解：(1)(2)(3)(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．(5)【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．解法二f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，又f(x)的最大值为8，所以.因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．所以所求二次函数为.例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，于是有，解之得.(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．例4已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．综上，m∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．例6已知幂函数．(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，因为k∈Z，所以k＝0，1，2，又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2．(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．例7比较下列各小题中各数的大小(1)；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5；(4)；(5)；(6)a m＋a－m与a n＋a－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0，函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以所以.(2)由于，所以lg2＜lg(x2－x＋3)．(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为.根据不等式的性质有(5)因为比较与log32，只需比较与log32，因为y＝log3x是增函数，所以只需比较与2的大小，因为，所以，所以，综上，(6)，当a＞1时，因为m＞n＞0，a m＞a n，a m＋n＞1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n；当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a m＜a n，a m＋n＜1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n．综上，a m＋a－m＞a n＋a－n．例8已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．【分析】方法一(作商比较法)，又a＞2，b＞2，所以，所以，所以a＋b＜ab．方法二(作差比较法)，因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．方法三(构造函数)令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数，因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，y最大＜f(2)＝(1－b)×2＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9若log2(x－1)＜2，则x的取值范围是______．解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，根据函数y＝log2x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5，结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．例10 已知A，B为函数y＝log8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论．(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标．略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由于A，B，O在同一条直线上，所以又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有同样可得结合①式，有k OC＝k OD，即C，D，O三点共线．(2)当BC∥x轴时，即。
2018届高考数学二轮复习 专题检测(九)基本初等函数、函数与方程 理
专题检测（九） 基本初等函数、函数与方程A 级——常考点落实练1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．3．已知函数f (x )＝a x，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0，又f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.4．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：选C 由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值．5．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．6．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝2x，∴g (x )＝log 2x ，∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.7．(2017·云南第一次统一检测)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 因为a ＝60.7>1，b ＝log 70.6<0,0<c ＝log 0.60.7<1，所以a >c >b .8．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选A 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3 x 2－1 ，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选C 令2ex －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.故不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．10．已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→，则( )A ．b ＝a 2B ．a ＝b 2C ．b ＝a 3D ．a ＝b 3解析：选C 由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3.B 级——易错点清零练1．已知函数f (x )＝1log 122x ＋1 ，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≠1，2x ＋1>0，解得x >－12且x ≠0.2．已知a ＞1，f (x )＝a 22x x＋，则使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是( )A ．－1＜x ＜0B ．－2＜x ＜1C ．－2＜x ＜0D ．0＜x ＜1解析：选A ∵a ＞1，∴y ＝a x在R 上为增函数，故f (x )<1⇔a22x x＋<1⇔a22x x＋<a 0⇔x2＋2x <0⇔－2<x <0，结合选项可知，使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x ＜0.3．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.4．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242m m －＋在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k ，当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是________．解析：∵f (x )是幂函数， ∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件； 若m ＝0，则f (x )＝x 2，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足条件， 故f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )， 即A ＝[1,4)，B ＝[2－k,4－k )， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1.答案：[0,1]C 级——“12＋4”高考练1．函数y ＝ax ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0,0)B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．2．“1a>1”是“函数f (x )＝(3－2a )x单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1a>1得0<a <1，若函数f (x )＝(3－2a )x单调递增，则3－2a >1，解得a <1.故“1a>1”是“函数f (x )＝(3－2a )x单调递增”的充分不必要条件．3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D 因为lg 3361＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M ≈10173，则M N ≈1017310＝1093.4．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 函数f (x )＝|log2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出函数的图象，如图． 由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.5．函数f (x )＝x 2lg x －2x ＋2的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于直线y ＝x 对称 D ．关于y 轴对称解析：选B 因为f (x )＝x 2lgx －2x ＋2，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f (－x )＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．6．(2018届高三·济南质检)已知a ＝213－，b ＝(22log 3)12－，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a 解析：选C 依题意得，a ＝213－，b ＝312－，c ＝－14cos x ⎪⎪⎪π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b6＝3－3＝127，c 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，则a >b >c .7．(2017·沈阳模拟)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )A B C D解析：选B 由函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，所以y ＝3－x，y ＝(－x )3＝－x 3及y ＝log 3(－x )均为减函数，只有y ＝x 3是增函数，选B.8．(2017·保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )A ．11 000元B ．22 000元C ．33 000元D ．40 000元解析：选C 设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x )辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．9．(2018届高三·西安八校联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)·f (log 3x ＋1)≤5的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B ．[1,4] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4 D ．[1，＋∞)解析：选C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫log 144x －1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧0＜log 3x ＋1＜1，log 2x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫log 144x －1≤5，解得1≤x ≤4或13＜x ＜1，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤13，4. 10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (ln x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．(2017·南昌一模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x－1＝1－xx，所以x ∈(0,1)时f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)有2个零点．12．已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <33. 13．计算：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝________.解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23)23－1＝log 2105＋22－1＝1＋4－1＝4.答案：414．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－x；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内单调递减的函数的序号是________．解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．答案：②④15．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，平移直线y ＝－x ，当平移到该直线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是________．解析：∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，∴t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2162x -+，x >0.①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x ∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－12×11＋6＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确． 所以正确结论的序号为①④. 答案：①④。
【高中数学专项突破】专题10 二次函数与一元二次方程、不等式-专题突破(含答案)
【高中数学专项突破】专题10 二次函数与一元二次方程、不等式题组1 一元二次不等式的解法1.下列不等式中是一元二次不等式的是（）A．a2x2＋2≥0B．21x x<3C.－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1>02.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（）A．B．C．D．3.不等式3x2－7x＋2<0的解集为（）A．B．C．D.{x|x>2}4.解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．5.已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a<0，解不等式f（x）>1.6.（1）已知当－1≤a≤1时，不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0恒成立，求实数x的取值范围．（2）解关于x的不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0.题组2 “三个二次”的对应关系的应用7.不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则bx2－ax－1>0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|－3<x<－2}C.{x|－<x<－}D.{x|<x<}8.设f（x）＝x2＋bx＋1，且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集是（）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．RC.{x|x≠1}D.{x|x＝1}9.不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，则（）A．a＝－8，b＝－10B．a＝－1，b＝9C．a＝－4，b＝－9D．a＝－1，b＝2题组3 分式不等式的解法10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|≥0，x∈R}，则A∩B等于（）A.（－3，－2]B.（－3，－2]∪[0，]C.（－∞，－3]∪[，＋∞）D.（－∞，－3）∪[，＋∞）11.关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>2}，则关于x的不等式>0的解集为（）A.{x|－2<x<－1或x>3}B.{x|－3<x<－2或x>1}C.{x|－1<x<2或x>3}D.{x|x<－1或x<3}题组4 一元二次不等式的应用12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（m）与汽车的车速（km/h）满足下列关系：s＝＋（n为常数，且n∈N*），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？13.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？题组5 一元二次不等式恒成立问题14.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值是()A.0B.－2C.－D.－315.关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－2,2]C.(－2,2)D.(－∞，2)16.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.[0,4)D.(0,4)17.设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．18.已知不等式x2－x－m＋1>0.(1)当m＝3时，求此不等式的解集；(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．19.(1)解不等式－3<4x－4x2≤0；(2)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，求实数m的取值范围．专题10 二次函数与一元二次方程、不等式题组1 一元二次不等式的解法1.下列不等式中是一元二次不等式的是（）A．a2x2＋2≥0B．<3C.－x2＋x－m≤0D．x3－2x＋1>0【答案】C【解析】选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C.2.不等式（x＋5）（3－2x）≥6的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先展开，移项，合并同类项，分解因式可得－≤x≤1，故选D.3.不等式3x2－7x＋2<0的解集为（）A．B．C．D.{x|x>2}【答案】A【解析】3x2－7x＋2<0⇒（3x－1）（x－2）<0⇒<x<2.4.解关于x的不等式x2－（a＋a2）x＋a3>0（a∈R）．【答案】原不等式可变形为（x－a）（x－a2）>0，方程（x－a）（x－a2）＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2.当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，有a>a2，∴x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a>1时，有a2>a，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，有x≠0，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．综上可知，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．5.已知f（x）＝ax2＋x－a，a∈R.（1）若a＝1，解不等式f（x）≥1；（2）若不等式f（x）>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a<0，解不等式f（x）>1.【答案】（1）根据题意，由于x2＋x－1≥1，结合二次函数图象可知不等式的解集为{x|x≤－2或x≥1}．（2）（a＋2）x2＋4x＋a－1>0，a＝－2不符合；当a≠－2时，由a＋2>0且Δ<0，得a>2.故a>2. （3）ax2＋x－a－1>0，即（x－1）（ax＋a＋1）>0.因为a<0，所以（x－1）<0，因为1－＝，所以当－<a<0时，1<－，解集为；当a＝－时，（x－1）2<0，解集为∅；当a<－时，1>－，解集为．6.（1）已知当－1≤a≤1时，不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0恒成立，求实数x的取值范围．（2）解关于x的不等式ax2－（3a＋2）x＋6≤0.【答案】（1）原式可化为（x2－3x）a－2x＋6≤0，设f（a）＝（x2－3x）a－2x＋6≤0，则f（a）为关于a的一次函数，由题意∴解得∴x＝3.（2）原不等式可化为（x－3）（ax－2）≤0.那么由于a＝0表示的为一次函数，a≠0为二次函数，那么分为两大类，结合开口方向和根的大小和二次函数图形可知，需要整体分为a>0，a＝0，a<0来求解，那么对于a与的大小将会影响到根的大小，∴要将a 分为0<a<和a＝以及a>来得到结论，那么可知有：当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥3}；当0<a<时，原不等式的解集为；当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝3}；当a>时，原不等式的解集为．题组2 “三个二次”的对应关系的应用7.不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，则bx2－ax－1>0的解集是（）A.{x|2<x<3}B.{x|－3<x<－2}C.{x|－<x<－}D.{x|<x<}【答案】C【解析】∵不等式x2－ax－b<0的解集是{x|2<x<3}，∴a＝5，b＝－6，∴不等式bx2－ax－1>0，即为－6x2－5x－1>0，∴6x2＋5x＋1<0，∴（3x＋1）（2x＋1）<0，∴－<x<－.8.设f（x）＝x2＋bx＋1，且f（－1）＝f（3），则f（x）>0的解集是（）A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B．RC.{x|x≠1}D.{x|x＝1}【答案】C【解析】由f（－1）＝f（3），知b＝－2，∴f（x）＝x2－2x＋1，∴f（x）>0的解集是{x|x≠1}，故选C.9.不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，则（）A．a＝－8，b＝－10B．a＝－1，b＝9C．a＝－4，b＝－9D．a＝－1，b＝2【答案】C【解析】∵不等式ax2＋bx－2≥0的解集为{x|－2≤x≤－}，∴－2，－为方程ax2＋bx－2＝0的两根，则根据根与系数关系可得－2＋（－）＝－，（－2）·（－）＝－，∴a＝－4，b＝－9，故选C.题组3 分式不等式的解法10.设集合A＝{x||4x－1|≥9，x∈R}，B＝{x|≥0，x∈R}，则A∩B等于（）A.（－3，－2]B.（－3，－2]∪[0，]C.（－∞，－3]∪[，＋∞）D.（－∞，－3）∪[，＋∞）【答案】D【解析】因为A＝{x|x≥或x≤－2}，B＝{x|x≥0或x<－3}，∴A∩B＝（－∞，－3）∪[，＋∞），故选D.11.关于x的不等式ax＋b>0的解集为{x|x>2}，则关于x的不等式>0的解集为（）A.{x|－2<x<－1或x>3}B.{x|－3<x<－2或x>1}C.{x|－1<x<2或x>3}D.{x|x<－1或x<3}【答案】C题组4 一元二次不等式的应用12.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（m）与汽车的车速（km/h）满足下列关系：s＝＋（n为常数，且n∈N*），做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中（1）求n的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）依题意得解得又n∈N*，所以n＝6.（2）s＝＋≤12.6⇒v2＋24v－5 040≤0⇒－84≤v≤60，因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.13.某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加费，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值？（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值？【答案】税率为P%时，销售量为（80－10P）万件，销售金额为f（P）＝80（80－10P），税金为g（P）＝80（80－10P）·P%，其中0<P<8.（1）由解得2≤P≤6.（2）∵f（P）＝80（80－10P）（2≤P≤6）为减函数，∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额．（3）∵0<P<8，g（P）＝80（80－10P）·P%＝－8（P－4）2＋128，∴当P＝4时，国家所得税金最多，为128万元．题组5 一元二次不等式恒成立问题14.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值是()A.0B.－2C.－D.－3【答案】C【解析】ax≥－(x2＋1)，a≥－(x＋)对一切x∈(0，]恒成立，当0<x≤时，－(x＋)≤－，∴a≥－，故选C.15.关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－2,2]C.(－2,2)D.(－∞，2)【答案】B【解析】由可求得－2<a<2.又当a＝2时，原不等式化为－4<0，恒成立，∴－2<a≤2.16.当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A.(0，＋∞)B.[0，＋∞)C.[0,4)D.(0,4)【答案】C【解析】当k＝0时，不等式变为1>0，成立；当k≠0时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则即0<k<4，所以0≤k<4.17.设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)方法一⇒∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.方法二设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，比较两边系数：⇒∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，下同方法一．(2)当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1，即－1≤ax2＋x≤1，即当x∈[0,1]时，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0恒成立；当x＝0时，显然，ax2＋x＋1≥0且ax2＋x－1≤0均成立；当x∈(0,1]时，若ax2＋x＋1≥0恒成立，则a≥－－＝－(＋)2＋，而－(＋)2＋在x∈(0,1]上的最大值为－2，∴a≥－2；当x∈(0,1]时，ax2＋x－1≤0恒成立，则a≤－＝(－)2－，而(－)2－在x∈(0,1]上的最小值为0，∴a≤0，∴－2≤a≤0，而a≠0，因此所求a的取值范围为[－2,0)．18.已知不等式x2－x－m＋1>0.(1)当m＝3时，求此不等式的解集；(2)若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)当m＝3时，x2－x－m＋1>0，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，故不等式的解集为{x|x<－1或x>2}．(2)∵1>0，∴对任意的实数x，不等式x2－x－m＋1>0恒成立，则必须有(－1)2－4(－m＋1)<0，解得m<，∴实数m的取值范围是m<.19.(1)解不等式－3<4x－4x2≤0；(2)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)根据题意，由于－3<4x－4x2≤0，那么等价于－3<4x－4x2且4x－4x2≤0，先分析方程的根，结合二次函数图象可知，不等式的解集为(－，0]∪[1，)．(2)由于不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意x均成立，那么可知，当m＝0时，－4<2x2＋4x，由于判别式小于零可知成立，恒大于零，不等式对任意x均成立；当m≠0时，要使不等式恒成立，只要开口向上，判别式小于零即可，得到－2<m≤2，且m≠0.综上可知－2<m≤2.。
(浙江专用)2020版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程练习(含解析)
第8讲 函数与方程[基础达标]1．(2019·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2019·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析：选B.y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x是减函数，y 2＝－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也是减函数，可知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x－tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递减． 因为0<t <x 0，f (t )>f (x 0)＝0.故选B.5．(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A ．14 B ．18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2－kx 2(k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k <0B ．k <1C ．0<k <1D ．k >1解析：选D.分别画出y ＝|x |x ＋2与y ＝kx 2的图象如图所示，当k <0时，y ＝kx 2的开口向下，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x |x ＋2只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2－x ＝0， 即x (kx 2＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2＋2kx －1＝0，因为Δ＝4k 2＋4k >0，且－1k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯一解．即当x ≥0时，方程有两个解．当k >0，x <0时，f (x )＝|x |x ＋2－kx 2＝0， 即kx 3＋2kx 2＋x ＝0，kx 2＋2kx ＋1＝0，此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2－4k >0，解得k >1， 综上所述k >1.7．(2019·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan[π2（x －1）]，0<x ≤1ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1，f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0，若0<x ≤1，f (x )＝1⇒tan[π2(x －1)]＝1， 方程无解；若x >1，f (x )＝1⇒ln x ＝1⇒x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12. 答案：－129．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2 10．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝|x 3－4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3－4x |与y ＝2－ax的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3－4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 30＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 30＋4x 0)＝(－3x 20＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1，此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1.答案：a<－1或a >111．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. [能力提升]1．(2019·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－2（x ≤0）ln x （x >0），则下列关于函数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧f （kx ）＋1>0ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ；由f (kx )＋1＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ；由f (kx )＋1＝1e得，⎩⎪⎨⎪⎧kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或⎩⎪⎨⎪⎧kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1；综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1e －1；故无论k 为何值，均有3个解，故选C.2．(2019·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b2a ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，令f (x )＝－b2a ，则f (f (x ))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a <0⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0⇒x ＝－b2a ，因为x ＝－b2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确．3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式为2－x 2>|x －a |，则0<2－x 2.在同一坐标系画出y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－x 2(y ≥0，x ≥0)相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0＝－（x －a ）y ＝2－x2，可得x 2－x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94.数形结合可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，94. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－2，944．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.答案：55．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解：(1)法一：因为g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． 所以m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e，即m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 所以其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．6．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数，求实数b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2，4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．解：(1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（b －2）x ，x ≥2－x 2＋（b ＋2）x ，x <2，因为f (x )连续，所以f (x )在R 上递增等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤22＋b 2≥2，解得，b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（a ＋2）x ，x ≥a －x 2＋（a －2）x ，x <a ，tf (a )＝－2ta ，当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a 24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1，当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f (x )极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0<t <1，综上所述，0<t <1.。
关于函数与方程思想在高中数学解题中的实践
关于函数与方程思想在高中数学解题中的实践陈瑞飞(江苏省扬州中学教育集团树人学校㊀２２５０００)摘㊀要:函数与方程之间联系紧密ꎬ基于此人们提出函数与方程思想.在该思想指引下ꎬ学生解答高中数学相关习题ꎬ能尽快找到解题思路ꎬ提高解题效率ꎬ因此授课中为使学生牢固掌握函数与方程思想ꎬ提高其解答数学习题的灵活性ꎬ应做好相关题型总结ꎬ认真讲解该思想在解题中的应用.关键词:高中数学ꎻ函数与方程思想ꎻ解题ꎻ实践中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１２－００３２－０２收稿日期:２０２０－０１－２５作者简介:陈瑞飞(１９７９.９－)ꎬ男ꎬ江苏省扬州人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁函数与方程思想求解参数范围求解参数范围是高中数学的重要题型ꎬ解答该题型的思路有两种:其一ꎬ认真审题ꎬ深入挖掘已知条件中的不等式关系ꎬ运用不等式知识求解参数范围.其二ꎬ借助题干中的等量关系构建对应的函数ꎬ在定义域内求解函数的取值范围.授课中既要注重相关例题的筛选与讲解ꎬ使学生把握函数与方程思想解题步骤ꎬ明确解题注意事项ꎬ又要鼓励学生总结函数与方程思想在解题中的应用技巧ꎬ遇到类似数学习题少走弯路ꎬ能够迅速找到解题思路.例１㊀已知ａ㊁ｂ为正数ꎬ满足ａｂ＝ａ＋ｂ＋３ꎬ求ａｂ的取值范围.该题目题干简单ꎬ已知条件关系明了ꎬ解题方法较多ꎬ关键如何找到最简解法.观察可知题干中涉及两个参数的积与两个参数的和ꎬ由此可联想到一元二次方程两根的关系ꎬ借助函数知识解答.设ａｂ＝ｔꎬ由ａｂ＝ａ＋ｂ＋３ꎬ可知ａ＋ｂ＝ｔ－３.因此可构造方程ｘ２－(ｔ－３)ｘ＋ｔ＝０ꎬ显然ａ㊁ｂ为该方程的两个正根ꎬ不难得出如下关系:Δ＝(ｔ－３)２－４ｔȡ０ꎬｔ－３>０ꎬｔ>０ꎬ解得ｔȡ９.即ａｂ的取值范围为[９ꎬ＋ɕ).解题感悟㊀求解参数取值范围时不能思维定势ꎬ应结合已知条件巧妙地运用函数与方程思想进行解答ꎬ尤其当习题中出现两个参数和与积的关系时ꎬ可考虑构造相关的方程ꎬ借助根与系数的关系解答.㊀㊀二㊁函数与方程思想解答方程问题高中数学学习的函数类型较多ꎬ包括二次函数㊁指数函数㊁对数函数㊁三角函数等.针对一般的方程问题可通过分离变量转化为对应的函数ꎬ借助函数图象进行分析.针对稍微复杂些的方程问题ꎬ可采用换元法构建新的函数ꎬ通过研究新函数找到要求解的答案.授课中仅仅讲解理论知识是不够的ꎬ应借助例题为学生做好解题的示范ꎬ使其掌握函数与方程间的转化思路.同时ꎬ鼓励其在学习中加强训练ꎬ认真剖析经典习题ꎬ能够举一反三.例２㊀已知两个函数ｆ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ－１ꎬｇ(ｘ)＝ｃｏｓ２ｘ＋ａ(ｃｏｓｘ＋１)－ｃｏｓｘ－３ꎬ假设两个函数的图象在(０ꎬπ)范围内至少有一个公共点ꎬ求ａ的最小值.读懂该题并进行巧妙的转化是使用函数与方程思想解题的关键.两个函数图象在给定的区间内至少有一个解ꎬ即当两个函数相等时有解ꎬ如此便将其转化为方程问题.由已知可知ꎬｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)在(０ꎬπ)上有解ꎬ即２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ－１＝ｃｏｓ２ｘ＋ａ(ｃｏｓｘ＋１)－ｃｏｓｘ－３ꎬ化简得到:ａ(１＋ｃｏｓｘ)＝(ｃｏｓｘ＋１)２＋１.ȵｘɪ(０ꎬπ)ꎬ即０<１＋ｃｏｓｘ<２ꎬ则ａ＝１＋ｃｏｓｘ＋１ｃｏｓｘ＋１ȡ２ꎬ当且仅当１＋ｃｏｓｘ＝１ｃｏｓｘ＋１等号成立ꎬ此时ｃｏｓｘ＝０ꎬ显然ａ的最小值为２.解题感悟㊀部分习题并未直接给出等量关系ꎬ需要学生深刻理解题意进行正确的转化ꎬ因此ꎬ在以后的解题中应注重积累相关转化经验ꎬ养成使用函数与方程思想解题的良好习惯.㊀㊀三㊁函数与方程思想求解不等式问题高中数学中不等式问题常和恒成立问题联系在一起ꎬ求解时除使用基本不等式知识求解外ꎬ多数采用函数与方程思想进行解答.通过分离参数㊁移项构造新的函数ꎬ运用函数知识求解函数最值是常用的解题思路.授课中为学生讲解对应例题ꎬ使学生深刻体会函数与方程思想在解答不等式问题中的应用.同时ꎬ要求学生具体问题具体分析ꎬ尤其针对存在多个参数的习题ꎬ应结合已知条件确定变量与要求解的参数ꎬ明确其之间的函数关系ꎬ灵活运用函数知识解答.例３㊀求证:对于一切大于１的正整数ｎ恒有(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)>１＋２ｎ２.２３该题目题干简单ꎬ证明的技巧性较强ꎬ没有正确的思路ꎬ难以解答.认真观察要证明的不等式ꎬ结合以往解题经验可知ꎬ需要先进行移项构造新的函数ꎬ通过研究新函数的单调性求解其最值进行证明.设ｆ(ｎ)＝(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)/１＋２ｎꎬ则ｆ(ｎ＋１)＝(１＋１３)(１＋１５) (１＋１２ｎ－１)(１＋１２ｎ＋１)/１＋２(ｎ＋１).通过作商判断函数ｆ(ｎ)的单调性.ｆ(ｎ＋１)ｆ(ｎ)＝(１＋１２ｎ－１) １＋２ｎ２ｎ＋３＝２(ｎ＋１)４(４ｎ＋１)２－１>１ꎬｆ(ｎ)为增函数ꎬ因为ｎ为大于１的正整数ꎬｆ(２)＝(１＋１３)/５＝１６４５>１６６４＝１２ꎬʑ当ｎ＝２ꎬ３ꎬ 时ꎬ恒有ｆ(ｎ)>１２ꎬ原题得证.解题感悟㊀构造函数技巧性较强ꎬ对学生的各项能力要求较高.为使学生能够顺利使用函数与方程思想解题ꎬ要求其在学习中做好解题总结ꎬ明确使用函数与方程思想解题的思路ꎬ掌握函数构造技巧ꎬ结合题干构造合理的函数ꎬ巧妙运用函数知识解答.函数与方程思想是高中数学重要的思想ꎬ在解题中的应用率较高.授课中为使学生牢固掌握这一思想ꎬ并灵活应用于解题中ꎬ应做好能够使用该思想解答的数学习题类型的汇总ꎬ选择经典例题为学生深入剖析ꎬ把握函数与方程思想在不同题型中的应用方法与技巧ꎬ实现解题能力的显著提高.㊀㊀参考文献:[１]蔡慧鸿.函数思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].黑河教育ꎬ２０２０(０１):２８－２９.[２]鲍科臻.函数与方程思想在高中数学解题中的实践[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(２１):１４８－１４９.[３]庞景红.论数学思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].教育现代化ꎬ２０１８ꎬ５(２７):３６８－３６９.[责任编辑:李㊀璟]基于解题和研究性学习的数学文化教学策略刘小丹(江苏省栟茶高级中学㊀２２６４０６)摘㊀要:基于 文化数学 理念下高中数学学习的研究ꎬ除了从数学概念(包括公式㊁定理等)的角度去常规执行外ꎬ还可以从解题教学(包括试卷讲评)和研究性学习(包括阅读等)的视角探讨渗透数学文化的教学策略.解题是形成 审慎的思维习惯 与 锲而不舍的钻研精神和科学态度 的绝好机会ꎬ也是体现 蕴含的数学精神和人文价值 的重要途径.主题鲜明的研究性学习能依据教学实际设置 微探究 ꎬ安排灵活且易操作.关键词:高中数学解题教学ꎻ研究性学习ꎻ数学文化渗透中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１２－００３３－０２收稿日期:２０２０－０１－２５作者简介:刘小丹(１９８３.５－)ꎬ女ꎬ江苏省如东人ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁解题教学中渗透数学文化的主要实施路径解题教学似乎与文化味道不搭.事实上ꎬ解题是形成 审慎的思维习惯 与 锲而不舍的钻研精神和科学态度 的绝好机会ꎬ也是体现 蕴含的数学精神和人文价值 的重要途径.目前的数学教育提倡解题教学也应沁溢文化ꎬ不能把解题教学演变成 题型＋技巧 ꎬ退化成 刺激 反应 ꎬ而且仅满足于解出答案.１.发掘试题背景ꎬ促进数学理解许多高考试题改编自数学名题ꎬ或者取材于重要的定理㊁结论㊁猜想等.例１㊀狄利克雷函数:Ｄ(ｘ)＝０ꎬｘ为无理数ꎬ１ꎬｘ为有理数.{分析㊀近年的理科数学中就有多道试题是以著名的狄利克雷函数为背景考查函数的值域㊁奇偶性㊁周期性和单调性等性质.如果教学时为增大课堂容量而匆匆带过就太可惜了.这一 病态 的函数不只可让相对抽象㊁枯燥的函数性质有趣及具有探究价值ꎬ还可引导学生主动探究函数概念的内涵与外延:没有公式展示ꎬ得以从函数解析式中获得解放ꎻ没有图形演示ꎬ又从函数的直观认识中解放出３３。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓. “从基本量出发，知三求二. ”这是方程思想的表现 .而“将数列当作一种特别的函数，等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式都是对于 n 的函数 . ”则包含了数列中的函数思想.借助相关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功能。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含详细事例 )本文列举几例分类分析：一、方程思想1.知三求二等差 (或等比 )数列 {an} 的通项公式，前 n 项和公式集中了等差 (或等比 )数列的五个基本元素 a1、 d(或 q)、n、an、 Sn.“知三求二”是等差 (或等比 )数列最基本的题型，经过解方程的方法达到解决问题的目的 .例 1 等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，已知 a10=30 ，a20=50 ， (1)求数列 {an} 的通项公式 ;(2) 若 Sn=242 ，求 n 的值 .解(1)由 a10=a1+9d=30 ，a20=a1+19d=50 ，解得 a1=12 ，因为 n∈N*，所以 n=11.2.转变为基本量在等差 (等比 )数列中，假如求得a1 和 d(q)，那么其余的量立刻可得.例 2 在等比数列 {an} 中，已知 a6―a4=24 ， a3a5=64 ，求 {an} 的前 8 项的和 S8.解 a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由 a3a5=(a1q3)2=64 ，得 a1q3=±8.将 a1q3=―8代入 (1) ，得 q2=―2( 舍去 );将 a1q3=8 代入 (1) ，得 q=±2.当 q=2 时， a1=1 ，S8=255;当 q=―2时， a1=―1， S8=85.3.加减消元法利用Sn 求 an利用 Sn 求 an 是求通项公式的一种重要方法，其实这类方法就是方程思想中加减消元法的运用 .例 3(2011 年佛山二模 )已知数列 {an} 、{bn} 中，对任何正整数n 都有：a1b1+a2b2+a3b3+ +an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列 {bn} 是首项为 1、公比为 2 的等比数列，求数列 {an} 的通项公式 .解将等式左侧当作Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+ +an―1bn―1+anbn.依题意 Sn=(n―1)?2n+1 ，(1)又结构 Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+ +an―1bn―1=(n―2)?2n ―1+1 ，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n ≥2).又因为数列 {bn} 的通项公式为bn=2n―1，所以 an=n (n ≥2).当 n=1 ，由题设式子可得 a1=1 ，切合 an=n.进而对全部 n∈N*，都有 an=n.所以数列 {an} 的通项公式是 an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题常常仍是回归到数列的基本量去成立方程组.例 4 设{an} 是公比大于 1 的等比数列， Sn 为数列 {an} 的前 n 项和 .已知 S3=7 ，且a1+3 ， 3a2 ，a3+4 组成等差数列，求数列 {an} 的通项公式 .解依据乞降定义和等差中项成立对于a1 ，a2， a3 的方程组 .由已知得 a1+a2+a3=7 ，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得 a2=2. 设数列 {an} 的公比为 q，由 a2=2 ，可得 a1=2q ，a3=2q.又 S3=7 ，可知 2q+2+2q=7 ，即 2q2―5q+2=0 ，解得 q1=2 ，q2=12.由题意得 q>1，所以 q=2.可得 a1=1 ，进而数列 {an} 的通项为 an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特别函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的实质及意义，拥有函数的一些固有特点.如一次、二次函数的性质、函数的单一性、周期性等在数列中有宽泛的应用.如等差数列 {an} 的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1 ―d) ，前 n 项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n ，当 d≠0时，能够看作自变量 n 的一次和二次函数 .所以我们在解决数列问题时，应充足利用函数相关知识，以它的看法、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭露了它们间的内在联系，进而有效地分解数列问题 .1.运用函数分析式解数列问题在等差数列中， Sn 是对于 n 的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例 5 等差数列 {an} 的前 n 项的和为 Sn，且 S10=100 ，S100=10 ，求 S110 ，并求出当 n 为什么值时 Sn 有最大值 .分析明显公差 d≠0，所以 Sn 是 n 的二次函数且无常数项 .解设 Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100 ，a×1002+b× 100=10.解得 a=―11100 ，b=11110.所以 Sn=―11100n2+11110n.进而 S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数 Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102× 11100=55211=50211.因为 n∈N*，所以 n=50 时 Sn 有最大值 .2.利用函数单一性解数列问题经过结构函数，求导判断函数的单一性，进而证明数列的单一性.例 6 已知数列 {an} 中an=ln(1+n)n (n ≥，2)求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x ≥，2)则 f ′(x)=x1+x ―ln(1+x)x2. 因为 x≥2，所以 x1+x<1 ， ln(1+x)>1 ，所以 f′(x)<0.即 f(x)在 [2，+∞)上是单一减函数 .故当 n≥2时， an>an+1.例 7 已知数列 {an} 是公差为 1 的等差数列， bn=1+anan.(1)若 a1=―52 ，求数列 {bn} 中的最大项和最小项的值 ;(2)若对随意的 n∈N* ，都有 bn≤b8成立，求 a1 的取值范围 .(1)分析最大、最小是函数的一个特点，一般能够从研究函数的单一性下手，用来研究函数最大值或最小值的方法相同合用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得 an=n―72 ，所以 bn=2n―52n―7.由 bn=2n―52n―7=1+22n―7，可观察函数 f(x)=1+22x ―7的单一性 .当 x<72 时， f(x) 为减函数，且 f(x)<1;当 x>72 时， f(x) 为减函数，且 f(x)>1.所以数列 {bn} 的最大项为 b4=3 ，最小项为 b3=―1.(2)分析因为对随意的n∈N* ，都有 bn≤b8成立，此题实质上就是求数列{bn} 中的最大项 .因为 bn=1+1n―1+a1 ，故能够观察函数 f(x)=1+1x ―1+a1 的形态 .解由题，得 an=n―1+a1 ，所以 bn=1+1n―1+a1.观察函数 f(x)=1+1x ―1+a1，当 x<1―a1 时， f(x) 为减函数，且 f(x)<1;当 x>1―a1 时， f(x) 为减函数，且 f(x)>1.所以要使 b8 是最大项，当且仅当7<1―a1<8 ，所以 a1 的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例 8 数列 {an} 中 a1=a2=1 ， a3=2 ，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3 且anan+1an+2≠1成立 .试求 S100=a1+a2+ +a100 的值 .分析从递推式不易直接求通项，察看前几项a1=1 ，a2=1 ， a3=2 ，a4=4 ，a5=1 ，a6=1 ， a7=2 ，a8=4 ，a9=1 ，可猜想该数列是以 4 为周期的周期数列 .解由已知两式相减得经过上述实例的分析与说明，我们能够发现，在数列的教课中，应重视方程函数思想的浸透，应当把函数看法、图象、性质有机地融入到数列中，经过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不停优化与完美，同时也使学生的思想能力得以不停发展与提升 .高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与解说数学思想，是指现实世界的空间形式和数目关系反应到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
高中数学思想方法之“函数与方程思想”
高中数学思想方法之“函数与方程思想”（2012.8.6）一、知识整合：一、知识整合：函数与方程都是中学数学中最为重要的内容．而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点．1．函数的思想．函数的思想函数的思想，函数的思想，是用运动和变化的观点，是用运动和变化的观点，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，分析和研究数学中的数量关系，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．分析和解决问题．分析和解决问题．经常经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．2．方程的思想．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．研究运动中的等量关系．3．函数思想与方程思想的联系．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．4．函数与方程思想解决的相关问题．函数与方程思想解决的相关问题(1)函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．性质，达到化难为易，化繁为简的目的．(2)方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：①解方程或解不等式；①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；④构造方程或不等式求解问题．④构造方程或不等式求解问题．此外，运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，最典型的例子上三个“二次”之前的关系。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。
二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。
一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。
通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。
但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。
例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。
要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。
将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。
令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。
将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。
2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。
可以通过解方程或者配方法求解交点。
例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。
函数与方程思想总结(很好很全面)
函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【例1】. 关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答：根据题意可令｜x2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t2－t＋k＝0，(*)作出函数t＝｜x2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t＝0或t＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根. (1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个； (2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根； (4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个答案：1234【例2】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值为_____________解答：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，a≥－52.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围.3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.【例3】 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集为___________解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)【例4】已知实数,a b 分别满足553,1532323=+-=+-b b b a a a ，则a b +=_________解答：已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b 有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用 统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为()()()()331212,1212a a b b -+-=--+-=,根据这两个等式的特征,构造函数()32f x x x =+. 函数()f x 是一个奇函数,又是R 上的增函数,则有 ()()12,12,f a f b -=--= 于是, ()()()111,f a f b f b -=--=-因而得 11.2.a b a b -=-+=【例5】 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________ 解答： 圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线0:=+by ax l 的距离应小于等于2，∴22|22|2a b a b ++≤，∴ 241a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0， ∴ 2323a b ⎛⎫--≤≤-+ ⎪⎝⎭，a k b =-，∴ 2323k -≤≤+，直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【例6】如果实数,x y 满足等式()2223,x y -+=那么y x的最大值为___________解答：根据已知等式,画出以()2,0为圆心,以3为半径的圆,则yx的几何意义是圆上一点(),x y 与原点()0,0所连直线的斜率. 显然,yx的最大值是过原点()0,0与圆相切的直线OA 的斜率,由2,3OC CA ==可得3AOC π∠=.于是,y x 的最大值是tan 33π=【例7】设是方程0sin 1tan 12=-+θθx x 的两个不等实根，那么过点和的直线与圆的位置关系是___________解答：由题意，， 因此和都在直线上，∴原点到该直线的距离，∴过的直线与单位圆相切．【例8】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是__________解答：画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根. 因此, 充要条件是0<b 且0=c【例9】. 设函数)(x f ＝x 2－1，对任意x ∈),23(+∞，)(4)1()(4)(2m f x f x f m mxf +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：(解法1)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0， 即(x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0， 因为x 2＞0，所以1－1m 2＋4m 2≥2x ＋3x 2，设g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 于是题目化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立的问题． 为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞的最大值．设u ＝1x ，则0＜u ≤23. 函数g(x)＝h(u)＝3u 2＋2u 在区间⎝⎛⎦⎤0，23上是增函数，因而在u ＝23处取得最大值． h ⎝⎛⎭⎫23＝3×49＋2×23＝83，所以1－1m 2＋4m 2≥g(x)max ＝83， 整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32， 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(解法2)(前面同解法1)原题化为1－1m 2＋4m 2≥g(x)，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立的问题．为此需求g(x)＝2x ＋3x 2，x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞的最大值． 设t ＝2x ＋3，则t ∈[6，＋∞)．g(x)＝h(t)＝4tt 2－6t ＋9＝4t ＋9t－6. 因为函数t ＋9t 在(3，＋∞)上是增函数，所以当t ＝6时，t ＋9t 取得最小值6＋32.从而h(t)有最大值46＋32－6＝83.所以1－1m 2＋4m 2≥g max (x)＝83，整理得12m 4－5m 2－3≥0，即(4m 2－3)(3m 2＋1)≥0，所以4m 2－3≥0，解得m ≤－32或m ≥32， 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(解法3)不等式化为f(x －1)＋4f(m)－f ⎝⎛⎭⎫x m ＋4m 2f(x)≥0，即 (x －1)2－1＋4m 2－4－x 2m2＋1＋4m 2x 2－4m 2≥0，整理得⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3≥0，令F(x)＝⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋4m 2x 2－2x －3.由于F(0)＝－3＜0，则其判别式Δ＞0，因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到，所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞恒成立，必须使F ⎝⎛⎭⎫32为最小值， 即实数m 应满足⎩⎨⎧1－1m2＋4m 2＞0，F ⎝⎛⎭⎫32≥0，解得m 2≥34，因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 【例10】．某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同，问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是___________解答： 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a ，每月的增加投入百分率为r．则每月的利润组成数列，每月投入资金组成数列， 如图，由两函数图象特点可知，有，可见，故W>N1. (2011·北京)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.3.(2009·福建)若曲线f(x)＝ax 3＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．4.(2010·天津)设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解答：1. (0,1) 解析：f(x)＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，结合函数的图象可得f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．2. 10 解析：S 9＝S 4,9a 1＋9×82d ＝4a 1＋4×32d ，a 1＝1，d ＝－16；由1＋(k －1)⎝⎛⎭⎫－16＋1＋3×⎝⎛⎭⎫－16＝0，得k ＝10. 本题也可用数列性质解题，S 9＝S 47＝0.3. (－∞，0) 解析：由题意可知f ′(x)＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x＝＝－13x 3(x ＞∈(－∞，0)．4. (－∞，－1) 解析：因为对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx －1mx －mx＜0恒成立，显然m ≠0.所以当m ＜0时，有2m 2x 2－1－m 2＞0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2＞0，解得m 2＞1，即m ＜－1；当m ＞0时，有2m 2x 2－1－m 2＜0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，m 无解，综上所述实数m 的取值范围是m ＜－1.解答题题型一 构造函数与方程思想【例1】 已知函数f(x)＝x|x 2－3|，x ∈[0，m]，其中m ∈R ，且m>0 (1) 若m<1，求证：函数f(x)是增函数；(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2]，试求m 的取值范围；(3) 如果函数f(x)的值域是[0，λm 2]，试求实数λ的最小值．解答：(1) 证明：当m<1时，f(x)＝x(3－x 2)＝3x －x 3， 因为f ′(x)＝3－3x 2＝3(1－x 2)>0，所以f(x)是增函数， (2) 解：令g(x)＝x|x 2－3|，x ≥0，则g(x)＝⎩⎨⎧3x －x 3，0≤x ≤3，x 3－3x ，x> 3.当0≤x ≤3时，g ′(x)＝3－3x 2，由g ′(x)＝0得x ＝1，所以g(x)在[0,1]上是增函数，在[1，3]上是减函数．当x>3时，g ′(x)＝3x 2－3>0，所以g(x)在[3，＋∞)上是增函数， 所以x ∈[0，3]时，g(x)max ＝g(1)＝2，g(x)min ＝g(0)＝g(3)＝0， 所以0<m<1不符合题意，1≤m ≤3符合题意． 当m>3时，在x ∈[0，3]时，f(x)∈[0,2]， 在x ∈[3，m]时，f(x)∈[0，f(m)]，这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2，即m 3－3m ≤2，(m －2)(m ＋1)2≤0，解得3<m ≤2. 综上，m 的取值范围是[1,2]．(3) 由(2)可知，0<m<1时，函数f(x)的最大值为f(m)＝3m －m 3， 当1≤m ≤2时，函数f(x)的最大值为f(1)＝2. 由题意知2＝λm 2，即λ＝2m 2，m ∈[1,2]时这是减函数，∴ λ∈⎣⎡⎦⎤12，2. 当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)＝m 3－3m ，由题意知m 3－3m ＝λm 2，即λ＝m －3m ，这是增函数，∴ λ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 综上，当m ＝2时，实数λ取最小值为12.变式训练已知函数g(x)＝xlnx ，设0＜a ＜b ，求证：0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式．证明：g(x)＝xlnx ，g ′(x)＝lnx ＋1.构造函数F(x)＝g(a)＋g(x)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2，则F ′(x)＝g ′(x)－2⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫a ＋x 2′＝lnx －ln a ＋x 2.当0＜x ＜a 时，F ′(x)＜0，在此F(x)在(0，a)内为减函数；当x ＞a 时，F ′(x)＞0，因此F(x)在(a ，＋∞)上为增函数． 从而，当x ＝a 时，F(x)有极小值F(a)． 因为F(a)＝0，b ＞a ，所以F(b)＞0， 即0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2.再构造函数G(x)＝F(x)－(x －a)ln2，则G ′(x)＝lnx －ln a ＋x2－ln2＝lnx －ln(a ＋x)．当x ＞0时，G ′(x)＜0.因此G(x)在(0，＋∞)上为减函数． 因为G(a)＝0，b ＞a ，所以G(b)＜0， 即g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.综上得0＜g(a)＋g(b)－2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜(b －a)ln2.【例2】已知二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f(x)＝g (x )x.(1) 若曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值 (2) k(k ∈R )如何取值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点． 解：(1) 设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，则g ′(x)＝2ax ＋b ；又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴ 2a ＝2，a ＝1.(1分) 又g(x)在x ＝－1取极小值，－b2＝－1，b ＝2，∴ g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，c ＝m ；(2分) f(x)＝g (x )x ＝x ＋mx＋2，设P(x 0，y 0)， 则|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m ，(4分) 当且仅当2x 02＝m 2x 02时，|PQ|2取最小值，即|PQ|取最小值 2.当m>0时，22m ＋2m ＝2，∴ m ＝2－1(6分) 当m<0时，－22m ＋2m ＝2，∴ m ＝－2－1(7分) (2) 由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋mx ＋2＝0，得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0. (*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m2；(8分)当k ≠1时，方程(*)有二解＝4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－1m，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；(10分)若m<0，k<1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点，x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；(12分)当k ≠1时，方程(*)有一解＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1m， 函数y ＝f(x)－kx 有一个零点，x ＝1k －1.(14分) 【例3】．对于定义域为D 的函数，若同时满足下列条件：①f(x)在D 内单调递增或单调递减；②存在区间使f(x)在上的值域为；那么把叫闭函数．（1）求闭函数符合条件②的区间；（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；（3）若是闭函数，求实数k的范围．分析：这是一个新定义型的题目，要能从题中所给信息，进行加工提炼，得出解题的条件．解：（1）由题意，上递减，则解得所以，所求的区间为[－1，1]．（2）当所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f(x)的值域为[a，b]，即，的两个实数根，即方程有两个不等的实根．设f(x)=x2－(2k＋1)x＋k2－2.法一：当时有解得．当有此时不等式组无解．综上所述，．法二：只需满足方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0有两大于或等于k的不等实根，即：点评：在解数学题的过程中，寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键，本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题．题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】．设a>b>c，且a＋b＋c=0，抛物线被x轴截得的弦长为l，求证：．证明：，且．从而．故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程必有两个不相等的实数根，由韦达定理得．．可见，是的二次函数．由及，得，解得．在上是减函数，，即．【例5】．已知函数f(x)=x2－(m＋1)x＋m(m∈R)．(1)若tanA，tanB是方程f(x)＋4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5；(2)对任意实数α，恒有f(2＋cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m．（1）证明：f(x)＋4=0即x2－(m＋1)x＋m＋4=0．依题意：又A、B锐角为三角形内两内角，∴＜A＋B＜π．∴tan(A＋B)＜0，即．∴∴m≥5．(2)证明：∵f(x)=(x－1)(x－m)，又－1≤cosα≤1，∴1≤2＋cosα≤3，恒有f(2＋cosα)≤0．=3，∴m≥x max=3．即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x－1)(x－m)≤0，∴m≥x但xmax(3)解：∵f(sinα)=sin2α－(m＋1)sinα＋m=，且≥2，∴当sinα=－1时，f(sinα)有最大值8．即1＋(m＋1)＋m=8，∴m=3．【例6】．直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．解：由消去y，得．（）因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程（）有两个不相等的负实数根．所以解得．设，则由三点共线，得出．设，则在上为减函数，，且．，或，，或．题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】．如图，已知面，于D，．（1）令，，试把表示为x的函数，并求其最大值；（2）在直线PA上是否存在一点Q，使成立？解答：（1）∵面，于D，∴．∴．．∵为在面上的射影．∴，即．∴．即的最大值为，等号当且仅当时取得．（2）．令，解得：，与交集非空．∴满足条件的点Q存在．点评：本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求有一定的空间想象力，而且，做好问题的转化是解决此题的关键．。